Bổ đề S và ứng dụng

Tác giá xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành Ban giám hi¾u trưòng Đaihoc sư pham Hà N®i 2, phòng Sau đai hoc, các thay cô giáo trong nhàtrưòng và các thay cô giáo day cao hoc chuyên ngành

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

LU¾N VĂN THAC SY TOÁN HOC

Ngưài hưáng dan khoa hoc: PGS.TS Nguyen Năng

Tâm

LèI CÁM ƠN

Lu¾n văn đưoc hoàn thành tai trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i 2 dưói

sn hưóng dan cna PGS.TS Nguyen Năng Tâm

Tác giá xin bày tó lòng biet ơn chân thành, sâu sac tói PGS.TSNguyen Năng Tâm, ngưòi đã luôn quan tâm, đ®ng viên và t¾n tìnhhưóng dan tác giá trong quá trình thnc hi¾n lu¾n văn

Tác giá xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành Ban giám hi¾u trưòng Đaihoc sư pham Hà N®i 2, phòng Sau đai hoc, các thay cô giáo trong nhàtrưòng và các thay cô giáo day cao hoc chuyên ngành Toán giái tích đãtao đieu ki¾n thu¾n loi trong quá trình tác giá hoc t¾p và nghiên cúu.Tác giá xin bày tó lòng biet ơn tói gia đình, ngưòi thân đã đ®ng viên

và tao moi đieu ki¾n đe tác giá có the hoàn thành bán lu¾n văn này

Hà N®i, tháng 07 năm 2013

Tác giá

Hà Th% Duyên

LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Lu¾n văn là công trình nghiên cúu cna riêng tôi dưói sn hưóng dan trnc tiep cna PGS.TS Nguyen Năng Tâm

Trong quá trình nghiên cúu, tôi đã ke thùa thành quá khoa hoc cna các nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn

Hà N®i, tháng 07 năm 2013

Tác giá

Hà Th% Duyên

Mnc lnc

Báng kí hi¾u v à viet tat vii

Má

1 Kien th N c chuan b% 1

1.1

Không gian v éc tơ Ơclit 1

1.2 Không gian các ma tr¾n 2

1.3 T ¾p loi v à hàm loi 5

1.3.1 T ¾p loi 5

1.3.2 Hàm loi 6

1.4 Bài toán toi ưu và hàm Lagrange 7

1.5 Ket lu¾n chương 1 9

2 Bo đe S 10 2.1 Bo đe S 10

2.2 M®t so c húng minh khác nhau c na b o đe S 13

2.2.1 Phương pháp co đien 14

2.2.2 Phương pháp hi¾n đai 18

2.2.3 Phương pháp chúng minh thú ba 23

2.3 M®t so trưòng hop đ¾c bi¾t và phán ví du 26

2.3.1 M®t so trưòng hop đ¾c bi¾t 26

5

2.3.2 M®t so ket quá tong quát 27

2.4 Ket lu¾n c hương 2 34

3 M®t so đ%nh lý luân phiên v à N ng dnng cúa bo đe S 35 3.1 Phân tích on đ%nh h¾ đ®ng lnc 35

3.2 H¾ cna hai bat đang thúc toàn phương 37

3.2.1 H¾ toàn phương thuan nhat 38

3.2.2 H¾ không thuan nhat 43

3.2.3 Đieu ki¾n can và đn cna toi ưu toàn cuc 49

3.3 H¾ cna ba bat đang thúc toàn phương 52

3.3.1 H¾ toàn phương thuan nhat 52

3.3.2 H¾ không thuan nhat 62

3.3.3 Đieu ki¾n toi ưu đoi v ói bài toán mien tin c¾ y 65

3.4 H¾ cna huu han bat đang thúc toàn phương 69

3.4.1 Đieu ki¾n toi ưu c ho quy h o ach toàn phương tong quát 73

3.4.2 Úng dung vào bài toán CDT 74

3.5 Ket lu¾n c hương 3 78

Tài

6

Báng kí hi¾u và viet tat

R : T¾p hop các so thnc

Rn : Không gian Euclide n chieu.

