Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính

0 Tóm tắt LV MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài. Việc giải bài toán tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính có ý nghĩa to lớn trong việc nghiên cứu khoa học cũng như trong thực tế. Để tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính bằng lý thuyết của đại số tuyến tính phải thực hiện rất nhiều các phép biến đổi sơ cấp trên các hàng, cột của ma trận. Điều này làm tăng khối lượng tính toán, hơn nữa lại gặp khó khăn về vấn đề logic trong trình bày. Mặt khác khi xây dựng chương trình trên máy tốn nhiều thời gian và mất nhiều bộ nhớ. Vì vậy trong thời gian sử lý số liệu không tránh khỏi sai số dù là rất nhỏ nhưng cũng ảnh hưởng trực tiếp đến quá trình tính toán. Chính vì vậy phải sử dụng các thuật toán sao cho khi xây dựng trên máy tính tiết kiệm thời gian và bộ nhớ nhất, đồng thời giảm thiểu sai số một cách tối đa. Các nhà toán học đã tìm ra nhiều phương pháp để giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính. Mỗi phương pháp có những ưu điểm, nhược điểm nhất định. Vì vậy đối với một hệ phương trình tuyến tính bất kì, việc áp dụng phương pháp nào sẽ cho kết quả tốt nhất cho việc nghiên cứu là rất quan trọng, nó mang đến lợi ích rất lớn trong ứng dụng vào khoa học và thực tiễn. Chính vì vậy cùng với sự hướng dẫn tận tình của TS Nguyễn Văn Hùng, tôi đã chọn nghiên cứu đề tài: “ Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính”. Tuy nhiên đề tài chỉ tập trung vào nghiên cứu 3 phương pháp trực tiếp là phương pháp Gauss, Gauss-joocdan và phương pháp Cholesky, 2 phương pháp lặp là phương pháp lặp đơn và phương pháp trực giao hoá 2. Mục đích nghiên cứu. -Đề tài nghiên cứu một số phương pháp số giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính. - Nghiên cứu ứng dụng bài toán về nhiệt động lực học. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu. -Luận văn tập trung nghiên cứu và hệ thống hoá các phương pháp giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính. Phân tích các ưu điểm, nhược điểm của từng phương pháp. -Ứng dụng tìm hàm biểu thị phụ thuộc của nhiệt dung phân tử các chất, hằng số cân bằng các chất vào nhiệt độ. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu. - Phương pháp Gauss, phương pháp Gauss-Joocdan, phương pháp Cholesky, phương pháp lặp đơn và phương pháp trực giao giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính. -Các bài toán hoá lý 5. Phương pháp nghiên cứu. Phương pháp nghiên cứu của giải tích số và đại số tuyến tính 6. Dự kiến đóng góp mới. 1 Luận văn trình bày một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản và các ví dụ đối với mỗi phương pháp giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính trong phạm vi luận văn nghiên cứu. CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Không gian định chuẩn 1.1.1. Một số định nghĩa Định nghĩa 1: Giả sử X là một không gian vecto trên trường K (K=R hoặc K=C). Một ánh xạ kí hiệu là . . : RX  xx  Được gọi là chuẩn trên X nếu nó thoả mãn các tiên đề sau: 1. 