Bổ đề suy rộng và bài toán tối ưu toàn phương (LV01075)

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN THỊ LIÊN S-BỔ ĐỀ SUY RỘNG VÀ BÀI TOÁN TỐI ƢU TOÀN PHƢƠNG Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS. TS Tạ Duy Phƣợng HÀ NỘI, 2013 2 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn tốt nghiệp em đã nhận đƣợc sự dìu dắt, chỉ bảo và tạo điều kiện giúp đỡ của các thầy cô trong khoa Toán nói chung và tổ Giải tích nói riêng, đặc biệt là sự hƣớng dẫn, chỉ bảo giúp đỡ hết sức tận tình của thầy giáo PGS TS Tạ Duy Phƣợng. Qua đây, em xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo PGS TS Tạ Duy Phƣợng. Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô tổ môn Giải tích, các thầy cô giáo trong khoa Toán, cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn sinh viên quan tâm và đóng góp ý kiến cho đề tài của em. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 12 năm 2013 Học viên Nguyễn Thị Liên 3 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng các số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các tài liệu khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã đƣợc cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã đƣợc chỉ rõ nguồn gốc. Trong luận văn, tôi đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học, các nhà nghiên cứu với sự tôn trọng và biết ơn. Những kết quả nêu trong luận văn chƣa đƣợc công bố trên bất kỳ công trình nào khác. Hà Nội, tháng 12 năm 2013 Học viên Nguyễn Thị Liên 4 MỤC LỤC Trang TRANG PHỤ BÌA 1 LỜI CẢM ƠN 2 LỜI CAM ĐOAN 3 MỤC LỤC 4 MỞ ĐẦU 5 CHƢƠNG 1 S-BỔ ĐỀ SUY RỘNG 7 1.1 Định lí Minimax 7 1.2 Giới thiệu S-Bổ đề và S-Bổ đề suy rộng 14 1.2.1 S-Bổ đề 14 1.2.2 S-Bổ đề suy rộng 19 CHƢƠNG 2 BÀI TOÁN TỐI ƢU TOÀN PHƢƠNG 25 2.1 Bài toán tối ƣu toàn phƣơng với một hạn chế 25 2.2 Bài toán tối ƣu toàn phƣơng với nhiều hạn chế 35 KẾT LUẬN 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO 53 5 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Do có nhiều ứng dụng, bài toán tối ƣu đƣợc sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong và ngoài nƣớc. Có thể nói, bài toán tối ƣu tuyến tính (qui hoạch tuyến tính) với thuật toán đơn hình về cơ bản đã đƣợc giải quyết vào những năm 50 của thế kỉ trƣớc. Lớp bài toán tiếp theo đƣợc nhiều nhà toán học quan tâm là lớp bài toán tối ƣu với hàm mục tiêu là hàm toàn phƣơng (tối ƣu toàn phƣơng) và lớp bài toán tối ƣu đa thức. Tuy nhiên, cho đến nay, mặc dù phát biểu tƣơng đối rõ ràng và đơn giản, bài toán tối ƣu toàn phƣơng không lồi vẫn chƣa đƣợc giải quyết trọn vẹn. Một trong những kĩ thuật quan trọng áp dụng trong bài toán tối ƣu toàn phƣơng là S-Bổ đề (do Yakubovich phát biểu năm 1971). Gần đây, Giáo sƣ Hoàng Tụy đã viết một số bài báo với những nghiên cứu mới, trong đó có S-Bổ đề suy rộng, giải quyết khá cơ bản lớp bài toán tối ƣu toàn phƣơng và tối ƣu đa thức. