SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NAM ĐỊNH ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC KÌ I Năm học 2014 – 2015 Môn: TOÁN, Lớp 12 Thời gian làm bài: 120 phút. Đề khảo sát này gồm 01 trang. Câu 1( 2,0 ñiểm): Cho hàm số 2 1 1 x y x − = + . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị ( C ) của hàm số ñã cho. 2. Tìm m ñể ñường thẳng : 1 d y mx m = + − cắt ñồ thị ( C ) tại hai ñiểm phân biệt. Câu 2 (2,0 ñiểm): 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 (2 8) x y e x x = + − trên ñoạn [ ] 2; 2 − . 2. Tìm m ñể ñồ thị hàm số 4 2 2( 1) 2 y x m x m = − + + + có 3 ñiểm cực trị A, B, C sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 32. Câu 3 (1,0 ñiểm): Giải phương trình 2 4sin sin 2 3cos x x x + = − . Câu 4 ( 2,0 ñiểm): Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi, AB = BC = BD = a, mặt bên SAB là tam giác ñều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với ñáy ABCD. Gọi H, M lần lượt là trung ñiểm cạnh AB và SD. 1. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. 2. Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng SB và CM theo a. Câu 5(1,0 ñiểm): Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho hai ñường thẳng 1 2 , d d lần lượt có phương trình là 1 2 1 0 : x y d + − = ; 2 3 4 4 0 : x y d + − = . Lập phương tình ñường tròn (T) có tâm I thuộc 1 d , có bán kính 5 R = và (T) c ắ t ñườ ng th ẳ ng 2 d t ạ i hai ñ i ể m A, B sao cho 4 AB = . Câu 6 (1,0 ñ i ể m): Gi ả i h ệ ph ươ ng trình 3 2 (2 2) 2 1 3 ( , ) 5 5 6 x x y y x y y xy x y + − = + ∈ − + = − ℝ . Câu 7 (1,0 ñ i ể m): Cho hai s ố d ươ ng x, y th ỏ a mãn 2 2 1 x y + = . Tìm giá tr ị nh ỏ nh ấ t c ủ a bi ể u th ứ c 1 1 ( 1)(1 ) ( 1)(1 ) P x y y x = + + + + + . Hết Thí sinh không ñược sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:…………………………………………….; Số báo danh:……………………………… ĐỀ CHÍNH THỨC www.MATHVN.com ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN – LỚP 12 (Đáp án, biểu ñiểm gồm 03 trang) Câu Đáp án Điểm Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị ( C ) của hàm số ñã cho. • TXĐ: { } \ 1 D = − ℝ , 2 3 , ( 1) y x = + ; 0,25 • Tìm ñúng tiệm cận ñứng và tiệm cận ngang; 0,25 • Lập ñúng, ñủ các thông tin của bảng biến thiên; 0,25 Câu 1.1 • Vẽ ñồ thị ñúng dạng, ñúng tiệm cận, ñúng giao với các trục tọa ñộ. 0,25 Tìm m ñể ñường thẳng : 1 d y mx m = + − cắt ñồ thị ( C ) tại hai ñiểm phân biệt. • Hoành ñộ giao ñiểm của (d) và (C) là nghiệm phương trình 2 1 1 1 x mx m x − = + − + ; 0,25 • 2 (2 3) 0 mx m x m ⇔ + − + = , (1) và 1 x ≠ − ; 0,25 • ⇔ pt (1) có hai nghiệm phân biệt, khác -1 ⇔ ( 0; 0; ( 1) 0 m g ≠ ∆ > − ≠ ), g(x) là VT(1); 0,25 Câu 1.2 • ⇔ … 3 4 m < và 0 m ≠ . 