00;0,  xxxXx 2. xxKXx   ,, 3. yxyxXyx  ,, Số x được gọi là chuẩn của vecto x. Định nghĩa 2: Giả sử X là không gian vecto trên trường K, x là một chuẩn trên X, Khi đó cặp   .,X được gọi là không gian định chuẩn. Định nghĩa 3: (Toán tử tuyến tính trong không gian định chuẩn) A được gọi là toán tử tuyến tính bị chặn nếu 0  M sao cho : xMAxXx .,  (*). M là một cận trên của toán tử A. Số M nhỏ nhất thoả mãn (*) gọi là chuẩn của toán tử A. Kí hiệu A . Khi đó   XxxMAxMA  ,./0inf Định nghĩa 4: Dãy điểm   n x trong không gian định chuẩn X hội tụ đến điểm Xx  nếu 0lim   xx n n . Kí hiệu xx n n   lim hay )(  nxx n Định nghĩa 5: Dãy điểm   n x trong không gian định chuẩn X được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu 0lim ,   mn mn xx . 1.2. Sai số 1.2.1. Sai số, số xấp xỉ 1.2.1.1. Sai số tuyệt đối: 1.2.1.2. Sai số tương đối 1.2.2. Chữ số có nghĩa, chữ số chắc 1.2.2.1. Chữ số có nghĩa 1.2.2.2. Chữ số chắc. Xét số a=    qp qp p p p p      10 10.10 1 1  . Chữ j  được gọi là chữ số chắc nếu i a 10.   . Với  là số cho trước. 2 1.2.3. Sai số quy tròn và quy tròn số. 1.2.4. Cách viết số xấp xỉ 1.2.5. Các phép tính về sai số 1.2.5.1. Các phép tính: Giả sử đại lượng f có sai số tuyệt đối giới hạn là f  và sai số tương đối là f  . Mà f f  ; f  là số gia của đại lượng f: 1. Nếu u=x+y+z thì zyxu  , (x, y, z>0) 2. u=x-y thì yx yx u     , (x,y >0) 3. u=xyz thì zyxu   , (x, y, z >0) 4. y x u  thì yxu   , (x,y>0) 1.2.5.2. Công thức tổng quát về sai số Nếu f là hàm số khả vi liên tục và   n xxxfu , ,, 21  , f>0 thì: i x n i i u x f      1 , i x n i i u x f      1 ln  . 1.2.6. Sai số phương pháp, sai số tính toán và sự ổn định tính 1.2.6.1. Sai số tính toán và sai số phương pháp 1.2.6.2. Sự ổn định của quá trình tính 1.3. Hệ phương trình đại số tuyến tính 1.3.1. Dạng tổng quát của hệ phương trình tuyến tính 1.3.2. Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ phương trình tuyến tính khi m=n. 1.3.2.1. Định lý Cramer: 1.3.2.2. Biện luận về số nghiệm của hệ phương trình 1.3.3. Phân tích sai số 1.3.3.1. Số điều kiện của ma trận 1.3.3.2. Phân tích sai số Giả sử x là nghiệm của phương trình Ax=b (1). xxx  ' là nghiệm của phương trình Ax’=b’ với b’=b+ b  Khi đó : )( 1 . )( 1 . )( inf 1 0 xA m x x xA m x x xA m x x         Suy ra   xA m x  1 . Do đó   b m x  1 . M b Ax M xM M x  11 . Vậy b b Acond bm bM x x      )( 1.4. Các định nghĩa trong hoá lý 1.4.1. Nhiệt dung. Định nghĩa: Nhiệt dung là nhiệt lượng cần để làm nóng hệ thêm 1 0 C. 3 1.4.2. Hằng số cân bằng của phản ứng khi một phản ứng đạt trạng thái cân bằng thì tỉ số giữa tích các hoạt độ của các sản phẩm phản ứng (được nâng luỹ thừa với số mũ bằng hệ số tỉ lượng trong phương trình phản ứng) và tích tương ứng của các chất phản ứng là một hằng số (ở nhiệt độ cho sẵn). CHƯƠNG 2:MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 2.1. Hệ phương trình tuyến tính 2.2. Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 2.2.1. Phương pháp Gauss Xét hệ phương trình           mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 (2.2.1.1) Trong đó ji a , , njmi ,1;,1  là hệ số của hệ n xxx , , 2,1 là ẩn cần tìm; i b với mi ,1 là vế phải của hệ. 2.2.1.1. Nội dung phương pháp Gauss. Quá trình thuận: +Giả thiết 0 11  a . Loại trừ ẩn 1 x ra khỏi hệ kể từ phương trình thứ 2 trở đi. Khi này trừ phương trình đầu , ta còn n-1 phương trình n-1 ẩn là n xxx , ,, 32 . + Lặp lại quá trình trên đối với hệ mới này, ta sẽ loại trừ ẩn 2 x kể từ phương trình thứ 3 trở đi. Ta nhận được hệ gồm n-2 phương trình n-2 ẩn là n xxx , ,, 43 . + Quá trình trên lặp đi lặp lại, cuối cùng ta nhận được hệ có dạng tam giác                 mnmn nn nn bxa bxaxa bxaxaxa 1 2 1 22 1 22 11212111 (2.2.1.2) Quá trình ngịch: + Từ hệ (2.2.1.2) giải ra được n x . Bằng cách thế dần ta nhận được n xxx , ,, 21 và đó chính là nghiệm của hệ phương trình. 