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về bài toán tối ƣu toàn phƣơng, nhằm bổ sung và nâng cao kiến thức đã học trong chƣơng trình đại học và cao học, đồng thời sử dụng các kiến thức về tối ƣu trong giảng dạy, tôi chọn đề tài S-Bổ đề suy rộng và Bài toán tối ưu toàn phương làm luận văn cao học của mình. Do sử dụng S-Bổ đề suy rộng nêu trong bài báo [12] với những giải thích chi tiết trong chứng minh nên luận văn này không trùng với hai luận văn cao học với đề tài S-Bổ đề và Bài toán tối ưu toàn phương [1] và [2] đã đƣợc bảo vệ. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu và trình bày S-Bổ đề suy rộng và bài toán tối ƣu toàn phƣơng, từ đó áp dụng để nghiên cứu về một số lớp bài toán tối ƣu toàn phƣơng. 6 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu bài toán tối ƣu toàn phƣơng. 4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu: Nghiên cứu bài toán tối ƣu toàn phƣơng. Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo và các tài liệu liên quan đến bài toán tối ƣu toàn phƣơng, đặc biệt là bài báo [12]. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng các kiến thức và công cụ của giải tích, giải tích hàm, lí thuyết tối ƣu để tiếp cận và giải quyết vấn đề. Thu thập, nghiên cứu và tổng hợp các tài liệu liên quan, đặc biệt là các bài báo mới về vấn đề mà luận văn đề cập tới. 6. Dự kiến đóng góp của luận văn Hy vọng luận văn là một tài liệu tổng quan và tham khảo tốt cho sinh viên và học viên cao học về bài toán tối ƣu toàn phƣơng. 7 CHƢƠNG 1. S-BỔ ĐỀ SUY RỘNG Chƣơng này phát biểu và chứng minh định lý minimax và S-bổ đề, từ đó phát biểu S-bồ đề suy rộng. 1.1 ĐỊNH LÍ MINIMAX Cho hàm số :FC ¡ xác định trên tập hợp n C ¡ nhận giá trị trong tập số thực .¡ Điểm xC đƣợc gọi là điểm cực tiểu địa phương của ()Fx trong C nếu tồn tại hình cầu W có tâm x sao cho ( ) ( )F x F x với mọi W.xC Điểm x đƣợc gọi là điểm cực tiểu toàn cục của ()Fx trên C nếu ( ) ( )F x F x với mọi .xC Mục tiêu đặt ra là nghiên cứu bài toán tối ƣu toàn phƣơng (nói chung không lồi) dựa trên các định lí minimax. Các định lí minimax cổ điển thƣờng đƣợc phát biểu dựa trên giả thiết về tính (tựa) lồi-lõm của hàm số. Các định lí này không áp dụng đƣợc cho bài toán tối ƣu không lồi. Vì vậy, để nghiên cứu bài toán tối ƣu không lồi, trong [12] đã phát biểu và chứng minh định lí minimax dƣới dạng sau. Định lý 1.1.1 (Định lý minimax, [12]) Giả sử C là tập hợp con đóng của , n ¡ D là khoảng (đóng hoặc mở) của ¡ và ( , ): n L x y ¡ ¡ ¡ là hàm liên tục. Giả sử các điều kiện sau đây đƣợc thoả mãn: (i) Với mỗi n x ¡ thì ( ,.)Lx là hàm lõm; (ii) Mọi điểm yD là cực tiểu địa phƣơng của (., )Ly trong C là cực tiểu toàn cục của (., )Ly trên ;C (iii) Tồn tại * yD sao cho * ( , )L x y khi ,xC .x Khi ấy ta có đẳng thức minimax: 8 inf sup ( , ) supinf ( , ). x C x C y D y D L x y L x y (1.1) Ngoài ra, nếu inf sup ( , ) xC