Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính

Vì vậy đối với một hệ phương trình tuyến tính bất kì, việc áp dụng phương pháp nào sẽ cho kết quả tốt nhất cho việc nghiên cứu là rất quan trọng, nó mang đến lợi ích rất lớn trong ứng d

Chính vì vậy phải sử dụng các thuật toán sao cho khi xây dựng trên máy tính tiết kiệm thời gian và bộ nhớ nhất, đồng thời giảm thiểu sai số một cách tối đa

Các nhà toán học đã tìm ra nhiều phương pháp để giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính Mỗi phương pháp có những ưu điểm, nhược điểm nhất định Vì vậy đối với một hệ phương trình tuyến tính bất kì, việc áp dụng phương pháp nào sẽ cho kết quả tốt nhất cho việc nghiên cứu

là rất quan trọng, nó mang đến lợi ích rất lớn trong ứng dụng vào khoa học và thực tiễn

Chính vì vậy cùng với sự hướng dẫn tận tình của TS Nguyễn Văn Hùng, tôi đã chọn nghiên cứu đề tài:

“ Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính”

Tuy nhiên đề tài chỉ tập trung vào nghiên cứu 3 phương pháp trực tiếp là phương pháp Gauss, Gauss-joocdan và phương pháp Cholesky, 2 phương pháp lặp là phương pháp lặp đơn và phương pháp trực giao hoá

2 Mục đích nghiên cứu

-Đề tài nghiên cứu một số phương pháp số giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính

- Nghiên cứu ứng dụng bài toán về nhiệt động lực học

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

-Luận văn tập trung nghiên cứu và hệ thống hoá các phương pháp giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính Phân tích các ưu điểm, nhược điểm của từng phương pháp

-Ứng dụng tìm hàm biểu thị phụ thuộc của nhiệt dung phân tử các chất, hằng số cân bằng các chất vào nhiệt độ

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Phương pháp Gauss, phương pháp Gauss-Joocdan, phương pháp Cholesky, phương pháp lặp đơn và phương pháp trực giao giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính

-Các bài toán hoá lý

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu của giải tích số và đại số tuyến tính

6 Dự kiến đóng góp mới

Luận văn trình bày một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản và các ví dụ đối với mỗi phương pháp giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính trong phạm vi luận văn nghiên cứu

CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian định chuẩn

Số x được gọi là chuẩn của vecto x

Định nghĩa 2: Giả sử X là không gian vecto trên trường K, x là một chuẩn trên X, Khi đó

cặp X . được gọi là không gian định chuẩn

Định nghĩa 3: (Toán tử tuyến tính trong không gian định chuẩn)

A được gọi là toán tử tuyến tính bị chặn nếu M  0 sao cho : xX, Ax M.x (*) M là

một cận trên của toán tử A

Số M nhỏ nhất thoả mãn (*) gọi là chuẩn của toán tử A Kí hiệu A

1.2.1.1 Sai số tuyệt đối:

1.2.1.2 Sai số tương đối

p p p

1.2.3 Sai số quy tròn và quy tròn số

y x u

1.2.6 Sai số phương pháp, sai số tính toán và sự ổn định tính

1.2.6.1 Sai số tính toán và sai số phương pháp

1.2.6.2 Sự ổn định của quá trình tính

1.3 Hệ phương trình đại số tuyến tính

1.3.1 Dạng tổng quát của hệ phương trình tuyến tính

1.3.2 Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ phương trình tuyến tính khi m=n

x A m

x x

x A m

m

b M x

1.4 Các định nghĩa trong hoá lý

1.4.1 Nhiệt dung

Định nghĩa: Nhiệt dung là nhiệt lượng cần để làm nóng hệ thêm 10C

1.4.2 Hằng số cân bằng của phản ứng

khi một phản ứng đạt trạng thái cân bằng thì tỉ số giữa tích các hoạt độ của các sản phẩm phản ứng (được nâng luỹ thừa với số mũ bằng hệ số tỉ lượng trong phương trình phản ứng) và tích tương ứng của các chất phản ứng là một hằng số (ở nhiệt độ cho sẵn)

CHƯƠNG 2:MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 2.1 Hệ phương trình tuyến tính

2.2 Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính

2.2.1 Phương pháp Gauss

Xét hệ phương trình







































m n mn m

m

n n

n n

b x a x

a x a

b x a x

a x a

b x a x

a x a

2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 (2.2.1.1) Trong đó a,j, i 1 ,m;j 1 ,n là hệ số của hệ n x x x1, 2, , là ẩn cần tìm; b với i i 1 ,m là vế phải của hệ 2.2.1.1 Nội dung phương pháp Gauss Quá trình thuận: +Giả thiết a11 0 Loại trừ ẩn x1 ra khỏi hệ kể từ phương trình thứ 2 trở đi Khi này trừ phương trình đầu , ta còn n-1 phương trình n-1 ẩn là x2,x3, ,x n + Lặp lại quá trình trên đối với hệ mới này, ta sẽ loại trừ ẩn x2kể từ phương trình thứ 3 trở đi Ta nhận được hệ gồm n-2 phương trình n-2 ẩn là x3,x4, ,x n + Quá trình trên lặp đi lặp lại, cuối cùng ta nhận được hệ có dạng tam giác                       m n mn n n n n b x a b x a x a b x a x a x a 1 2 1 2 2 1 22 1 1 2 12 1 11

