Các công thức của kinh tế lượng

Tổng hợp các công thức chương II Tổng hợp các công thức chương II I) Ước lượng µ µ 2 1 , β β : - Từ hàm hồi quy mẫu có dạng: µ µ ¶ 1 2i i Y X β β = + µ i i i Y Y e= + = µ ¶ 1 2 i X β β + i e+ Ta xác định µ µ 2 1 , β β sao cho 2 1 n i i e = ∑ bé nhất: 2 1 n i i e = ∑ = µ 2 1 ( ) n i i i Y Y = − ∑ = µ ¶ 2 1 2 1 ( ) n i i i Y X β β = − − ∑ Điều kiện cần để có min: µ µ µ µ 1 2 ' 1 ' 2 0 0 f f f f β β δ δ β δ δ β  = =     = =   µ µ µ µ 1 2 1 1 2 1 2( )( 1) 0 (3) 2( )( ) 0 n i i i n i i i i Y X Y X X β β β β = =  − − − =   ⇔   − − − =   ∑ ∑ µ µ µ µ 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 (3 ) n n i i i i n n n i i i i i i i n X Y X X X Y β β β β = = = = =  + =   ′ ⇔   + =   ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Chú ý: µ µ 1 1 1 n i n β β = = ∑ (3 ) ′ được gọi là hệ phương trình cramer, giải hệ phương trình (3 ) ′ theo phương pháp cramer: µ 1 1 1 2 2 2 1 1 ( ) n n n i i i i i i i n n i i i i n X Y X Y n X X β = = = = = − = − ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 1 1 1 2 2 1 1 n n i i n i i i i i n i n i i i X Y X Y n n n X X n n = = = = = − =    ÷  ÷ −  ÷  ÷   ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ (chia cả tử và mẫu cho n) 1 Tổng hợp các công thức chương II = 1 2 2 1 n i i i n i i X Y nX Y X nX = = − − ∑ ∑ Chú ý: 1 n i i X X n = = ∑ µ µ 1 2 Y X β β ⇒ = − Nói tóm lại: Đặt 1, i i i i x X X i n y Y Y  = −  =  = −   ta có công thức biến đổi từ trên: (2.4) - Công thức (2.4) gọi là các ước lượng bình phương bé nhất của µ 1 β và µ 2 β II) Phương sai và độ lệch chuẩn của µ 1 β và µ 2 β : - µ 1 β , µ 2 β là các đại lượng ngẫu nhiên (xem đại lượng ngẫu nhiên là gì ở phần “nhắc lại trước khi học chương II” trong tập soạn Kinh tế lượng) bởi vì: với một mẫu xác định các µ β nhận được xác định duy nhất nhưng với mẫu khác nhau khi đó các µ β sẽ khác nhau. Cho nên chúng là các biến ngẫu nhiên có phân bố xác suất nhất định kèm theo các đặc trưng: kỳ vọng và phương sai. - Người ta chứng minh được Var( µ 1 β ); Var( µ 2 β ) phụ thuộc vào 2 ar( ) i V U σ = : 2 µ 1 2 2 2 1 n i i i n i i X Y nX Y X n X β = = − = − ∑ ∑ µ µ 1 2 Y X β β = − µ 1 2 2 1 n i i i n i i x y x β = = = ∑ ∑ µ µ 1 2 Y X β β = − Var( µ 1 β )= 2 2 1 2 1 . . n i i n i i X n x σ = = ∑ ∑ Se( µ 1 β )= 2 1 2 1 . . n i i n i i X n x σ = = ∑ ∑ Var( µ 2 β )= 2 2 1 n i i x σ = ∑ Se( µ 2 β )= 2 1 n i i x σ = ∑ Tổng hợp các công thức chương II - 2 σ chưa biết, khi ước lượng ta sử dụng ước lượng không chệch của nó là: “n-2” bật tự do và lấy µ 2 σ thế vào các 2 σ của cácvar( µ 1 β ); var( µ 2 β ) III) Hệ số xác định 2 R - Đo sự phù hợp của SRF: - Ta có: µ i i i Y Y e= + µ i i i Y Y Y Y e⇒ − = − + Mà µ Y Y= (xem lại tính chất đã học) µ µ i i i Y Y Y Y e⇒ − = − + $ i i i y y e⇒ = + với $ µ µ i i i i y Y Y y Y Y  = −   = −   Bình phương hai vế: $ $ 2 2 2 2. . i i i i i y y e y e⇒ = + + Lấy tổng hai vế: $ $ 2 2 2 1 1 1 1 2 . n n n n i i i i i i i i i y y e y e = = = = ⇒ = + + ∑ ∑ ∑ ∑ Mà $ 1 . n i i i y e = ∑ = µ µ µ 1 1 1 ( ). . n n n i i i i i i i i Y Y e Y e Y e = = = − = − ∑ ∑ ∑ =0 ( Chú ý: 1 0 n i i e = = ∑ ) (Xem lại tính chất 3c của các ước lượng µ 1 β , µ 2 β cov( µ ; i i Y e )= µ 1 . i n i i Y e = ∑ =0  Đặt: TSS= 2 1 n i i y = ∑ (Total Sum of Squares) ESS= $ 2 1 n i i y = ∑ (Explaned Sum of Squares- Giải thích tổng bình phương từ hàm hồi quy mẫu) RSS= 2 1 n i i e = ∑ (Residual Sum of Squares)  Chia hai vế cho TSS:  1= ESS RSS TSS TSS + 3 µ 2 2 1 2 n i i e n σ = = − ∑ $ 2 2 2 1 1 1 i i n n n i i i i y y e = = = = + ∑ ∑ ∑ TSS=ESS + RSS Tổng hợp các công thức chương II Đặt 2 ESS R TSS = ( 2 0 1R≤ ≤ ), được gọi là hệ số đo sự phù hợp của SRF Công thức tính R 2 : 2 ESS R TSS = = $ 2 1 2 1 n i i n i i y y = = ∑ ∑ Mà $ µ 2 2 1 1 ( ) n n i i i i y Y Y = = = − ∑ ∑ ( vì µ Y Y= ) µ µ 2 1 2 1 ( ) n i i X Y β β = = + − ∑ µ µ 2 2 2 1 ( ) n i i Y X X Y β β = = − + − ∑ (vì µ µ 1 2 .Y X β β = − ) µ ( ) 2 2 1 n i i X X β =   = −   ∑ Hay (2.6)  µ ( ) 2 2 2 2 1 2 1 n i i n i i x R y β = = = ∑ ∑ = 2 1 2 1 1 2 1 . n i i n i i n i i i n i i x y x x y = = = =    ÷  ÷  ÷  ÷   ∑ ∑ ∑ ∑  (2.7) Căn bậc hai ra: 2 1 2 2 1 1 n i i i n n i i i i x y R R x y = = = = = ∑ ∑ ∑ Hay (2.7 ’ ) 4 $ µ ( ) 2 2 2 2 1 1 n n i i i i y x β = = = ∑ ∑ 2 1 2 2 2 1 1 n i i i n n i i i i x y R x y = = =    ÷   = ∑ ∑ ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 1 n i i i n n i i i i X X Y Y R X X Y Y = = = − − = − − ∑ ∑ ∑ Tổng hợp các công thức chương II - (2.7 ’ ) được gọi là hệ số tương quan. Kí hiệu R(X,Y)=R(Y,X)  Tính chất của hệ số tương quan (cái này rất quan trọng): (i) R>0: tương quan thuận. Ví dụ: thu nhập và chi tiêu R<0: tương quan nghịch. Ví dụ: giá và lượng cầu (ii) 1 1R− ≤ ≤ (iii) Nếu 1R ≈ thì R 2 ≈ 1 thì X, Y tương quan chặt chẽ. Nếu 0R ≈ thì R 2 ≈ 0 thì X, Y tương quan không chặt chẽ hay X, Y độc lập với nhau. (iv) R(X,Y)=R(Y,X) (X tương quan Y 95% thì Y cũng tương quan X 95%) IV) Ước lượng khoảng của các hệ số β : 1) Khoảng tin cậy của hệ số 1 β : a) Khoảng tin cậy đối xứng: - Tìm được khoảng tin cậy sao cho: P( 2 2 n t α − − < t < 2 