Bổ đề S và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ——————  —————— HÀ THỊ DUYÊN BỔ ĐỀ S VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Hà Nội-2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ——————  —————— HÀ THỊ DUYÊN BỔ ĐỀ S VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Năng Tâm Hà Nội-2013 LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Năng Tâm, người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn tác giả trong quá trình thực hiện luận văn. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành Ban giám hiệu trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên và tạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này. Hà Nội, tháng 07 năm 2013 Tác giả Hà Thị Duyên LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm. Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 07 năm 2013 Tác giả Hà Thị Duyên v Mục lục Bảng kí hiệu và viết tắt vii Mở đầu ix Nội dung 1 1 Kiến thức chuẩn bị 1 1.1 Không gian véc tơ Ơclit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Không gian các ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Tập lồi và hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.1 Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.2 Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Bài toán tối ưu và hàm Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5 Kết luận chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Bổ đề S 10 2.1 Bổ đề S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Một số chứng minh khác nhau của bổ đề S . . . . . . . . . 13 2.2.1 Phương pháp cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.2 Phương pháp hiện đại . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.3 Phương pháp chứng minh thứ ba . . . . . . . . . . 23 2.3 Một số trường hợp đặc biệt và phản ví dụ . . . . . . . . . 26 2.3.1 Một số trường hợp đặc biệt . . . . . . . . . . . . . 26 vi 2.3.2 Một số kết quả tổng quát . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4 Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3 Một số định lý luân phiên và ứng dụng của bổ đề S 35 3.1 Phân tích ổn định hệ động lực . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2 Hệ của hai bất đẳng thức toàn phương . . . . . . . . . . . 37 3.2.1 Hệ toàn phương thuần nhất . . . . . . . . . . . . . 38 3.2.2 Hệ không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2.3 Điều kiện cần và đủ của tối ưu toàn cục . . . . . . 49 3.3 Hệ của ba bất đẳng thức toàn phương . . . . . . . . . . . 52 3.3.1 Hệ toàn phương thuần nhất . . . . . . . . . . . . . 52 3.3.2 Hệ không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.3.3 Điều kiện tối ưu đối với bài toán miền tin cậy . . . 65 3.4 Hệ của hữu hạn bất đẳng thức toàn phương. . . . . . . . 69 3.4.1 Điều kiện tối ưu cho quy hoạch toàn phương tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.4.2 Ứng dụng vào bài toán CDT . . . . . . . . . . . . . 74 3.5 Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Kết luận 79 Tài liệu tham khảo 80 vii Bảng kí hiệu và viết tắt R : Tập hợp các số thực. R n : Không gian Euclide n chiều. R n + : Tập hợp tất cả các véc tơ không âm của R n . intR n + : Phần trong của R n + . Y ⊂ X : Y là tập con của X. dim(V ) : Số chiều của không gian V . x, y : Tích vô hướng của hai véc tơ x, y. domf : Miền xác định hữu hiệu của f. epif : Đồ thị của hàm f. sup : Cận trên đúng. inf : Cận dưới đúng. L α f : Tập mức dưới của f. L (x, λ 1 , , λ m ) : Hàm Lagrange. |λ| : Giá trị tuyệt đối của số thực λ. x : Chuẩn của phần tử x. R n×n : Tập các ma trận cấp n ×n. viii S n : Không gian các ma trận đối xứng cấp n ×n. S n + : Tập hợp các ma trận đối xứng nửa xác định dương cấp n × n. I n : Ma trận đồng nhất cấp n × n. P  0 : P là ma trận đối xứng xác