Đề thi mẫu THPT quốc gia môn toán năm 2015 Trường THPT Thanh Chương 3

SỞGD&ĐTNGHỆAN TRƯỜNGTHPTTHANHCHƯƠNGIII ĐỀTHITHỬTHPTQUỐCGIANĂM2015 Môn :TOÁN Thờigianlàmbài:180phút,khôngkểth ờigiangiaođề Câu 1( 2,0 điểm). Chohàmsố 3 3 1y x mx = - + + (1). a) Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthịcủahàmsố(1)khi 1m = . b) Tìm m đểđồthịcủahàmsố(1)có2điểmcựctrị ,A B saochotamgiác OAB vuôngtại O (với O làgốctọađộ). Câu2(1,0điểm). Giảiphươngtrình sin 2 1 6sin cos 2x x x + = + . Câu3(1,0điểm). Tínhtíchphân 2 3 2 1 2lnx x I dx x - = ò . Câu4(1,0điểm). a) Giảiphươngtrình 2 1 5 6.5 1 0 x x + - + = . b) Mộttổcó5họcsinhnamvà6họcsinhnữ.Giáoviênchọnngẫunhiên3họcsinhđểlàm trựcnhật.Tínhxácsuấtđể 3họcsinhđượcchọncócảnamvànữ. Câu5(1,0điểm). Trongkhông gianvớihệtoạđộ Oxyz ,chođiểm ( ) 4;1;3A - vàđường thẳng 1 1 3 : 2 1 3 x y z d + - + = = - .Viếtphươngtrìnhmặtphẳng ( )P điqua Avàvuônggócvới đườngthẳng d.Tìmtọađộđiểm B thuộc dsaocho 27AB = . Câu6(1,0điểm). Chohìnhchóp .S ABC cótamgiác ABC vuôngtại A , AB AC a = = , I là trung điểmcủa SC ,hìnhchiếuvuông góc của S lênmặt phẳng ( ) ABC là trungđiểm H của BC ,mặtphẳng ( ) SAB tạovớiđáy1góc bằng60 o .Tínhthểtíchkhốichóp .S ABC và tínhkhoảngcáchtừđiểm Iđếnmặtphẳng ( ) SAB theo a . Câu7(1,0điểm). Trongmặtphẳngvớihệtoạđộ Oxy chotamgiác ABC có ( ) 1;4A ,tiếp tuyếntại A củađườngtrònngoạitiếptamgiác ABC cắt BC tại D ,đườngphângiáctrong của · ADB cóphươngtrình 2 0x y - + = ,điểm ( ) 4;1M - thuộccạnh AC .Viếtphươngtrình đườngthẳng AB . Câu 8(1,0điểm). Giảihệphươngtrình 2 2 3 5 4 4 2 1 1 x xy x y y y y x y x ì + + - - = + ï í - - + - = - ï î Câu9(1,0điểm). Cho , ,a b c làcácsốdươngvà 3a b c + + = .Tìmgiátrịlớnnhấtcủabiểu thức: 3 3 3 bc ca ab a bc b ca c ab P + + + + + = CảmơnthầyNguyễnThànhHiển (https://www.facebook.com/HIEN.0905112810)đãgửitới www.la isac.page.tl 57 ĐÁPÁN Câu Nộidung Điểm 1 a.(1,0điểm) Vơím=1hàmsốtrởthành: 3 3 1y x x = - + + TXĐ: D R = 2 ' 3 3y x = - + , ' 0 1y x = Û = ± 0.25 Hàmsốnghịchbiếntrêncáckhoảng ( ) ; 1 -¥ - và ( ) 1;+¥ ,đồngbiếntrênkhoảng ( ) 1;1 - Hàmsốđạtcựcđại tại 1x = , 3 CD y = ,đạtcựctiểutại 1x = - , 1 CT y = - lim x y ®+¥ = -¥ , lim x y ®-¥ = +¥ 0.25 *Bảngbiếnthiên x – ¥ 1 1 + ¥ y’ + 0 – 0+ y +¥ 3 1 ¥ 0.25 Đồthị: 4 2 2 4 0.25 b.