Mot so de thi Co học hay.

2010-2011 14 BÀI TẬP CƠ HỌC DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI . ( Tham khảo từ nhiều nguồn ) Bài 1: Khoảng cách từ nhà đến trường là 12km. Tan trường bố đi đón con, cùng với một con chó. Vận tốc của con là v 1 = 2km/h, vận tốc của bố là v 2 = 4km/h. Vận tốc của con chó thay đổi như sau: Lúc chạy lại gặp con với vận tốc v 3 = 8km/h, sau khi gặp đứa con thì quay lại chạy gặp bố với vận tốc v 4 = 12km/h, rồi lại tiềp tục quá trình trên cho đến khi hai bó con gặp nhau. Hỏi khi hai bố con gặp nhau thì con chó đã chạy được quãng đường là bao nhiêu ? Giải: Thời gian hai bố con gặp nhau là: t = 21 vv S + = 42 12 + = 2(h). + Tính vận tốc trung bình của con chó: - Thời gian con chó chạy lại gặp người con lần thứ nhất là: t 1 = 31 vv S + = 82 12 + = 1,2 (h). - Quãng đường con chó đã chạy được là: S 1 = t 1 .v 3 = 1,2.8 = 9,6 (km). - Thời gian con chó chạy lại gặp bố lần thứ nhất là: t 2 = 42 1 vv S + = 124 4.2,16,9 + − = 0,3 (h). - Quãng đường con chó đã chạy được là: S 2 = t 2 .v 4 = 0,3.12 = 3,6 (km). ⇒ Vận tốc trung bình của con chó là: v tb = 21 21 tt SS + + = 3,02,1 6,36,9 + + = 8,8(km). Vận tốc trung bình của con chó không thay đổi trong suốt quá trình chạy do đó: Quãng đường con chó chạy được cho đến khi hai bố con gặp nhau là: S chó = v tb .t = 8,8.2= 17,6(km). Vậy đến khi hai bố con gặp nhau thì con chó đã chạy được quãng đường là 17,6 km. Bài 2: nguyenmenlethanhtong.violet.vn 1 2010-2011 Một cốc đựng hòn sỏi có khối lượng m sỏi = 48 g, khối lượng riêng là D sỏi = .10 3 kg/m 3 . Thả cốc này vào bình hình trụ chứa chất lỏng có khối lượng riêng là D 0 = 800 kg/m 3 thì thấy độ cao cột chất lỏng trong bình là H = 20 cm. Lấy hòn sỏi ra khỏi cốc (vẫn thả cốc ở trong bình) rồi thả vào bình thì mực nước trong bình lúc này là h. Cho tiết diên đáy của bình là S= 40 cm 2 và hòn sỏi không ngấm nước. Hãy tính h = ? Giải: Lúc đầu (Hình vẽ 1) ta có: P cốc + P sỏi = F A = V chìm .D 0 .g (1). Lúc sau (Hình vẽ 2) ta có: P cốc = F A ’ = V’ chìm . D 0 .g. (2). Lấy (1) trừ cho (2) ta được: P sỏi = (V chìm – V’ chìm ).D 0 .g ⇒ V chìm – V’ chìm = gD P soi . 0 (3). Lấy g = 10m/s 2 . Thay vào (3) ta được: V chìm – V’ chìm = 6.10 -4 (m 3 ). ⇒ Khi chưa thả hòn sỏi vào bình thì mực nước trong bình giảm 1 lượng: h 1 = S VV chimchim ' − = 5 4 10.40 10.6 − − = 1,5 (cm). Tiếp theo khi thả hòn sỏi vào bình thì mực nước trong bình lại dâng lên một đoạn là: h 2 = S V soi = soi soi DS m . = 0,6 (cm). Do vậy khi lấy hòn sỏi ra khỏi cốc và thả vào bình thì mực nước trong bình sẽ là: h = H – h 1 + h 2 = 20–1,5+0,6 = 19,1cm. Bài 3: Một khối gỗ hình hộp chữ nhật, tiết diện là S = 200 cm 2 , cao h = 50 cm, được thả nổi trong một hồ nước sao cho khối gỗ thẳng đứng. Tính công thực hiện để nhấn chìm khối gỗ đến đáy hồ. Biết: d gỗ = 8000 N/m 3 ; d nước = 10000 N/m 3 ; Và nước trong hồ có độ sâu là H = 1 m. Giải: Thể tích của vật là: V = S.h = 0,01 m 3 . nguyenmenlethanhtong.violet.vn 2 H Hình vẽ 1 h Hình vẽ 2 2010-2011 Trọng lượng của vật là: P = V.d g = 0,01.8000 = 80 N. Lực đẩy Acsimet tác dụng lên vật là: F A = P = 80 N. Chiều cao phần vật chìm trong nước là: h 1 = Sd F n A . = 0,4 m. ⇒ Chiều cao phần vật nổi trên mặt nước là: l = h – h 1 = 0,5 – 0,4=0,1m. Lực F cần tác dụng để vật ngập hoàn toàn trong nước là: F + P = F’ A ⇒ F = F’ A – P = d n .S.h – d g .S.h. ⇒ F = 0,02.0,5.