định dương. P 0 : P là ma trận đối xứng nửa xác định dương. T rA : Vết của ma trận A. A ∗ B : Vết của ma trận tích AB. rankA : Hạng của ma trận A. x = (x 1 , x 2 , , x n ) : Véc tơ trong không gian R n . x = (x 1 , x 2 , , x n ) ≥ 0 : Các số x i ≥ 0, i = 1, , n. u 2:n : Kí hiệu cho véc tơ (u 2 , , u n ) T . max : Giá trị lớn nhất. min : Giá trị nhỏ nhất. ix Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Bổ đề S được Yakubovich đưa ra trong [6], là một kết quả nổi tiếng của lý thuyết điều khiển, cho ta một điều kiện tương đương với tính không âm của một hàm toàn phương bất kì f (x) trên một miền D xác định bởi một bất phương trình toàn phương tùy ý g (x) ≤ 0 khi điều kiện Slater (tồn tại x 0 để g  x 0  < 0) được thỏa mãn. Cụ thể là: Cho f, g : R n → R là hai hàm toàn phương. Khi đó, nếu tồn tại x 0 ∈ R n sao cho g  x 0  < 0 thì [g (x) ≤ 0 ⇒ f (x) ≥ 0] ⇔ [∃µ ≥ 0, ∀x ∈ R n : f (x) + µg (x) ≥ 0] . Bổ đề S được xem như một khái quát hóa những kết quả trước đó của Hestenes - McShane và Dines [3]. Sau đó Megretsky - Treil mở rộng kết quả cho không gian vô hạn chiều. Bổ đề S có những hệ quả hiệu lực đáng ngạc nhiên trong tối ưu hóa thô (robust optimization) và trong lý thuyết điều khiển, vì nó cho phép thay thế những bài toán tối ưu không lồi cụ thể bằng những bài toán lồi giải được với thời gian đa thức [7]. Về lịch sử và những ứng dụng của Bổ đề S có thể tìm thấy trong bản tổng quan tuyệt vời của Polik - Terlaky [5]. Bổ đề S được chứng minh lần đầu tiên vào năm 1971. Từ đó đến nay, Bổ đề S đã được chứng minh và mở rộng theo nhiều cách khác nhau. Cùng với thời gian, Bổ đề S ngày càng tỏ ra là một công cụ hiệu quả, được sử dụng rộng rãi trong lý thuyết điều khiển, đặc biệt trong phân tích ổn x định những hệ phi tuyến. Bổ đề S cũng có những ứng dụng quan trọng trong Quy hoạch toàn phương. Chính vì thế, Bổ đề S luôn giữ được sự quan tâm trong dạng phát biểu đẹp và đơn giản của nó. Nhiều tác giả trong và ngoài nước đã quan tâm nghiên cứu những khía cạnh khác nhau của Bổ đề S (xem [5], [6] và những tài liệu dẫn trong đó). Sau khi được học những kiến thức về Toán giải tích, với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học, mối quan hệ và ứng dụng của chúng, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu: " Bổ đề S và ứng dụng". Luận văn bao gồm ba chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương 2: Bổ đề S. Chương 3: Một số định lý luân phiên và ứng dụng của bổ đề S. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu về Bổ đề S và những ứng dụng của nó. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu Bổ đề S cùng một số ứng dụng của nó vào lý thuyết tối ưu. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu + Đối tượng: Bổ đề S và ứng dụng vào nghiên cứu điều kiện tối ưu. + Phạm vi: Trong không gian Ơclit. [...]... Hiện nay, bổ đề S vẫn được rất nhiều nhà toán học say mê nghiên cứu Chương này trình bày bổ đề S và các cách chứng minh bổ đề S: như phương pháp cổ điển, hiện đại, và phương pháp chứng minh cơ bản Sau đó đưa ra một s kết quả đặc biệt và phản ví dụ Và cuối cùng ta s phát biểu về bổ đề S tổng quát Các kết quả này được lấy từ [3], [5], [6] 2.1 Bổ đề S Đầu tiên chúng ta s trình bày Bổ đề Farkas, một định... Sau đây chúng ta s đi chứng minh bổ đề S 2.2 Một s chứng minh khác nhau của bổ đề S Trong mục này, chúng ta trình bày ba cách chứng minh cho bổ đề S Chúng ta bắt đầu với chứng minh nguyên bản của Yakubovich, sau đó 14 chúng ta trình bày một chứng minh hiện đại, và kết luận với một chứng minh giải tích cơ bản 2.2.1 Phương pháp cổ điển Yakubovich s dụng kết quả của tính lồi sau đây để chứng minh bổ. .. Rm , trong đó bộ s λ = (λ1 , , λm ) gọi là các nhân tử + Lagrange 1.5 Kết luận chương 1 Trong chương này ta đã trình bày định nghĩa, một s tính chất cơ bản của không gian véc tơ Ơclit, không gian các ma trận, tập lồi và hàm lồi, bài toán tối ưu và hàm Lagrange Chương tiếp theo ta s trình bày về bổ đề S, các cách chứng minh bổ đề S 10 Chương 2 Bổ đề S Bổ đề S là một đề tài hay và có nhiều mối liên... = 0 và t = 1, ta có thể tìm được một giá trị ϕt ∈ 0, sao 2 2 cho t (ϕt ) = t S dụng ϕt này ta có r và từ (2.5) ta có véctơ xt Như vậy ta đã chứng minh xong bổ đề của Dines Yakubovich đã s dụng kết quả này để chứng minh Định lý 2.1.1 Chứng minh Định lý 2.1.1 (Bổ đề S) Giả s có (ii), nếu (i) là có nghiệm thì dẫn đến mâu thuẫn Vậy (ii) ⇒ (i) Mặt khác, chúng ta giả thiết đã có (i) và cố gắng chứng... Thay xt vào (2.5) ta có (2.5) 15 r2 f (xa cosϕ + xb sin ϕ) = (1 − t) af + tbf r2 g (xa cosϕ + xb sin ϕ) = (1 − t) ag + tbg Khử bỏ r2 từ những đẳng thức này và biểu thị t dưới dạng một hàm của ϕ ta có: t (ϕ) = ag f (xa cosϕ + xb sin ϕ) − af g (xa cosϕ + xb sin ϕ) (ag − bg ) f (xa cosϕ + xb sin ϕ) − (af − bf ) g (xa cosϕ + xb sin ϕ) Ở đây mẫu s của t (ϕ) là một hàm toàn phương của cosϕ và sin ϕ... (ϕ) là M (cosϕ, sin ϕ) = λcos2 ϕ + µsin2 ϕ + 2δcosϕ sin ϕ π Tính M (0) , M ± và s dụng công thức bf ag − af bg = p2 > 0 ta có 2 λ = µ = p2 suy ra M (cosϕ, sin ϕ) = p2 + δ sin(2ϕ) π Nếu δ ≥ 0 thì M (cos ϕ, sin ϕ) > 0 với mỗi ϕ ∈ − , 0 2 π Tương tự nếu δ ≤ 0 thì M (cos ϕ, sin ϕ) > 0 với mỗi ϕ ∈ − , 0 2 Không mất tính tổng quát, ta giả thiết rằng t (ϕ) được xác định trên toàn π π đoạn ϕ ∈ 0, và liên tục... những tài liệu liên quan đến đề tài, s dụng các phương pháp nghiên cứu của giải tích hàm 6 Giả thuyết khoa học + Nghiên cứu và làm rõ được Bổ đề S + Tổng hợp, hệ thống một s kết quả đã được các nhà khoa học nghiên cứu và công bố về Bổ đề S và ứng dụng 1 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày những kiến thức cơ bản, được áp dụng cho chương sau nên các kết quả không chứng minh Các kết quả này... kiện Slater được thỏa mãn, vì vậy ta có thể áp dụng dạng thuần nhất đã được chứng minh của định lý Khi đó tồn tại một λ ≥ 0 sao cho: f (x, ξ) + λg (x, ξ) ≥ 0, (x, ξ) ∈ Rn+1 Và với ξ = 1 ta có (ii) Định lý đã được chứng minh Các bài toán tương tự với Mệnh đề 2.2.1 được nghiên cứu bởi Hausdorff và Toeplitz ở một trường hợp tổng quát hơn và nếu tăng s hàm trong bổ đề S thì bổ đề S có đúng không? Mệnh đề. .. ) lồi thì bổ đề S là đúng 2.2.2 Phương pháp hiện đại Sau đây chúng ta s đi chứng minh bổ đề S bằng phương pháp ma trận tuyến tính Bổ đề 2.2.1 ([5]) Giả s H, Z ∈ Rn×n là các ma trận đối xứng cấp n, Z là ma trận nửa xác định dương hạng l Khi đó H ∗ Z ≤ 0 (H ∗ Z = 0) khi và chỉ khi có z 1 , , z l ∈ Rn sao cho: l Z= T T T T z i z i và H ∗ z i z i = z i Hz i ≤ 0 z i Hz i = 0 ∀i = 1, , l i=1 Chứng minh... và trong phần này nó là chứng minh cơ bản nhất trong s các chứng minh được trình bày trong mục này Trước hết ta đi chứng minh bổ đề sau Bổ đề 2.2.3 Cho Q, P ∈ Rn×n là hai ma trận đối xứng và giả s H, K ∈ Rn là các tập hợp đóng sao cho H ∪ K ⊆ Rn Nếu xT Qx ≥ 0, ∀x ∈ H T x P x ≥ 0, ∀x ∈ K (2.15) thì có một γ ∈ [0, 1] sao cho γQ + (1 − γ) P là nửa xác định dương Chứng minh Bổ đề là tầm thường nếu một . về Bổ đề S và những ứng dụng của nó. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu Bổ đề S cùng một s ứng dụng của nó vào lý thuyết tối ưu. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu + Đối tượng: Bổ đề S và ứng dụng. những ứng dụng của Bổ đề S có thể tìm thấy trong bản tổng quan tuyệt vời của Polik - Terlaky [5]. Bổ đề S được chứng minh lần đầu tiên vào năm 1971. Từ đó đến nay, Bổ đề S đã được chứng minh và. cứu: " Bổ đề S và ứng dụng& quot;. Luận văn bao gồm ba chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương 2: Bổ đề S. Chương 3: Một s định lý luân phiên và ứng dụng của bổ đề S. 2. Mục đích nghiên