+ : T¾p hop tat cá các véc tơ không âm cna Rn.intRn : Phan trong cna Rn

Y ⊂ X : Y là t¾p con cna X.

dim(V ) : So chieu cna không gian V (x, y) : Tích vô hưóng cna hai véc tơ x,

y domf : Mien xác đ%nh huu

hi¾u cna f epif : Đo th% cna hàm f.

sup : C¾n trên đúng.

inf : C¾n dưói đúng.

Lα f : T¾p múc dưói cna f

L (x, λ1, , λ m) :Hàm Lagrange

|λ| : Giá tr% tuy¾t đoi cna so thnc λ.

"x" : Chuan cna phan tú x.

S n : Không gian các ma tr¾n đoi xúng cap n × n.

A ∗ B : Vet cna ma tr¾n tích AB.

rankA : Hang cna ma tr¾n A.

x = (x1, x2, , x n) :Véc tơ trong không gian Rn

x = (x1, x2, , x n ) ≥ 0 : Các so x i ≥ 0, i = 1, , n.

u 2:n : Kí hi¾u cho véc tơ (u2, , u n)T

max : Giá tr% lón nhat.

min : Giá tr% nhó nhat

S

n

8

Má đau

1 Lí do chon đe tài

Bo đe S đưoc Yakubovich đưa ra trong [6], là m®t ket quá noitieng cna lý thuyet đieu khien, cho ta m®t đieu ki¾n tương đương vói tính

không âm cna m®t hàm toàn phương bat kì f (x) trên m®t mien D xác đ%nh bói m®t bat phương trình toàn phương tùy ý g (x) ≤ 0 khi đieu ki¾n Slater (ton tai x0 đe g x0 < 0) đưoc thóa mãn Cu the là:

Cho f, g : Rn → R là hai hàm toàn phương Khi đó, neu ton tai x0 ∈

Rn sao cho g x0 < 0 thì

[g (x) ≤ 0 ⇒ f (x) ≥ 0] ⇔ [∃µ ≥ 0, ∀x ∈ R n : f (x) + µg (x) ≥ 0]

Bo đe S đưoc xem như m®t khái quát hóa nhung ket quá trưóc

đó cna Hestenes - McShane và Dines [3] Sau đó Megretsky - Treil mór®ng ket quá cho không gian vô han chieu Bo đe S có nhung h¾ quá hi¾ulnc đáng ngac nhiên trong toi ưu hóa thô (robust optimization) và trong

lý thuyet đieu khien, vì nó cho phép thay the nhung bài toán toi ưu khôngloi cu the bang nhung bài toán loi giái đưoc vói thòi gian đa thúc [7] Vel%ch sú và nhung úng dung cna Bo đe S có the tìm thay trong bán tongquan tuy¾t vòi cna Polik - Terlaky [5]

Bo đe S đưoc chúng minh lan đau tiên vào năm 1971 Tù đó đennay, Bo đe S đã đưoc chúng minh và mó r®ng theo nhieu cách khác nhau.Cùng vói thòi gian, Bo đe S ngày càng tó ra là m®t công cu hi¾u quá, đưoc

sú dung r®ng rãi trong lý thuyet đieu khien, đ¾c bi¾t trong phân tích on

đ%nh nhung h¾ phi tuyen Bo đe S cũng có nhung úng dung quan trongtrong Quy hoach toàn phương Chính vì the, Bo đe S luôn giu đưoc snquan tâm trong dang phát bieu đep và đơn gián cna nó.

