bổ đề poncelet và ứng dụng

BỔ ĐỀ PONCELET, MỞ RỘNG VÀ ỨNG DỤNG Trần Minh Ngọc Sinh viên K38, Khoa Toán-Tin, Đại học sư phạm TP.HCM I Giới thiệu Để chứng minh định lý chùm đường tròn, nhà toán người Pháp Jean Victor Poncelet (1788 – 1867) sử dụng bổ đề sau: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O1 ) Đường tròn (O2 ) tiếp xúc AC, BD M , N Đường thẳng MN cắt AB, CD, AD, BC P, Q, R, S Khi tồn đường tròn (O3 ) tiếp xúc AB, CD P, Q đường tròn (O4 ) tiếp xúc AD, BC R, S cho (O1 ), (O2 ), (O3 ), (O4 ) có trục đẳng phương Trong viết này, tác giả chứng minh mở rộng bổ đề trên, sau vận dụng chúng để chứng minh lại định lý Poncelet giải toán hình học khác II Chứng minh D A Q M N P O2 O3 O1 B C Gọi (O3 ) đường tròn qua Q tiếp xúc AB P Do BNP  CMQ, PBN  QCM nên BPN ~ CQM Suy BPN  CQM Do CD tiếp xúc (O3 ) Q Từ PA/(O2 ) PA/(O3 ) AM AP sin APM sin AMP sin BPN sin BNP BN BP BN BP PB /(O2 ) PB /(O3 ) CM CQ PC /(O2 ) PC /( O3 ) nên đường tròn (O1 ) qua A, B, C có trục đẳng phương với (O2 ), (O3 ) Gọi (O4 ) đường tròn qua S tiếp xúc AD R Tương tự ta BC tiếp xúc (O4 ) S đường tròn (O1 ), (O2 ), (O4 ) có trục đẳng phương Bài toán chứng minh III Mở rộng Bổ đề Poncelet mở rộng thầy Trần Quang Hùng, giáo viên trường chuyên KHTN, ĐHQGHN Định lý phát biểu sau: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O1 ) Đường tròn (O2 ) cắt AC, BD (M , N ),( P, Q) Đường thẳng MP, NQ cắt AB, CD, AD, BC ( R, S ),(T ,U ),(V ,W ),( X , Y ) Khi R, S , T ,U thuộc đường tròn (O3 ),V ,W , X , Y thuộc đường tròn (O4 ) cho (O1 ), (O2 ), (O3 ), (O4 ) có trục đẳng phương Chứng minh: D A T P M R S N Q U O2 O3 O1 B C Do BPR  CNU , PBR  NCU nên BPR ~ CNU Suy BRP  CUN nên tứ giác R, S , T ,U nằm đường tròn (O3 ) Tương tự ta BQS ~ CMT Từ PA/(O2 ) PA/(O3 )  AM AN sin ARM sin ASN sin BRP sin BSQ BP.BQ PB /(O2 ) BP.BQ CN CM PC /(O2 )        AR AS sin AMR sin ANS sin BPR sin BQS BR.BS PB /(O3 ) BR.BS CU CT PC /(O3 ) nên đường tròn (O1 ) qua A, B, C có trục đẳng phương với (O2 ), (O3 ) Tương tự V ,W , X , Y thuộc đường tròn (O4 ) (O1 ), (O2 ), (O4 ) có trục đẳng phương Bài toán chứng minh IV Ứng dụng Ta bắt đầu với định lý Poncelet chùm đường tròn Bài toán (Định lý Poncelet chùm đường tròn): Cho đường tròn (O1 ), , (On ) có trục đẳng phương ( (O1 ) chứa đường tròn lại) Từ điểm A1  (O1 ) vẽ tiếp tuyến đến (O2 ) cắt (O1 ) A2 Định nghĩa tương tự A3 , , An Chứng minh An A1 tiếp xúc với đường tròn cố định A1 di động (O1 ) Chứng minh Trường hợp n A2 C2 B2 B1 G E C1 D O4 O3 O2 O1 I A1 O F H A3 C3 B3 Lấy B1 (O1 ), B1 A1 Từ điểm B1 vẽ tiếp tuyến đến (O2 ) cắt (O1 ) B2 , từ điểm B2 vẽ tiếp tuyến đến (O3 ) cắt (O1 ) B3 cho B1 A1 B2 A2 , B3 Gọi D, G, E, H tiếp điểm A1 A2 , B1 B2 với (O2 ) , A2 A3 , B2 B3 với (O3 ) C1 , C2 , C2' , C3 giao điểm DG với A1 B1 , A2 B2 , EH với A2 B2 , A3 B3 A3 Do A1 A2 , B1 B2 tiếp xúc (O2 ) nằm (O1 ) B1 A1 B2 A2 nên C1 nằm A1 , B1 , C nằm A2 , B2 Tương tự ta C 2' nằm A2 , B2 , C3 nằm