SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10 NĂM 2010 Môn thi: TOÁN TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU 1 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề. A. Phần chung: ( 18,0 điểm) Bài I ( 6,0 điểm) Cho phương trình: () (1) 2 42(2)1mx m x m−+−+−=0 1. Tìm m để phương trình có nghiệm. 2. Khi (1) có 2 nghiệm 12 , x x . Tìm a sao cho biểu thức M=( 1 x a − )( 2 x a − ) không phụ thuộc vào m. Bài II (6,0 điểm) 1. Giải phương trình 2 2221 x xx−= −. 2. Tìm để hệ phương trình sau có nhiều hơn hai nghiệm : m () 22 2 22 (1 4 (2) xy m xy ⎧ += + ⎪ ⎨ += ⎪ ⎩ ) Bài III ( 2,0 điểm) Tìm m, n để biểu thức 2 1 mx n P x + = + , đạt giá trị lớn nhất bằng 4 và giá trị nhỏ nhất bằng -1. Bài IV (4,0 điểm) 1. Trong hệ trục tọa độ (Oxy) cho đường tròn (T) có phương trình: 22 222xy xy 0 + −+−=và đường thẳng (): 2 2 1 0xyΔ++= , cắt (T) tại B và C. ()Δ Tìm tọa độ điểm A thuộc (T) sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất. 2. Cho tam giác ABC, gọi là độ dài các đường phân giác trong và S là diện tích của tam giác ABC. , , abc lll Chứng minh rằng nếu thì , , 1 abc lll< 3 3 S < . B. Phần riêng: ( 2,0 điểm) Bài Va. (Dành cho ban khoa học tự niên). Cho ,, x yz là ba số thực dương thỏa mãn 1 x yz = . Chứng minh rằng ta luôn có: 333 111 ()()()xyz yxz zx y 3 2 + +≥ +++ .(1) Bài Vb. (Dành cho ban khoa học cơ bản). Cho là ba số thực dương thỏa mãn ,,abc 1abc = . Chứng minh rằng ta luôn có: 222 3 2 abc bc ac ab + +≥ +++ . Hết Họ và tên thí sinh:………………………… ; Số báo danh:………………………………… ĐÁP ÁN –THANG ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10 NĂM HỌC 2010 MÔN:TOÁN Bài ý Nội dung Điểm Tìm m để phương trình có nghiệm. 1.(3,0đ) I(6,0 đ) 4m = : 3 (1) 4 3 0 4 xx⇔−=⇔= , (Thỏa mãn) 1,0 4:m ≠ PT (1) có nghiệm , 00m Δ ≥⇔ ≥ ,( 4)m ≠ 1,0 Vậy với thì phương trình (1) có nghiệm. 0m ≥ 1,0 2.(3,0 đ) Tìm a sao cho biểu thức M=( 1 x a − )( 2 x a − ) không phụ thuộc vào m. Với , : PT (1) có 2 nghiệm 0m ≥ 4m ≠ 12 , x x . Suy ra: M=( 1 x a− )( 2 x a − )= 2 12 1 2 () x xaxx a − ++ , (*) 0,5 0,5 0,5 12 1 2 2(2 ) 1 , 44 mm xx x x mm − − =+= − − Theo viet: 0,5 2 2(2 ) (1 ) 44 mm aa mm − − − + −− Thay vào (*) ta có: M= 0,5 2 34 2 4 a aa m − −++ − = 4 340 3 Mm a a∉⇔ −=⇔= 0,5 Giải phương trình II(6,0đ) 1.(3,0đ) Đk: 1 2 x ≥ Pt ⇔ () 2 11221 x x−−= − . Đặt 21 1,( 1xyy) − =− ≥ 2 (1)21 y x⇒− =− 0 Ta có hệ phương trình: 2 2 2 ()() (1)21 (1)21 (1)21 xyxy yx yx xy − += ⎧ −=− ⎧ ⎪ ⇔ ⎨⎨ − =− −=− ⎪ ⎩ ⎩ 1,0 22 0 22() (1)21 420 22 22 xy xy x y y loai yxyy yx = ⎧ −= = ⎪ ⎧⎧ ⎡ ⇔⇔ =− ⎨⎨⎨ ⎢−=− −+= ⎩⎩ ⎪ =+ ⇒=+ ⎢ ⎣ ⎩ • 1,0 • 2 (1)21 2 2 x yx yxy =− =− ⎧⎧ ⇔ ⎨ −=− =− ⎩⎩ y ⎨ , hệ vô nghiệm. 1,0 22x =+ KL: Phương trình có một nghiệm là . Tìm để hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt m 2.