TRƯỜNG THCS BỒ LÝ ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH LỚP (Lần III) NĂM HỌC: 2015-2016 MÔN THI: TOÁN (Thời gian: 90 phút) Câu (2 điểm): 2x + y = x - 3y = - 1) Giải hệ phương trình: 2) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình: 3x2 – x – = Tính giá trị biểu thức P = x12 + x22 Câu (2 điểm): a a − a +1 a + a Cho biểu thức A = a −1 ÷ ÷: a - với a > 0, a ≠ 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tìm giá trị a để A < Câu (2 điểm): Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx - = (1) 1) Chứng minh phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 x2 2) Tìm giá trị m để: x12 + x22 – x1x2 = Câu (3.5 điểm): Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R tia tiếp tuyến Ax phía với nửa đường tròn AB Từ điểm M Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C tiếp điểm) AC cắt OM E; MB cắt nửa đường tròn (O) D (D khác B) 1) Chứng minh: AMDE tứ giác nội tiếp đường tròn 2) MA2 = MD.MB 3) Vẽ CH vuông góc với AB (H ∈ AB) Chứng minh MB qua trung điểm CH Câu (0.5 điểm): Giải phương trình: + x - = x + 2x x x x Giám thị coi thi không giải thích thêm o0o http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Ý Nội dung trình bày Điểm 2x + y = 6x + 3y = 21 7x = 14 x = ⇔ ⇔ ⇔ x - 3y = - x - 3y = - y = - 2x y = Phương trình 3x2 – x – = có hệ số a c trái dấu nên có hai nghiệm phân biệt x1 x2 2 x1.x2 = − 3 13 Do P = x12 + x 22 = x1 + x − 2x1 x = + = 9 Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = ( ) a a a −1 A = − : ÷ a ( a + 1) ÷ a +1 ( a - 1)( a + 1) a = − ÷ ÷ a + = a − a + a + ( a < 1 ) a > 0, a ≠ A< ⇔ ⇔ < a < 1 Ta có ∆′ = m2 + > 0, ∀m ∈ R Do phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Theo định lí Vi-ét thì: x1 + x2 = 2m x1.x2 = - Ta có: x12 + x22 – x1x2 = ⇔ (x1 + x2)2 – 3x1.x2 = ⇒ 4m2 + = ⇔ m2 = ⇔ m = ±1 1 x N C M E A 0.5 D I H O B · · ADB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ ADM = 900 (1) Lại có: OA = OC = R; MA = MC (tính chất tiếp tuyến) Suy · OM đường trung trực AC ⇒ AEM = 900 (2) Từ (1) (2) suy MADE tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MA Xét ∆MAB vuông A có AD ⊥ MB, suy ra: MA2 = MB.MD (hệ http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 1 thức lượng tam giác vuông) · Kéo dài BC cắt Ax N, ta có ACB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa · đường tròn) ⇒ ACN = 900 , suy ∆ACN vuông C Lại có MC = MA nên suy MC = MN, MA = MN (5) Mặt khác ta có CH // NA (cùng vuông góc với AB) nên theo định lí Ta-lét IC IH BI = = ÷ (6) với I giao điểm CH MN MA BM MB Từ (5) (6) suy IC = IH hay MB qua trung điểm CH ≥ 0, x x 2x ⇔x x Điều kiện: x ≠ 0, x + x =x + x x x - = x −x x x - + 2x x x 1+ = (vì x x x ⇔ x = ±2 ⇔x - ≥ (*) x = x - 2x x x x ÷ 4 ÷= ⇔ x - ÷ 1+ x 5÷ x + 2x ÷ x x >0 ) + 2x x Đối chiếu với điều kiện (*) có x = thỏa mãn http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 0.5 ... AC ⇒ AEM = 900 (2) Từ (1) (2) suy MADE tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MA Xét ∆MAB vuông A có AD ⊥ MB, suy ra: MA2 = MB.MD (hệ http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 1 thức lượng tam giác... + 2x ÷ x x >0 ) + 2x x Đối chiếu với điều kiện (*) có x = thỏa mãn http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 0.5