Chứng minh rằng với G là trọng tâm tam giác ABC ta có 1 6 2 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A1;2.. AB GA GB Tương tự có 3 đẳng thức còn lại, sau đó cộng ba
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Đề thi có 01 trang
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN - LỚP 10 PHỔ THÔNG
Ngày thi:31 /03/2013
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (4 điểm)
Cho hàm số y = f(x) = x2 - 2(m - 1)x + m
1) Tìm m để bất phương trình f(x) ≥0 nhận mọi x là nghiệm
2) Tìm m để phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm x1, x2 lớn hớn 1
Câu 2 (4 điểm)
1) Giải phương trình
2
2 x− + 1 3 x− = 3 x − 4x+ + 3 6, (x ∈ ℝ)
2) Giải hệ phương trình
x x y y x y xy x
(x,y∈ ℝ)
Câu 3 (4 điểm)
1) Giải bất phương trình
3
3x− + 2 x+ ≥ + 3 x 3x− 1, (x ∈ ℝ)
2) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x
os sin 2 sin 3(sin os ) 2(sin os )
A=c x− x+ x x c+ x − x+c x
Câu 4 (6 điểm)
1) Cho tam giác ABC Chứng minh rằng với G là trọng tâm tam giác ABC ta có
1
6
2) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A(1;2) Đường
thẳng chứa cạnh BC có phương trình: x + y + 1 = 0 Tìm toạ độ B và C, biết AB = 2AC
3) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường tròn
(C1): (x - 1)2 + (y - 3)2 = 9 và (C2): (x - 2)2 + (y + 2)2 = 5
Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua A(1;0), đồng thời ∆ cắt các đường tròn (C1)
và (C2) lần lượt tại M, N (M, N không trùng A) sao cho AM = 2AN
Câu 5 (2 điểm)
Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c = 3 Chứng minh rằng
a b c+b c a+c a b ≤
-Hết -
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh Số báo danh:
Giám thị 1 (Họ tên và ký)
Giám thị 2 (Họ tên và ký)
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG
HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH
NGÀY THI 31/3/2013
MÔN THI: TOÁN LỚP 10 PHỔ THÔNG
Bản hướng dẫn chấm có 04 trang
Câu
I
1) Ta có ∆’ = m2 – 3m + 1
f(x) ≥0, ∀x ⇔ ∆’≤0 ⇔ m2 – 3m + 1 ≤ 0
3 5 2
3 5 2
m m
≥ +
⇔
≤ −
m
2) Yêu cầu bài toán tương đương với
' 0 ( 1)( 1) 0 ( 1) ( 1) 0
∆ >
2 4 0
2 0
m
m
x x
∆ >
Tìm được 3 5 3.
+ < <
0,5 0,5
0,5
0,5
1
1
1) Điều kiện x ≥ 3
Phương trình đã cho tương đương với
( 1 3)( 3 2) 0 1 3 0
3 2 0
x
x
− − =
Giải ra được x = 10 và x = 7
2) Điều kiện , 1
2
x y≥
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
(x - y)(x2 + 2xy + 2) = 0 (*)
Do , 1
2
x y≥ nên x2 + 2xy + 2 > 0
Vì vậy, (*) ⇔ x – y = 0 ⇔ y = x, thay vào phương trình thứ hai của hệ:
2
1
4(2 1) (3 1)
x
≥
0,5
1 0,5 0,5
0,5
0,5
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 3Giải ra ta được 1, 5
9
x= x=
Từ đó suy ra được nghiệm của hệ
0,5
Câu
III 1) Điều kiện
2 3
x≥
Bất phương trình đã cho tương đương với
3
2
2
( 3 2 1) ( 3 2) 3 4
( 1)( 4)
x x x
Ta có
2 3
x≥
Do đó (*) ⇔ x – 1 ≤ 0 ⇔ x ≤ 1
Vậy 2 1.
3 ≤ ≤x
2) Ta có
3
cos sin 2 sin 3(1 2 sin cos ) 2(1 3sin cos )
cos sin 2 sin 3 6 sin cos 2 6 sin cos
cos sin 2 sin 1
0,5
0,5
0,5
0,5
1
1 Câu
IV
1) Ta có
2
AB
GA GB
Tương tự có 3 đẳng thức còn lại, sau đó cộng ba đẳng thức đó ta được
9
2
Sử dụng công thức trung tuyến suy ra điều phải chứng minh
2) Ta có d(A; BC) = 2 2
Tam giác ABC vuông tai A nên 12 12 2 1 1
( ; ) 8
AB + AC = d A BC =
Kết hợp với điều kiên AB = 2AC ta được AC 2 = 10
Mà C ∈BC nên C(a; -a - 1) ⇒(a - 1)2
+ (a + 3)2 = 10
⇔ 2a2 + 4a +10 = 10 ⇔ a = 0 hoặc a = - 2
Với a = 0 suy ra C(0; -1)
Phương trình AB đi qua A, vectơ pháp tuyến AC= − − ( 1; 3)là
x + 3y -7 = 0
Từ đó tìm được toạ độ B(-5; 4)
Với a = -2 suy ra C(-2; 1)
1
1 0,5 0,5
0,5
Trang 4Phương trình AB đi qua A, vectơ pháp tuyến AC= − − ( 3; 1)là
3x + y - 5 = 0
Từ đó tìm được toạ độ B(3; -4)
Chú ý: Học sinh có thể lấy B(a; -1 - a), C(b; -1 - b)
Nếu lập được hệ hai ẩn nhưng chưa giải được thì cho 1 điểm
3) (C1) có tâm I1(1; 3) bán kính R1 = 3, (C2) có tâm I2(2; -2), R2 = 5
Ta có A là một điểm chung của hai đường tròn
Gọi n= ( ; )a b ≠ 0 là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆
∆: ax+ by – a = 0
Ta có
| 3 | ( ; )
| 2 | ( ; )
b
d I
a b
a b
d I
a b
∆ =
+
−
Từ đó suy ra
2
36 4( ( ; ))
16 16 4 4( ( ; ))
a
MA R d I
a b
a ab b
MB R d I
a b
Do MA = 2MB nên MA2 = 4MB2 ⇔ 36a2 = 4(16a2 + 16ab + 4b2)
⇔ a = -2b hoặc 7
2
a
b= −
+) Với a = -2b, ta chọn b = -1, a = 2
Phương trình ∆: 2x – y - 2 = 0
+) Với 7
2
a
b= − , ta chon a = 2, b = - 7
Phương trình ∆: 2x – 7y – 2 = 0
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu
1 c a b c (a b c)
a
1 ( 1 )
1
a b c
+ +
Do đó ta chứng minh được
9
a b c c a b a b c
Mà 3(ab +bc + ca) ≤ (a + b + c)2 = 9
Từ đó có điều phải chứng minh
1
0,5
0,5
Lưu ý khi chấm bài:
Trên đây chỉ là sơ lược đáp án, bài làm của học sinh phải được trình bày tỉ mỉ
Mọi cách giải khác, nếu đúng, vẫn cho điểm tương đương như trên