Nhieu tác giá trong và ngoài nưóc đã quan tâm nghiên cúu nhungkhía canh khác nhau cna Bo đe S (xem [5], [6] và nhung tài li¾u dan trongđó)

Sau khi đưoc hoc nhung kien thúc ve Toán giái tích, vói mongmuon tìm hieu sâu hơn ve nhung kien thúc đã hoc, moi quan h¾ và úngdung cna chúng, tôi đã chon đe tài nghiên cúu: " Bo đe S và úng dung".Lu¾n văn bao gom ba chương:

Chương 1: Kien thúc chuan b%

Chương 2: Bo đe S

Chương 3: M®t so đ%nh lý luân phiên và úng dung cna bo đe S

2 Mnc đích nghiên cNu

Tìm hieu ve Bo đe S và nhung úng dung cna nó

3 Nhi¾m vn nghiên cNu

toi ưu

Nghiên cúu Bo đe S cùng m®t so úng dung cna nó vào lý thuyet

4 Đoi tưang và pham vi nghiên cNu

ưu

+ Đoi tưong: Bo đe S và úng dung vào nghiên cúu đieu ki¾n toi

+ Pham vi: Trong không gian Ơclit

5 Phương pháp nghiên cNu

Tong hop kien thúc thu th¾p đưoc qua nhung tài li¾u liên quanđen đe tài, sú dung các phương pháp nghiên cúu cna giái tích hàm

6 Giá thuyet khoa hoc

+ Nghiên cúu và làm rõ đưoc Bo đe S

+ Tong hop, h¾ thong m®t so ket quá đã đưoc các nhà khoa hocnghiên cúu và công bo ve Bo đe S và úng dung

Chương 1

Kien thNc chuan b%

Chương này trình bày nhung kien thúc cơ bán, đưoc áp dung chochương sau nên các ket quá không chúng minh Các ket quá này đưoclay tù [2]

1.1 Không gian véc tơ Ơclit

Dưói đây là các đ%nh nghĩa và tính chat ve không gian véc tơ Ơclit vàcác kien thúc có liên quan như tích vô hưóng, góc giua hai véc tơ,

Đ%nh nghĩa 1.1.1 Cho V là không gian véc tơ thnc, tích vô hưóng cna

hai véc tơ x, y là m®t so thnc , ký hi¾u (x, y) thóa mãn các tính chat sau:

Đ%nh nghĩa 1.1.2 (Đ® dài cna m®t véc tơ) Giá sú E là m®t không gian

Ơclit Khi đó chuan hay đ® dài cna m®t véc tơ x ∈ E là đai lưong

Đ%nh nghĩa 1.1.3 (Góc giua hai véc tơ) Giá sú E là m®t không gian

Euclid Vói moi véc tơ x, y ƒ= 0 cna E, ta goi góc giua x và y là góc α

vói 0 ≤ α ≤ π sao cho

Đ%nh nghĩa 1.1.4 Giá sú S1, S2 là hai t¾p hop các véc tơ trong

E Ta goi S1 trnc giao (vuông góc) vói S2 neu (x, y) = 0 vói moi véc tơ x ∈ S1, y ∈ S2

Đ%nh nghĩa 1.2.2 (Ma tr¾n vuông) M®t ma tr¾n vuông A = (a ij ) là

ma tr¾n có so dòng bang so c®t

So dòng cna ma tr¾n vuông goi là cap cna ma tr¾n đó

H¾ các phan tú a ii cna A có cùng chí so dòng và c®t đưoc goi là đưòng chéo chính cna A.

Đ%nh nghĩa 1.2.3 Ma tr¾n vuông I = (a ij ) cap n mà a ij = 1 neu i

= j, và a ij = 0 neu i ƒ= j đưoc goi là ma tr¾n đơn v% cap n.

Sau đây ta chí xét các ma tr¾n có phan tú trong m®t trưòng so thnc

Ta kí hi¾u L(m, n) là t¾p hop tat cá các m × n ma tr¾n.

M¾nh đe 1.2.1 L(m, n) là m®t không gian véctơ vói

dim L(m, n) = mn.