2.2.1.2. Đánh giá phương pháp Gauss + Ưu điểm: Khối lượng tính toán ít hơn ct Cramer. + Nhược điểm: Khi tìm nghiệm của hệ phương trình ta phải chia cho hệ số 0 )(  k ii a , thì nghiệm sẽ gặp sai số lớn. 2.2.1.3. Một số ví dụ 4 Ví dụ : Giải hệ phương trình:            125,03 5,12 22 63,0 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx             17524,1 5,10334,0 8223,2 63,0 432 432 432 4321 xxx xxx xxx xxxx             6,16513,53 35,277,77,7 8223,2 63,0 4 43 432 4321 x xx xxx xxxx             116,3 435,0 3896,0 3321.2 4 3 2 1 x x x x 2.2.2. Phương pháp Gauss-Joocdan 2.2.2.1. Nội dung phương pháp: Bước 1: Xét ma trận mở rộng     BAA  0 của hệ (2.2.1.1).       p i a a a a aaaa aaaa aaaa aaaa A nn np ni n nnnqnjn pnpqpjp iniqiji nqj                    1, 1, 1, 1,1 1 1 1 11111 0 (2.2.2.1) (j) (q) . Chọn phần tử pq a của ma trận A sao cho ijpq aa max , với nji  ,1 . Ta sẽ loại ẩn q x ra khỏi phương trình thứ pi  . . Các bước loại ẩn q x ra khỏi phương trình thứ pi  . Đặt ),,1( pini a a m pq iq i  . Lấy hàng p nhân với i m rồi lần lượt lấy các hàng i trừ đi hàng p ta được: (j) (q)   1 1 1 ( ) ( ) i pj i ij pj j ij pj j p pq a a m a a m a a m i A a a p     , 1 , 1 2 , 1 i n p n p n a a m a                   5 Đặt   pq iqpj ijipjijij a aa amaaa  . 1            qj nnj pi nni 1,, ,2,1 1,, ,2,1 (2.2.2.2) Khi i=p thì   pjpj aa  1 ; 1,1  nj ; Khi j=q thì   0 1  pq iqpq iqiq a aa aa ; pi  . Kết quả ma trận )1( A có các phần tử   1 ij a như sau: . Các phần tử thuộc hàng giải thứ p thì   pjpj aa  1 ; 1,1  nj được giữ nguyên. . Các phần tử thuộc cột giải thứ q đều bằng 0 trừ phần tử pq a .Các phần tử khác đều tính theo công thức:   qjpi a aa aa pq iqpj ijij  ;; 1 (2.2.2.3) .   1 A có dạng:                                                                    1 1, 1 1, 1 1, 1 1,1 111 1 1111 1 111 1 1 1 1 1 1 11 1 0 0 0 0 0 0 nn np ni n nnnj n pnpqpjp inij i nj a a a a aaa aaaa aaa aaa A (2.2.2.4) Bước 2: Lặp lại quá trình như bước 1 đối với ma trận (2.2.2.4) để có ma trận   2 A . Cứ tiếp tục như vậy sau n bước ta sẽ thu được ma trận   n A mà mỗi hàng chỉ còn một phần tử ứng với ẩn k x và cột ở vế phải. Từ đó ta có nghiệm của hệ. 2.2.2.2. Đánh giá thuật toán. a, Ưu điểm: Số lượng phép tính giảm đáng kể, có thể tìm được nghiệm ngay khi thuật toán kết thúc.Tránh được sai số lớn trong quá trình tính toán. b, Nhược điểm: Đối với hệ phương trình có hệ số không nguyên, số lượng ẩn lớn thì công thức (2.2.2.3) được thực hiện nhiều lần sẽ cho kết quả không chính xác. 2.2.2.3. Một số ví dụ Ví dụ : Giải hệ phương trình sau:         361226 33114 20238 321 321 321 xxx xxx xxx Ta lập ma trận để tính theo công thức (2.2.2.3). 6                36 33 20 1226 1114 238 0 A                      36 36 14 1226 0 4 45 2 9 0 2 7 7 ~ 1 A                36 144 28 1226 04518 0714 1 A                     5 132 144 45 1267 120 5 24 04518 00 5 84 ~ 2 A               33 48 181 1506 0156 00108 2 A                       18 413 18 683 181 1500 0150 00108 3 A Hệ tương đương             18 413 15 18 683 15 181108 3 2 1 x x x              270 413 270 683 108 181 3 2 1 x x x Vậy hệ có nghiệm là: 108 181 1 x ; 270 683 2 x ; 270 413 3 x . 