yD L x y thì tồn tại xC thoả mãn sup ( , ) minsup ( , ). xC y D y D L x y L x y (1.2) Chứng minh Đặt : inf sup ( , ), xC yD L x y : supinf ( , ). xC yD L x y Chúng ta có thể giả thiết , bởi vì nếu ngƣợc lại, tức là thì đẳng thức (1.1) là hiển nhiên. Thật vậy, giả sử : supinf ( , ) . xC yD L x y Khi ấy tồn tại dãy n yD sao cho inf ( , ) n xC L x y khi ,n tức là với mọi xC ta có ( , ) . n L x y Suy ra với mọi xC ta có sup ( , ) . yD L x y Suy ra : inf sup ( , ) xC yD L x y hay . Nhƣ vậy coi . Lấy số thực tuỳ ý và với mỗi yD cố định, kí hiệu ( ): | ( , ) .C y x C L x y Đầu tiên chúng ta chứng minh với bất kì đoạn ,a b D điều kiện sau đây đƣợc thoả mãn: ( ) . y Cy (1.3) Ta luôn luôn có thể giả thiết rằng * ,.y a b Bởi vì * inf ( , ) supinf ( , ): x C x C yD L x y L x y nên tồn tại xC thoả mãn * ( , )L x y và theo tính liên tục của hàm ( , )L x y theo biến ,y tồn tại ,uv sao cho * u y v và ( , )L x y với mọi ,.y u v Hơn nữa, đặt : sup , | ( ) . u z y s y u b C z (1.4) 9 Do ( , )L x z với mọi u z v nên ( ): : ( , )C z x C L x z chứa x với mọi u z v nên () u z v x C z hay ( ) , u z v Cz tức là , | ( ) . u z y v y u b C z Mà : sup , | ( ) u z y s y u b C z nên ta có .sv Theo định nghĩa của ,s tồn tại dãy k ysZ sao cho : ( ) . k k u y y C C y Theo giả thiết (iii), ** ( ): : ( , )C y x C L x y là compact. Thật vậy, theo tính liên tục của hàm * ( ): ( , )x L x y tập mức ** ( ): : ( , )C y x C L x y là tập đóng vì nếu * () n x C y thì ( ) . n x Nếu n xx thì * ()x C y do ( ) lim ( ) n n xx xx . Hơn nữa, ** ( ): : ( , )C y x C L x y là bị chặn. Thật vậy, nếu * ()Cy không bị chặn thì tồn tại * ( ), n x C y tức là * ( , ) n L x y mà . n x Nhƣng theo giả thiết (iii) ta có * ( , ) .L x y Vô lí. Chứng tỏ * ()Cy là bị chặn hay * ()Cy compact. Do đó : ( ) . k k u y y C C y ( 1,2, )k tạo thành dãy các tập con đóng khác rỗng lồng nhau của tập hợp compact * ( ).Cy Vì vậy, theo định lí về giao của các tập compact lồng nhau, tồn tại 0 1 , k k xC nghĩa là thoả mãn 0 ( , ) ;L x y ,.y u s Bởi vì 0 ( , ) k L x y với mọi ,k cho ,k theo tính liên tục của hàm 0 ( , )L x y theo y ta đƣợc 0 ( , ) .L x s Do đó 0 ( , )L x y với mọi ,.y u s Ta khẳng định rằng .sb Thật vậy, giả sử sb thì do 0 ( , )L x s nên 0 ( , ) .L x s Thật vậy, nếu 0 ( , )L x s thì theo tính liên tục của hàm 0 ( , )L x s tồn tại qs thoả mãn 0 ( , )L x y với mọi ,.y s q Điều này trái với (1.4). Vì vậy, nếu sb thì ta phải có 0 ( , ) .L x s 10 Hơn nữa, bất kì hình cầu W tâm 0 x ta không thể có min ( , ). x C W L x s Thật vậy, nếu tồn tại hình cầu 0 ( , )W x r mà 0 ( , ) min ( , ) x C W x r L x s thì theo giả thiết (ii) (cực tiểu địa phƣơng là cực tiểu toàn cục) kéo theo min ( , ), xC L x s nhƣng theo chứng minh trên ta đã có 0 ( , ).L x s Suy ra 0 ( , ) min ( , ), xC L x s L x s Điều này trái với : supinf ( , ) inf ( , ). x C x C yD L x y L x s Do đó tồn tại k xC sao