Chúng minh Ta có the coi các m × n ma tr¾n như là các b® gom m × n

phan tú cna R Khi đó L(m, n) chính là không gian véc tơ R mn

Đ%nh nghĩa 1.2.5 Giá sú A = (a ij ) là m®t m × n ma tr¾n và B = (b jk)

là m®t n × p ma tr¾n Ma tr¾n tích AB là m × p ma tr¾n (d ik) vói

d ik = a i1 b 1k + a i2 b 2k + + a in b nk

Phép nhân hai ma tr¾n chí có the thnc hi¾n đưoc khi ma tr¾n thú nhat

có so c®t bang so dòng cna ma tr¾n thú hai

Đ%nh nghĩa 1.2.6 Ma tr¾n nh¾n đưoc tù m®t ma tr¾n A bang vi¾c đoi

các dòng thành các c®t đưoc goi là ma tr¾n chuyen v% cna A, kí hi¾u là

Các tính chat này cho thay ánh xa A → A T là m®t đang cau giua hai

không gian véc tơ L(m, n) và L(n, m).

Đ%nh nghĩa 1.2.7 Cho A là m®t ma tr¾n vuông cap n M®t ma tr¾n

vuông B cap n đưoc goi là ma tr¾n ngh%ch đáo cna A neu

AB = BA = I.

Neu A có ma tr¾n ngh%ch đáo thì A đưoc goi là khá ngh%ch.

Neu A là khá ngh%ch thì A có duy nhat m®t ma tr¾n ngh%ch đáo.

Đ%nh nghĩa 1.2.8 M®t ma tr¾n vuông A = (a ij ) đưoc goi là ma

tr¾n đưòng chéo neu a ij = 0 vói moi i ƒ= j, có nghĩa là tat cá các phan

tú nam ngoài đưòng chéo chính cna A đeu bang 0.

Đ%nh nghĩa 1.2.9 M®t ma tr¾n vuông A = (a ij ) đưoc goi là ma

tr¾n đoi xúng neu a ij = a ji vói moi chí so i, j Đieu này có nghĩa là

A T = A.

Ma tr¾n A đưoc goi là m®t ma tr¾n đoi xúng l¾ch neu a ij = −a ji

vói moi chí so i, j Đieu này có nghĩa là

A T = −A.

Đ%nh nghĩa 1.2.10 Cho A, B là hai ma tr¾n vuông cap n Khi đó tích

vô hưóng cna hai ma tr¾n A và B đưoc xác đ%nh bói

trong đó a ij là phan tú (i, j) cna A, bji là phan tú (j, i) cna B

Nh¾n xét 1.2.3 Cho A, B là hai ma tr¾n vuông cap n Khi đó ta có

Nh¾n xét 1.3.1 Giao cna m®t ho các t¾p loi là loi.

Neu A và B là các t¾p loi và α ∈ R, thì các t¾p A + B, αA cũng loi.

Đ%nh nghĩa 1.3.2 (Nón loi) M®t t¾p K ⊂ X đưoc goi là nón neu moi điem k ∈ K và λ > 0 ta có λk ∈ K Hơn nua neu K là t¾p loi thì nó

Đ%nh lí 1.3.3 (Đ%nh lý Caratheodory) Giá sú dim X = n < ∞và A ⊂

X.

Lúc đó, vói moi X ∈ coA, x là m®t to hop loi cúa m®t ho không quá n + 1 véc tơ thu®c A Túc là ton tai h¾ {a0, a1, , a m } ⊂ A và các so λ0, , λ m ≥ 0, vói m ≤ n, sao cho

λ i = 1 và x = λ i a i

Đ%nh lí 1.3.4 (Đ%nh lý tách t¾p loi) Cho A và B là hai t¾p con cúa

không gian véc tơ X M®t phiem hàm tuyen tính f ∈ X ∗ | {0} đưoc goi

là tách A

và B neu

f (a) ≤ f (b) (ho¾c f (a) ≥ f (b)); a ∈ A, b ∈ B.

Đieu này tương đương vói ton tai m®t so α ∈ R sao cho

f (a) ≤ α ≤ f (b) ∀a ∈ A, b ∈

B Lúc đó, ta nói siêu phang

H (f ; α) = f −1 (α) = {x ∈ X| f (x) = α}, tách A và B Trưòng hop B là t¾p m®t điem B = {x0}, ta nói đơn gián H (f ; α) tách A và x0 Rõ ràng siêu phang tách hai t¾p, neu có

là không duy nhat.