(2.2.1.2)

Quá trình ngịch:

+ Từ hệ (2.2.1.2) giải ra được x Bằng cách thế dần ta nhận được n x1,x2, ,x n và đó chính là nghiệm của hệ phương trình

2.2.1.2 Đánh giá phương pháp Gauss

+ Ưu điểm: Khối lượng tính toán ít hơn ct Cramer

+ Nhược điểm: Khi tìm nghiệm của hệ phương trình ta phải chia cho hệ số a ii k)  0 , thì nghiệm sẽ gặp sai số lớn

2.2.1.3 Một số ví dụ

5 , 0 3

5 , 1 2

2 2

6 3

, 0

4 3 2 1

4 3 2

1

4 3 2 1

4 3 2 1

x x x x

x x x

x

x x x x

x x x x

2 4

,

1

5 , 10 3

3 4

,

0

8 2

2 3

,

2

6 3

,

0

4 3 2

4 3 2

4 3 2

4 3 2

1

x x x

x x x

x x x

x x x

, 53

35 , 27 7

, 7 7

, 7

8 2

2 3

,

2

6 3

,

0

4

4 3

4 3

2

4 3

2

1

x

x x

x x

x

x x

a a a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

A

n n

n i n

nn nq

nj n

pn pq

pj p

in iq

ij i

n q

1 ,

1 ,

1 , 1

1 1 1

1 1

1 11

Ta sẽ loại ẩn x ra khỏi phương trình thứ q i  p

Các bước loại ẩn x ra khỏi phương trình thứ q i  p

Đặt  

pq

iq pj ij i pj ij

ij

a

a a a m a

n n j

p i

n n i

1 , , , 2 , 1

1 , , , 2 , 1

a

a a a

Kết quả ma trận A(1) có các phần tử a ij 1 như sau:

Các phần tử thuộc hàng giải thứ p thì a pj1 a pj; j 1 ,n 1 được giữ nguyên

Các phần tử thuộc cột giải thứ q đều bằng 0 trừ phần tử a pq

.Các phần tử khác đều tính theo công thức:   i p j q

a

a a a a

pq

iq pj ij

ij1   ;  ;  (2.2.2.3)

1 1 ,

1 1 ,

1 1 , 1

1 1

1 1

1 1 1 1 1

1 1

1 1

1 1 1

1 1 11

1

0

0

0

0

0

n n

n i n

nn nj

n

pn pq pj p

in ij

i

n j

a a a a

a a

a

a a a a

a a

a

a a

a

A (2.2.2.4) Bước 2: Lặp lại

quá trình như bước 1 đối với ma trận (2.2.2.4) để có ma trận A 2 Cứ tiếp tục như vậy sau n bước

ta sẽ thu được ma trận A n mà mỗi hàng chỉ còn một phần tử ứng với ẩn x và cột ở vế phải Từ k

đó ta có nghiệm của hệ

2.2.2.2 Đánh giá thuật toán

a, Ưu điểm: Số lượng phép tính giảm đáng kể, có thể tìm được nghiệm ngay khi thuật toán

kết thúc.Tránh được sai số lớn trong quá trình tính toán

b, Nhược điểm: Đối với hệ phương trình có hệ số không nguyên, số lượng ẩn lớn thì công

thức (2.2.2.3) được thực hiện nhiều lần sẽ cho kết quả không chính xác

33 11

4

20 2 3 8

3 2 1

3 2 1

3 2 1

x x x

x x x

x x x

Ta lập ma trận để tính theo công thức (2.2.2.3)

1 11 4

2 3 8

12 2 6

0 4

45 2 9

0 2

7 7

0 45 18

0 7 14

12 0 5 24

0 45 18

0 0 5

0 15 6

0 0 108

15 0 0

0 15 0

0 0 108

18

683 15

181 108

3 2 1

x x

3 2 1

x x x

b1; 2; ;

Ta biết ma trận vuông A (detA0) luôn phân tích được thành tích của 2 ma trận tam giác trên và

ma trận tam giác dưới.: A=P.Q

p

p p

0 0 0

2 1

22 21 11

q

q q

q q

q

0 0 0

1 12

11

Từ A=P.Q ta được hệ gồm n2 phương trình, n2+n ẩn là p ij (i  j); q ij (i  j).Đó là hệ vô định Thông thường trong trường hợp này ta chọn p ii =1, i= n1 , (hoặc q ii =1), ta được hệ n2phương trình, n2 ẩn

Từ (2.2.3.1) và (2.2.3.2) ta được: B=AX=PQX

Đặt QX=Y(2.2.2.3 Suy ra PY=B (2.2.3.4)

Hệ (2.2.3.3) và (2.2.3.4) có dạng tam giác Giải (2.2.3.4) được Y, Giải tiếp (2.2.3.3) ta được X là nghiệm của hệ (2.2.3.1)

Trong trường hợp A= a ij j n

, 1 ,  là ma trận đối xứng (a ija ji; i j), thì A có thể phân tích thành tích của ma trận tam giác trên, dưới, có đặc điểm P=Qt (Qt là ma trận chuyển vị của Q)

s

s s

s

s s

s s

0 0 0

22

1 13

12 11

Thì P=Qt=St và phương trình (8) được viết lại: AX=St.S.X=B

Đặt SX=Y (2.2.3.5); StY=B (2.2.3.6)

