Tiong thanh khOng c6 ngu6n nhiOt, hai ddu mrit ctra thanh luOn dugc gifr 6 nhiet dQ bang khOng.. 86 qua su ffao Cdi ntriet qua mdt b0n, vdn tdc truydn nhigt ffong thanh bdng a.. Ghi chit
Trang 1n0 crAo DUc VA DAo TAo Hq vd t€n thi sinh:
KV rHI ruyfx srNH sAU DAI Hoc NAM 2006
MOn thi: To6n cho vilt ly (ddnh cho: Cao hgc) Thdi gian ldm bdi: 180 phtit CAU 1 Tim hbm u(r,y) th6a mdn phuong fiinh
0 2 u ^ 0'u 0 ' u ^
a * r - " a r a a - o 6 r z : v
vi th6a m6n cdc didu kiOn
u(r, a)lr:o : 3r2 ,
Hlr:o : O.
Ctllu 2 Tim phAn b0 nhi0t dE u(r,t) trong mQt thanh htru han c6 chidu ddi (, tat thdi didm bat ky t > 0 BiCt rang phAn bd nhiet d0 ban ddu trong thanh c6 dang u(r,,O) : Ar((, - r), (A li hang s0) Tiong thanh khOng c6 ngu6n nhiOt, hai ddu mrit ctra thanh luOn dugc gifr 6 nhiet dQ bang khOng 86 qua su ffao Cdi ntriet qua mdt b0n, vdn tdc truydn nhigt ffong thanh bdng a
Ciu 3 X€t hinh trbn bdn kinh R c6 tam nam tai gOc toa d0 Gia srl (r, p) ld cdc toa d0 c{c, (r,il ld cdc toa dO pC Cac hai chidu Tim nghiOm cira phuong ffinh Laplace ddi vdi midn trong hinh trbn th6a mdn didu kiqn biOn Dirichlet:
u(r, p) l":" - u(R,p) : A + B sin29, trong d6 A vh s ld c6c hang sd
CAu 4 Cho b6n kinh vecto i_ ri+aV + rE, r: ld Hdy tfnh:
div [r.grad (r-')] , trong d6 n ld sd nguyOn
Ghi chit: Cdn bd coi thi kh1ng gidi thich gi th€m
Trang 2Ky THI TUyfN SINH SAU DAI HQC ivAvt 2ooz
M6n thi: Todn cho Vat li
(dd'nh cho Cao hP") Thdi g'i,an ld,m bd'i: 180 Phrit
r \ I - t ^ '
{,/ - L:-r-6
CAu I
(r Tfnh tich phan m6t i - $ ; (;;) dS, trons d6 7 ra vecto kh6ng ddi, 7: vects
J s \ /
vj tri, d: vects dcrn vi ph6p tuydn cria m{t ,S
b Sr! dpng dinh tf Oxtr6gratxki-Gaoxo, hey tfnh t!6ng lugng crLa vects
i , - z 3 , i , + a 3 j * r z y k grli qua mQt md,t kfn ,9 gi6i h?n bdi hinh n6n c6 bdr- kinh ddy.R, chibu cao H:
* 2 ) - o , 2 7 2
-CAu II
X6c dlnh dao d6ng tg do crlamQt d6y huu hq,t, gXn ch5,t tai c6c mri.t r - 0,n: !,, bi6t d9 lQch ban db,u dugc cho bdi:
A m ( 0 - - )
, u ( " , 0 ) : T , 0 ( r S ( ,
cbn v6,n t6c ban dbu bXng 0
C5.u III
MQt thanh dbng chdt c6 chiEu dei / v6i c6c mdt b€n cd trao ddi nhi6t v6i m6i trulng xung quanh, nhiet d6 m6i trulng bXng 0, cbn c6,c mrit n : 0, n : {, dugc gifr & nhiQt ag f.nO"! ddi bHng 0 Tlm ph6,n bd nhiQt tr6n thanh iric t > 0? Bidt rH,ng nhi€t d6 ban db,u crla thanh c6 dang: u(r,O) : An (A: hXng s6)
Ciu IV
nQ cmo DUc vA DAO TAO
Ho ud, t€n th{ s'inh:
56 b6,o danh:
fim hh,m u(r,A)
c6c dibu kiQo bi6n:
diEu hoA, trong hinh chfr nh6t A I r I a, 0 < g ( b vb thod, md,n
u ( r , 0 ) : 0 , u ( r , b ) - n , 0 S n 3 a
u r ( O , g ) : 0, ur(a,A) : 0, 0 < g < b -C6.u V
a Cho F - r^l trong toq, dQ ch,u, {: vecto dcrn vi theo phuong xuy6n t6,rn Chftng
m i n h r x n g :
v * F - ' , v F - ( n + z ) r n - r
b Chfrng minh rXng, hh,m
f1r
u(r,A, z) -
J _*f (, + ir cost * i'ysinf, t)dt v6i f (r, t) le hA,m tdj' i, gi&i tfch theo r vh 1i6n tuc theo t, lb hhm dibu hoh-Ghi chfr: Cd,n b6 coi ttti, kh'6ng gidi th{ch' gi' th,€m
Trang 3T40 Hg ud, t€n tht s'inh:
Sd b6,o danh:
) v
TUYEN SINH SAU D4I HQC NAM 2OO8 M6n thi: TOAN CHO VAr r,Y
(d,anh cho Cao hp") Thdi g'ian ld,m bd,i: 180 phft CAU I.