Đ%nh lí 1.3.5 (Đ%nh lý tách cơ bán) Cho A và B là hai t¾p loi khác

rong, coreA ƒ= ∅ và A ∩ B = ∅ Lúc đó ton tai siêu phang tách A và B.

1.3.2 Hàm loi

Đ%nh nghĩa 1.3.3 Hàm f : X → R đưoc goi là thuan nhat dương neu

f (λx) = λf (x) ; ∀x ∈ X, ∀λ > 0.

Đ%nh nghĩa 1.3.4 (Hàm loi) Cho hàm f : X → R ∪ {−∞, ∞} thì

domf := {x ∈ X/f (x) < ∞}

là mien xác đ%nh huu hi¾u và

epif := {(α, x) ∈ R × X/f (x) ™ α}

là đo th% (epigraph) cna f

Hàm f đưoc goi là th¾t neu domf ƒ= ∅ và f (x) > −∞ vói moi x

∈ X Hàm f là m®t hàm loi neu epif là m®t t¾p loi trong R ×

1.4 Bài toán toi ưu và hàm Lagrange

Đ%nh nghĩa 1.4.1 (Bài toán toi ưu) Bài toán toi ưu tong quát đưoc phát

bieu như sau:

min f (x) vói đieu ki¾n x ∈ D, (P 1)

ho¾c max f (x) vói đieu ki¾n x ∈ D,

(P 2) trong đó D ⊆ R n đưoc goi là t¾p nghi¾m chap nh¾n đưoc hay t¾p ràng

bu®c và f : D → R là hàm muc tiêu Moi điem x ∈ D đưoc goi là m®t

nghi¾m chap nh¾n đưoc hay m®t phương án chap nh¾n đưoc ( goi tat là

m®t phương án) Điem x ∗ ∈ D mà

f (x ∗ ) ™ f (x) ∀x ∈ D

đưoc goi là nghi¾m toi ưu, ho¾c nghi¾m toi ưu toàn cuc, ho¾c nghi¾mcnc tieu toàn cuc, ho¾c là nghi¾m cna bài toán (P1).Ngưòi ta còn goim®t nghi¾m toi ưu là m®t phương án toi ưu hay lòi giái cna bài toán đãcho

Điem x ∗ ∈ D đưoc goi là nghi¾m cnc tieu toàn cuc ch¾t neu

f (x ∗ ) < f (x) ∀x ∈ D và x ƒ= x ∗

Không phái bài toán (P1) nào cũng có nghi¾m cnc tieu toàn cuc neu bàitoán có nghi¾m cnc tieu toàn cuc thì cũng chưa chac có nghi¾m cnc tieutoàn cuc ch¾t

Giá tr% toi ưu (hay giá tr% cnc tieu) cna bài toán (P1) đưoc kí hi¾u là

min f (x) ho¾c min {f (x) |x ∈ D}

Đ%nh nghĩa 1.4.2 (Hàm Lagrange) Cho C là t¾p khác rong trong R n , f i :

C → R, b i ∈ R, i = 0, 1, , m là nhung hàm xác đ%nh trên C Xét bài

toán toi ưu :

min {f0 (x) : x ∈ D} , (Q) trong đó D = {x ∈ R n : x ∈ C, f i (x) ™ b i , i = 1, , m} là mien ràng

bu®c cna bài toán

Đe nghiên cúu đieu ki¾n toi ưu cna bài toán trên ngưòi ta quan tâm

1.5 Ket lu¾n chương 1

Trong chương này ta đã trình bày đ%nh nghĩa, m®t so tính chat cơ báncna không gian véc tơ Ơclit, không gian các ma tr¾n, t¾p loi và hàm loi,bài toán toi ưu và hàm Lagrange Chương tiep theo ta se trình bày ve bo

đe S, các cách chúng minh bo đe S

+

Chương 2

Bo đe S

Bo đe S là m®t đe tài hay và có nhieu moi liên h¾ giua các lĩnh vnckhác nhau trong toán hoc Hi¾n nay, bo đe S van đưoc rat nhieu nhà toánhoc say mê nghiên cúu Chương này trình bày bo đe S và các cách chúngminh bo đe S: như phương pháp co đien, hi¾n đai, và phương pháp chúngminh cơ bán Sau đó đưa ra m®t so ket quá đ¾c bi¾t và phán ví du Vàcuoi cùng ta se phát bieu ve bo đe S tong quát Các ket quá này đưoc lay

(i) H

 f (x) ≤ 0

g j (x) ≤ 0, j = 1, , m

Bo đe đã đưoc chúng minh.