Giải hệ (2.2.3.6) ta được Y, giải tiếp hệ (2.2.3.5) được X là nghiệm của hệ (2.2.3.1)

Mô tả cụ thể cách tìm ma trận S và công thức tìm nghiệm của hệ (2.2.3.5) và (2.2.3.6)

i

k ki ii

ij

ij

s

s s

Giải hệ StY=B để tìm Y, ta có:

11

1 1

y s b y

ii

i

k k ki i

i

Sau đó giải tiếp hệ SX=Y để tìm X, ta có :

nn

n n

x

ii

n

i k k ik i

2.2.3.2 Đánh giá thuật toán

Ưu điểm: Thuật toán áp dụng cho cả trường hợp b ij là những số thuần ảo

Nhược điểm: Khối lượng tính toán lớn, Quá trình thực hiện phức tạp

2.2.3.3 Ví dụ

Ví dụ: Giải hệ phương trình sau:

2 3

2

1 , 8 3 5

2

4 , 6 2 2 3 5

2

6 , 5 3 5

4 3

5 , 1 2 2

3

5 4

3 2

1

5 4

3 2

5 4 3

2 1

5 4

3 2 1

5 3

2 1

x x

x x x

x x

x x

x x

x x x

x x

x x x

x x

x x

3 5 2 1 0

2 2 3 5 2

3 1 5 4 3

2 0 2 3 1

s s

; 0414 , 3

Định lý: Nếu B  1 Khi đó mọi dãy lặp x k1Bx k g; k=0,1,2,…; x0 bất kì cho trước,

đều hội tụ đến nghiệm duy nhất x* của hệ (2.2.4.1) và 1

2.2.4.2 Thuật toán

Cho hệ phương trình tuyến tính: Ax=C (1)

B1: Ấn định sai số cho phép  , (   0 )

B2: Đưa hệ AX=B về hệ tương đương x=Bx+g (2.2.4.1)

B3: Kiểm tra điều kiện B <1

B4: Chọn x0 tuỳ ý

B5: Tính x k1Bx k g; k=0,1,2, cho tới khi x k x k1   thì dừng quá trình tính toán

B6: Kết luận nghiệm x*=x k với sai số 

B

B x

x k





 1

2.2.4.3 Đánh giá thuật toán

2.2.4.4 Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp đơn:

,

1

7 , 9 5 , 4 9 2

,

2

7 , 1 3 , 2 5 , 1 6

,

5

3 2 1

3 2 1

3 2 1

x x x

x x x

x x x

,

0

97 , 0 45 , 0 1 , 0 22 , 0

17 , 0 23 , 0 15 , 0 44

,

0

3 2

1 3

3 2

1 2

3 2

1 1

x x

x x

x x

x x

x x

x x

1 2

j j

Giải hệ AX=B với ma trận A không suy biến Ta viết lại hệ trên dưới dạng toạ độ như sau:

1

1

1 1

1

1

1 , , 3 , 2 , ,

,

k

k k i i k k

u

u v v v a a

u

u

u v

u rút ra u n 1 trực giao với mọi vecto a i

t a

n

j j ij

, 1

t b a

n

j

n i ij

, 1

b t

t a

n

j

i n

j ij

, 1

x

n

j j n j

b a

n

j

i ij

, 1

1

1

1 1

1

1

1 , , 3 , 2 , ,

,

k

k k i i k k

u

u v v v a a

u

u

u v

u Đặt u n1t1,t2, ,t n1 Suy ra t 1 0

B4: Kết luận nghiệm  n

j j

x x

t t

x ; j 1 ,n (2.2.5.4)

2.2.5.3 Ví dụ: Giải hệ phương trình bằng phương pháp trực giao:

1 5

2

1 2

3 2 1

3 2 1

3 2 1

x x x

x x x

x x x

Giải: Viết hệ trên về dạng:

0 1 5

2

0 1 2

3 2 1

3 2 1

3 2 1

x x x

x x x

x x x

1

; 7

2

; 7

1

; 3

1

; 0

1

; 0

; 0

1

; 21

1

; 7

1

3    

x

2.2.5.4 Đánh giá thuật toán

Ưu điểm: - Phương pháp này tương đối đơn giản, dễ lập trình trên máy

- Khối lượng tính toán ít (cỡ n phép tính) 3

Nhược điểm: Tuy nhiên không ổn định và kém chính xác so với phương pháp Gauss Do quá trình trực giao hoá Hilber_Schmidt theo công thức (2.2.5.3) không ổn định Sai số nhỏ có thể làm

Giải : Việc tính toán các hệ số a, b, c được đưa về giải hệ phương trình tuyến tính sau:

i i

i i

i i

i i i

i i

i i

i i

i

i i

i i

x c x b x a y

x

x c x b x a y

x

x c x b na y

4 3

2 2

3 2

1 2

a

c b a

c b a

4676 784

140 29 , 2070

784 140 28 29 , 402

140 28 8 21 , 105

Cho Sự phụ thuộc C p vào nhiệt độ T là hàm có dạng: C p abT cT 2

Giải: a,b,c là nghiệm của hệ phương trình sau:

Việc giải hệ phương trình này với các ẩn a, b, c cho chúng ta kết quả

Sử dụng phương pháp Gauss giải hệ phương trình trên ta nhận được kết quả:

3.2 Tìm hàm biểu thị sự phụ thuộc hằng số cân bằng của các chất vào nhiệt độ

Phương trình biểu thị sự phụ thuộc của hằng số cân bằng vào nhiệt độ có dạng:

)

6

1 2

1 ln (

576

Bài toán 3: Ta có phản ứng MoO 3 =Mo+3O

Xác định hằng số cân bằng của các quá trình phân li này ở các nhiệt độ khác nhau

Biết các giá trị thực nghiệm lgK p ở nhiều nhiệt độ khác nhau như sau:

0  4 , 227821699 10

H ; a 3 , 2794064602 ; b  3 , 1697759471 103;

10 6761150243

Luận văn đã trình bày hai nhóm phương pháp giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính đó

là nhóm phương pháp trực tiếp và nhóm phương pháp lặp Luận văn nêu được phương pháp giải, các ví dụ cụ thể và đánh giá thuật toán Luận văn đã chỉ ra những ưu điểm, nhược điểm của từng phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính đã được trình bày

Ngoài ra luận văn đã trình bày một số ứng dụng việc giải hệ phương trình tuyến tính trong các bài toán hoá lý Đó là bài toán tìm hàm biểu thị sự phụ thuộc nhiệt dung phân tử của các chất vào nhiệt độ và hàm biểu thị sự phụ thuộc hằng số cân bằng của các chất vào nhiệt độ

Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong tìm tòi và nghiên cứu, song do bản thân em chưa tiếp cận nhiều với công việc nghiên cứu nên chưa có nhiều sáng tạo trong quá trình nghiên cứu Vì vậy

luận văn không tránh khỏi thiếu sót Em rất mong nhận được sự chỉ bảo, đóng góp của các thầy cô

Chính vì vậy phải sử dụng các thuật toán sao cho khi xây dựng trên máy tính tiết kiệm thời gian và bộ nhớ nhất, đồng thời giảm thiểu sai số một cách tối đa

Các nhà toán học đã tìm ra nhiều phương pháp để giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính Mỗi phương pháp có những ưu điểm, nhược điểm nhất định Vì vậy đối với một hệ phương trình tuyến tính bất kì, việc áp dụng phương pháp nào sẽ cho kết quả tốt nhất cho việc nghiên cứu

là rất quan trọng, nó mang đến lợi ích rất lớn trong ứng dụng vào khoa học và thực tiễn

Chính vì vậy cùng với sự hướng dẫn tận tình của TS Nguyễn Văn Hùng, tôi đã chọn nghiên cứu đề tài:

“ Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính”

Tuy nhiên đề tài chỉ tập trung vào nghiên cứu 3 phương pháp trực tiếp là phương pháp Gauss, Gauss-joocdan và phương pháp Cholesky, 2 phương pháp lặp là phương pháp lặp đơn và phương pháp trực giao hoá

5 Mục đích nghiên cứu

-Đề tài nghiên cứu một số phương pháp số giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính

- Nghiên cứu ứng dụng bài toán về nhiệt động lực học

6 Nhiệm vụ nghiên cứu

-Luận văn tập trung nghiên cứu và hệ thống hoá các phương pháp giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính Phân tích các ưu điểm, nhược điểm của từng phương pháp

-Ứng dụng tìm hàm biểu thị phụ thuộc của nhiệt dung phân tử các chất, hằng số cân bằng các chất vào nhiệt độ

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Phương pháp Gauss, phương pháp Gauss-Joocdan, phương pháp Cholesky, phương pháp lặp đơn và phương pháp trực giao giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính

-Các bài toán hoá lý

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu của giải tích số và đại số tuyến tính

Số x được gọi là chuẩn của vecto x

Định nghĩa 2: Giả sử X là không gian vecto trên trường K, x là một chuẩn trên X, Khi đó

cặp X . được gọi là không gian định chuẩn

Định nghĩa 3: (Toán tử tuyến tính trong không gian định chuẩn)

A được gọi là toán tử tuyến tính bị chặn nếu M  0 sao cho : xX, Ax M.x (*) M là

một cận trên của toán tử A

Số M nhỏ nhất thoả mãn (*) gọi là chuẩn của toán tử A Kí hiệu A

Định nghĩa 5: Dãy điểm  x n trong không gian định chuẩn X được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu lim 0

1.2.1.1 Sai số tuyệt đối:

1.2.1.2 Sai số tương đối

p p p

 Với  là số cho trước

1.2.3 Sai số quy tròn và quy tròn số

y x u

1.2.6 Sai số phương pháp, sai số tính toán và sự ổn định tính

1.2.6.1 Sai số tính toán và sai số phương pháp

1.2.6.2 Sự ổn định của quá trình tính

1.3 Hệ phương trình đại số tuyến tính

1.3.1 Dạng tổng quát của hệ phương trình tuyến tính

1.3.2 Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ phương trình tuyến tính khi m=n

Giả sử x là nghiệm của phương trình Ax=b (1)

x

x

x'    là nghiệm của phương trình Ax’=b’ với b’=b+b

Khi đó : 1inf ( ) . 1 ( ) . 1 ( )

m

x x

x A m

x x

x A m

x



















Suy ra A x

m

 1 Do đó  b

m

M

b Ax M x

M

M

x  1  1  Vậy

b

b A cond b

m

b M x









) (

1.4 Các định nghĩa trong hoá lý

1.4.1 Nhiệt dung

Định nghĩa: Nhiệt dung là nhiệt lượng cần để làm nóng hệ thêm 10C

1.4.2 Hằng số cân bằng của phản ứng

khi một phản ứng đạt trạng thái cân bằng thì tỉ số giữa tích các hoạt độ của các sản phẩm phản ứng (được nâng luỹ thừa với số mũ bằng hệ số tỉ lượng trong phương trình phản ứng) và tích tương ứng của các chất phản ứng là một hằng số (ở nhiệt độ cho sẵn)

