Bài 1:(1,0 điểm) Rút gọn các biểu thức sau: Bài 2:(2,0 điểm) 1)Giải hệ phương trình: 2)Cho phương trình bậc hai: a)Giải phương trình (1) khi m = 4b)Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức
Đề thi thử vào lớp 10 THPT không chuyên Môn Toán. Năm học 2015 – 2016 Thời gian làm bài 120’ ( Không kể thời gian phát đề ) Bài 1:(1,0 điểm) Rút gọn các biểu thức sau: A 2 5 3 45 500 = + − 1 15 12 B 5 2 3 2 − = − − + Bài 2:(2,0 điểm) 1) Giải hệ phương trình: 3x y 1 3x 8y 19 − = + = 2) Cho phương trình bậc hai: 2 x mx + m 1= 0 (1) − − a) Giải phương trình (1) khi m = 4 b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm 1 2 x ;x thỏa mãn hệ thức 1 2 1 2 x x 1 1 x x 2011 + + = Bài 3:(1,5 điểm) Cho hàm số y = 2 1 x 4 (P) 1) Vẽ đồ thị của hàm số đó 2) Xác định a, b để đường thẳng (d): y = ax + b cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng –2 và cắt đồ thị (P) nói trên tại điểm có hoành độ bằng 2 Bài 4:(1,0 điểm) Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bể thì 6 giờ đầy bể. Nếu mỗi vòi chảy một mình cho đầy bể thì vòi thứ hai cần nhiều hơn vòi thứ nhất là 5 giờ. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể. Bài 5:(3,5 điểm) Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Gọi C là điểm chính giữa của cung AB. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = CB. OD cắt AC tại M. Từ A, kẻ AH vuông góc với OD (H thuộc OD). AH cắt DB tại N và cắt nửa đường tròn (O; R) tại E. 1) Chứng minh MCNH là tứ giác nội tiếp và OD song song với EB. 2) Gọi K là giao điểm của EC và OD. Chứng minh C là trung điểm của KE. 3) Chứng minh tam giác EHK vuông cân và MN song song với AB. 4) Tính theo R diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác MCNH. Bài 6:(1,0 điểm) Cho a, b, c là các số dương và a 2 + b 2 + c 2 = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = bc ac ab a b c + + - Hết - 1 H N M K E D B O A C H N M K E D B O A C HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ SỐ 1 Bài Đáp án Điểm 1 (1,0đ) A 2 5 3 45 500 2 5 9 5 10 5 = + − = + − = 5 0,25 0,25 ( ) 3 5 2 1 15 12 B 3 2 3 2 3 2 3 2 5 2 5 2 − − = − = − − = − − = − + − − 0,25 0,25 2 (2,0đ) 1) + Tìm y = 2 ( hoặc x = 1) + Tìmgiá trị còn lại và kết luận nghiệm (x; y ) = ( 1; 2 ) 0,25 0,25 2) a) +Khi m = 4 phương trình (1) trở thành 2 x 4x 3 0 − + = + Tìm được hai nghiệm x 1 = 1 ; x 2 = 3 0,25 0,25 b) Cách 1: + Chứng tỏ ∆ ≥ 0 nên được phương trình (1) có nghiệm với mọi m + Áp dụng hệ thức Viét : 1 2 1 2 x x m x .x m 1 + = = − + Biến đổi hệ thức 1 2 1 2 x x 1 1 x x 2011 + + = thành m m m 1 2011 = − (*) + Điều kiện của (*): m ≠ 1.Giải p/t (*) tìm được m = 0, m = 2012(tmđk) Cách 2: + Chứng tỏ a + b + c = 0 nên được phương trình (1) có nghiệm với mọi m + Viết được x 1 = 1; x 2 = m – 1 + Biến đổi hệ thức 1 2 1 2 x x 1 1 x x 2011 + + = thành m m m 1 2011 = − (*) + Điều kiện của (*): m ≠ 1.Giải p/t (*) tìm được m = 0, m = 2012(tmđk) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 5 (3,5đ) 2 1) + Nêu được · 0 MCN 90 = ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) + Tứ giác MCNH có · · MCN MHN = = 90 0 là tứ giác nội tiếp + Chứng minh AE ⊥ BE từ đó suy ra OD // EB 2) + Nêu được · · KDC EBC = (slt) +Chứng minh ∆CKD = ∆CEB (g-c-g) + Suy ra CK = CE hay C là trung điểm của KE 3) + Chứng minh · CEA = 45 0 + Chứng minh ∆EHK vuông cân tại H . + Suy ra đường trung tuyến HC vừa là đường phân giác , do đó · · 1 CHN EHK 2 = = 45 0 . Giải thích · · CMN CHN = = 45 0 . +Cm · CAB = 45 0 , do đó · · CAB CMN = . Suy ra MN // AB 4) + Chứng minh M là trọng tâm của tam giác ADB , dó đó DM 2 DO 3 = và chứng minh MN DM 2 OB DO 3 = = ⇒ MN = 2R 3 + Giải thích tứ giác MCNH nội tiếp đường tròn đường kính MN ⇒ bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCNH bằng R 3 + Tính được diện tích S của hình tròn đường kính MN là 2 R S 9 π = ( đvdt) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 3 (1,5đ) 1) + Lập đúng bảng giá trị + Vẽ đúng đồ thị (P) ( Đường cong trơn đều cho điểm ) 2) + Tìm đúng hệ số b + Tìm được hệ số a 0,25 0,25 0,5 0,5 4 (1,0đ) Gọi thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là x (h) ĐK: x > 6 Thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể là x + 5 (h) Mỗi giờ vòi 1 chảy một mình được: 1 x (bể) Mỗi giờ vòi 2 chảy một mình được: 1 5x + (bể). Mỗi giờ cả hai vòi chảy được: 1 6 (bể) Theo đề bài ta có pt: 1 1 1 x x 5 6 + = + 0,25 0,25 3 ⇔ x 2 – 7x – 30 = 0 Giải phương trình ta được x 1 = -3 (loại); x 2 = 10 (Thỏa mãn ĐK) Vậy nếu chảy một mình vòi 1 chảy đầy bể trong 10 giờ, vòi 2 chảy đầy bể trong 10 + 5 = 15 (giờ). 0,25 0,25 6 (1,0đ) Cách 1: Với a, b, c là các số dương và a 2 + b 2 + c 2 = 1⇒ P > 0. Ta có: P 2 = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 bc ac ab b c a c a b 2(a b c ) a b c a b c æ ö ÷ ç + + = + + + + + ÷ ç ÷ ç è ø = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b c a c a b 2 a b c + + + Theo bất đẳng thức Côsi cho các số dương: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b c a c b c a c 2 . 2c a b a b + ³ = Tương tự: 2 2 2 2 2 2 2 b c a b 2b a c + ³ và 2 2 2 2 2 2 2 a c a b 2a b c + ³ ⇒ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b c a c a b a b c a b c + + ³ + + = 1 ⇒ P 2 ³ 1 + 2 = 3 ⇒ P ³ 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 3 ⇔ 2 2 2 2 2 2 b c a c a b = ; 2 2 2 2 2 2 b c a b a c = ; 2 2 2 2 2 2 a c a b b c = ⇔ a 2 = b 2 = c 2 = 1 3 ⇔ a = b = c = 3 3 Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số dương bc a ; ac b ; ab c ta có P = bc ac ab a b c + + ≥ 3 3 abc Không mất tính tổng quát, giả sử a ≥ b ≥ c > 0 và a 2 + b 2 + c 2 = 1 (đề bài cho)⇒ 3 3 abc ≥ 3c ⇒ P ≥ 3c Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi bc ac ab a b c = = ⇔ a = b = c = 3 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 3. 3 3 = 3 khi a = b = c = 3 3 4 . Đề thi thử vào lớp 10 THPT không chuyên Môn Toán. Năm học 2015 – 2016 Thời gian làm bài 120’ ( Không kể thời gian phát đề ) Bài 1:(1,0 điểm) Rút gọn các biểu. - 1 H N M K E D B O A C H N M K E D B O A C HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ SỐ 1 Bài Đáp án Điểm 1 (1,0đ) A 2 5 3 45 500 2 5 9 5 10 5 = + − = + − = 5 0,25 0,25 ( ) 3 5 2 1 15 12 B 3 2 3 2 3. (bể) Theo đề bài ta có pt: 1 1 1 x x 5 6 + = + 0,25 0,25 3 ⇔ x 2 – 7x – 30 = 0 Giải phương trình ta được x 1 = -3 (loại); x 2 = 10 (Thỏa mãn ĐK) Vậy nếu chảy một mình vòi 1 chảy đầy bể trong 10