Các công thức của kinh tế lượng

Cho nên chúng là các biến ngẫu nhiên có phân bố xác suất nhất định kèm theo các đặc trưng: kỳ vọng và phương sai... Kí hiệu RX,Y=RY,X Tính chất của hệ số tương quan cái này rất quan trọ

Tổng hợp các công thức chương II I) Ước lượng β βµ µ1 , 2:

- Từ hàm hồi quy mẫu có dạng: Yµi = + β βµ1 ¶2X i

µ

i i i

Y = +Y e=β βµ1 +¶2X i +e i

Ta xác định β βµ µ1 , 2 sao cho 2

1

n i i

e

=

∑ bé nhất:

2 1

n i i

e

=

1

n

i i i

Y Y

=

−

1

n

i

=

− −

∑

Điều kiện cần để có min:

1

2

'

1

'

2

0 0

f f f f

β β

δ

δ β δ

δ β









1

1

(3)

n

i n

i

=

=



⇔ 



∑

∑

2

(3 )

= =

⇔ 



1

n

i

n

=

=

∑

(3 ) ′ được gọi là hệ phương trình cramer, giải hệ phương trình (3 ) ′ theo

phương pháp cramer:

2

= =

−

=

−

1

2

1

i i n

i i i

n i n

i i i

X Y n

X

n

= =

=

=

=

−

=

−

∑ ∑

∑

∑

∑

(chia cả tử và mẫu cho n)

= 1

2 2 1

n

i i i n i i

X Y nX Y

=

=

−

−

∑

n i i

X X n

= =

Nói tóm lại:

i i



= −

 ta có công thức biến đổi từ trên:

(2.4)

- Công thức (2.4) gọi là các ước lượng bình phương bé nhất của βµ1và βµ2

II) Phương sai và độ lệch chuẩn của µβ 1và βµ2:

- µβ1, βµ2 là các đại lượng ngẫu nhiên (xem đại lượng ngẫu nhiên là gì ở phần

“nhắc lại trước khi học chương II” trong tập soạn Kinh tế lượng) bởi vì: với một mẫu xác định các βµ nhận được xác định duy nhất nhưng với mẫu khác nhau khi đó các βµ sẽ khác nhau Cho nên chúng là các biến ngẫu nhiên có phân bố xác suất nhất định kèm theo các đặc trưng: kỳ vọng và phương sai

- Người ta chứng minh được Var(βµ1); Var(βµ2) phụ thuộc vào σ = 2 V Uar( )i :

2

2 2

1

n

i i i n i i

X Y n X Y

=

−

=

−

∑

∑

β = − β

2

2 1

n

i i i n i i

x y x

=

= ∑

∑

β = − β

Var( µ β1)=

2 2 1

2 1

.

n i i n i i

X

σ

=

=

∑

2 1 2 1

.

n i i n i i

X

σ

=

=

∑

∑

Var( µ β2)=

2

2 1

n i i

x

σ

=

1

n i i

x

σ

=

∑

- σ 2 chưa biết, khi ước lượng ta sử dụng ước lượng không chệch của nó là:

“n-2” bật tự do và lấy µ 2

σ thế vào các σ 2

của cácvar(βµ1); var(µβ2)

III) Hệ số xác định R2 - Đo sự phù hợp của SRF:

- Ta có: Y i = +Y eµi i

µ

Y Y Y Y e

⇒ − = − +

Mà Y Y= µ (xem lại tính chất đã học)

Y Y Y Y e

⇒ − = − +

$

i i i

⇒ = + với $i µi µ

i i

 = −







Bình phương hai vế:

Lấy tổng hai vế:

= = = =

1

n

i i i

y e

=

1 0

n i i

e

=

=

(Xem lại tính chất 3c của các ước lượng βµ1, βµ2 cov(Y eµ ;i i)= µ

1

.

i

n i i

Y e

=



Đặt: TSS= 2

1

n i i

y

=

∑ (Total Sum of Squares)

ESS= $2

1

n i i

y

=

∑ (Explaned Sum of Squares- Giải thích tổng bình phương từ hàm hồi quy mẫu)

1

n i i

e

=

∑ (Residual Sum of Squares)



Chia hai vế cho TSS:

 1=ESS RSS

TSS +TSS

µ

2 2

1 2

n i i

e n

σ = =

−

∑

i

= = =

TSS=ESS + RSS

Đặt 2 ESS

R

TSS

0 ≤R ≤ 1), được gọi là hệ số đo sự phù hợp của SRF

Công thức tính R2:

R TSS

$ 2 1 2 1

n i i n i i

y y

=

=

∑

∑

i i

= =

∑ ∑ ( vì Y Y= µ )