CHƯƠNG 2:MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 2.1 Hệ phương trình tuyến tính

2.2 Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính

2.2.1 Phương pháp Gauss

Xét hệ phương trình







































m n mn m

m

n n

n n

b x a x

a x a

b x a x

a x a

b x a x

a x a

2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 (2.2.1.1) Trong đó a,j, i 1 ,m;j 1 ,n là hệ số của hệ n x x x1, 2, , là ẩn cần tìm; b i với i 1 ,m là vế phải của hệ 2.2.1.4 Nội dung phương pháp Gauss Quá trình thuận: +Giả thiết a11 0 Loại trừ ẩn x1 ra khỏi hệ kể từ phương trình thứ 2 trở đi Khi này trừ phương trình đầu , ta còn n-1 phương trình n-1 ẩn là x2,x3, ,x n + Lặp lại quá trình trên đối với hệ mới này, ta sẽ loại trừ ẩn x2kể từ phương trình thứ 3 trở đi Ta nhận được hệ gồm n-2 phương trình n-2 ẩn là x3,x4, ,x n + Quá trình trên lặp đi lặp lại, cuối cùng ta nhận được hệ có dạng tam giác                       m n mn n n n n b x a b x a x a b x a x a x a 1 2 1 2 2 1 22 1 1 2 12 1 11

(2.2.1.2)

Quá trình ngịch:

+ Từ hệ (2.2.1.2) giải ra được x Bằng cách thế dần ta nhận được n x1,x2, ,x n và đó chính là nghiệm của hệ phương trình

2.2.1.5 Đánh giá phương pháp Gauss

+ Ưu điểm: Khối lượng tính toán ít hơn ct Cramer

+ Nhược điểm: Khi tìm nghiệm của hệ phương trình ta phải chia cho hệ số a ii k)  0 , thì nghiệm sẽ gặp sai số lớn

5 , 0 3

5 , 1 2

2 2

6 3

, 0

4 3 2 1

4 3 2

1

4 3 2 1

4 3 2 1

x x x x

x x x

x

x x x x

x x x x

2 4

,

1

5 , 10 3

3 4

,

0

8 2

2 3

,

2

6 3

,

0

4 3 2

4 3 2

4 3 2

4 3 2

1

x x x

x x x

x x x

x x x

, 53

35 , 27 7

, 7 7

, 7

8 2

2 3

,

2

6 3

,

0

4

4 3

4 3

2

4 3

2

1

x

x x

x x

x

x x

a a a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

A

n n

n i n

nn nq

nj n

pn pq

pj p

in iq

ij i

n q

1 ,

1 ,

1 , 1

1 1 1

1 1

1 11

Ta sẽ loại ẩn x ra khỏi phương trình thứ q i  p

Các bước loại ẩn x q ra khỏi phương trình thứ i  p

a

a a a m a

n n j

p i

n n i

1 , , , 2 , 1

1 , , , 2 , 1

a

a a a

Kết quả ma trận ( 1 )

A có các phần tử a ij 1 như sau:

Các phần tử thuộc hàng giải thứ p thì a pj1 a pj; j 1 ,n 1 được giữ nguyên

Các phần tử thuộc cột giải thứ q đều bằng 0 trừ phần tử a pq

.Các phần tử khác đều tính theo công thức:   i p j q

a

a a a a

pq

iq pj ij

ij1   ;  ;  (2.2.2.3)

1 1 ,

1 1 ,

1 1 , 1

1 1

1 1

1 1 1 1 1

1 1

1 1

1 1 1

1 1 11

1

0

0

0

0

0

n n

n i n

nn nj

n

pn pq pj p

in ij

i

n j

a a a a

a a

a

a a a a

a a

a

a a

a

A (2.2.2.4) Bước 2: Lặp lại

quá trình như bước 1 đối với ma trận (2.2.2.4) để có ma trận A 2 Cứ tiếp tục như vậy sau n bước

ta sẽ thu được ma trận A n mà mỗi hàng chỉ còn một phần tử ứng với ẩn x k và cột ở vế phải Từ

đó ta có nghiệm của hệ

2.2.2.2 Đánh giá thuật toán

a, Ưu điểm: Số lượng phép tính giảm đáng kể, có thể tìm được nghiệm ngay khi thuật toán kết thúc.Tránh được sai số lớn trong quá trình tính toán

b, Nhược điểm: Đối với hệ phương trình có hệ số không nguyên, số lượng ẩn lớn thì công thức (2.2.2.3) được thực hiện nhiều lần sẽ cho kết quả không chính xác

33 11

4

20 2 3 8

3 2 1

3 2 1

3 2 1

x x x

x x x

x x x

1 11 4

2 3 8

12 2 6

0 4

45 2 9

0 2

7 7

0 45 18

0 7 14

12 0 5 24

0 45 18

0 0 5

0 15 6

0 0 108

15 0 0

0 15 0

0 0 108

18

683 15

181 108

3 2 1

x x

3 2 1

x x x

b1; 2; ;