(10000-8000) = 20 N. Lực tác dụng lên vật để nhấn chìm vật ngập hoàn toàn trong nước tăng dần từ 0 đến giá trị F. Nên công tác dụng trong giai đoạn này là: A 1 = F 2 1 .l = 10.0,1 = 1 J. Công tác dụng lên vật để nhấn chìm vật đến đáy bể là: A 2 = F.(H-h) = 20.0,5 = 10 J. Vậy công tổng cộng cần tác dụng lên vật để nhấn chìm vật đến đáy hồ là: A = A 1 + A 2 = 1 + 10 = 11 J. Bài 4: Trên hình vẽ là đồ thị vận tốc theo thời gian của hai vật, cho biết t 1 và t 2 . Tìm thời gian mà hai vật đi được hai quãng đường bằng nhau. Giải: Hình vẽ bên: Hai vật đi được hai quãng đường bằng nhau khi 2 diện tích bằng nhau. Do đó: S ABC = S CDK . ⇒ 2 1 AC.BH = 2 1 CK.DK. ⇒ CK = DK BH AC hay DK BH t 2 = t 3 – t 2 (1). Mà ∆ BHC ~ ∆ DKC (g.g) ⇒ DK BH = CK HC = 23 12 tt tt − − (2). Thay (2) vào (1) ta được: 23 12 2 tt tt t − − = t 3 – t 2 ⇒ t 3 = t 2 + )( 122 ttt − nguyenmenlethanhtong.violet.vn 3 v O yt 1 t 2 Vật 2 Vật 1 O v y H B t 1 t 2 t 3 A C D K 2010-2011 Bài 5: Có 4 bạn học sinh cùng đến trường tham dự kì thi tốt nghiệp, nhưng chỉ có một chiếc xe máy và 2 mũ bảo hiểm. Chấp hành luật giao thông nên hai bạn đi xe và hai bạn đi bộ, dọc đường bạn đang ngồi sau xuống xe tiếp tục đi bộ và xe có hai lần quay lại đón 2 bạn đi bộ ở những vị trí thích hợp sao cho cả 4 bạn đều đến trường cùng một lúc. Biết rằng vận tốc đi xe gấp 5 lần đi bộ và coi rằng vận tốc đi bộ của các bạn đều như nhau, nơi xuất phát cách trường 5 km. Xác địng vị trí mà xe đã đón 2 bạn đi bộ cách vị trí xuất phát là bao nhiêu ? Giải: Gọi 1 v là vận tốc của xe máy, 2 v là vận tốc đi bộ của các bạn. Gọi O là vị trí xuất phát. A và B lần lượt là hai vị trí mà bạn lái xe đón hai bạn còn lại lên xe. Lúc đầu bạn lái xe chở một bạn đến vị trí C nào đó rồi quay lại gặp hai bạn còn lại tại A và đón một bạn lên xe, chở bạn này đến vị trí D gặp bạn thứ nhất, rồi quay lại gặp bạn cuối cùng tại B, đón bạn này lên xe và chở bạn này đến trường cùng lúc với hai bạn kia. Ta có: - Lúc chở bạn thứ nhất đến vị trí C ta có: + Quãng đường bạn thứ nhất cùng với xe đã đi được là 1 S . + Thời gian đi hết quãng đường này là 1 t ⇒ 1 S = 11 .tv = 12 5 tv . + Quãng đường hai bạn còn lại đã đi được là : 2 S = 12 .tv . + Khoảng cách giữa bạn thứ nhất và hai bạn còn lại là : 3 S = 12 SS − = 12 4 tv . - Sau khi thả bạn thứ nhất tại C thì bạn lái xe quay lại gặp hai bạn còn lại tại B ta có: + Thời gian bạn lái xe quay lại gặp hai bạn còn lại là 2 t = 21 3 vv S + = 3 2 . 