(1,0điểm) ( ) 2 2 ' 3 3 3y x m x m = - + = - - ( ) 2 ' 0 0 *y x m = Û - = 0.25 Đồthịhàmsố(1)có2điểmcựctrị Û PT(*)có2nghiệmphânbiệt ( ) 0 **m Û > 0.25 Khiđó2điểmcựctrị ( ) ;1 2A m m m - - , ( ) ;1 2B m m m + 0.25 TamgiácOABvuôngtạiO . 0OA OB Û = uuur uuur 3 1 4 1 0 2 m m m Û + - = Û = (TM(**)) 0,25 Vậy 1 2 m = 2. (1,0điểm) sin 2 1 6sin cos2x x x + = + Û (sin 2 6sin ) (1 cos 2 ) 0x x x - + - = 0.25 Û ( ) 2 2sin cos 3 2sin 0x x x - + = Û ( ) 2sin cos 3 sin 0x x x - + = 0.25 sin 0 sin cos 3( ) x x x Vn = é Û ê + = ë 0.25 Û x k p = .VậynghiệmcủaPTlà ,x k k Z p = Î 0.25 3 (1,0điểm) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ln ln 3 ln 2 2 2 2 2 x x x x I xdx dx dx dx x x x = - = - = - ò ò ò ò 0.25 Tính 2 2 1 ln x J dx x = ò Đặt 2 1 ln ,u x dv dx x = = .Khiđó 1 1 ,du dx v x x = = - Dođó 2 2 2 1 1 1 1 lnJ x dx x x = - + ò 0.25 2 1 1 1 1 1 ln 2 ln 2 2 2 2 J x = - - = - + 0.25 Vậy 1 ln 2 2 I = + 0.25 4. (1,0điểm) a,(0,5điểm) 2 1 5 6.5 1 0 x x + - + = 2 5 1 5.5 6.5 1 0 1 5 5 x x x x é = ê Û - + = Û ê = ê ë 0.25 0 1 x x = é Û ê = - ë VậynghiệmcủaPTlà 0x = và 1x = - 0.25 b,(0,5điểm) ( ) 3 11 165n C W = = 0.25 Sốcáchchọn 3họcsinh cócảnamvànữlà 2 1 1 2 5 6 5 6 . . 135C C C C + = Dođó xácsuất để3họcsinhđượcchọncócảnamvànữlà 135 9 165 11 = 0.25 5. (1,0im) ngthngdcúVTCPl ( ) 213 d u = - uur Vỡ ( ) P d ^ nờn ( ) P nhn ( ) 213 d u = - uur lmVTPT 0.25 VyPTmtphng ( ) P l: ( ) ( ) ( ) 2 4 1 1 3 3 0x y z - + + - + - = 2 3 18 0x y z - + + - = 0.25 Vỡ B d ẻ nờn ( ) 1 2 1 3 3B t t t - - + - + 27AB = ( ) ( ) 2 2 2 2 27 3 2 6 3 27AB t t t = - + + - + = 2 7 24 9 0t t - + = 0.25 3 3 7 t t = ộ ờ ờ = ở Vy ( ) 746B - hoc 13 10 12 7 7 7 B ổ ử - - ỗ ữ ố ứ 0.25 6. (1,0im) j C B A S H K M GiKltrungimcaAB HK AB ị ^ (1) Vỡ ( ) SH ABC ^ nờn SH AB ^ (2) T(1)v(2)suyra AB SK ị ^ Doúgúcgia ( ) SAB viỏy bnggúc giaSKvHKvbng ã 60SKH = o Tacú ã 3 tan 2 a SH HK SKH = = 0.25 Vy 3 . 1 1 1 3 . . . . 