Ta biết ma trận vuông A (detA0) luôn phân tích được thành tích của 2 ma trận tam giác trên và

ma trận tam giác dưới.: A=P.Q

p

p p

0 0 0

2 1

22 21 11

q

q q

q q

q

0 0 0

1 12

11

Từ A=P.Q ta được hệ gồm n2 phương trình, n2+n ẩn là p ij (i  j); q ij (i  j).Đó là hệ vô định Thông thường trong trường hợp này ta chọn p ii =1, i= n1 , (hoặc q ii =1), ta được hệ n2phương trình, n2 ẩn

Từ (2.2.3.1) và (2.2.3.2) ta được: B=AX=PQX

Đặt QX=Y(2.2.2.3 Suy ra PY=B (2.2.3.4)

Hệ (2.2.3.3) và (2.2.3.4) có dạng tam giác Giải (2.2.3.4) được Y, Giải tiếp (2.2.3.3) ta được X là nghiệm của hệ (2.2.3.1)

Trong trường hợp A= a ij j n

, 1 ,  là ma trận đối xứng (a ija ji; i j), thì A có thể phân tích

thành tích của ma trận tam giác trên, dưới, có đặc điểm P=Qt (Qt là ma trận chuyển vị của Q)

s

s s

s

s s

s s

0 0 0

22

1 13

12 11

Thì P=Qt=St và phương trình (8) được viết lại: AX=St.S.X=B

Đặt SX=Y (2.2.3.5); StY=B (2.2.3.6)

Giải hệ (2.2.3.6) ta được Y, giải tiếp hệ (2.2.3.5) được X là nghiệm của hệ (2.2.3.1)

Mô tả cụ thể cách tìm ma trận S và công thức tìm nghiệm của hệ (2.2.3.5) và (2.2.3.6)

i

k ki ii

ij

ij

s

s s

Giải hệ StY=B để tìm Y, ta có:

11

1 1

ii

i

k k ki i

i

Sau đó giải tiếp hệ SX=Y để tìm X, ta có :

nn

n n

s y

x  ;

1 (i n)

s

x s y

x

ii

n

i k k ik i

2.2.3.2 Đánh giá thuật toán

Ưu điểm: Thuật toán áp dụng cho cả trường hợp b ij là những số thuần ảo

Nhược điểm: Khối lượng tính toán lớn, Quá trình thực hiện phức tạp

2 3

2

1 , 8 3 5

2

4 , 6 2 2 3 5

2

6 , 5 3 5

4 3

5 , 1 2 2

3

5 4

3 2

1

5 4

3 2

5 4 3

2 1

5 4

3 2 1

5 3

2 1

x x

x x x

x x

x x

x x

x x x

x x

x x x

x x

x x

3 5 2 1 0

2 2 3 5 2

3 1 5 4 3

2 0 2 3 1

s s

; 0414 , 3

Nguyên lý ánh xạ co:

Định lý: Nếu B  1 Khi đó mọi dãy lặp x k1Bx k g; k=0,1,2,…; x0 bất kì cho trước,

đều hội tụ đến nghiệm duy nhất x* của hệ (2.2.4.1) và 1

2.2.4.2 Thuật toán

Cho hệ phương trình tuyến tính: Ax=C (1)

B1: Ấn định sai số cho phép  , (   0 )

B2: Đưa hệ AX=B về hệ tương đương x=Bx+g (2.2.4.1)

B3: Kiểm tra điều kiện B <1

B4: Chọn x tuỳ ý 0

B5: Tính x k1Bx k g; k=0,1,2, cho tới khi x k x k1   thì dừng quá trình tính toán

B6: Kết luận nghiệm x*=x k với sai số 

B

B x

x k





 1

2.2.4.3 Đánh giá thuật toán

2.2.4.4 Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp đơn:

,

1

7 , 9 5 , 4 9 2

,

2

7 , 1 3 , 2 5 , 1 6

,

5

3 2 1

3 2 1

3 2 1

x x x

x x x

x x x

,

0

97 , 0 45 , 0 1 , 0 22 , 0

17 , 0 23 , 0 15 , 0 44

,

0

3 2

1 3

3 2

1 2

3 2

1 1

x x

x x

x x

x x

x x

x x

1 2

j j

1

1 1

1

1

1 , , 3 , 2 , ,

,

k

k k i i k k

u

u v v v a a

u

u

u v

u rút ra u n 1 trực giao với mọi vecto a i

t a

n

j j ij

, 1

t b a

n

j

n i ij

, 1

b t

t a

n

j

i n

j ij

, 1

x

n

j j n j

b a

n

j

i ij

, 1

1

1 1

1

1

1 , , 3 , 2 , ,

,

k

k k i i k k

u

u v v v a a

u

u

u v

u Đặt u n1 t1 ,t2 , ,t n1 Suy ra t 1 0

B4: Kết luận nghiệm  n

j j

x x

1 5

2

1 2

3 2 1

3 2 1

3 2 1

x x x

x x x

x x x

Giải: Viết hệ trên về dạng:

0 1 5

2

0 1 2

3 2 1

3 2 1

3 2 1

x x x

x x x

x x x

1

; 7

2

; 7

1

; 3

1

; 0

1

; 0

; 0

1

; 21

1

; 7

1

3    

x

2.2.5.4 Đánh giá thuật toán

Ưu điểm: - Phương pháp này tương đối đơn giản, dễ lập trình trên máy

- Khối lượng tính toán ít (cỡ n3 phép tính)