0,25 Tìm giá tr ị l ớ n nh ấ t và giá tr ị nh ỏ nh ấ t c ủ a hàm s ố 2 (2 8) x y e x x = + − trên ñ o ạ n [ ] 2; 2 − . • TX Đ : D = ℝ , hàm s ố liên t ụ c trên ñ o ạ n [-2; 2], 2 , (2 5 7) x y e x x = + − ; 0,25 • 7 , 0 1; [ 2; 2] 2 y x x= ⇔ = = − ∉ − ; 0,25 • Tính ñ úng 2 ( 2) 2 y e − − = − ; 2 (1) 5 ; (2) 2 y e y e = − = ; 0,25 • K ế t lu ậ n 2 [ ] [ ] 2;2 2;2 max 2 ; min 5 . y e y e − − = = − 0,25 Tìm m ñể ñồ th ị hàm s ố 4 2 2( 1) 2 y x m x m = − + + + có 3 ñ i ể m c ự c tr ị A, B, C sao cho tam giác ABC có di ệ n tích b ằ ng 32. • TX Đ : 3 , , 4 4( 1) D y x m x = = − + ℝ ; Hàm s ố có 3 c ự c tr ị khi và ch ỉ khi , 0 y = có 3 nghi ệ m phân bi ệ t … 1 m ⇔ > − ; 0,25 • T ọ a ñộ các ñ i ể m c ự c tr ị là 2 2 (0; 2), ( 1; 1), ( 1; 1) A m B m m m C m m m + + − − + − + − − + ; 0,25 • Di ệ n tích tam giác ABC là ( ) 5 2 1 1 . ( , ) .2 1.( 2 1) 1 2 2 S BC d A BC m m m m= = + + + = + ; 0,25 Câu 2.1 Câu 2.2 • ycbt 5 ( 1) 32 1 2 1 4 3 m m m m ⇔ + = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = , Thỏa mãn ñk. 0,25 Giải phương trình 2 4sin sin 2 3cos x x x + = − . • pt 2 3 cos sin 2(1 2sin ) x x x ⇔ + = − ; 0,25 Câu 3 • 3 1 cos sin os2 2 2 x x c x ⇔ + = ; 0,25 www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com • … cos( ) os2 6 x c x π ⇔ − = ; 0,25 • Nghiệm pt là 2 ; 2 . 18 3 6 x k x k π π π π = + = − + 0,25 1. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. • Có ,( ) ( ) ( ) SH AB SAB ABCD SH ABCD ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ; 0,25 • Tính ñượ c 3 2 a SH = ; 0,25 • Tính ñượ c di ệ n tích h.thoi ABCD là 2 3 2 a ; 0,25 Câu 4.1 • Th ể tích kh ố i chóp là 2 3 1 1 3 3 . . . 3 3 2 2 4 ABCD a a a V S SH= = = . 0,25 2. Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng SB và CM theo a. • Gọi O là trung ñiểm BD, có MO//SB ⇒ (MOC) là mp chứa CM và song song với SB ( , ) ( ,( )) ( ,( )) d SB CM d B MOC d D OMC = = ⇒ ; 0,25 • Gọi I là trung ñiểm HD, G là giao ñiểm của HD và AO, ta có ( ) MI ABCD ⊥ và 4 GD GI = ( ,( )) 4 ( ,( )) d D OMC d I OMC ⇒ = ; 0,25 • Trong (ABCD), kẻ ,( ) IJ AO J AO ⊥ ∈ ; trong (MIJ), kẻ ,( ) IK MJ K MJ ⊥ ∈ , chứng minh ñược ( ) IK MOC ⊥ ( ,( )) d I MOC IK ⇒ = ; 0,25 Câu 4.2 • Có 1 1 3 ; 4 8 2 4 a a I J OD IM SH= = = = , tam giác MIJ vuông tại I 2 2 2 2 1 1 1 208 39 52 3 a IK IK IJ IM a ⇒ = + = = ⇒ = , Vậy 39 ( , ) 4 . 