2.2.3. Phương pháp Cholesky 2.2.3.1. Nội dung phương pháp: Xét phương trình AX=B (2.2.3.1) Trong đó A là ma trận vuông cấp n; B=   t n bbb ; ;; 21 Ta biết ma trận vuông A (detA  0) luôn phân tích được thành tích của 2 ma trận tam giác trên và ma trận tam giác dưới.: A=P.Q Trong đó: P=             nnnn ppp pp p 00 000 21 2221 11 ; Q=             nn n n q qq qqq 000 0 222 11211 Từ A=P.Q ta được hệ gồm n 2 phương trình, n 2 +n ẩn là p ij (i  j); q ij (i  j).Đó là hệ vô định. Thông thường trong trường hợp này ta chọn p ii =1,  i= n,1 (hoặc q ii =1), ta được hệ n 2 phương trình, n 2 ẩn. Từ (2.2.3.1) và (2.2.3.2) ta được: B=AX=PQX. 7 Đặt QX=Y(2.2.2.3 Suy ra PY=B (2.2.3.4) Hệ (2.2.3.3) và (2.2.3.4) có dạng tam giác. Giải (2.2.3.4) được Y, Giải tiếp (2.2.3.3) ta được X là nghiệm của hệ (2.2.3.1). Trong trường hợp A=   nji ij a ,1,  là ma trận đối xứng ( ; ij ji a a i j   ), thì A có thể phân tích thành tích của ma trận tam giác trên, dưới, có đặc điểm P=Q t (Q t là ma trận chuyển vị của Q). Gọi Q=S=[S ij ]; S ij =0 i<j. S=             nn n n s sss ssss 000 0 22322 1131211 Thì P=Q t =S t và phương trình (8) được viết lại: AX=S t .S.X=B Đặt SX=Y (2.2.3.5); S t Y=B (2.2.3.6) Giải hệ (2.2.3.6) ta được Y, giải tiếp hệ (2.2.3.5) được X là nghiệm của hệ (2.2.3.1). Mô tả cụ thể cách tìm ma trận S và công thức tìm nghiệm của hệ (2.2.3.5) và (2.2.3.6). 1111 as  ; ; 11 1 1 s a s j j  nj ,2 ;     1 1 2 i k kiiiii sas ; ni ,2 . ii i k kjkiij ij s ssa s      1 1 . ; ji  ; 0  ij s ; ji  ; Giải hệ S t Y=B để tìm Y, ta có: 11 1 1 s b y  ; )1( 1 1       i s ysb y ii i k kkii i Sau đó giải tiếp hệ SX=Y để tìm X, ta có : nn n n s y x  ; )( 1 ni s xsy x ii n ik kiki i      (2.2.3.8) 2.2.3.2. Đánh giá thuật toán. Ưu điểm: Thuật toán áp dụng cho cả trường hợp ij b là những số thuần ảo. Nhược điểm: Khối lượng tính toán lớn, Quá trình thực hiện phức tạp. 2.2.3.3. Ví dụ Ví dụ: Giải hệ phương trình sau: 8               343232 1,8352 4,622352 6,53543 5,1223 54321 5432 54321 54321 5321 xxxxx xxxx xxxxx xxxxx xxxx Giải: Ma trận hệ số:                       43232 35210 22352 31543 20231 A Là ma trận đối xứng. A=S t .S Ta tìm ma trận S như sau: 1 1111  as ; 2;0;2;3 15141312 11 1 1  ssss s a s j j . isssas i k kiiiii 2361,24 2 1222 1 1 2     (i là đơn vị ảo). ;8221,0;0414,3;8944,0 554433 issis  Tương tự ta có: ;4472,0 2423 iss  is 3416,1 25  ; is 0125,0 34  ; is 5653,1 35  ; 2194,2 45  s . Theo công thức (S t Y=B) ta được: 5,1 1 5,0 11 1 1  s b y ; iy 492,0 2  ; iy 7558,10 3  ; 6351,2 4  y ; iy 166,18 5  ; Theo công thức (2.2.3.5) SX=Y ta có: 097,22 55 5 5  s y x ; 2584,15 4  x ; 4847,50 3  x ; 11045,0 2  x ; 944,54 1  x 2.2.4. Phương pháp lặp đơn. 2.2.4.1. Cơ sở lý thuyết: Định nghĩa ánh xạ co: Nguyên lý ánh xạ co: Định lý: Nếu 1B . Khi đó mọi dãy lặp gBxx kk  1 ; k=0,1,2,…; 0 x bất kì cho trước, đều hội tụ đến nghiệm duy nhất x* của hệ (2.2.4.1) và 1 1 *     kkk xx B B xx ; k=1,2,… 2.2.4.2. Thuật toán Cho hệ phương trình tuyến tính: Ax=C (1) B1: Ấn định sai số cho phép  , )0(   9 B2: Đưa hệ AX=B về hệ tương đương x=Bx+g (2.2.4.1) B3: Kiểm tra điều kiện B <1 B4: Chọn 0 x tuỳ ý. B5: Tính gBxx kk  1 ; k=0,1,2, cho tới khi   1kk xx thì dừng quá trình tính toán. B6: Kết luận nghiệm x*=x k với sai số  B B xx k   1 * . 