cho 0k xx và ( , ) . k L x s Nếu với một ,y s b nào đó và một k nào đó ta có ( , ) , k L x y thì do ( , ) k L x s nên từ giả thiết (i) kéo theo ( , ) k L x z với mọi ,.z u s Hơn nữa, vì ( , ) k L x s và ( , ) , k L x y nên theo tính liên tục của ( , ) k L x y theo y tồn tại s q y sao cho ( , ) k L x q với mọi ,.y s q Mâu thuẫn với (1.4). Vì vậy, ( , ) k L x y với mọi ,k và với mọi ,.y s b Cho 0k xx theo tính liên tục của ( , )L x y theo ,x ta có 0 ( , ) ,L x y với mọi ,.y s b Điều này chứng minh sb và do đó ( ) ; u y b Cy (1.5) Tƣơng tự, đặt inf , | ( ) . a z v t y a v C z Ta có thể chứng tỏ ,ta nghĩa là ( ) , a y b Cy từ đó (1.3) đƣợc chứng minh. Nhƣ đã chứng minh ở trên, theo giả thiết (iii), tập hợp * ()Cy là compact. Bởi vì mọi tập hợp hữu hạn ED phải chứa trong một đoạn ∆ nào đó nên suy ra từ (1.3) rằng họ * ( ) ( ),C y C y ,yD có tính chất giao hữu hạn. Do đó, tồn tại xC thoả mãn ( , )L x y với mọi .yD Lấy 1 k 1,2, ;k ta thấy rằng, với mỗi 1,2, k tồn tại k xC thoả mãn 1 ( , ) k L x y k với [...]... kiện (2.7) là điều kiện cần và đủ để x H là nghiệm tối ƣu của bài toán (QPB) (iii) Nếu giả thiết (T) là thoả mãn thì kết luận suy ra từ Định lý 1.1.1 trong đó C H và D ¡ cho bài toán (QPB) Nếu thêm vào giả thiết (T), bài toán đối ngẫu có nghiệm tối ƣu y D thì x H là nghiệm của bài toán ban đầu nếu và chỉ nếu nó là nghiệm của bài toán tối ƣu lồi min L( x, y ), do đó nếu và chỉ nếu nó thoả mãn (2.8)... có thể phát biểu S -Bổ đề suy rộng, mà thực chất nó vẫn còn đúng với mọi hàm nửa liên tục dƣới bất kì, không đòi hỏi f ( x) và g ( x ) là hàm toàn phƣơng 1.2.2 S -Bổ đề suy rộng Định lý 1.2.2 (S -Bổ đề suy rộng, [12]) Giả sử f ( x) và g ( x ) là những hàm toàn phƣơng trên ¡ n , W là tập hợp con đóng của ¡ n , D là tập hợp con đóng của ¡ và L( x, y ) f ( x) yg ( x) với y ¡ Giả thiết 20 và các điều kiện... và bài toán tối ƣu toàn phƣơng với nhiều hạn chế Ta đặc biệt nghiên cứu về bài toán tối ƣu toàn phƣơng không lồi 2.1 BÀI TOÁN TỐI ƢU TOÀN PHƢƠNG VỚI MỘT HẠN CHẾ Giả sử H là đa tạp affine trên ¡ trên ¡ n n và f ( x), g ( x ) là những hàm toàn phƣơng xác định bởi f ( x) : Ở đó Q i , i 1 2 x, Q 0 x c 0 , x , g ( x) 1 2 x, Q1 x c1 , x d1 (2.1) ¡ n , d1 ¡ i 0,1 là ma trận đối xứng cấp n n và c Xét bài toán. .. trong đó f ( x) và g ( x ) là các hàm toàn phƣơng trong ¡ n Vì L( x, y ) f ( x) yg ( x) là tuyến tính theo y nên nó cũng là hàm lõm theo y và điều kiện (i) trong Định lý 1.1.1 là hiển nhiên Dƣới đây chúng ta sẽ xét các trƣờng hợp, khi điều kiện (ii) và (iii) đƣợc thoả mãn 1.2 GIỚI THIỆU S-BỔ ĐỀ VÀ S-BỔ ĐỀ SUY RỘNG 1.2.1 S -Bổ đề Bổ đề 1.2.1 (Lemma 1, [12]) Giả sử F ( x) : ¡ H ¡ n n ¡ là hàm toàn phƣơng,... hàm toàn phƣơng thuần nhất Định lý 1.2.2 vẫn đúng nếu H là hình nón chính qui, W ¡ n , trong khi đó f ( x), g ( x ) là những hàm toàn phƣơng thuần nhất Thật vậy, với H K ( K ), W ¡ n từ đẳng thức (1.12) suy ra inf sup L( x, y) supinf L( x, y) x K x K y D y D 25 CHƢƠNG 2 BÀI TOÁN TỐI ƢU TOÀN PHƢƠNG Chƣơng 2 trình bày bài toán tối ƣu toàn phƣơng bao gồm các bài toán tối ƣu toàn phƣơng với một hạn chế và. .. tách a và G bởi nửa không gian, điều này chứng minh tính lồi của tập hợp G 35 2.2 BÀI TOÁN TỐI ƢU TOÀN PHƢƠNG VỚI NHIỀU HẠN CHẾ Trong mục này ta xét bài toán tối ƣu toàn phƣơng với nhiều ràng buộc bất đẳng thức toàn phƣơng Trƣớc tiên ta xét bài toán tối ƣu toàn phƣơng với hai ràng buộc bất đẳng thức toàn phƣơng (QP2) min f ( x) | x H , g1 ( x) 0, g 2 ( x) 0 , Ở đó H là đa tạp affine trong ¡ n và f ,... một hệ quả, bài toán cực tiểu toàn phƣơng trên elipxoit dạng r2, x ¡ min f ( x) | Qx, x n (2.10) Với Q 0 (xác định dƣơng) có thể giải hiệu quả bằng cách giải bài toán SDP với đối ngẫu của nó Điều này trái với bài toán cực tiểu hàm toàn phƣơng với hạn chế tuyến tính, mà ta đã biết là bài toán NP-khó Chú ý 2.1.2 (Remark 4, [12]) Nhƣ là một ví dụ đơn giản minh họa cho điều kiện (T), ta xét bài toán min... quan trọng của bài toán (QPA) thoả mãn điều kiện (S) là bài toán miền tin cậy (trust region subproblem-TRS), mà nó là bài toán qui hoạch phi tuyến: min 1 2 x, Qx c, x | x, x r2 (TRS) Đặc biệt hóa cho bài toán (TRS), từ hệ quả 2.1.2 ta có kết quả sau đây Hệ quả 2.1.3 (Corollary 5, [12]) Điều kiện cần và đủ để x là nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán (TRS) là tồn tại y Q yI Qx yx x ¡ thoả mãn 0 (2.18)... y) x H x H y ¡ (2.6) 27 Điểm x H là nghiệm tối ưu của (QPB) nếu và chỉ nếu thoả mãn f (x ) 0 với mọi u H , g ( x ) 0 y g ( x ), u (2.7) (iii) Nếu giả thiết (T) là thoả mãn thì (2.3) thoả mãn, khi đó supremum có thể lấy trên y D với L(., y ) là lồi trên H Ngoài ra, nếu bài toán đối ngẫu có nghiệm tối ưu y D thì x H là nghiệm tối ưu của bài toán ban đầu nếu và chỉ nếu f (x ) y g ( x ), u 0 với mọi u... đa tạp affine trong ¡ n và f , g1 , g 2 là những hàm toàn phƣơng trên ¡ n Có những ví dụ đã biết chứng tỏ rằng S -Bổ đề suy rộng không đúng cho bài toán (QP2) Do đó đối ngẫu mạnh trong bài toán tối ƣu với nhiều hạn chế chỉ đúng với những điều kiện khá ngặt nghèo Định lý 2.2.1 (Theorem 4, [12]) Giả sử những giả thiết sau đây được thỏa mãn trong bài toán (QP2): (i) Tồn tại x* H thoả mãn g 2 ( x* ) 0; . S-BỔ ĐỀ SUY RỘNG 7 1.1 Định lí Minimax 7 1.2 Giới thiệu S -Bổ đề và S -Bổ đề suy rộng 14 1.2.1 S -Bổ đề 14 1.2.2 S -Bổ đề suy rộng 19 CHƢƠNG 2 BÀI TOÁN TỐI ƢU TOÀN PHƢƠNG 25 2.1 Bài toán. văn cao học với đề tài S -Bổ đề và Bài toán tối ưu toàn phương [1] và [2] đã đƣợc bảo vệ. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu và trình bày S -Bổ đề suy rộng và bài toán tối ƣu toàn phƣơng, từ. bổ sung và nâng cao kiến thức đã học trong chƣơng trình đại học và cao học, đồng thời sử dụng các kiến thức về tối ƣu trong giảng dạy, tôi chọn đề tài S -Bổ đề suy rộng và Bài toán tối ưu toàn