13 a d SB CM IK= = 0,25 Lập phương tình ñường tròn (T)… • Có 1 ( ; 1 2 ) I d I t t ∈ ⇒ − ; 0,25 • Gọi H là trung ñiểm AB, có IH vuông góc với AB, 1 5; 2 1 2 IA R AH AB IH = = = = ⇒ = 0,25 • 3 4(1 2 ) 4 ( , ) 1 1 1 2 9 16 t t d I d t + − − ⇒ = ⇔ = ⇔ = ± + 0,25 Câu 5 • Với 1 (1; 1) t I = ⇒ − , phương trình (T) là 2 2 ( 1) ( 1) 5 x y − + + = , Với 1 ( 1; 3) t I = − ⇒ − , phương trình (T) là 2 2 ( 1) ( 3) 5 x y + + − = . 0,25 Gi ả i h ệ ph ươ ng trình 3 (2 2) 2 1 3 (1) 2 5 5 6 (2) x x y y y xy x y + − = + − + = − S D C A B H G I O K J M www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com • Đk 1 2 x ≥ , 3 3 3 (1) (2 1 3) 2 1 3 ( 2 1) 3 2 1 3 x x y y x x y y ⇔ − + − = + ⇔ − + − = + ; 0,25 • Xét hàm số 3 ( ) 3 f t t t = + trên ℝ , có 2 , ( ) 3 3 0 ( ) f t t t f t = + > ∀ ⇒ ñồng biến trên ℝ , pt(1) trở thành ( ) ( 2 1) 2 1 f y f x y x = − ⇔ = − ; 0,25 • pt(2) ( 5)( 1) 0 5; 1 y y x y y x ⇔ + − + = ⇔ = − = − ; 0,25 Câu 6 • Với 5 2 1 5, y x = − ⇒ − = − Vô nghiệm; Với 2 1 1 2 1 1 2 2 2 1 ( 1) x y x x x x x x ≥ = − ⇒ − = − ⇔ ⇔ = + − = − , Với 2 2 1 2 x y= + ⇒ = + . Nghiệm của hệ là (2 2;1 2) ( ; )x y + + = . 0,25 Cho hai số thực không âm x, y thỏa mãn 2 2 1 x y + = . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 ( 1)(1 ) ( 1)(1 ) P x y y x = + + + + + . • Đặt 2 1 2 t x y t xy − + = ⇒ = , Biến ñổi 2 2 2 x y x y P x y xy + + + = = + + + 2 2( 1) 2 2 2 1 1 t t t t t + = + + = + + − − 0,25 • Có 2 2 2 2 1 ( ) 4 4 2 2 t x y xy t t − + ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≤ ; Lại có 2 2 0 , 1 , 1 x y x x y y x y < < ⇒ > > ⇒ + > . Vậy 1 2 t< ≤ . 0,25 • Xét hàm số 2 ( ) 2 1 f t t t = + + − trên nửa khoảng (1; 2] có 2 2 , ( ) 1 0, (1; 2] ( 1) f t t t = − < ∀ ∈ − , suy ra hàm số nghịch biến trên (1; 2] . 0,25 Câu 7 • Có ( 2) 4 3 2 f = + Kết luận: (1; 2] 4 3 2 min ( ) min P f t + = = . 0,25 Chú ý: - Các cách giải ñúng khác ñều ñược cho ñiểm tối ña theo mỗi câu, biểu ñiểm chi tiết của mỗi câu ñó ñược chia theo các bước giải tương ñương; - Điểm của bài khảo sát là tổng ñiểm của các câu, không làm tròn số./. www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com . câu, không làm tròn số./. www .MATHVN. com www.DeThiThuDaiHoc .com www .MATHVN. com www.DeThiThuDaiHoc .com . x y + − = + − + = − S D C A B H G I O K J M www .MATHVN. com www.DeThiThuDaiHoc .com • Đk 1 2 x ≥ , 3 3 3 (1) (2 1 3) 2 1 3 ( 2 1) 3 2 1 3 x x y y x x y y ⇔ −. + = − ; 0,25 Câu 3 • 3 1 cos sin os2 2 2 x x c x ⇔ + = ; 0,25 www .MATHVN. com www.DeThiThuDaiHoc .com • … cos( ) os2 6 x c x π ⇔ − = ; 0,25 • Nghiệm pt là 2 ; 2 . 18 3 6 x k x