Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O.. Gọi M, N, P lần lượt là điểm đối xứng của O qua các đường thẳng BC, CA, AB; H là trực tâm của tam giác ABC và L là trọng tâm tam giác M
Trang 1SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
——————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 NĂM HỌC 2011-2012
ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho học sinh THPT không chuyên
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
————————————
Câu 1 (4,0 điểm).
1 Giải phương trình: x2+ + +x 1 x2− + =x 1 2 (x∈¡ )
2 Giả sử phương trình bậc hai ẩn x ( m là tham số): 2 ( ) 3 ( )2
x − m− x m− + m+ = có hai nghiệmx x thỏa mãn điều kiện 1, 2 x1+ ≤x2 4 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu
1 2 1 2 3 1 3 2 8
P x= + +x x x x + x +
Câu 2 (1,5 điểm).
Giải hệ phương trình:
4 2
1 ( , ) (2 1) 1
x x y xy xy y
x y
x y xy x
+ − + − =
+ − − =
Câu 3 (1,5 điểm).
Cho ,x y là hai số thực dương thoả mãn điều kiện (x+ 1+x2)( y+ 1+y2)=2012 Tìm giá trị
nhỏ nhất của P x y= + .
Câu 4 (3,0 điểm).
1 Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O Gọi M, N, P lần lượt là điểm đối xứng của O qua các đường thẳng BC, CA, AB; H là trực tâm của tam giác ABC và L là trọng tâm tam giác MNP Chứng minh rằng OA OB OC OHuuur uuur uuur uuur+ + = và ba điểm O, H, L thẳng hàng.
2 Cho tứ giác lồi ABCD Giả sử tồn tại một điểm M nằm bên trong tứ giác sao cho
MAB MBC MCD MDA= = = =ϕ Chứng minh đẳng thức sau:
cot
2 sin
AB BC CD DA
AC BD
ϕ
α
trong đó α là số đo góc giữa hai đường thẳng AC và BD.
3 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I Các đường thẳng AI, BI, CI lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại các điểm
(1; 5 ,) 7 5; , 13 5;
M − N P−
(M, N, P không trùng với các đỉnh của tam giác ABC) Tìm
tọa độ các đỉnh A, B, C biết rằng đường thẳng AB đi qua điểm Q(−1; 1) và điểm A có hoành độ
dương
—Hết—
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh………
Trang 2SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
———————
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT KHÔNG CHUYÊN
NĂM HỌC 2011-2012 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
———————————
I LƯU Ý CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn
- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó
II ĐÁP ÁN:
1 1 2,0 điểm
Ta có
x − + =x x− + x + + =x x+ +
nên phương trình xác định với mọi x∈¡ Phương trình đã cho tương đương với
x − + + + + +x x x x − +x x + + =x
0,5
2x 2 2 x x 1 4 x x 1 1 x
2
1 1 2
1 1
− ≥ − ≤ ≤
+ + = − + + + = −
0 0
x
x x
− ≤ ≤
⇔ = ⇔ = Vậy pt có nghiệm duy nhất x=0 0,5
2 2,0 điểm
Phương trình đã cho có hai nghiệm x x thỏa mãn 1, 2 x1+ ≤x2 4
2
1 2
2
4 0
3
m
m
m
≥
⇔ + ≤ ⇔ ⇔− ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤
0,5
Theo định lí Viet ta có ( ) 3 ( )2
x + =x m− x x = −m + m+ suy ra
P= x +x + x x = m− − m + m+ = − m + m 0,5
Bảng biến thiên
-24
16
-144
0
3 2
0 -2
P
m
0,5
Từ bảng biến thiên ta được: Pmax =16 khi m=2, Pmin = −144 khi m= −2 0,5
Ta có
2
1
Đặt
2
b xy
= −
=
1 1
a ab b
+ + =
+ =
0,25
Trang 3Hệ
(*)
Từ đó tìm ra ( ; )a b ∈{(0; 1); (1; 0); ( 2; 3)− − }
0,25
1
xy
− = ⇔ = =
=
0
x y xy
=
* Với ( ; ) ( 2; 3)a b = − − ta có hệ
2
2
3
xy
0,25
1,5 điểm
Đặt t= +x 1+x2 thì dễ thấy t>0 và 2 1
2
t x t
−
Từ giả thiết ta có y 1 y2 2012
t
+ + = Từ đây cũng suy ra
2 2 2012 2.2012
t y
t
−
Từ (1) và (2) suy ra
2 1 20122 2 2011 2012
2 2.2012 2.2012
Do đó 2011 2 2012 2011 2 2012 2011
t
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t= 2012 Từ (1) và (2) suy ra 2011
2 2012
x= =y
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2011
2012 , khi
2011
2 2012
x= =y .
0,25
4 1 1,0 điểm
Trang 4M
D
O H
C
A
B
Kẻ đường kính AD, khi đó tứ giác BHCD là hình bình hành nên trung điểm K của
BC cũng là trung điểm của HD, trong tam giác AHD có OK là đường trung bình nên 2OKuuur uuur= AH ⇔OB OC OH OAuuur uuur uuur uuur+ = − ⇔OA OB OC OHuuur uuur uuur uuur+ + =
0,5
Ta có OB OCuuur uuur+ =2OK OMuuur uuuur= và các đẳng thức tương tự ta được:
OM ON OPuuuur uuur uuur+ + = OA OB OCuuur uuur uuur+ + = OHuuur
3OL 2OH
⇒ uuur= uuur suy ra O, H, L thẳng hàng.
0,5
2 1,0 điểm
Trước hết ta có các kết quả sau: 1 sin
2
ABCD
S = AC BD α ;
cot
4 MAB
AB MA MB
S
Tương tự ta được:
cot
AB MA MB BC MB MC CD MC MD
ABCD
AB BC CD DA AB BC CD DA
0,5
3 1,0 điểm
I K P
N
M
C B
A
Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là đường tròn đi qua 3 điểm M, N, P nên ta lập
được phương trình này là: x2+y2+3x−29 0= suy ra tâm K của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tọa độ là 3; 0
2
K−
.
0,25
Do AB⊥KP nên AB có vtpt 5(2; 1)
2
AB
n =KP= − −
uuur uuur
Suy ra phương trình
AB x+ − y− = ⇔ x y− + = Do đó tọa độ A, B là nghiệm của hệ
0,25
Trang 5phương trình 22 2 3 0 2 2 3 1, 5
4, 5
+ + − = + − = = − = −
Suy ra A( ) (1;5 ,B − −4; 5) Do AC⊥KN nên AC có vtpt là 5( )2;1
2
AC
n =KN = uuur uuur
Suy ra pt AC: 2(x− + − = ⇔1) y 5 0 2x y+ − =7 0 Khi đó tọa độ A, C là nghiệm
của hệ phương trình:
4, 1
x y
+ + − = − + = = = −
Vậy A( ) (1;5 ,B − −4; 5), C(4; 1− )
0,5