Nhược điểm: Tuy nhiên không ổn định và kém chính xác so với phương pháp Gauss Do quá trình trực giao hoá Hilber_Schmidt theo công thức (2.2.5.3) không ổn định Sai số nhỏ có thể làm

3.1 Tìm hàm biểu thị sự phụ thuộc nhiệt dung phân tử của các chất vào nhiệt độ

Cho sự phụ thuộc C p vào nhiệt độ T là hàm có dạng: C p =a+bT+cT 2

Giải : Việc tính toán các hệ số a, b, c được đưa về giải hệ phương trình tuyến tính sau:

i i

i i

i i

i i i

i i

i i

i i

i

i i

i i

x c x b x a y

x

x c x b x a y

x

x c x b na y

4 3

2 2

3 2

1 2

a

c b a

c b a

4676 784

140 29 , 2070

784 140 28 29 , 402

140 28 8 21 , 105

T i 1800 1900 2000 2100 2200 2300

(C p ) i 5,95 6,00 6,05 6,09 6,13 6,17

Cho Sự phụ thuộc C p vào nhiệt độ T là hàm có dạng: C p abT cT 2

Giải: a,b,c là nghiệm của hệ phương trình sau:

Việc giải hệ phương trình này với các ẩn a, b, c cho chúng ta kết quả

3.2 Tìm hàm biểu thị sự phụ thuộc hằng số cân bằng của các chất vào nhiệt độ

Phương trình biểu thị sự phụ thuộc của hằng số cân bằng vào nhiệt độ có dạng:

)

6

1 2

1 ln (

576

Bài toán 3: Ta có phản ứng MoO 3 =Mo+3O

Xác định hằng số cân bằng của các quá trình phân li này ở các nhiệt độ khác nhau

Biết các giá trị thực nghiệm lgKp ở nhiều nhiệt độ khác nhau như sau:

6 0 3

0 3

0  4 , 227821699 10

H ; a 3 , 2794064602 ; b  3 , 1697759471 103;

7

10 6761150243

KẾT LUẬN

Luận văn đã trình bày hai nhóm phương pháp giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính đó

là nhóm phương pháp trực tiếp và nhóm phương pháp lặp Luận văn nêu được phương pháp giải, các ví dụ cụ thể và đánh giá thuật toán Luận văn đã chỉ ra những ưu điểm, nhược điểm của từng phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính đã được trình bày

Ngoài ra luận văn đã trình bày một số ứng dụng việc giải hệ phương trình tuyến tính trong các bài toán hoá lý Đó là bài toán tìm hàm biểu thị sự phụ thuộc nhiệt dung phân tử của các chất vào nhiệt độ và hàm biểu thị sự phụ thuộc hằng số cân bằng của các chất vào nhiệt độ

Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong tìm tòi và nghiên cứu, song do bản thân em chưa tiếp cận nhiều với công việc nghiên cứu nên chưa có nhiều sáng tạo trong quá trình nghiên cứu Vì vậy luận văn không tránh khỏi thiếu sót Em rất mong nhận được sự chỉ bảo, đóng góp của các thầy cô

để đề tài thực sự là đóng góp có ích

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Văn Hùng, người

đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện khoá luận

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo trong khoa toán, phòng sau đại học đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành khoá luận

Tôi xin chân thành cảm ơn đồng nghiệp, các bạn học viên k13 toán giải tích đã giúp đỡ tôi hoàn thành khoá luận này

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 11 năm 2011

Học viên

Lê Thị Hằng

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu riêng của tôi

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự chân trọng và lòng biết ơn

Những kết quả nêu trong khoá luận chưa được công bố trên bất kỳ công trình nào khác

Hà Nội, tháng 11 năm 2011

1.1 Không gian định chuẩn 5 1.2 Sai số 7 1.3 Hệ phương trình đại số tuyến tính 12 1.4 Các định nghĩa trong hoá lý 15

Chương 2: Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính

2.1 Hệ phương trình tuyến tính 16 2.2 Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 17 2.2.1 Phương pháp Gauss 17 2.2.2 Phương pháp Gauss_Joocdan 21 2.2.3 Phương pháp Cholesky 25 2.2.4 Phương pháp lặp đơn 29 2.2.5 Phương pháp trực giao 32 Chương 3: Ứng dụng các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính

3.1 Tìm hàm biểu thị sự phụ thuộc nhiệt dung phân tử của các chất vào nhiệt độ 36 3.2 Tìm hàm biểu thị sự phụ thuộc hằng số cân bằng của các chất vào nhiệt độ 46 Kết luận 53 Tài liệu tham khảo 54

số liệu không tránh khỏi sai số dù là rất nhỏ nhưng cũng ảnh hưởng trực tiếp đến quá trình tính toán

Chính vì vậy phải sử dụng các thuật toán sao cho khi xây dựng trên máy tính tiết kiệm thời gian và bộ nhớ nhất, đồng thời giảm thiểu sai số một cách tối đa

Các nhà toán học đã tìm ra nhiều phương pháp để giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính Mỗi phương pháp có những ưu điểm, nhược điểm nhất định Vì vậy đối với một hệ phương trình tuyến tính bất kì, việc áp dụng phương pháp nào sẽ cho kết quả tốt nhất cho việc nghiên cứu là rất quan trọng, nó mang đến lợi ích rất lớn trong ứng dụng vào khoa học và thực tiễn