Đ%nh lý mà chúng ta trình bày dưói đây là bo đe S đưoc chúng minh bói Yakubovich [6] vào năm 1971

Đ%nh lí 2.1.1 (Bo đe S, Yakubovich, [6]) Giá sú f, g : Rn → R là nhung hàm toàn phương và giá sú đieu ki¾n Slater thóa mãn đoi vói g, nghĩa là ton tai x ∈ R n sao cho g (x) < 0 Khi đó các phát bieu sau tương đương:

(i) Không ton tai x ∈ R n sao cho

f (x) < 0 g(x) ≤ 0 (ii) Có m®t so thnc λ ≥ 0 sao cho

(2.3)

f (x) + λg(x) ≥ 0, ∀x ∈ R n (2.4)

Nh¾n xét 2.1.2 Bo đe Farkas đúng vói so hàm là huu han còn vói bo

đe S theo đ%nh lý trên thì chí đúng vói hai hàm toàn phương và các hàmnày có the là không loi

Nh¾n xét 2.1.3 Bo đe S chí đúng vói hai hàm toàn phương Trong

trưòng hop tong quát có nhieu hơn ho¾c bang ba hàm toàn phương thì

bo đe S không còn đúng nua

Nh¾n xét 2.1.4 Neu đieu ki¾n Slater không đưoc thóa mãn thì bo đe S

Trưòng hop 1: Neu t = 0 thì f (x) = x không the lón hơn 0 vói moi

x ∈ R Trưòng hop 2: Neu t ƒ= 0 thì phương trình f (x) + tg (x) =

0 luôn có hai1

nghi¾m phân bi¾t x = 0, x

t

Đieu này có nghĩa là f (x) + tg (x)

không the lón hơn ho¾c bang 0 trên R đưoc

V¾y bo đe S không đúng khi đieu ki¾n Slater không còn đưoc thóa mãn.Sau đây chúng ta se đi chúng minh bo đe S

2.2 M®t so chNng minh khác nhau cúa bo đe S

Trong muc này, chúng ta trình bày ba cách chúng minh cho bo đe S.Chúng ta bat đau vói chúng minh nguyên bán cna Yakubovich, sau đó

chúng ta trình bày m®t chúng minh hi¾n đai, và ket lu¾n vói m®t chúngminh giái tích cơ bán.

Chúng minh Chúng ta se kiem tra theo đ%nh nghĩa cna t¾p loi.

Giá sú lay hai điem a = (a f , a g ) và b = (b f , b g ) thu®c K Neu hai điem

đó và goc toa đ® thang hàng thì hien nhiên đoan thang noi a và b thu®c

vào K, vì các hàm đó là thuan nhat.

Tù giò chúng ta giá thiet rang nhung điem đó và goc toa đ® không thanghàng Vì chúng thu®c K nên ton tai các điem x a , x b ∈ R n sao cho

r2f (x a cosϕ + x b sin ϕ) = (1 − t) a f + tb f r2g (x a cosϕ + x b sin ϕ) = (1

é đây mau so cna t (ϕ) là m®t hàm toàn phương cna cosϕ và sin

ϕ Ký hi¾u mau cna t (ϕ) là

M (cosϕ, sin ϕ) = λcos2ϕ + µsin2ϕ + 2δcosϕ sin ϕ Tính M (0) , M π và sú dung công thúc b a

λ = µ = p2 suy ra M (cosϕ, sin ϕ) = p2 + δ sin(2ϕ).