Vecto cubng d6 di6n trulng do di6n tich didm q dqt tai gdc toa d6 O Sa^y ra tai didm M d,uoc cho b&i c6ng thirc:
a Tfnh divE tai didm M c6 , + \
b Tfnh th6ng lugng cria trulng E qua mdt cbu t6,m O, b5"n kfnh R C6 thd d,p dpng dinh lf Ostr6gratxki-Ga.oxo tld tintr th6ng lucrng n6i tr6n iluoc kh6ng? Vi sao?
CAU II.
Tim hbm u(r,t) th6a m5n phuong trinh vb c6c dibu kion sau:
1trtt : A2Urr, 0 ( t I (,,, t > 0,
u * ( 0 , t ) : u ( ( , t ) - 0 , t ) 0 ,
u ( r , O ) : r , u t ( r , 0 ) : 1 , 0 S r < (
CAU III
MOt thanh mAnh, ilbng chdt c6 chibu dei / v6i c6c m6,t b6n cach nhi6t, cbn c6c db,u mrit r : 0 vd, n, : / lu6n cluoc giu d nhi6t d6 kh6ns eldi bXng 0 Tbong thanh kh6ng.c6 ngubn nhi6t Tim ph6,n b6 nhi0t tt6 trong thanh tai thli didm bdt ky t > 0 Bi6t rXng phdn bd nhi6t dO ban dh,u trong thanh c6 dang
u ( r , O ) : T r ( ( - r ) , trong d,6 T" lb hXng s6 Cho vdn t6c truybn nhi6t trong thanh bHng a
CAu fV
Tim hbm u(r,y) dibu hba trong hinh chir nhd,t 0 < r I a, 0 ( g < b vb thda m6,n cd,c dibu ki6n bi6n
u ( 0 , a ) : 0 , u ( a , A ) : 0 , A < y I b ,
u ( r , 0 ) : 0 , u ( r , b ) : f ( " ) , 0 S r S a
Ap dung cho trubng hep a - b: Tr f @): sinr
e0 ctAo DVC vA DAo
/
DAr HgC HUE
KV THI
i -nn4,
T "
trong d6 7 -ffi,, : l?1, k lA, hXng sd
Ghi chf: Cd,n b6 coi, thi khdng gid,i, thfuh gi th€m.
Trang 4B O G I A O D L , C \ T A D A O T 4 O
/
DAr HgC HUtr
KY rlrr ruydw srr{rr sAu DAr Hec xArn 200e (Dot r)
M6n thi: roAx cHo vAT t i
(dd"nh cho Cao hq") Thdt gian ldm bdi: 180 phrit CAu I 1 Xd.c dinh c6,c he sd Lame trong he toa do chu (r,0,'g) Tu do viSt ra
bidu thf'c cria dir,,A- ttong he toa do ndy
2 Tinh tfch phAn
r
I
-9 r r t
z" d.rdad,z
vor V Ia hinh chu 12 + y2 * z2 < R2.
C A u I I T i m n g h i e m u - u ( r , t ) c u a b a i t o 6 n h 5 n h c r p s a u
u t t : u r r
, ( 0 , / ) : 0 u , ( { , / ) : 0
u ( r , 0 ) : t u t ( r , 0 ) :
r r y
v r r r ( \ t , I v r r r
! (
t h i s i n h :
b 6 o d a n h :
r 1 { , t > 0 0
r { [
H o v d t 6 n
S5
Ill\;'
0 <
t >
3 r r
: (
vot { ) 0 cho tru6c
CAu III Tim phAn bo nhiet cv thcvi di6m / > 0 tren mQt thanh dbng chdt c6 chibu
( vot c5,c mdt ben c6ch nhiet khi bi6t nhiet do ban dbu b5ng 0 mrit r: ducyc giu cr nhiet do khong doi bing 7, cbn mrit r - ( duoc giu cr nhiet
k h o n g d o i b X n g U
Cdu IV Tim hdm u(r,g) @ho trong toa d6 cuc) diEu h6a trong hinh trdn c6 tAm d
e6c toa d6 O vd brin kinh E th6a man dibu ki6n tr6n bi6n cria hinh trdn
u(R, P) : '4 (sin (P + 2 cos 2P) '
CAu V Tim ne.hiArn tt - u(r,y) cua phucrng trinh
ur, - 2 sin g,'r-t,ra - or2 fr.uaa - cos r.uo - Q
u ( r , c o s r ) - s i n rr u r ( r ) c o s r ) : r * c o s r
dei
- n
+ ^
o o
cac
Ghi chri: Cdn bo coi thi khdng giAi thfch gi them.