Bổ đề S và ứng dụng

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I —————— x —————— HÀ TH± DUYÊN BO ĐE S VÀ ÚNG DUNG LU¾N VĂN THAC SY TỐN HOC Hà N®i-2013 B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I —————— x —————— HÀ TH± DUYÊN BO ĐE S VÀ ÚNG DUNG Chun ngành: Tốn Giái tích Mã so: 60 46 01 02 LU¾N VĂN THAC SY TỐN HOC Ngưài hưáng dan khoa hoc: PGS.TS Nguyen Năng Tâm LèI CÁM ƠN Lu¾n văn đưoc hồn thành tai trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i dưói sn hưóng dan cna PGS.TS Nguyen Năng Tâm Tác giá xin bày tó lòng biet ơn chân thành, sâu sac tói PGS.TS Nguyen Năng Tâm, ngưòi ó luụn quan tõm, đng viờn v tắn tỡnh húng dan tác giá q trình thnc hi¾n lu¾n văn Tác giá xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành Ban giỏm hiắu trũng hoc s pham H Nđi 2, phòng Sau đai hoc, thay giáo nhà trưòng thay giáo day cao hoc chun ngành Tốn giái tích tao đieu ki¾n thu¾n loi q trình tác giá hoc t¾p nghiên cúu Tác giá xin bày tó lòng biet ơn tói gia đình, ngưòi thân đ®ng viên tao moi đieu ki¾n đe tác giá có the hồn thành bán luắn ny H Nđi, thỏng 07 nm 2013 Tỏc giá Hà Th% Duyên LèI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Lu¾n văn cơng trình nghiên cúu cna riêng tơi dưói sn hưóng dan trnc tiep cna PGS.TS Nguyen Năng Tâm Trong q trình nghiên cúu, tơi ke thùa thành khoa hoc cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn Hà N®i, tháng 07 năm 2013 Tác giá Hà Th% Duyên Mnc lnc Báng kí hi¾u viet tat Má đau vii ix N®i dung 1 Kien thNc chuan b% 1.1 Không gian véc tơ Ơclit 1.2 Không gian ma tr¾n 1.3 T¾p loi hàm loi 1.3.1 T¾p loi 1.3.2 Hàm loi 1.4 Bài toán toi ưu hàm Lagrange 1.5 Ket lu¾n chương Bo đe S 10 2.1 Bo đe S .10 2.2 M®t so chúng minh khác cna bo đe S .13 2.3 2.2.1 Phương pháp co đien 14 2.2.2 Phương pháp hi¾n đai 18 2.2.3 Phương pháp chúng minh thú ba 23 Mđt so trũng hop ắc biắt v phỏn ví du 26 2.3.1 M®t so trưòng hop đ¾c bi¾t .26 2.3.2 2.4 M®t so ket tong quát 27 Ket lu¾n chương .34 M®t so đ%nh lý luân phiên Nng dnng cúa bo e S 35 3.1 Phõn tớch on %nh hắ đng lnc 35 3.2 H¾ cna hai bat thúc toàn phương .37 3.3 3.4 3.2.1 H¾ tồn phương thuan nhat 38 3.2.2 H¾ khơng thuan nhat .43 3.2.3 Đieu ki¾n can đn cna toi ưu tồn cuc 49 H¾ cna ba bat thúc tồn phương 52 3.3.1 H¾ tồn phương thuan nhat 52 3.3.2 H¾ khơng thuan nhat .62 3.3.3 Đieu ki¾n toi ưu đoi vói tốn mien tin c¾y 65 H¾ cna huu han bat thúc toàn phương .69 3.4.1 Đieu ki¾n toi ưu cho quy hoach tồn phương tong qt .73 3.4.2 3.5 Úng dung vào toán CDT .74 Ket lu¾n chương .78 Ket lu¾n 79 Tài li¾u tham kháo 80 vii Báng kí hi¾u viet tat R : T¾p hop so thnc Rn : Không gian Euclide n chieu R+ nn intR + : T¾p hop tat cá véc tơ khơng âm cna Rn : Phan cna Rn+ Y ⊂ X : Y t¾p cna X dim(V ) : So chieu cna khơng gian V (x, y) : Tích vơ hưóng cna hai véc tơ x, y domf : Mien xác đ%nh huu hi¾u cna f epif : Đo th% cna hàm f sup : C¾n inf : C¾n dưói Lαf : T¾p múc dưói cna f L (x, λ1, , λm) :Hàm Lagrange |λ| : Giá tr% tuy¾t đoi cna so thnc λ "x" : Chuan cna phan tỳ x Rnìn : Tắp cỏc ma trắn cap n ì n Sn : Khụng gian cỏc