1

n

i i

=

1

n

i i

=

=∑ − + − (vì βµ1= −Y µβ2.X )

2 1

n

i i

β

=

Hay

(2.6)



µ

2 2

2 1

n i i n i i

x R

y

β

=

=

2 1

1 2 1

.

n

i i n i

i n

i i i n i i

x y

x x

y

=

=

=

=

∑

∑

∑

∑

n

i i i

x y

=

= =

∑ ∑

Hay

(2.7 ’ )

2 2

i i

=

2

1 2

n

i i i

n n

i i

i i

x y R

=

= =

∑ ∑

( )( ) ( ) ( )

1

n

i

R

=

=

∑

- (2.7 ’ ) được gọi là hệ số tương quan Kí hiệu R(X,Y)=R(Y,X)

 Tính chất của hệ số tương quan (cái này rất quan trọng):

(i) R>0: tương quan thuận Ví dụ: thu nhập và chi tiêu

R<0: tương quan nghịch Ví dụ: giá và lượng cầu

(ii) − ≤ ≤ 1 R 1

(iii) Nếu R ≈ 1 thì R2 ≈1 thì X, Y tương quan chặt chẽ.

Nếu R ≈ 0 thì R2 ≈0 thì X, Y tương quan không chặt chẽ hay X, Y độc

lập với nhau

(iv) R(X,Y)=R(Y,X) (X tương quan Y 95% thì Y cũng tương quan X 95%) IV) Ước lượng khoảng của các hệ số β:

1) Khoảng tin cậy của hệ số β 1:

a) Khoảng tin cậy đối xứng:

- Tìm được khoảng tin cậy sao cho:

P(−tα2n−2< t < 2

2

n

tα − ) =1-α

 P(−tα2n−2< µ

µ

1 ( )

se

β

−

< tα2n−2) =1-α

 P(µ 2 ( )µ

2n .

tα se

β − − β <β1<µ ( )µ 2

2

β + β − ) =1-α

Khoảng tin cậy đối xứng của β 1:

b) Khoảng tin cậy bên trái:

- Tìm được khoảng tin cậy sao cho:

P(−tαn− 2< t < +∞) =1-α

 P(−tαn−2< µ1 µ 1

1 ( )

se

β

−

< +∞) =1-α

 P(−∞<β 1<µ ( )µ 2

1 se 1 tαn

β + β − ) =1-α

Khoảng tin cậy bên trái của β 1:

c) Khoảng tin cậy bên phải:

- Tìm được khoảng tin cậy sao cho:

P(−∞< t < tαn− 2) =1-α

P(−∞< µ1 µ 1

1 ( )

se

β

−

< tαn− 2) =1-α

2n .

tα se

β − − β < β1 < µ ( )µ 2

2

−∞< β1 < µ ( )µ 2

1 se 1 tαn

P(µ ( )µ 2

1 se 1 tαn

β − β − < β 1 <+∞) =1-α

Khoảng tin cậy bên phải của β 1:

2) Khoảng tin cậy của hệ số β 2:

a) Khoảng tin cậy đối xứng:

b) Khoảng tin cậy bên trái:

c) Khoảng tin cậy bên phải:

3) Ý nghĩa của các khoảng tin cậy:

a Đối với hệ số β 1:

- β 1=E(Y 0

X = ), vì vậy nếu tìm được a<β 1<b thì điều này có nghĩa là E( 0

Y

X = ) ∈( , )a b .

- Nếu tìm được c<β 1<+∞, điều này có nghĩa là E(Y X =0) ít nhất là c

- Nếu tìm được −∞<β 1<d, điều này có nghĩa là E(Y 0

X = ) lớn nhất là d.

b Đối với hệ sốβ 2:

Lấy đạo hàm E(Y X i )=β 1+β2.Xi

2

dX = β ≈ ∆X

∆  ∆ ≈E β 2 ∆X

Khi ∆ =X 1 thì ∆ ≈E β 2, điều này chứng tỏ rằng trung bình của Y là

E(Y) tăng lên là β 2.

- Nếu a<β 2<b X tăng lên 1 đ/vị thì E(Y) tăng lên (a,b) đơn vị.

- Nếu c<β 2<+∞ X tăng lên 1 đ/vị thì E(Y) tăng ít nhất là c.

- Nếu −∞<β 2<d X tăng lên 1 đ/vị thì E(Y) tăng nhiều nhất là d.

1 se 1 tαn

β − β − < β1 < +∞

2n .

tα se

β − − β < β2 < µ ( )µ 2

2

−∞< β2 < µ ( )µ 2

β − β − < β2 < +∞