Neu δ ≥ 0 thì M (cos ϕ, sin ϕ) > 0 vói moi

ϕ ∈

π

−

2 , 0 π Tương tn neu δ ≤ 0 thì M (cos ϕ, sin ϕ) > 0 vói moi

.0, π

Sú dung ϕ t này ta có r và tù (2.5) ta có véctơ x t Như v¾y ta đã

chúng minh xong bo đe cna Dines

Yakubovich đã sú dung ket quá này đe chúng minh Đ%nh lý 2.1.1

Chúng minh Đ%nh lý 2.1.1 (Bo đe S) Giá sú có (ii), neu (i) là có

nghi¾m thì dan đen mâu thuan V¾y (ii) ⇒ (i) M¾t khác, chúng ta giá

thiet đã

có (i) và co gang chúng minh (ii).

±

Ta thay (f (x) , g (x)) là loi trong R2, theo (2.1) thì ánh (f, g)

không giao vói nón loi L = {(a1, a2) : a1 < 0, a2 ≤ 0} ⊂ R2

Do đó theo đ%nh lý tách 1 thì K = {(f (x) , g (x)) : x ∈ Rn } và L có

the

đưoc tách bói m®t siêu phang Đieu này nghĩa là có các so thnc λ1 và λ2

sao cho:

λ1a1 + λ2a2 ≤ 0 ∀ (a1, a2) ∈ L, (2.6)

λ1f (x) + λ2g(x) ≥ 0 ∀x ∈ R n (2.7)

Vì (−1, 0) ∈ L, thay vào (2.6) ta có λ1 ≥ 0 và (−η, −1) ∈ L (η

nhó tùy ý), thay vào (2.6) ta đưoc λ2 ≥ 0.

Trưòng hop λ1 = 0 có the đưoc loai trù vì mâu thuan vói đieu ki¾n Slater,

p T x + r g

thì đieu ki¾n Slater tương đương vói g (0) = r g < 0.

Chúng ta đưa vào dang thuan nhat cna nhung hàm này là:

Bây giò chúng ta chúng minh rang nhung hàm mói này thóa mãn (i),

nghĩa là không có (x, ξ) ∈ Rn+1 sao cho:

f

≤

˜

Vì the đieu ki¾n Slater đưoc thóa mãn, vì v¾y ta có the áp dung dang

thuan nhat đã đưoc chúng minh cna đ%nh lý Khi đó ton tai m®t λ ≥

0 sao cho:

f˜(x, ξ) + λg (x, ξ) ≥ 0, (x, ξ) ∈ R n+1

Và vói ξ = 1 ta có (ii) Đ%nh lý đã đưoc chúng minh.

Các bài toán tương tn vói M¾nh đe 2.2.1 đưoc nghiên cúu bói Hausdorff

và Toeplitz ó m®t trưòng hop tong quát hơn và neu tăng so hàm trong bo

đe S thì bo đe S có đúng không?

M¾nh đe 2.2.2 Cho h¾

 f (x) < 0



g i (x) ≤ 0, i = 1, , m



(2.9)

 x ∈ R n

Trong đó f, g i vói i = 1, , m là nhung hàm toàn phương thuan nhat

và đeu thóa mãn đieu ki¾n Slater Khi đó, neu

Chúng minh Đ¾t L = {(a0, a) : a0 < 0, a ≤ 0} ⊂ R m+1 là m®t nón loi.

Giá sú h¾ (2.9) vô nghi¾m, nghĩa là

KR (Q, P1, , P m ) ∩ L = ∅,

Theo đ%nh lý tách t¾p loi thì KR (Q, P1, , P m ) và L đưoc tách bói

m®t siêu phang, nghĩa là ton tai (λ0, λ) ∈ R m+1 \ (0, 0) sao cho

λ0a0 + λ i a i ≥ 0, ∀ (a0, a) ∈ KR và λ0a0 + λ i a i ≤ 0, ∀ (a0, a ) ∈ L

i=1

Do (−1, 0) ∈ L nên suy ra λ0

≥ 0.

i=1

Vì .−η, e i ∈ L (vói e i ∈ R m là véc tơ đơn v% thú i) nên λ0 ≥ 0.