2 n t α − ) =1- α  P( 2 2 n t α − − < µ µ 1 1 1 ( )se β β β − < 2 2 n t α − ) =1- α  P( µ µ ( ) 2 1 1 2 . n t se α β β − − < 1 β < µ µ ( ) 2 1 1 2 . n se t α β β − + ) =1- α Khoảng tin cậy đối xứng của 1 β : b) Khoảng tin cậy bên trái: - Tìm được khoảng tin cậy sao cho: P( 2n t α − − < t < +∞ ) =1- α  P( 2n t α − − < µ µ 1 1 1 ( )se β β β − < +∞ ) =1- α  P( −∞ < 1 β < µ µ ( ) 2 1 1 . n se t α β β − + ) =1- α Khoảng tin cậy bên trái của 1 β : c) Khoảng tin cậy bên phải: - Tìm được khoảng tin cậy sao cho: P( −∞ < t < 2n t α − ) =1- α P( −∞ < µ µ 1 1 1 ( )se β β β − < 2n t α − ) =1- α 5 µ µ ( ) 2 1 1 2 . n t se α β β − − < 1 β < µ µ ( ) 2 1 1 2 . n se t α β β − + −∞ < 1 β < µ µ ( ) 2 1 1 . n se t α β β − + Tổng hợp các công thức chương II P( µ µ ( ) 2 1 1 . n se t α β β − − < 1 β < +∞ ) =1- α Khoảng tin cậy bên phải của 1 β : 2) Khoảng tin cậy của hệ số 2 β : a) Khoảng tin cậy đối xứng: b) Khoảng tin cậy bên trái: c) Khoảng tin cậy bên phải: 3) Ý nghĩa của các khoảng tin cậy: a. Đối với hệ số 1 β : - 1 β =E( 0 Y X = ), vì vậy nếu tìm được a< 1 β <b thì điều này có nghĩa là E( 0 Y X = ) ( , )a b∈ . - Nếu tìm được c< 1 β < +∞ , điều này có nghĩa là E( 0 Y X = ) ít nhất là c. - Nếu tìm được −∞ < 1 β <d, điều này có nghĩa là E( 0 Y X = ) lớn nhất là d. b. Đối với hệ số 2 β : Lấy đạo hàm E( i Y X )= 1 β + 2 β .X i 2 dE E dX X β ∆ = ≈ ∆  2 .E X β ∆ ≈ ∆ Khi 1X∆ = thì 2 E β ∆ ≈ , điều này chứng tỏ rằng trung bình của Y là E(Y) tăng lên là 2 β . - Nếu a< 2 β <b X tăng lên 1 đ/vị thì E(Y) tăng lên (a,b) đơn vị. - Nếu c< 2 β < +∞ X tăng lên 1 đ/vị thì E(Y) tăng ít nhất là c. - Nếu −∞ < 2 β <d X tăng lên 1 đ/vị thì E(Y) tăng nhiều nhất là d. 6 µ µ ( ) 2 1 1 . n se t α β β − − < 1 β < +∞ µ µ ( ) 2 2 2 2 . n t se α β β − − < 2 β < µ µ ( ) 2 2 2 2 . n se t α β β − + −∞ < 2 β < µ µ ( ) 2 2 2 . n se t α β β − + µ µ ( ) 2 2 2 . n se t α β β − − < 2 β < +∞ . x σ = = ∑ ∑ Var( µ 2 β )= 2 2 1 n i i x σ = ∑ Se( µ 2 β )= 2 1 n i i x σ = ∑ Tổng hợp các công thức chương II - 2 σ chưa biết, khi ước lượng ta sử dụng ước lượng không chệch của nó là: “n-2” bật tự do và lấy µ 2 σ thế vào các 2 σ của cácvar( µ 1 β ); var( µ 2 β ). −  =  = −   ta có công thức biến đổi từ trên: (2.4) - Công thức (2.4) gọi là các ước lượng bình phương bé nhất của µ 1 β và µ 2 β II) Phương sai và độ lệch chuẩn của µ 1 β và µ 2 β : -. µ 1 β , µ 2 β là các đại lượng ngẫu nhiên (xem đại lượng ngẫu nhiên là gì ở phần “nhắc lại trước khi học chương II” trong tập soạn Kinh tế lượng) bởi vì: với một mẫu xác định các µ β nhận được