(3,0đ) 1m <− 0,5 : Hệ vô nghiệm 1m ≥− 2( 1)Rm=+ : Các điểm thỏa mãn (1) là đường tròn tâm O bán kính 1,0 Các điểm thỏa mãn (2) nằm trên 2 đường thẳng: 12 : 2 và : 2xy xyΔ+= Δ+=− 0,5 Theo tính chất đối xứng nên , 1 Δ 2 Δ cùng là tiếp tuyến hoặc cùng không phải là tiếp tuyến. 1 (, )dO R ⇔ Δ<Vì vậy hệ có nhiều hơn 2 nghiệm 1,0 0m ⇔ > KL: . 0m > Tìm m, n III(2,0đ) 0,5 0,5 0,5 0,5 .•D=R 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 (4)0 (1)0 (4 4)0 (1)0 [4( )+ ]0 816 [( ) ] 0 24 16( 4) 0 4( 1) 0 16 3 4, 3 4, 3 ax m, n min ax min ax min { { { { { [ R R R R R R P P xmxn xmxn m x m x mn mn m n mn mn m ycbt Tim m m −= += −++−= +++= Δ −− = Δ +−= Δ= + − = Δ= − + = = = =− = == ⇔⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Tìm tọa độ điểm A 1.(2,0đ) IV 0,5 Ta có: 22 ( ) ( 1) ( 1) 4 (1; 1), R=2Tx y I⇔−++ =⇒ − 1 (,). 2 SdAB=Δ C , BC=const 0,5 Do đó S lớn nhất khi và chỉ khi (,)dA Δ lớn nhất. , () Δ Lập phương trình đường thẳng , đi qua tâm I(1;-1): 20xy−−= 12 (1 2; 2 1), (1 2; 1 2 )AA+−−−− cắt (T) tại , ()Δ 0,5 12 53 (,) , (,) 22 dA dA A AΔ= Δ= ⇒ ≡ 1 0,5 (1 2; 2 1)A +− Vậy 2. (2,0đ) Chứng minh rằng nếu , , 1 abc lll < thì 3 3 S < . •Nếu tam giác ABC có ba góc nhọn. Giả sử góc B lớn nhất, khi đó . 0 60 90 o B≤< ,1 , 3 S= 2sin 3 ac a b ab Do l l h h hh 1 B <⇒ < ⇒< 1,0 •Nếu một trong các góc của tam giác không nhọn, giả sử góc B. 1,0 1, 1 111 S= . . . . . . 222 a AB l BC lc BA BC SinB BA BC ≤< ≤< ⇒≤< Suy ra 3 3 < Chứng minh bất đẳng thức (2,0đ ) Va( 2đ) 111 , , , , 0 và abc=1abcabc xyz ===⇒> Đặt: 222 3 2 abc bc ac ab + +≥ +++ Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 0,5 2 2 2 4 4 4 abc a bc bac b ac cab c ab + + ≥ + + + ≥ + + + ≥ + 0,5 Áp dụng BDT Côsi ta có : 222 1 () 2 abc abc bc ac ab + +≥++ +++ Cộng vế với vế ta có: 0,5 0,5 3 33abc abc + +≥ = Áp dụng BDT Côsi cho a, b, c ta có: 222 3 2 abc bc ac ab ⇒++≥ +++ . Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1. Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh, và dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1. Vb(2,0) 2 2 2 4 4 4 abc a bc bac b ac cab c ab + + ≥ + + + ≥ + + + ≥ + 0,5 Áp dụng BDT Côsi ta có : 222 1 () 2 abc abc bc ac ab + +≥++ +++ 0,5 Cộng vế với vế ta có: 3 33abc abc + +≥ = Áp dụng BDT Côsi cho a, b, c ta có: 0,5 222 3 2 abc bc ac ab ⇒++≥ +++ . Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1. 0,5 Chú ý: Các cách giải khác đúng thì vẫn cho điểm. Hết . Pt ⇔ () 2 11 2 21 x x−−= − . Đặt 21 1,( 1xyy) − =− ≥ 2 (1) 21 y x⇒− =− 0 Ta có hệ phương trình: 2 2 2 ()() (1) 21 (1) 21 (1) 21 xyxy yx yx xy − += ⎧ −=− ⎧ ⎪ ⇔ ⎨⎨ − =− −=− ⎪ ⎩ ⎩ 1, 0 . ĐÀO TẠO NGHỆ AN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10 NĂM 2 010 Môn thi: TOÁN TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU 1 Thời gian làm bài: 15 0 phút, không kể thời gian phát đề. A. Phần chung: ( 18 ,0 điểm) Bài. đường thẳng , đi qua tâm I (1; -1) : 20xy−−= 12 (1 2; 2 1) , (1 2; 1 2 )AA+−−−− cắt (T) tại , ()Δ 0,5 12 53 (,) , (,) 22 dA dA A AΔ= Δ= ⇒ ≡ 1 0,5 (1 2; 2 1) A +− Vậy 2. (2,0đ)