1 t . + Quãng đường các bạn đi bộ đã đi là: 4 S = 22 .tv = 12 3 2 tv . + Khoảng cách giữa các bạn lúc này vẫn là 3 S . - Tiếp theo bạn lái xe chở bạn đó đến gặp bạn thứ nhất tại D ta có: + Thời gian bạn lái xe chở bạn đó đến vị trí D gặp bạn thứ nhất là 3 t . Ta dễ dàng có được 1 t = 3 t . + Quãng đường mà các bạn đi bộ đã đi là : 5 S = 12 tv . - Sau đó bạn lái xe thả bạn thứ hai tại D cùng với bạn thứ nhất để quay lại đón bạn cuối cùng tại B. nguyenmenlethanhtong.violet.vn 4 xuất phátTrường B A O 2010-2011 + Thời gian bạn lái xe quay lại B là 4 t . Dễ dàng có được 4 t = 2 t = 1 3 2 t . + Quãng đường mà các bạn đi bộ đã đi là: 6 S = 24 vt = 12 3 2 tv . - Cuối cùng bạn lái xe chở bạn còn lại đến trường cùng lúc với hai bạmn kia trong thời gian 5 t . Ta cũng dễ dàng có được 5 t = 1 t . - Quãng đường mà hai bạn đi bộ đã đi là: 7 S = 12 tv . Bây giờ ta có quãng đường mà bạn thứ nhất đã đi là: S = 76541 SSSSS ++++ = 12 3 25 tv = 5 ⇒ 12 tv = 5 3 . Khoảng cách OA là: OA S = 42 SS + = 12 3 5 tv = 1 km. Khoảng cách OB là: OB S = 6542 SSSS +++ = OA S2 = 2 km. Bài 6: Một cục nước đá nổi trong một cốc nước. Hỏi khi cục nước đá tan hết thì mực nước trong cốc thay đổi như thế nào ? Giải thích ? Giải: Mực nước trong cốc không thay đổi. Giải thích: Khi cục nước đá nổi trên mặt nước thì lực đẩy Acsimet tác dụng lên nó là A F = P = gVD cn . ( c V là thể tích phần cục nước đá ngập trong nước). Khi cục nước đá tan hết thành nước thì trọng lượng của nó không đổi và P = VgD n . (V là thể tích nước do cục nước đá tan ra). Ta có : gVD cn = VgD n ⇒ c V = V Do đó thể tích cục nước đá ngập trong nước đúng bằng thể tích nước do cục nước đá tan ra nên mực nước trong cốc không thay đổi. Bài 7: Một người có chiều cao là h, đứng ngay dưới bóng đèn có treo ở độ cao là H (H > h). Nếu người đó bước đi đều với vận tốc v, hãy xác định vận tốc chuyển động của bóng đỉnh đầu trên mặt đất. Giải: Gọi O là vị trí bóng đèn. A và A’ là hai vị trí của đầu người. Thì B và B’ là hai vị trí tương ứng của chân người. nguyenmenlethanhtong.violet.vn 5 h H O A A’ B B’ B’’ 2010-2011 Lúc đầu người đó đứng ngay dưới bóng đèn. Thì bính của đỉnh đầu đúng ngay tại vị trí chân B của người đó. Sau đó trong thời gian t người đó di chuyển đến vị trí mới. Lúc này đỉnh đầu của người đó tại vị trí A’, chân người đó tại vị trí B’, còn bóng của đỉnh đầu tại vị trí B’’. Ta có: ∆ OAA’ ~ ∆ OBB’’ (g.g). Nên ta có: OB OA = '' ' BB AA ⇒ H hH − = tv tv b . = b v v ⇒ b v = v hH H − . Bài 8: Hai vật chuyển động cùng chiều trên hai đường thẳng đồng tâm, có chu vi lần lượt là : 1 C = 50m và 2 C = 80m. Chúng chuyển động với các vận tốc lần lượt là: 1 v = 4m/s và 2 v = 8m/s. Giả sử tại một thời điểm cả hai vật cùng nằm trên cùng một bán kính của vòng tròn lớn, thì sau bao lâu chúng lại nằm trên cùng một bán kính của vòng tròn lớn? Giải: Bài này có nhiều cách giải, sau đây là hai cách giải của tôi. Cách 1: Thời gian vật 1 đi hết 1 vòng tròn nhỏ là: 1 t = 1 1 v C = 4 50 = 12,5 (s). Thời gian vật thứ hai đi hết một vòng tròn lớn là: 2 t = 2 2 v C = 8 80 = 10 (s). Giả sử sau khi vật thứ nhất đi được x vòng và vật thứ hai đi được y vòng thì hai vật lại cùng nằm trên một bán kính của vòng tròn lớn. Ta có: T là thời gian chuyển động của hai vật. T = xt 1 = yt 2 ⇒ y x = 1 2 t t = 5,12 10 = 5 4 . Mà x, y phải nguyên dương và nhỏ nhất do đó ta chọn x=4 và y=5. Nên thời gian chuyển động của hai vật là: T = xt 1 = 12,5.4= 50 (s). Cách 2: Ta lấy vật thứ 3 trên đường tròn lớn sao cho bất kì lúc nào thì vật thứ 3 và vật thứ nhất luôn luôn nằm trên cùng một bán kính của đường tròn lớn. nguyenmenlethanhtong.violet.vn 6 2010-2011 Do vậy thời gian vật thứ 3 chuyển động hết đường tròn lớn đúng bằng thời gian vật thứ nhất chuyển động hết đường tròn nhỏ. Cho nên vận tốc của vật thứ 3 là : 3 v = 1 2 t C = 5,12 80 = 6,4 m/s. Bây giờ bài toán trở thành bài toán vật thứ hai đuổi vật thứ 3 trên đường tròn lớn. Đến lúc vật thứ hai đuổi được vật thứ 3 thì vật thứ hai đã chuyển động hơn vật thứ nhất quãng đường đúng bằng chu vi vòng tròn lớn. Ta có: 2 C = T( 32 vv − ) ⇒ T = 32 2 vv C − = 4,68 80 − = 50 (s). Bài 9: Một thanh nhẹ AB có thể quay tự do quanh một điểm O cố định với OA=2OB. Đầu A treo một vật có khối lượng m=8 kg. Hỏi phải treo ở đầu B một vật có trọng lượng bằng bao nhiêu để hệ thống cân bằng ? Giải: Vì thanh nhẹ có thể quay quanh điểm O nên ta coi O là điểm tựa của đòn bẩy. Để hệ thống cân bằng ta có điều kiện cân bằng đòn bẩy như sau: 2 1 P P = OA OB = 2 1 . ⇒ 2 P = 2 1 P = 160 N. Bài 10: Người ta dựng một cột AB như hình vẽ. Dựng trên nền gạch để giữ cho một dây ăng-ten đi qua. Để giữu cho cột thẳng đứng phải dùng một dây chằng tạo với cột một góc α = 0 30 . Biết lực kéo của dây ăng-ten là 1 F =200N. Hãy tìm lực căng 2 F của dây chằng. Giải: Vì AB có thể quay quanh B do đó B là điểm tựa của đòn bẩy. nguyenmenlethanhtong.violet.vn 7 A O B 1 P 2 P B AC 1 F 2 F 2010-2011 Hạ AH vuông góc với BC (H ϵ BC). Ta có AB và AH lần lượt là cánh tay đòn của các lực 1 F và 2 F . Để thanh AB có thể đứng thẳng đứng. Ta có hệ thức cân bằng đòn bẩy như sau: 2 1 F F = AB AH = sin α = 0,5. ⇒ 2 F = 2 1 F = 400 N. Bài 11: Cho một hệ thống như hình vẽ: Thanh AB có khối lượng không đáng kể. Ở hai đầu có treo hai quả cầu nhôm có trọng lượng lần lượt là A P và B P . Thanh được treo nằm ngang bằng một sợi dây tại O, và hơi lệch về phía A. Nhúng cả hai quả cầu vào nước, hỏi thanh có còn cân bằng hay không ? Giải: Lúc đầu hệ thống cân bằng, ta có hệ thức cân bằng đòn bẩy: OAP A . = OBP B . ⇒ B A P P = OA OB = 1 2 l l . ⇒ B A V V = 1 2 l l (1). Sau khi nhúng cả hai quả cầu vào nước thì hợp lực tác dụng lên quả cầu A là: 1 F = )( nAA DDV − g= gDDV nA )( − . Hợp lực tác dụng lên quả cầu B là: 2 F = gDDV nBB )( − = gDDV nB )( − . Ta có: 2 1 F F = gDDV gDDV nB nA )( )( − − = B A V V (2). nguyenmenlethanhtong.violet.vn 8 C A B H 1 F A B O A B O 1 l 2 l 2010-2011 Từ (1) và (2) ta có: 2 1 F F = 1 2 l l (*). Hệ thức (*) vẫn thõa mãn hệ thức cân bằng đòn bẩy ban đầu do đó hệ thống vẫn cân bằng khi nhúng cả hai quả cầu vào nước. Bài 12: Một bình thông nhau gồm hai nhánh hình trụ có tiết diện lần lượt là 30cm² và 12cm², chứa nước. Trên mặt nước có đặt các tấm ván mỏng (tiết diện các tấm ván lớn nhỏ cũng lần lượt là 30cm² và 12cm²), có khối lượng lần lượt là 1 m và 2 m . Mực nước trong hai ống chênh lệch nhau 20cm (Nước trong ống nhỏ cao hơn), bỏ qua áp suất khí quyển. a. Tính 1 m và 2 m . Biết 21 mm + = 2 kg. b. Tính khối lượng quả cân cần đặt lên tấm ván nhỏ để mực nước trong hai ống cao bằng nhau. c. Nếu đặt quả cân đó sang tấm ván lớn thì mực nước ở hai ống sẽ chênh lệch nhau bao nhiêu. Giải: a. Chọn hai điểm A và B như hình vẽ. Ta có: A P = B P . ⇒ dhP 11 + = dhP 22 + Trong đó 1 P và 2 P lần lượt là áp suất do các khối gỗ tác dụng lên đáy. ⇒ 21 PP − = )( 21 hhd − = 2000. (1) Mặt khác : 1 P = 1 1 S gm và 2 P = 2 2 S gm . Thay và (1) ta có:         − 2 2 1 1 S m S m g = 2000 ⇒ 21 2510 mm − =6 (2). Và theo bài ra thì: 21 mm + =2 (3). Kết hợp (2) và (3) ta được 1 m =1,6 kg và 2 m =0,4 kg. b. Gọi 0 m là khối lượng quả cân cần đặt lên tấm ván nhỏ để mực nước hai nhánh bằng nhau. nguyenmenlethanhtong.violet.vn 9 h A B (1) (2) A B (1) (2) 2010-2011 Lúc này thì áp suất do tấm ván lớn tác dụng lên điểm A sẽ bằng tổng của áp suất do tấm ván nhỏ và quả cân tác dụng lên điểm B. Ta có: 1 P = 2 P + 0 P ⇒ 0 P = 21 PP − = 2000. Mà 0 P = 2 0 S gm ⇒ 0 m = g SP 20 = 10 10.12.2000 4 − = 0,24 kg. c. Nếu đặt quả cân sang tấm ván lớn thì: Áp suất tác dụng lên điểm A lúc này là: A P ′ = 101 hdPP ′ + ′ + . Áp suất tác dụng lên điểm B là: B P ′ = 22 hdP ′ + = )( 12 cl hhdP + ′ + . Ta có: A P ′ = B P ′ Hay 101 hdPP ′ + ′ + = )( 12 cl hhdP + ′ + ⇒ cl h = d PPP 201 − ′ + = 10000 10.30 10.24,0 2000 4 − + = 0,28 m = 28 cm. Vậy sau khi đặt quả cân sang tấm ván lớn thì mực nước ở nhánh nhỏ cao hơn mực nước ở nhánh lớn một đoạn 28 cm. Bài 13: Hai bình hình trụ có tiết diện lần lượt là 25cm² và 15cm² được nối với nhau bằng một ống nhỏ có tiết diện không đáng kể. Ban đầu khóa đóng lại, bình lớn đựng nước và bình nhỏ đựng dầu có trọng lượng riêng lần lượt là 10000N/m³ và 12000N/m³. Chúng có cùng độ cao là 60cm. a. Tìm độ chênh lệch giữa hai mực nước và dầu trong hai bình khi mở khóa K. b. Ta phải tiếp tục đổ vào bình nhỏ một lượng chất lỏng không hòa tan có trọng lượng riêng là 8000N/m³ cho đến khi hai mặt thoáng của chất lỏng ở hai bình đều ngang nhau. Tính độ cao chất lỏng đổ thêm đó ? Giải: a. Ta chọn hai điểm A và B như hình vẽ. Do chất lỏng ở hai ống có độ cao như nhan mà dầu có trọng lượng riêng 1 d lớn hơn trọng lượng riêng 2 d của nước cho nên sau khi mở khóa K thì dầu trong nhánh nhỏ sẽ chảy sang nhánh lớn để áp suất tác dụng lên hai đáy là như nhau. Ta chọn hai điểm A và B như hình vẽ. Do A và B cùng nằm trên cùng mặt phẳng nằm ngang cho nên: nguyenmenlethanhtong.violet.vn 10 A B (1) (2)