Theo đieu ki¾n Slater thì (a0, a) ∈ K R , a < 0 Trưòng hop λ0 = 0 ta

thay rang tat cá các h¾ so không đong thòi bang 0, do đó λ0 > 0 Chia

cá hai ve cna bat phương trình trên cho λ0 ta đưoc

m

f (x) + λ i g j (x) ≥ 0, ∀x ∈ R n

i=1

V¾y neu KR (Q, P1, , P m) loi thì bo đe S là đúng

2.2.2 Phương pháp hi¾n đai

Sau đây chúng ta se đi chúng minh bo đe S bang phương pháp ma tr¾n tuyen tính

Bo đe 2.2.1 ([5]) Giá sú H, Z ∈ R n×n là các ma tr¾n đoi xúng cap

n, Z là ma tr¾n núa xác đ%nh dương hang l Khi đó H ∗ Z ≤ 0 (H ∗

Z = 0) khi và chs khi có z1, , z l ∈ R n sao cho:

H ∗ Z = H ∗ z i.z i.T .

i=1

Đe chúng minh chieu xuôi ta xét thu¾t toán sau:

Đau vào: Z và H ∈ R n×n sao cho Z> 0 và H ∗ Z ≤ 0, rank(Z) = l.

và làm tương tn đoi vói các z2, z3,

Chúng minh thu¾t toán Neu quá trình này dùng lai ó bưóc 2, thì z i T Hz i

có cùng dau vói moi i = 2, , l.

Vì tong cna nhung so hang này âm, nên ta có ρ T Hρ = z1T

và có hang bang l − 1.

Neu thu¾t toán không không dùng lai ó bưóc 2, thì phương trình b¾c hai

đoi vói µ phái có hai nghi¾m phân bi¾t, và theo đ%nh nghĩa ta có

Tiep theo ta chúng minh Đ%nh lý 2.1.1 (Bo đe S).

Chúng minh Rõ ràng neu m®t trong hai h¾ có m®t nghi¾m, thì h¾ kia

không the có nghi¾m, vì v¾y ta phái chúng minh là có ít nhat m®t h¾ cóm®t nghi¾m Giá sú các hàm đưoc cho bói

T

−

f g

p

1

p

Sú dung ký hi¾u này ta có the viet lai h¾ ban đau như sau

Bo đe 2.2.2 Sú dnng các ký hi¾u đưoc giói thi¾u trong (2.10) – (2.13),

neu h¾ (2.13) có m®t nghi¾m, thì nó có m®t nghi¾m dưói dang G =

ss T có hang bang 1, trong đó toa đ® đau tiên cúa s là 1 Đieu này sinh ra m®t nghi¾m cho (2.11) Hơn nua, h¾ (2.13) có m®t nghi¾m thóa mãn tat cá các ràng bu®c, nghĩa là:

 f (x) = K f ∗ G < 0

g (x) = K g ∗ G ≤ 0



 G ≥ 0 Chúng minh Giá sú G là m®t nghi¾m cna (2.13). Khi đó vì G là ma tr¾n

núa xác đ%nh dương, nên nó có the đưoc viet lai như sau:

Áp dung Bo đe 2.2.1, ta thay rang có the chon nhung véctơ sao cho:

Xét thay tù các bat đang thúc ng¾t cna (2.13), ta có the ket lu¾n rang có

m®t véctơ u = u j vói 1 ≤ j ≤ l sao cho:

K f ∗ uu T < 0;

Đieu này có nghĩa là G = uu T có hang bang 1 là m®t nghi¾m cna (2.13)

Neu toa đ® đau tiên cna u khác không, thì z = u 2:n+1 /u1 cho m®tnghi¾m cna (2.11). Neu toa đ® đau tiên cna u bang 0 thì ta đ¾t :

1

u = u + µ ,ˆ

z vói z là điem thóa mãn đieu ki¾n Slater Ta thay:

+ µ2K f ∗ z T T . < 0

s ¸<¸0 xneu |µ| nhó và :