Sở giáo dục - đào tạo thanh hóa Đề thi học sinh giỏi lớp 9 THCS Trờng THPT bc lê viết tạo **************************** Bài 1: a) Chứng minh rằng: 333 3 3 9 4 9 2 9 1 12 += b) Tính giá trị biểu thức 132 235 ++= xxxxE với 21=x Bài 2: Cho ba , ca , cb chứng minh rằng ba ba ac ac cb cb bcac ba abcb ac caba cb + + + + + = ++ + ++ + ++ ))(())(())(( 222222 Bài 3: Cho phơng trình: 0122 2 =+ mmxx Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm sao cho nghiệm này bằng bình ph- ơng nghiệm kia. Bài 4: Giải phơng trình: 558 =++ xx Bài 5: Chứng minh nếu 2>a thì hệ sau vô nghiệm: =+ = 1 2 22 5 yx ayx Bài 6: Cho Parabol (P) 2 4 1 xy = và đờng thẳng (d): 2 2 1 += xy . Gọi A và B là giao điểm của (P) và (d). Tìm M trên cung AB của (P) sao cho diện tích MAB lớn nhất. Bài 7: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình 4444 248 tzyx =++ Bài 8: Cho tam giác ABC. Phân giác AD, trung tuyến AM. Lấy đối xứng trung tuyến AM qua AD cắt BC tại N. Chứng minh: 2 2 AC AB NC NB = Bài 9: Diện tích của một hình thang bằng 1. Hỏi đờng chéo lớn nhất có giá trị bé nhất là bao nhiêu. Bài 10: Cho đờng tròn ( 0; R) với 2 đờng kính AB và MN. Tiếp tuyến với (0) tại A cắt BM và BN tại M 1 , N 1 . Gọi P là trung điểm của AM 1 , Q là trung điểm của AN 1 . Đờng kính AB cố định, tìm tập hợp tâm các đờng tròn ngoại tiếp tam giác BPQ khi đờng kính MN thay đổi. Đáp án: Nội dung Bài 1: a) b) Bài 2: Bài 3: CMR: (1) Giải: Đặt (1) Vậy (1) đợc chứng minh x = = Ta có: (1) Tơng Tự : (2) (3) từ (1) + (2) + (3) ta có: ĐPCM (1) Ta có: Vậy: , phơng trình luôn có 2 nghiệm Theo bài ra, ta có thể giả sử phơng trình (1) có 2 nghiệm x 0 và x áp dụng định lí Vi ét ta có: Thay vào (3) : x 0 = -1 m = 0 x 0 = 1 m = 1 Đáp số: m = 0 ; m = 1 Điều kiện: 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1 0,5 0,5 0,25 0,25 Bài 4: Bài 5: Bài 6: Phơng trình đã cho tơng đơng với Bình phơng 2 vế ta đợc Giả sử hệ có nghiệm , > thì hệ đã cho vô nghiệm (P) cắt (d) tại 2 điểm A (-4;4) và B (2; 1). Xét (dm)//(d) dm có pt: (dm) tiếp xúc (P) Pt: có nghiệm kép có nghiệm kép Tiếp điểm M 0 * . là khoảng cách từ M đến AB) Vậy là điểm cần tìm Ta có: (0,0,0,0) là 1 nghiệm của phơng trình. Ta chứng minh phơng trình không còn nghiệm nguyên khác. Nhận xét: (x,y,z,t) là nghiệm thì ),,,( tzyx cũng là nghiệm. Chọn (x,y,z,t) sao cho x > 0 và x bé nhất là nghiệm. Ta có: 4444 248 tzyx =++ 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 Bµi 7: Bµi 8: ⇒ ⇒2t ®Æt 1 2tt = ⇒ 4 1 444 824 tzyx =++ ⇒ ⇒ 2z ®Æt 4 1 4 1 44 1 4822 tzyxzz =++⇒= ⇒ ⇒ 2y ®Æt 4 1 4 1 4 1 4 1 2482 tzyxyy =++⇒= ⇒ ⇒2x ®Æt ( ) 11111 ,,,2 tzyxxx ⇒= lµ nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh mµ x 1 < x (m©u thuÉn) ⇒ ph¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm nguyªn (x,y,z,t) víi 0 ≠ x T¬ng tù ta còng cã kÕt luËn víi y,z,t. VËy pt cã nghiÖm nguyªn duy nhÊt: (0,0,0,0) Ta cã: AMb ANc MC BN S S AMC ABN . . == AN AM b c NC BM S S ANC ABM .== ⇒ 2 2 . b c NC BM MC BN = ⇒ 2 2 2 2 AC AB b c NC BN == ⇒ §PCM 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 9: Gọi 2 đờng chéo của hình thang là m 1 , m 2 . giả sử m 1 m 2. Hạ đờng cao AH và BH HC HD 2HC HC + HD = DC + AB Theo định lý Pitago trong AHC ta có: 22).(.2 2 1 22 ==+=+ ABCD ShABDCHCAHmHCH 22 1 2 1 mm Vậy min 2 1 = m Dấu = xảy ra = = HCAH DHHC ' Vậy đờng chéo lớn nhất của hình thang có giá trị bé nhất bằng 2 // 1 BM và Q // 1 BN nên < PCQ = 90 0 . Giả sử đờng tròn tâm I ngoại tiếp BPQ cắt đờng thẳng AB tại B và D. Có APD ~ ABQ AD.AB = AP.AQ AD.AB = OA 2 AD = 2 R . Vì vậy đờng tròn ngoại tiếp BPQ luôn đi qua điểm D cố định. Vì IB = ID nên I nằm trên đờng trung trực của BD. Phần đảo: Lấy điểm I nào đó trên đờng trung trực của BD. Dựng đờng tròn bán kính IB = ID cắt đờng thẳng t tại P & Q, trên đờng thẳng t lấy các điểm M 1 , N 1 sao cho P là trung điểm AM 1 và Q là trung điểm của AN 1 . APD ~ ABQ AP.AQ = AB.AD = R 2 = AO 2 . Dựng đờng tròn đờng kính PQ cắt AB tại E thì < PEQ = 90 0 và AE 2 = AP. AQ = AO 2 E O. Vì OP, OQ tơng ứng là đờng trung bình ABM 1 , ABN 1 nên < M 1 BN 1 = 90 0 MN là đờng kính của đờng tròn tâm O. Kết luận: Tập hợp tâm các đờng tròn ngoại tiếp BPQ là đờng trung trực của BD. 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 Bµi 10: 1,5 0,25 . Sở giáo dục - đào tạo thanh hóa Đề thi học sinh giỏi lớp 9 THCS Trờng THPT bc lê viết tạo **************************** Bài 1: a) Chứng minh rằng: 333 3 3 9 4 9 2 9 1 12 += b) Tính giá. 2 nghiệm x 0 và x áp dụng định lí Vi ét ta có: Thay vào (3) : x 0 = -1 m = 0 x 0 = 1 m = 1 Đáp số: m = 0 ; m = 1 Điều kiện: 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1 0,5 0,5 0,25 0,25 Bài. kính PQ cắt AB tại E thì < PEQ = 90 0 và AE 2 = AP. AQ = AO 2 E O. Vì OP, OQ tơng ứng là đờng trung bình ABM 1 , ABN 1 nên < M 1 BN 1 = 90 0 MN là đờng kính của đờng tròn