Chính vì vậy cùng với sự hướng dẫn tận tình của TS Nguyễn Văn Hùng, tôi đã chọn nghiên cứu đề tài:

“ Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính”

Tuy nhiên đề tài chỉ tập trung vào nghiên cứu 3 phương pháp trực tiếp

là phương pháp Gauss, Gauss-joocdan và phương pháp Cholesky, 2 phương pháp lặp là phương pháp lặp đơn và phương pháp trực giao hoá

9 Nhiệm vụ nghiên cứu

-Luận văn tập trung nghiên cứu và hệ thống hoá các phương pháp giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính Phân tích các ưu điểm, nhược điểm của từng phương pháp

-Ứng dụng tìm hàm biểu thị phụ thuộc của nhiệt dung phân tử các chất, hằng số cân bằng các chất vào nhiệt độ

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Phương pháp Gauss, phương pháp Gauss-Joocdan, phương pháp Cholesky, phương pháp lặp đơn và phương pháp trực giao giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính

-Các bài toán hoá lý

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu của giải tích số và đại số tuyến tính

6 Dự kiến đóng góp mới

Luận văn trình bày một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản và các ví

dụ đối với mỗi phương pháp giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính trong phạm vi luận văn nghiên cứu

Được gọi là chuẩn trên X nếu nó thoả mãn các tiên đề sau:

1 xX, x 0; x 0 x0

2 xX,K,x  x

3 x,yX, x y  x  y

Định nghĩa 2: Giả sử X là không gian vecto trên trường K, x là một chuẩn trên X, Khi đó cặp X,. được gọi là không gian định chuẩn

X,  là không gian định chuẩn thực hay phức nếu K là trường thực

hay phức

Định nghĩa 3: (Toán tử tuyến tính trong không gian định chuẩn)

Cho X,Y là các không gian định chuẩn trên trường K, ánh xạ A: X  Y

là toán tử tuyến tính nếu:

i, A(x y) Ax Ay,x,yX

ii, A(x)Ax,K,xX

A được gọi là toán tử tuyến tính bị chặn nếu M 0 sao cho :

x M Ax

X

M là một cận trên của toán tử A

Số M nhỏ nhất thoả mãn (*) gọi là chuẩn của toán tử A Kí hiệu A

là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu lim 0

Không gian định chuẩn X là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản đều hội tụ

), ,,

x x

1 2

Công thức trên xác định một chuẩn trên k

E

Không gian định chuẩn tương ứng kí hiệu là k

E

k

E là không gian Banach

Ví dụ 2: Cho không gian vecto l Với vecto bất kì 2 x x n l2 đặt

x Công thức trên xác định một chuẩn trên l 2

Không gian định chuẩn tương ứng kí hiệu là l 2

2

l là không gian Banach

1.2 Sai số

1.2.1 Sai số, số xấp xỉ

1.2.1.1 Sai số tuyệt đối:

Trong tính toán, ta thường chỉ làm việc với những giá trị gần đúng của một đại lượng, do đó ta phải nghiên cứu vấn đề sai số Nghiên cứu đại lượng

A ta chỉ thu được đại lượng gần đúng a Khi đó ta nói a là đại lượng xấp xỉ của A

Kí hiệu a  A (Đọc là a xấp xỉ với A)

Nếu a  A thì a được gọi là xấp xỉ dư (thừa) của A

Nếu a  A thì a được gọi là xấp xỉ thiếu của A

 a  A được gọi là sai số thực sự của số xấp xỉ a

Do A nói chung không biết nên  cũng không biết, vì vậy ta phải ước lượng sai số đó bằng số dương  , sao cho: a aA a (*)

Số  được gọi là sai số tuyệt đối của a a

Nếu số xấp xỉ a của A có sai số tuyệt đối là  thì qui ước cách viết là: a

a

a

A  , hay aa  Aaa

1.2.1.2 Sai số tương đối

Số  là sai số tuyệt đối của a a

Rõ ràng sai số tuyệt đối  không nói lên được chất lượng của phép a

đo Do vậy người ta đưa vào khái niệm sai số tương đối

Ta gọi

a

a a

p p p

 Với  là số cho trước

Tham số  được chọn để một chữ số chắc sau khi thu gọn vẫn là chữ

số chắc

Ví dụ: a=1,70134; 3

10001,

 ta nói chữ số là chắc theo nghĩa hẹp

Chú ý: Khi viết số gần đúng ta chỉ nên giữ lại một hai chữ số không chắc để khi tính toán sai số chỉ tác động nên những chữ số không chắc mà thôi

1.2.3 Sai số quy tròn và quy tròn số

Quy ước: Nếu chữ số đầu tiên bỏ đi (Kể từ trái qua phải) lớn hơn hoặc bằng 5 thì chữ số giữ lại cuối cùng trong số đó được nâng lên 1 đơn vị, còn nếu nó nhỏ hơn 5 thì chữ số cuối cùng giữ lại được giữ nguyên

Xét số xấp xỉ a có sai số tuyệt đối là a (sai số phương pháp) Giả sử

số a được qui tròn thành a’ có sai số qui tròn tuyệt đối là a Vậy số xấp xỉ a’ cuối cùng (a’ A) sẽ có sai số tuyệt đối là tổng của sai số phương pháp và sai

số tính toán (do qui tròn số) sẽ là: