Đề thi cao học Viện Toán năm 2012 - Môn thi Đại số và Giải tích

ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐH VIỆN TOÁN HỌC ĐỢT THÁNG 9-2012 www.VNMATH.com MÔN THI: GIẢI TÍCH www.VNMATH.com Câu 1: Chứng minh rằng phương trình x 2011 + n  k=1 (a k cos kx + b k sin kx) = 0 Có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [−π, π], n là một số nguyên dương. Câu 2: Tìm cực trị của hàm số: f (x, y) = ax + by + c  x 2 + y 2 + 1 Theo a, b, c. Biết rằng c = 0 Câu 3: Xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm ∞  n=1 nx (x + 1) (1 + 2x) (1 + nx) trong miền [0; ε] , ε > 0. Câu 4: Cho (X, d 1 ) , (Y, d 2 ) là các không gian mêtric và A là một tập hợp hoàn toàn bị chặn trong X. Chứng minh rằng nếu ánh xạ f : X → Y liên tục đều trên X thì f (A) là tập hợp bị chặn trong Y . Câu 5: Giả sử A là một toán tử tuyến tính giới nội từ không gian tuyến tính định chuẩn X vào không gian tuyến tính định chuẩn Y và A ∗ là toán tử liên hợp của nó. Chứng minh rằng: 1. Nếu A ∗ là một toàn ánh thì A là một đơn ánh. 2. Nếu A ∗ là một đơn ánh thì A (X) là một tập trù mật trong Y . 3. Câu 6: Giả sử {e n } là một cơ sở trực chuẩn trong không gian Hilbert H. Y là một không gian Banach, A : H → Y là một toán tử tuyến tính giới nội và chuỗi ∞  n=1 Ae n  2 hội tụ. CMR: A là một toán tử compact. 1 ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐH VIỆN TOÁN HỌC ĐỢT THÁNG 9-2012 www.VNMATH.com MÔN THI: ĐẠI SỐ www.VNMATH.com Bài 1: Trong không gian R 3 cho hệ vecto S = {x 1 = (1; k; 5) , x 2 = (2; −1; k) , z = (3; −1; 3)} 1. Xét tính độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của hệ trên theo tham số k. 2. Cho k = 1; Hãy xét xem vecto b = (2; 3; 4) có thuộc không gian con sinh bởi hệ S không? Bài 2: Cho ánh xạ tuyến tính f : X → Y . 1. Chứng minh rằng ảnh của một hệ phụ thuộc tuyến tính thì phụ thuộc tuyến tính. Kết luận tương tự với hệ độc lập tuyến tính có đúng không? Giải thích? 2. Nếu X và Y là những không gian vecto có cùng số chiều hữu hạn thì f là đơn cấu khi và chỉ khi nó là toàn cấu. Bài 3: Cho X là một nhóm xyclic hữu hạn cấp n 1. Chứng minh rằng mọi nhóm con của X đều là xyclic. 2. Chứng minh rằng X đẳng cấu với nhóm cộng Z n . Bài 4: Xét tập: X =  a + b √ −3|a, b ∈ Z  . 1. Chứng tỏ rằng X là miền nguyên với các phép cộng và nhân thông thường. 2. Chứng tỏ rằng 1 + √ −3; 1 − √ −3, 2 là những phần tử bất khả quy của X. Từ đó suy ra X không là vành chính. Bài 5: Xét vành đa thức Q [x] với Q là trường số hữu tỷ. 1. Chứng minh rằng các đa thức bậc 3 trong Q[x] là bất khả quy khi và chỉ khi chúng không có nghiệm thuộc Q. 2. Xét tính bất khả quy của các đa thức sau trong Q [x]: f (x) = 2x 3 + 3x 2 + 5x + 2; g (x) = x 4 − x 3 + 2x + 1. 2 . là một toán tử tuyến tính giới nội và chuỗi ∞  n=1 Ae n  2 hội tụ. CMR: A là một toán tử compact. 1 ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐH VIỆN TOÁN HỌC ĐỢT THÁNG 9 -2 012 www.VNMATH.com MÔN THI: ĐẠI SỐ www.VNMATH.com Bài. ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐH VIỆN TOÁN HỌC ĐỢT THÁNG 9 -2 012 www.VNMATH.com MÔN THI: GIẢI TÍCH www.VNMATH.com Câu 1: Chứng minh rằng phương trình x 2011 + n  k=1 (a k cos. luận tương tự với hệ độc lập tuyến tính có đúng không? Giải thích? 2. Nếu X và Y là những không gian vecto có cùng số chiều hữu hạn thì f là đơn cấu khi và chỉ khi nó là toàn cấu. Bài 3: Cho X là một