Seminar Số học Trần Nam Dũng

Các tập số học đề thi Olympic 30/4 (2005) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình y2 = x2(x2+x+1) + (x+1)2 Hướng dẫn: 4[x2(x2+x+1) + (x+1)2] = 4x4 + 4x3 + 8x2 + 8x + (2x2 + x + 1)2 = 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + (2x2 + x + 2)2 = 4x4 + 4x3 + 9x2 + 4x + Ta có 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + < 4x4 + 4x3 + 8x2 + 8x + Còn với x > 4x4 + 4x3 + 8x2 + 8x + < 4x4 + 4x3 + 9x2 + 4x + Vậy với x > 4x4 + 4x3 + 8x2 + 8x + số phương Như cần xét trường hợp x = 1, 2, 3, Thử trực tiếp ta nghiệm nguyên dương phương trình x = 4, y = 19 (2003) Cho phương trình: x3 – 3xy2 + y3 = n; với n nguyên dương i) Chứng minh rằng: phương trình có nghiệm nguyên (x, y) phương trình có nghiệm nguyên khác ii) Với n = 2003 phương trình có nghiệm nguyên hay không? Tại sao? (2002) Chứng minh rằng: phần nguyên ( 11 + 3) n +1 chia hết cho 2n+1 không chia hết cho 2n+2 với n số tự nhiên Hướng dẫn: 1) Chứng minh (3 + 11) n +1 + (3 − 11) n +1 = Sn số nguyên − < (3 − 11) n +1 < 2) Nhận xét 3) Suy [ (3 + 11) n +1 = S n 4) Dễ thấy (3 + 11) (3 − 11) nghiệm phương trình x – 40x + = Do ta có hệ thức truy hồi S n+1 = 40Sn – 4Sn-1 Từ đây, ta chứng minh kết luận toán phương pháp quy nạp toán học S = chia hết cho không chia hết cho 22, S1 = 252 = 4.63 chia hết cho 22 không chia hết cho 23 Giả sử Sn = 2n+1.k Sn-1 = 2n.m với k, m lẻ ta có Sn+1 = 40Sn – 4Sn-1 = 2n+2(20k – m) chia hết cho 2n+2 không chia hết n+3 cho , 20k-m số lẻ (2001) Tìm số tự nhiên đôi khác lớn thoả điều kiện: Tích hai số số cộng với chia hết cho số thứ ba Hướng dẫn: Giả sử ba số < a < b < c Khi ta có ab + chia hết cho c, bc + chia hết cho a, ca + chia hết cho b Từ suy (ab+1)(bc+1)(ca+1) chia hết cho abc Suy ab + bc + ca +1 chia hết cho abc Tức ab + bc + ca + = kabc với k số nguyên dương  1 1 + + + =k a b c abc Vì < a < b < c nên VT < 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/24 < suy k Nếu a ≥ b ≥ 4, c ≥ ta có VT ≤ 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/60 < số nguyên Vậy a Nếu b ≥ c ≥ ta có VT < 1/2 + 1/4 + 1/5 + 1/40 < Vậy b Thay vào phương trình, ta 1/2 + 1/3 + 1/c + 1/6c = => c = Vậy có ba số thoả mãn đề (2, 3, 7) Ghi chú: Bài toán tổng quát với n số có tính chất “Tích n-1 số cộng chia hết cho số lại” gọi toán Arnold (2000) Trong kỳ thi Olympic có 17 học sinh thi Toán mang số kí danh khoảng từ đến 100 Chứng tỏ chọn học sinh thi toán có tổng số kí danh mang chia hết cho Hướng dẫn: 1) Trước hết chức minh bổ đề sau: Từ số nguyên tìm ba số có tổng chia hết cho Điều làm cách xét hai trường hợp + Khi chia số cho 3, xuất ba số dư 0, 1, + Khi chia số cho 3, xuất không số dư 2) Áp dụng bổ đề, từ 17 số chọn số, chẳng hạn a 1, a2, a3 có