Cho đờng tròn O;R có hai đờng kính AC và BD vuông góc với nhau.. Dây AM cắt dây BC tại E, dây AN cắt dây CD tại F.. - Đờng thẳng EF luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố định... Từ đó suy r
Trang 1sở giáo dục và đào tạo
quảng ninh kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 năm học 2005-2006
đề thi chính thức
môn : Toán (bảng A) Số BD: Thời gian làm bài : 150 phút Chữ ký giám thị 1 (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 21/3/2006 Bài 1
Rút gọn các biểu thức sau :
a)A =
5 1
1
1
1
+ + 2001 2005
1
1
+ b) B = x3 - 3x + 2000 với x = 3 3 + 2 2 + 3 3 − 2 2
Bài 2
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy xét ba đờng thẳng có phơng trình :
(d1) : x - 5y + k = 0 ; (d2) : (2k - 3)x + k(y - 1) = 0 ; (d3) : (k + 1)x - y + 1 = 0 Tìm các giá trị của tham số k để ba đờng thẳng đó đồng quy
Bài 3.
Giải hệ phơng trình :
−
= +
−
= +
−
= +
1 4
1 4
1 4
y x
z
x z
y
z y
x
Bài 4
Cho đờng tròn (O;R) có hai đờng kính AC và BD vuông góc với nhau
Điểm M thay đổi trên cung nhỏ BC (M khác B và C) và điểm N thay đổi trên cung nhỏ CD sao cho góc MAN = góc MAB + góc NAD Dây AM cắt dây BC tại E, dây AN cắt dây CD tại F
1) Chứng minh rằng ta luôn có :
- Góc AEB = góc AEF
- Đờng thẳng EF luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố định
2) Đặt góc MAB = α, tính diện tích tam giác AEF theo R và α
Bài 5
Chứng minh rằng:
+
b
.
+
a
.
3 ≥ 80 với ∀a ≥ 3, ∀b ≥ 3.
Dấu bằng xảy ra khi nào ?
- Hết
-hớng dẫn chấm thi Học Sinh Giỏi cấp tỉnh môn toán lớp 9 - bảng a năm học 2005-2006.
điểm
Trang 2Bài 1.a
1,5
điểm
áp dụng công thức (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b), với a=3 3 + 2 2 , b=3 3 − 2 2
và biến đổi => x3 = 6 + 3x
Suy ra A = 2006
1,25 đ 0,25
Bài 1.b
2,5
điểm Có A = 5 1
1 5
−
− +
5 9
5 9
−
9 13
9 13
−
− + +
2001 2005
2001 2005
−
2005 2009
2005 2009
−
Rút gọn, đợc A =
4
1
2009 − .
1,0 đ 1,5 đ
Bài 2
3 điểm Chứng minh đợc (dKhi đó M0(0 ; 1) ∈ (d2) luôn cắt (d3) <=> k = 51) tại điểm M0(0 ; 1)
1,5 đ 1,0 đ
Bài 3
4 điểm Điều kiện của ẩn : x, y, z ≥ 1/4
Nhân vế-vế cả ba phơng trình với 2 rồi cộng lại, ta đợc phơng trình:
4x + 4y + 4z = 2 4x− 1 + 2 4y− 1 + 2 4z− 1 (*)
Biến đổi (*) <=> ( 4x− 1-1)2 + ( 4y− 1-1)2 + ( 4z− 1-1)2 = 0
<=> 4x− 1 = 4y− 1 = 4z− 1 = 1 <=> x = y = z = 1/2 thỏa mãn đ/kiện
0,5 đ 1,5 đ 1,5 đ Thử lại, thấy x = y = z = 1/2 thỏa mãn hệ
Vậy hệ đã cho có duy nhất nghiệm là (x ; y ; z) = (1/2 ; 1/2 ; 1/2) 0,5 đ
Bài 4
4 1)
4 điểm
Trớc hết từ giả thiết suy ra ∠MAN = 450
Gọi DB, cắt AN, AM tại P, Q Chứng minh đợc: ABEP và ADFQ là các tứ
giác nội tiếp
=> ∠EPF = ∠EQF = 900 => tứ giác PQEF nội tiếp
Từ đó ch/minh đợc ∠AEB = ∠APB = ∠AEE => ∠AEB = ∠AEF
0,5 đ 1,0 đ 0.75 đ 0,75 đ
Kẻ AH ⊥ EF (H∈EF) Chứng minh đợc ∆AEH = ∆AEB => AH=AB
Suy ra EF luôn tiếp xúc với đờng tròn cố định là (A;a) với a =AB=R 2
0,5 đ 0,5 đ
4 2)
2 điểm Dể chứng minh đợc STính đợc SAEB = (1/2).AB.EB = (1/2).RAEF = SAEH + SAFH = S2AEB R + S2.tgAFDα = R2 tgα
và SAFD = = R2 tg(45 0 -α)
Suy ra SAEF = R2.(tgα + tg(45 0 -α))
Chú ý: Có thể tính theo cách khác:
* SAEF = (1/2).AF.EP = = SAEF = (R2 / 2.cosα.cos(45 0 -α))
* Hoặc SAEF=(1/2).AH.EF=(1/2).AB.EF = R2. ( 1 −tgα ) 2 + ( 1 −tg( 45 0 − α )) 2
đều là đáp số đúng và cũng cho điểm tối đa
0,5 đ 1,0 đ 0,5 đ
điểm Bài 5
3 điểm Ta có: 21a+(3/a) =(3/a) + a/3 + 62a/3 ≥ 2
3
3 a
a + (62.3/3) = 64 (1) ∀a≥ 3 Dấu bằng xảy ra <=> (3/a) = a/3 và a = 3 <=> a = 3
0,75 đ 0,5 đ
Lại có: (21/b) + 3b =(21/b) + 7b/3 + 2b/3 ≥ 2
3
7
21 b
b + (2.3/3) = 16 (2)
∀b≥ 3 Dấu bằng xảy ra <=> (21/b) = 7b/3 và b = 3 <=> b = 3
0,75 đ 0,5 đ
Trang 3Dấu bằng xảy ra <=> a = b = 3 0,25 đ
Cách giải khác:
Trớc hết chứng minh BĐT: (21/b) + (3b) ≥ 16 (*) với ∀ b ≥ 3
Với b ≥ 3 thì (*) <=> 3b2 - 16b + 21 ≥ 0 <=> (b - 3)(3b - 7) ≥ 0
Do b ≥ 3 nên (b - 3) ≥ 0 và (3b - 7) ≥ 3.3 - 7 = 2 => (b - 3)(3b - 7) ≥ 0
Dấu bằng xảy ra <=> b = 3
Tơng tự, chứng minh đợc: 21a + (3/a) ≥ 64 với ∀ a ≥ 3
(<=> (a-3)(21a-1) ≥ 0) Dấu bằng xảy ra <=> a = 3
Từ đó suy ra điều phải chứng minh
Hình vẽ bài 4:
Các chú ý khi chấm:
1 Hớng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lợc một cách giải Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới đợc điểm tối đa.
2 Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm Tổ chấm trao đổi và thống nhất
điểm chi tiết nhng không đợc vợt quá số điểm dành cho câu hoặc phần đó.
3 Có thể chia điểm thành phần đến 0,25 đ nhng phải thống nhất trong cả tổ chấm Điểm toàn bài là tổng số điểm các phần đã chấm, không làm tròn.
Sở Giáo dục và Đào tạo Quảng Ninh.