3 3 2 12 S ABC ABC a V S SH AB AC SH = = = 0.25 Vỡ / /IH SB nờn ( ) / /IH SAB .Doú ( ) ( ) ( ) ( ) , ,d I SAB d H SAB = THk HM SK ^ tiM ( ) HM SAB ị ^ ị ( ) ( ) ,d H SAB HM = 0.25 Tacú 2 2 2 2 1 1 1 16 3HM HK SH a = + = 3 4 a HM ị = .Vy ( ) ( ) 3 , 4 a d I SAB = 0,25 7. (1,0im) K C A DB I M M' E GiAIlphangiỏctrongca ã BAC Tacú: ã ã ã AID ABC BAI = + ã ã ã IAD CAD CAI = + M ã ã BAI CAI = , ã ã ABC CAD = nờn ã ã AID IAD = ị DAI D cõntiD ị DE AI ^ 0,25 PT ngthngAIl: 5 0x y + - = 0,25 GoMlimixngcaMquaAI ị PTngthngMM: 5 0x y - + = Gi 'K AI MM = ầ ị K(05) ị M(49) 0,25 VTCPcangthngABl ( ) ' 35AM = uuuuur ịVTPTca ngthngABl ( ) 5 3n = - r Vy PTngthngABl: ( ) ( ) 5 1 3 4 0x y - - - = 5 3 7 0x y - + = 0,25 8. (1,0im). 2 2 3 5 4(1) 4 2 1 1(2) x xy x y y y y x y x ỡ + + - - = + ù ớ - - + - = - ù ợ k: 2 2 0 4 2 0 1 0 xy x y y y x y ỡ + - - ù - - ớ ù - ợ Tacú(1) ( )( ) 3 1 4( 1) 0x y x y y y - + - + - + = t , 1u x y v y = - = + ( 0, 0u v ) Khiú(1)trthnh: 2 2 3 4 0u uv v + - = 4 ( ) u v u v vn = ộ ờ = - ở 0.25 Viu v = tacú 2 1x y = + ,thayvo(2)tac: 2 4 2 3 1 2y y y y - - + - = ( ) ( ) 2 4 2 3 2 1 1 1 0y y y y - - - - + - - = 0.25 ( ) 2 2 2 2 0 1 1 4 2 3 2 1 y y y y y y - - + = - + - - + - ( ) 2 2 1 2 0 1 1 4 2 3 2 1 y y y y y ổ ử ỗ ữ - + = ỗ ữ - + - - + - ố ứ 0.25 2y = (vỡ 2 2 1 0 1 1 1 4 2 3 2 1 y y y y y + > " - + - - + - ) Vi 2y = thỡ 5x = .ichiuktacnghimcahPTl ( ) 52 0.25 9. (1,0điểm). Vìa+b+c=3tacó 3 ( ) ( )( ) bc bc bc a bc a a b c bc a b a c = = + + + + + + 1 1 2 bc a b a c æ ö £ + ç ÷ + + è ø VìtheoBĐTCôSi: 1 1 2 ( )( ) a b a c a b a c + ³ + + + + ,dấuđẳngthứcxảyra Û b=c 0,25 Tươngtự 1 1 2 3 ca ca b a b c b ca æ ö £ + ç ÷ + + + è ø và 1 1 2 3 ab ab c a c b c ab æ ö £ + ç ÷ + + + è ø 0,25 SuyraP 3 2( ) 2( ) 2( ) 2 2 bc ca ab bc ab ca a b c a b c a b c + + + + + £ + + = = + + + , 0,25 Đẳngthứcxảyrakhivàchỉkhia=b=c=1.VậymaxP= 3 2 khia=b=c=1. 0,25 . = CảmơnthầyNguyễnThànhHiển (https://www.facebook.com/HIEN.0905112810)đãgửitới www.la isac.page.tl 57 ĐÁPÁN Câu Nộidung Điểm 1 a.(1,0điểm) Vơím=1hàmsốtrởthành: 3 3 1y x x = - +. ã ã ã IAD CAD CAI = + M ã ã BAI CAI = , ã ã ABC CAD = nờn ã ã AID IAD = ị DAI D cõntiD ị DE AI ^ 0,25 PT ngthngAIl: 5 0x y + - = 0,25 GoMlimixngcaMquaAI ị PTngthngMM: 5 0x y - + = Gi 'K