tổng chia hết cho 3, tức a1 + a2 + a3 = 3k1 Tác riêng số này, lại 14 số, theo bổ đề, tồn số, chẳng hạn a4, a5, a6 cho a4 + a5 + a6 = 3k2 Tiếp tục vậy, tìm a + a8 + a9 = 3k3, a10 + a11 + a12 = 3k4, a13 + a14 + a15 = 3k5 Bây xét số k1, k2, k3, k4, k5 Cũng theo bổ đề, tồn số từ số có tổng chia hết cho Không tính tổng quát, giả sử k 1, k2, k3: k1 + k2 + k3 = 3k Khi rõ ràng a1, a2, …, a9 số cần tìm a1 + a2 + … + a9 = 3(k1+k2+k3) = 9k Ghi chú: Bài toán tổng quát “Chứng minh từ 2n-1 số nguyên tìm n số có tổng chia hết cho n” gọi định lý Erdos-Ginzburg-Ziv Gọi mệnh đề định lý P(n), cách sử dụng lý luận tương tự trên, ta chứng minh dễ dàng P(m) P(n) P(m.n) Sử dụng bổ đề P(3) (như trên) P(2) (khá hiển nhiên), ta suy P(6) P(8) … (1999) Cho x số thực cho x – x x4 – x số nguyên Chứng minh x số nguyên Hướng dẫn: 1) Giả sử x3 – x = a (1), x4 – x = b (2) Nếu a b suy x = 0, x=-1 x = Như x số nguyên Giả sử a, b khác Chia (2) cho (1), ta có b x4 − x x2 + x +1 = = a x3 − x x +1 Từ suy ax2 + (a-b)x + a – b = (3) Mặt khác, lấy (2) trừ cho (1) nhân với x, ta b – ax = x4 – x – x(x3 – x)  x2 = b + (1-a)x Thay vào (3), ta a(b + (1-a)x) + (a-b)x + a – b = Suy (a2 – 2a + b)x + ab + a – b = Như có hai khả xảy + Hoặc a2 – 2a + b = ab + a – b = + Hoặc x số hữu tỷ 2) Xem xét cụ thể hai khả này, trường hợp thứ hai suy x nguyên (1998) Tìm tất cặp số nguyên tố (x, y) thoả mãn phương trình: [ 1] + [ ] + + [ ] x − = y Hướng dẫn: 1) Hãy để ý VT = + + + + + + + + … + x-1 + … + x-1 = 3.1 + 5.2 + …+ (2x+1)(x-1) 2) Vận dụng công thức biết tổng + + … + n + 22 + … + n2 suy VT = ( x − 1) x(4 x + 1) 3) Thay vào phương trình, ta (x-1)x(4x+1) = 6y Từ suy 6y chia hết cho x Do y x số nguyên tố nên xảy trường hợp x = 2, x = 3, x = y Thử lại ta nghiệm (x = 2, y = 3) (x=3, y = 13) Một số tập số học chọn lọc Chứng minh số 41n với n nguyên dương biểu diễn dạng tổng bình phương hai số nguyên Cho n số nguyên dương d ước nguyên dương 2n Chứng minh n2 + d phương Tìm số nguyên tố p, q cho 2p + 2q chia hết cho p.q Tìm tất nghiệm nguyên (x; y) phương trình: x2 = y3 + 16 Tìm số n nguyên dương nhỏ cho 3n – chia hết cho 22004 6 Tìm tất số nguyên a để phương trình: x2 – (3+2a)x + 40 – a = có nghiệm nguyên [ ] Chứng minh (2 + ) n số lẻ với số tự nhiên n Tìm tất số hữu tỷ dương x, y cho x + y 1/x + 1/y số nguyên (VMO 2009) Cho a, b, c số thực thoả mãn điều kiện a n + bn + cn số nguyên với n = 1, 2, 3, … Chứng minh a, b, c nghiệm phương trình x3 + px2 + qx + r = với p, q, r số nguyên 10 (British MO 1995) Tìm tất số (a, b, c) cho  1 +     1 + 1 +  = a  b  c  11 (British MO 1996) Tìm tất ba số nguyên không âm (x, y, z) thoả mãn phương trình 2x + 3y = z2 12 (British MO 2009) Tìm tất nghiệm nguyên không âm phương trình x + y = 2009