A3 , B3 Theo bổ đề Poncelet: tồn đường tròn (O ) tiếp xúc A1 B1 , A2 B2 C1 , C2 đường tròn (O ') tiếp xúc A2 B2 , A3 B3 C2' , C3 , (O), (O ') có trục đẳng phương với (O1 ), (O2 ), (O3 ) Mà vẽ đường tròn tiếp xúc A2 B2 điểm nằm A2 , B2 có trục đẳng phương với (O1 ), (O2 ), (O3 ) nên (O) (O ') Suy C2 C2' Gọi F , I giao điểm C1C3 với A1 A3 , B1 B3 Theo bổ đề Poncelet tồn đường tròn (O4 ) tiếp xúc A1 A3 , B1 B3 F , I (O4 ) có trục đẳng phương với (O1 ), (O2 ), (O3 ) Mặt khác tương tự trên, ta F nằm A1 , A3 , I nằm B1 , B3 Suy (O4 ) nằm (O1 ) Vậy A1 A3 tiếp xúc với đường tròn cố định A1 di động (O1 ) B2 A2 B1 O B4 A3 O4 O3 O2 O1 A1 A4 B3 Giả sử toán với n k Ta chứng minh toán với n k Lấy B1 (O1 ), B1 A1 Từ điểm B1 vẽ tiếp tuyến đến (O2 ) cắt (O2 ) B2 , định nghĩa tương tự B3 , , Bn cho B1 A1 Bi Ai , i 2, k Theo giả thiết quy nạp Ak A1 , Bk B1 tiếp xúc với đường tròn (O ) có trục đẳng phương với (O1 ), , (Ok ) nằm (O1 ) Mà Ak Ak , Bk Bk tiếp xúc với (Ok ) có trục đẳng phương với (O1 ), , (Ok ) nằm (O1 ) nên theo trường hợp n xúc đường tròn (Ok ) có trục đẳng phương với (O1 ), , (Ok ) , A1 Ak , B1 Bk tiếp Vậy A1 Ak tiếp xúc với đường tròn cố định A1 di động (O1 ) Bài toán chứng minh Ta tiếp tục với toán đề thi thi Mathley Bài toán (Trần Minh Ngọc): Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O ) Đường tròn ( I ) tiếp xúc AC, BD M , N Đường thẳng MN cắt AB, CD P, Q Gọi H giao điểm AC, BD Đường tròn ngoại tiếp tam giác HMN cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác HAB, HCD K , L khác H Chứng minh PK , QL, OI đồng quy Chứng minh B S A H K L M Y O N I X Q Z O2 D P O1 Theo bổ đề Poncelet: tồn đường tròn (O1 ) tiếp xúc AB, CD P, Q (O), ( I ), (O1 ) có trục đẳng phương Qua phép nghịch đảo f cực H , phương tích k  , điểm A, B, C, D, M , N , K , L biến thành A ', B ', C ', D ', M ', N ', K ', L ' Khi đó: C Các đường thẳng AC, BD qua H biến thành nên A ', C '  AC; B ', D '  BD (O ) biến thành đường tròn (O ') qua A ', B ', C ', D ' ( I ) biến thành đường tròn ( I ') tiếp xúc với AC, BD M ', N ' ( HAB),( HCD),( HMN ) biến thành đường thẳng A ' B ', C ' D ', M ' N ' K ', L ' giao điểm M ' N ' với A ' B ', C ' D ' Theo bổ đề Poncelet: tồn đường tròn (O2' ) tiếp xúc A ' B ', C ' D ' K ', L ' (O '), ( I '), (O2' ) có trục đẳng phương Do f bảo tồn góc chùm đường tròn nên đường tròn (O2 )  f (O2' ) tiếp xúc với ( HAB), ( HCD) K , L (O), ( I ), (O2 ) có trục đẳng phương Gọi d trục đẳng phương (O),( I ), S giao điểm PK , QL Do MN trục đẳng phương ( I ),( HMN ), KL trục đẳng phương (O2 ),( HMN ) d trục đẳng phương ( I ), (O2 ) nên MN , KL, d đồng quy X Do (O2 ) tiếp xúc với ( HAB), ( HCD) K , L nên tiếp tuyến K , L đường tròn (O2 ) trục đẳng phương (O2 ), ( HAB) (O2 ), ( HCD) Tương tự ta tiếp tuyến K của, (O2 ), d , AB đồng quy Y tiếp tuyến L (O2 ), d , CD đồng quy Z Từ YP, YK tiếp tuyến (O1 ), (O2 ) O1 P, O2 K tiếp tuyến (Y , YP) suy đường tròn (Y , YP) trực giao với (O1 ), (O2 ) Tương tự, ta đường tròn ( Z , ZQ) trực giao với (O1 ), (O2 ) Do O1O2  OI trục đẳng phương ( X , XP),(Y , YQ) Mặt khác từ XP XQ   X /( O1 )   X /( O2 )  XK XL suy PQKL nội tiếp, nên PS /(Y ,YP )  SK SP  SL.SQ  PS /( Z , ZP ) Vậy S , O, I thẳng hàng Bài toán (Trần Minh Ngọc): Cho ba đường tròn (O1 ), (O2 ), (O3 ) có trục đẳng phương d Hai đường thẳng d1 , d cắt (O1 ), (O2 ) ( A, B),(C, D),( P, Q),( R, S ) Gọi (1 ), ( ) đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo đường thẳng (d , AP, DS ), (d , BQ, CR) Giả sử (O3 ) cắt (1 ), ( ) Chứng minh góc tạo (O3 ), (1 ) với góc tạo (O3 ), ( ) Chứng minh F N Ω1 T L J E U G H S D C A O4 B R Q Z P O2 O3 V Ω2 X Y I W K M Gọi E, F , G, X , Y , Z , M , N giao điểm cặp đường thẳng ( AP, DS ),( AP, d ),( DS , d ),( BQ, CR),( BQ, d ),(CR, d ),( AP, CR),( BQ, DS ) Theo mở rộng bổ đề Poncelet: M , X , E, N nằm đường tròn (O4 ) có trục đẳng phương với (O1 ), (O2 ), (O3 ) Gọi T ,U giao điểm (O3 ) với (1 ), H , I , J , K giao điểm khác U , T (O3 ) với GU , FT , GT , FU ,V ,W giao điểm khác I , H (O3 ) với ZI , YH Từ GE.GN  PG /(O4 )  PG /(O3 )  GJ GT suy tứ giác ENTJ nội tiếp nên NJG  TEG  TUH  TJH Do N , J , H thẳng hàng Gọi L giao điểm NJ , FG Từ ENL  ENJ  ETJ  ETG  EFG  EFL suy NFLE nội tiếp Do NXZ  NEF  NLF Suy tứ giác NXZL nội tiếp Do GF.GL  GE.GN  GJ GT nên tứ giác FLJT nội tiếp suy ZLJ  FTJ  JVI Do LJVZ nội tiếp Gọi J ' giao điểm khác V YV với (O3 ) Từ YZ YL  YX YN  PY /( O4 )  PY /( O3 )  YV YJ ' suy tứ giác LJ 'VZ nội tiếp Do J  J ' hay Y ,V , J thẳng hàng Suy YXZ  NLZ  JVZ nên tứ giác VYXZ nội tiếp hay V  ( ) Tương tự ta W  ( ) Với kí hiệu (O),(O ') góc tạo hai đường tròn (O), (O ') , ta có biến đổi góc sau: (O3 ), ( ) 180 O3T 180 ( O3TU TU ) TO3U T 1U sdTU (O3 ) TFU sd HJ ( O3 ) Mặt khác từ GFI  GFT  TUH  TIH  FIH suy HI / / d Tương tự ta JK / / d Do Tương tự: (O3 ), ( ) HIKJ hình thang cân nên sd IK (O3 ) sd HJ (O3 ) Vì (O3 ),( ) (O3 ),( ) Ta kết thúc viết với kết tam giác hình chiếu Bài toán (Trần Minh Ngọc): Cho tam giác A1 A2 A3 nội tiếp đường tròn (O ) X điểm nằm tam giác A1 A2 A3 Gọi D, E, F hình chiếu X lên A1 A2 , A2 A3 , A3 A1 Từ điểm B1 (O), B1 A1 vẽ đường tròn đường kính XB1 cắt đường tròn ( DEF ) điểm M Đường thẳng B1M cắt (O ) B2 N B1 Từ điểm B2 vẽ đường tròn đường kính XB2 cắt ( DEF ) điểm M Đường thẳng B2 N cắt (O ) B3 B2 Chứng minh hình chiếu X lên B1 B3 nằm ( DEF ) Chứng minh Ta phát biểu chứng minh hai bổ đề sau: Bổ đề : Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O ) Trên đường thẳng qua A vuông góc AD đường thẳng qua D vuông góc AD lấy hai điểm X , Y cho X , Y , O thẳng hàng Gọi E giao điểm AB, CD Khi BC vuông góc XC, YB Chứng minh: X , Y , E đồng quy sd IK (O3 ) A B D C Y O E X A' C' ( ) Gọi A ', C ' giao điểm XA, XC với (O ) ADA ' 90 nên D, O, A ' thẳng hàng Tương tự ta B, O, C ' thẳng hàng Áp dụng định lý Pascal cho lục giác nội tiếp BAA ' DCC ' ta E, X , O thẳng hàng hay X , Y , E thẳng hàng Do ( ) Từ X , Y , E thẳng hàng suy E, X , O thẳng hàng Áp dụng định lý Pascal cho lục giác nội tiếp BAA ' DCC ' suy EX , DA ', BC ' đồng quy hay B, O, C ' thẳng hàng Suy BC XC Tương tự ta BC YB Bổ đề 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O ) X điểm Đường thẳng vuông góc XA A cắt (O ) điểm A ' A Định nghĩa tương tự B ', C ', D ' Khi giao điểm cặp đường thẳng ( AC ', DB '),( AD ', CB '),( BC ', DA '),( BD ', CA ') thẳng hàng Chứng minh: P A' B A B' R T X S Y M Q V U D D' C C' N Gọi M , N , P, Q, R, S , T ,U ,V giao điểm cặp đường thẳng ( AC ', DB '),( AD ', CB '),( BC ', DA '),( BD ', CA '),( AC ', A ' C ),( BD ', B ' D),(CD ', C ' D),( AC ', B ' C ),( AD ', B ' D) Theo bổ đề 1: X , Y , R, S , T thẳng hàng Áp dụng định lý Pascal cho lục giác D ' CB ' DC ' A ta được: U ,V , T thẳng hàng Áp dụng đính lý Desargues cho hai tam giác MRS NCD ' có giao điểm cặp cạnh đối U ,V , T thẳng hàng ta MN , RC , SD ' đồng quy hay M , N , Q thẳng hàng Tương tự ta được: M , P, Q thẳng hàng Vậy M , N , P, Q thẳng hàng Quay lại toán A1 C1 B3 V S D1 P B1 F W G Y I C3 J D X D3 U R M Q N A2 E H A3 D2 C2 B2 Gọi Y điểm đẳng giác X tam giác A1 A2 A3 G, H , I , Q, R hình chiếu Y lên A1 A2 , A2 A3 , A3 A1 , B1 B2 , B2 B3 Khi đó: D, E, F , G, H , I , M , N , Q, R nằm đường tròn tâm J trung điểm XY Gọi C1 , D2 , D1 , C2 , C3 , D3 giao điểm GM với A1 B1 , ER ; DQ với A1 B1 , HN ; A3 B3 với ER, HN Theo bổ đề 2: A2 , B2 , C2 , D2 thẳng hàng Theo mở rộng bổ đề Poncelet: C1 , D1 , C2 , D2 , C3 , D3 nằm đường tròn (O1 ) , C2 , D2 , C3 , D3 nằm đường tròn (O2 ) có trục đẳng phương với (O), ( J ) Mà qua C vẽ đường tròn có trục đẳng phương với (O), ( J ) nên (O1 ) (O2 ) Gọi U ,V ,W giao điểm cặp đường thẳng (C1 D2 , D1C2 ), (C2 D3 , D2C3 ), (C3 D1 , D3C1 ) Do C1 , D1 , C2 , D2 , C3 , D3 nằm đường tròn (O1 ) nên theo định lý Pascal: U ,V ,W thẳng hàng Mặt khác theo chiều thuận bổ đề U ,V , X , Y thẳng hàng nên U ,V ,W , X , Y thẳng hàng Gọi P, S giao điểm khác I , F C3 I , D3 F với ( J ) Do X , Y ,W thẳng hàng nên theo chiều đảo bổ đề 1: PS vuông góc XP, YS Gọi B3' giao điểm NR, PS Theo bổ đề 2: A3 , B3' , C3 , D3 thẳng hàng nên B3' B3 Do P, S , B3 thẳng hàng Tương tự P, S , B1 thẳng hàng Bài toán chứng minh Bài viết xin dừng lại nhiều thú vị đằng sau bổ đề Poncelet mở rộng chờ bạn đọc khám phá TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Văn Linh, Ứng dụng tỉ số phương tích, Euclidean Geometry Blog http://nguyenvanlinh.wordpress.com Nguyễn Văn Linh, Một số vấn đề đa giác lưỡng tâm, Euclidean Geometry Blog http://nguyenvanlinh.wordpress.com Poncelet’s porism, Wolfram Mathworld http://mathworld.wolfram.com/PonceletsPorism.html Lachlan, "Coaxal Circles", Ch 13 in An Elementary Treatise on Modern Pure Geometry London: Macmillian, pp 199-217, 1893 Mathley No 2, 2014 http://www.hexagon.edu.vn/mathley.html Mathley No 3, 2014 http://www.hexagon.edu.vn/mathley.html