ma trắn oi xỳng cap n ì n S + : T¾p hop ma tr¾n đoi xúng n núa xác đ%nh dương cap n × n In : Ma trắn ong nhat cap n ì n P > : P ma tr¾n đoi xúng xác đ%nh dương P >0 : P ma tr¾n đoi xúng núa xác đ%nh dương T rA : Vet cna ma tr¾n A A ∗ B : Vet cna ma tr¾n tích AB rankA : Hang cna ma tr¾n A x = (x1, x2, , xn) :Véc tơ không gian Rn x = (x1, x2, , xn) ≥ : Các so xi ≥ 0, i = 1, , n T u2:n : Kí hi¾u cho véc tơ (u2, , un) max : Giá tr% lón nhat : Giá tr% nhó nhat Má đau Lí chon đe tài Bo đe S đưoc Yakubovich đưa [6], m®t ket noi tieng cna lý thuyet ieu khien, cho ta mđt ieu kiắn tương đương vói tính khơng âm cna m®t hàm tồn phương bat kì f (x) m®t mien D xác đ%nh bói m®t bat phương trình tồn phương tùy ý g (x) ≤ đieu ki¾n Slater (ton tai x0 đe g x0 < 0) đưoc thóa mãn Cu the là: Cho f, g : Rn → R hai hàm tồn phương Khi đó, neu ton tai x0 ∈ Rn cho g x0 < [g (x) ≤ ⇒ f (x) ≥ 0] ⇔ [∃µ ≥ 0, ∀x ∈ Rn : f (x) + µg (x) ≥ 0] Bo đe S đưoc xem m®t khái qt hóa nhung ket q trưóc cna Hestenes - McShane Dines [3] Sau Megretsky - Treil mó r®ng ket q cho khơng gian vơ han chieu Bo đe S có nhung h¾ q hi¾u lnc đáng ngac nhiên toi ưu hóa thơ (robust optimization) lý thuyet đieu khien, cho phép thay the nhung tốn toi ưu khơng loi cu the bang nhung tốn loi giái đưoc vói thòi gian đa thúc [7] Ve l%ch sú nhung úng dung cna Bo đe S có the tìm thay bán tong quan tuy¾t vòi cna Polik - Terlaky [5] Bo đe S đưoc chúng minh lan đau tiên vào năm 1971 Tù đen nay, Bo đe S đưoc chúng minh mó r®ng theo nhieu cách khác Cùng vói thòi gian, Bo đe S ngày tú l mđt cụng cu hiắu quỏ, oc sỳ dung rđng rói lý thuyet ieu khien, ắc biắt phân tích on đ%nh nhung h¾ phi tuyen Bo đe S có nhung úng dung quan trong Quy hoach tồn phương Chính the, Bo đe S giu đưoc sn quan tâm dang phát bieu đep đơn gián cna Nhieu tác giá ngồi nưóc quan tâm nghiên cúu nhung khía canh khác cna Bo đe S (xem [5], [6] nhung tài li¾u dan đó) Sau đưoc hoc nhung kien thúc ve Tốn giái tích, vói mong muon tìm hieu sâu ve nhung kien thúc hoc, moi quan h¾ úng dung cna chúng, tơi chon đe tài nghiên cúu: " Bo đe S úng dung" Lu¾n văn bao gom ba chương: Chương 1: Kien thúc chuan b% Chương 2: Bo đe S Chương 3: M®t so đ%nh lý luân phiên úng dung cna bo đe S Mnc đích nghiên cNu Tìm hieu ve Bo đe S nhung úng dung cna Nhi¾m nghiên cNu Nghiên cúu Bo đe S m®t so úng dung cna vào lý thuyet toi ưu Đoi tưang pham vi nghiên cNu + Đoi tưong: Bo đe S úng dung vào nghiên cúu đieu ki¾n toi ưu + Pham vi: Trong không gian Ơclit ... + xb sin ϕ) (ag − bg) f (xa.cosϕ + xb sin ϕ) − (af − bf ) g (xa.cosϕ + xb sin ϕ) é mau so cna t (ϕ) m®t hàm tồn phương cna cosϕ sin ϕ Ký hi¾u mau cna t (ϕ) M (cosϕ, sin ϕ) = λcos2ϕ + µsin2ϕ... λcos2ϕ + µsin2ϕ + 2δcosϕ sin ϕ π Tính M (0) , M s dung công thúc b a − af = p2 > ta ± f bg có g 2 λ = µ = p suy M (cosϕ, sin ϕ) = p + δ sin(2ϕ) π Neu δ ≥ M (cos ϕ, sin ϕ) > vói moi − , ... đưoc V¾y bo đe S khơng đieu ki¾n Slater khơng đưoc thóa mãn Sau se chúng minh bo đe S 2.2 M®t so chNng minh khác cúa bo đe S Trong muc này, trình bày ba cách chúng minh cho bo đe S Chúng ta bat