SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NINH ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT NĂM 2018 Mơn thi: TỐN – Bảng B Ngày thi: 04/12/2018 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi có 01 trang) Bài (4 điểm) Cho hàm số y x 2(m 1) x m m , với m tham số Tìm giá trị m để đồ thị hàm số cho có ba điểm cực trị đỉnh tam giác Một hộ gia đình cần xây dựng bể chứa nước, dạng hình hộp chữ nhật tích 24 m3 Tỉ số chiều cao bể chiều rộng bể Biết bể có mặt bên mặt đáy (khơng có mặt trên) Chiều dài đáy bể để xây bể tốn nguyên vật liệu Bài (4 điểm) Cho tam giác ABC có cạnh BC a, AB c thỏa mãn 2a c cos B B 2a c sin , với 2a c 2 Chứng minh tam giác ABC tam giác cân Có hai chuồng nhốt thỏ, chuồng thứ nhốt 19 thỏ lông màu đen thỏ lông màu trắng Chuồng thứ hai nhốt 13 thỏ lông màu đen thỏ lông màu trắng Bắt ngẫu nhiên chuồng thỏ Tính xác suất để bắt hai thỏ có màu lơng khác Bài (3 điểm) Cho x, y số thực dương, giải hệ phương trình ( y 1) log ( x 1)( y 1) 16 ( x 1)( y 1) 2 x xy x y 99 Bài (3 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD, AB = AD Điểm N AB , M trung điểm DC Gọi I giao điểm MN BD Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác BIN Biết điểm A(2;1) , đường thẳng BD có phương thuộc cạnh AB cho AN trình 11x y , điểm B có hồnh độ số ngun Bài (4 điểm) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác vng A, AB = a, BC = 2a Mặt bên BCC’B’ hình thoi nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng chứa đáy Góc hai mặt phẳng (BCC’B’) (ABB’A’) , với tan , tính theo a: Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ Khoảng cách hai đường thẳng A’C’ B’C Bài (2 điểm) Cho x, y , z số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 10 45 x yz 16 xy 10 yz 10 xz - Hết -Họ tên thí sinh : Số báo danh: Chữ ký cán coi thi 1: Chữ ký cán coi thi 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NINH ĐỀ THI CHÍNH THỨC Bài HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT NĂM 2018 Mơn thi: TỐN – Bảng B Ngày thi: 04/12/2018 (Hướng dẫn có 04 trang) Sơ lược lời giải Điểm 2,0 Tập xác định: D y ' x3 4(m 1) x 0,5 Hàm số có điểm cực trị m 1 0,25 Đồ thị hàm số có điểm cực trị là: A(0; m m 1), B ( m 1; m 2), C ( m 1; m 2) 0,5 AB (m 1)4 (m 1) AC Ta có Tam giác ABC cân A với m 1 BC m Xét: AB BC ( m 1) 3(m 1) m 1 3 Vậy với m 1 3 đồ thị hàm số có điểm cực trị đỉnh tam giác Gọi chiều cao, chiều rộng, chiều dài bể h, x, y (m);( h 0, x 0, y 0) h h x 4 Ta có: x xyh 24 y x 0,25 0,5 2,0 0,5 Bài điểm Tổng diện tích xung quanh diện tích đáy bể là: S xy xh yh x 54 x 54 Xét hàm số S ( x) x , x x 54 Tính S ' 16 x ; S ' x x Ta có bảng biến thiên x + S' S 54 Hàm số đạt giá trị nhỏ x Xây bể tốn nguyên vật liệu diện tích xung quanh cộng với diện tích mặt đáy có giá trị nhỏ Vậy chiều dài đáy y (m) giá trị cần tìm Bình phương hai vế hạ bậc ta được: B B (2a c) cos (2a c) sin (2a c )(1 cos B) (2a c)(1 cos B ) 2 Rút được: 2a cos B c Bài Biến đổi sin(A – B) = 0,5 0,25 0,5 0,25 2,0 0,5 0,5 0,5 Bài Sơ lược lời giải điểm Kết luận A B A, B Chuồng 1: Có 20 cách; Chuồng 2: Có 15 cách Bắt ngẫu nhiên chuồng nên ta có: n() 15.20 300 Gọi biến cố A: “Bắt hai thỏ khác màu” A : “ Bắt hai thỏ màu” +) Hai thỏ màu đen: có 19.13 = 247 ( cách ) +) Hai thỏ màu trắng có 1.2 = ( cách ) n A 247 249 p A Vậy p A p A Bài 3 điểm Bài điểm Điểm 0,5 2,0 0,5 0,5 249 300 0,5 17 100 0,5 16 x 1 ( y 1) log ( x 1)( y 1) 16 ( x 1)( y 1) log x log 16 y 1 y 1 Xét hàm số f (t ) log t 16t với t Ta có f '(t ) 16 f '(t ) t f (t ) đồng biến (0; ) t ln x 1 x 1 Khi ta có f ( ) f( ) ( x 1)( y 1) 16 16 y 1 16 y 1 0,5 0,5 0,5 ( x 1)( y 1) 16 (2 x y ) x( y 1) 15 Ta có hệ pt: 2 4 x xy x y 99 (2 x y ) x( y 1) 99 0,5 2 x y Rút ta đươc x( y 1) 0,5 Tập nghiệm hệ pt là: T (3;3);(1;7) 0,5 N A P B J I H D C M Gọi P trung điểm AB, J giao điểm PM BD DJM MN BD Chứng minh MNP Gọi H hình chiếu vng góc A lên BD, ta có AH d ( A, BD) 1 Ta có AB 2 AH AB AD 11t B BD B(t ; ) ; Từ AB B (1; 3) ( t số nguyên ) Ta có AN AB N ( ; 0) 4 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 Bài Sơ lược lời giải 15 Gọi K trung điểm BN, K ( ; ) , KB 8 Điểm 0,5 225 Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác BIN là: ( x ) ( y ) 64 0,25 2,0 C' A' B' K 0,5 J A C α I 2a a Bài điểm H D B Vẽ hình, dựng AH BC ( H BC ) , suy AH ( BCC ' B ') Trong tam giác vng ABC có AC BC AB a ; AH AB AC a BC BB ' HI BB ' ( AHI ) Dựng HI BB '( I BB ') , ta có BB ' AH Suy góc mặt phẳng (BCC’B’) (ABB’A’) góc hai đường thẳng 0,25 0,25 AI HI AIH ( tam giác AHI vuông H nên AIH góc nhọn) Trong tam giác vng ABH tính BH = a AH , ta có tan tan AIH IH a a a 6:a2 : sin IBH suy IH 5 3 a 6a Vậy VABCA ' B 'C ' VA BCC ' B ' 4a 2 5 Dựng B ' D BC ( D BC ) , ta có B ' D ( ABC ) Ta có A’C’ || AC nên A’C’ || (B’AC), nên d(A’C’, B’C) = d(A’C’, (B’AC)) BC = d(C’, (B’AC)) = d(B, (B’AC)) = d(D, (B’AC)) DC 0,5 0,5 2.0 0,5 Bài Sơ lược lời giải Dựng DJ AC J, có DJ || AB Dựng DK JB’ K Chứng minh DK ( B ' AC ) d(D, (B’AC)) = DK Ta có cos B ' BD cos IBH mà cos B ' BD Điểm 0,25 0,25 BD 2a DJ CD 4a BD DJ BB ' AB CB 5 0,25 B ' D B ' D 4a ' BD sin IBH Ta có sin B BB ' 1 25 25 175 Xét tam giác B’DJ vng D có 2 2 DK B'D DJ 96a 16a 96a 0,25 0,25 4a 42 a 42 BC DK = DC 35 Ta có 16 xy 10 yz 10 xz 10( x y z ) 0,25 Suy d(A’C’, B’C) = Bài Điểm Dấu xảy x y 0,25 z 0,25 10 10( x y z ) 45 x y z 10 10 Xét f (t ) , t ; f '(t ) 10t 45 t 10t (45 t ) f '(t ) t Ta có bảng biến thiên t f '(t ) f (t ) Khi P 0,25 0,25 0,25 + 0,5 50 25 x y 12 Giá trị nhỏ P 50 z 0,25 Các ý chấm: Hướng dẫn chấm trình bày sơ lược giải Bài làm học sinh tiết, lập luận chặt chẽ, tính tốn xác điểm tối đa Các cách giải khác cho điểm Tổ chấm trao đổi thông chi tiết không số điểm dành cho câu, phần Có thể chia điểm thành phần không 0,25 điểm phải thống tổ chấm Điểm toàn tổng số điểm phần chấm Khơng làm tròn điểm Mọi vấn đề phát sinh trình chấm phải trao đổi tổ chấm cho điểm theo thống tổ - Hết -4 ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NINH ĐỀ THI CHÍNH THỨC Bài HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT NĂM 2018 Mơn thi: TỐN – Bảng B Ngày thi: 04/12 /2018 (Hướng dẫn... ta được: B B (2a c) cos (2a c) sin (2a c )(1 cos B) (2a c)(1 cos B ) 2 Rút được: 2a cos B c Bài Biến đổi sin(A – B) = 0,5 0,25 0,5 0,25 2,0 0,5 0,5 0,5 Bài Sơ lược lời giải... 54 x 54 Xét hàm số S ( x) x , x x 54 Tính S ' 16 x ; S ' x x Ta có bảng biến thi n x + S' S 54 Hàm số đạt giá trị nhỏ x Xây bể tốn nguyên vật liệu diện tích xung