Đề thi HSG trường quynh lưu 1 2011

A. Phn chung: ( 16,0 im) Bi I ( 5,0 im) Cho phng trỡnh: ( ) 2 4 2( 2) 1 0m x m x m + = (1) 1. Tỡm m phng trỡnh cú mt nghim duy nht. 2. Khi (1) cú 2 nghim 1 2 ,x x . Tỡm m nguyờn dng nh nht sao cho tớch hai nghim l mt s nguyờn . Bi II (6,0 im) 1. Gii phng trỡnh: 2 3 2 6 4 3 8x x x + = + . (1) 2. Gii h phng trỡnh sau : 2 2 1 1 1 y 1 x y y x x + = + + = + Bi III(2,0 im). Cho cỏc s dng , , : 3.a b c ab bc ca+ + = Chng minh rng: 2 2 2 1 1 1 1 . 1 ( ) 1 ( ) 1 ( )a b c b c a c a b abc + + + + + + + + Bi IV (3,0im) Cho tam giỏc ABC cú trng tõm G. Gi A 1 , B 1 , C 1 ln lt l hỡnh chiu vuụng gúc ca G xung cnh BC, AC, AB. Chng minh rng: 2 2 2 1 1 1 . . . 0a GA b GB c GC+ + = uuur uuur uuuur r . (Vi a=BC, b=AC, c=AB). B. Phn riờng: ( 4,0 im) Bi Va. (Dnh cho ban khoa hc t niờn). Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích bằng 3 2 , A(2; - 3), B(3; - 2). Trọng tâm G ca tam giác ABC thuộc đờng thẳng (d) có phơng trình: 3x- y- 8 = 0. Tính bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác ABC. Bi Vb. (Dnh cho ban khoa hc c bn). Trong mt phng vi h to Oxy cho tam giỏc ABC cú din tớch bng 2 v ng thng AB cú phng trỡnh x-y=0. Bit rng im I(2;1) l trung im ca on thng BC, tỡm to trung im K ca on thng AC. Ht S GIO DC V O TO NGH AN TRNG THPT QUNH LU 1 THI HC SINH GII LP 10 NM 2011 Mụn thi: TON Thi gian lm bi: 150 phỳt, khụng k thi gian phỏt . ĐÁP ÁN –THANG ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10 NĂM HỌC 2011 MÔN:TOÁN Họ và tên thí sinh:………………………… ; Số báo danh:………………………………… Bài ý Nội dung Điểm I(5,0 đ) 1. (2,0đ) Tìm m để phương trình có một nghiệm duy nhất TH1: 4m = : 3 (1) 4 3 0 4 x x⇔ − + = ⇔ = , (Thỏa mãn) 0,5 TH2: 4:m ≠ PT (1) có nghiệm duy nhất khi , 0 0m∆ = ⇔ = 1,0 Vậy với 0, 4m m= = thì phương trình (1) có nghiệm. 0,5 2.(3,0 đ) Tìm m nguyên dương nhỏ nhất sao cho tích hai nghiệm là một số nguyên PT (1) có 2 nghiệm 1 2 ,x x khi 0m ≥ , 4m ≠ 1,0 Theo viet: P= 1 2 1 3 1 , 4 4 m x x m m − = = + − − P Z ∈ khi 3 4 Z m ∈ − 4 1; 4 1; 4 3; 4 3m m m m⇔ − = − = − − = − = − 5; 3; 7; 1m m m m⇔ = = = = Vậy m nguyên dương nhỏ nhất thỏa mã là: m=1 0,5 0,5 0,5 0,5 II(6,0đ ) 1. (3,0đ) Giải phương trình ĐK: 2x ≥ − . ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 (1) 2 2 4 2 2 3 2 2 4x x x x x x⇔ − + − + = + − + 2 2 2 2 2 3 2 0 2 4 2 4 x x x x x x + + ⇔ + − = − + − + Đặt 2 2 , 0 2 4 x t t x x + = ≥ − + . Phương trình trở thành 2 2, ( ) 2 3 2 0 1 2 t loai t t t = −   + − = ⇔  =  . Với 1 2 t = : Phương trình đã cho có nghiệm 3 13x = ± . 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 2. (3,0đ) Giải hệ phương trình: Điều kiện: , 0x y ≠ Hệ đã cho tương đương với hệ: 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 y 1 ( - ) - x y y y x y y y x x x xy x y y x y x   + = + + = +   ⇔     + = + + = −   2 2 1 ( - )( 1) 0 x y y y x y x y xy   + = + ⇔  + + − =   Chú ý: Các cách giải khác đúng thì vẫn cho điểm. Hết . ca+ + = Chng minh rng: 2 2 2 1 1 1 1 . 1 ( ) 1 ( ) 1 ( )a b c b c a c a b abc + + + + + + + + Bi IV (3,0im) Cho tam giỏc ABC cú trng tõm G. Gi A 1 , B 1 , C 1 ln lt l hỡnh chiu vuụng gúc. im I(2 ;1) l trung im ca on thng BC, tỡm to trung im K ca on thng AC. Ht S GIO DC V O TO NGH AN TRNG THPT QUNH LU 1 THI HC SINH GII LP 10 NM 2 011 Mụn thi: TON Thi gian lm bi: 15 0 phỳt,. nguyên PT (1) có 2 nghiệm 1 2 ,x x khi 0m ≥ , 4m ≠ 1, 0 Theo viet: P= 1 2 1 3 1 , 4 4 m x x m m − = = + − − P Z ∈ khi 3 4 Z m ∈ − 4 1; 4 1; 4 3; 4 3m m m m⇔ − = − = − − = − = − 5; 3; 7; 1m