2.2.4.3. Đánh giá thuật toán 2.2.4.4. Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp đơn:         4,18,522,03,1 7,95,492,2 7,13,25,16,5 321 321 321 xxx xxx xxx Giải:         14,042,022,013,0 97,045,01,022,0 17,023,015,044,0 3213 3212 3211 xxxx xxxx xxxx Ta có:   3 1 1 j j b =0,44+0,15+0,23=0,82;   3 1 2 j j b =0,22+0,1+0,45=0,77   3 1 3 j j b =0,13+0,022+0,42=0,   182,0572,0;77,0;82,0max   B Theo định lý 2.4 ta có phép lặp đơn:     1k k x Bx g    . Chọn   )0,0,0( 0 x Ta thu được kết quả thể hiện ở bảng sau: k 1 x 2 x 3 x 0 0,17 0,97 -0,14 1 0,1315 1,0926 -0,3901 2 0,153693 1,225875 -0,527119 3 0,174981 1,295979 -0,6111 4 0,19315 1,3361 -0,65903 5 0,20615 1,35768 -0,68563 6 0,21475 1,3689 -0,69985 7 0,22012 1,3746 -0,7072 8 0,2233 1,3773 -0,7108 Kết luận: nghiệm xấp xỉ của hệ: x=(0,2233; 1,3773; -0,7108). 2.2.5. Phương pháp trực giao 2.2.5.1. Cơ sở lý thuyết [...]... “ Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính Tuy nhiên đề tài chỉ tập trung vào nghiên cứu 3 phương pháp trực tiếp là phương pháp Gauss, Gauss-joocdan và phương pháp Cholesky, 2 phương pháp lặp là phương pháp lặp đơn và phương pháp trực giao hoá 8 Mục đích nghiên cứu -Đề tài nghiên cứu một số phương pháp số giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính - Nghiên cứu ứng dụng của các phương pháp giải. .. Gauss, phương pháp Gauss-Joocdan, phương pháp Cholesky, phương pháp lặp đơn và phương pháp trực giao giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính -Các bài toán hoá lý 5 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu của giải tích số và đại số tuyến tính 6 Dự kiến đóng góp mới Luận văn trình bày một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản và các ví dụ đối với mỗi phương pháp giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính. .. chọn nghiên cứu đề tài: “ Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính Tuy nhiên đề tài chỉ tập trung vào nghiên cứu 3 phương pháp trực tiếp là phương pháp Gauss, Gauss-joocdan và phương pháp Cholesky, 2 phương pháp lặp là phương pháp lặp đơn và phương pháp trực giao hoá 5 Mục đích nghiên cứu -Đề tài nghiên cứu một số phương pháp số giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính - Nghiên cứu ứng dụng... 1.2.6 Sai số phương pháp, sai số tính toán và sự ổn định tính 1.2.6.1 Sai số tính toán và sai số phương pháp 1.2.6.2 Sự ổn định của quá trình tính 1.3 Hệ phương trình đại số tuyến tính 1.3.1 Dạng tổng quát của hệ phương trình tuyến tính 1.3.2 Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ phương trình tuyến tính khi m=n 1.3.2.1 Định lý Cramer: 1.3.2.2 Biện luận về số nghiệm của hệ phương trình 1.3.3... trình tuyến tính 2.1 Hệ phương trình tuyến tính 16 2.2 Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 17 2.2.1 Phương pháp Gauss 17 2.2.2 Phương pháp Gauss_Joocdan 21 2.2.3 Phương pháp Cholesky 25 2.2.4 Phương pháp lặp đơn 29 2.2.5 Phương pháp trực giao 32 Chương 3: Ứng dụng các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 3.1 Tìm hàm biểu thị sự phụ thuộc nhiệt... nóng hệ thêm 10C 1.4.2 Hằng số cân bằng của phản ứng khi một phản ứng đạt trạng thái cân bằng thì tỉ số giữa tích các hoạt độ của các sản phẩm phản ứng (được nâng luỹ thừa với số mũ bằng hệ số tỉ lượng trong phương trình phản ứng) và tích tương ứng của các chất phản ứng là một hằng số (ở nhiệt độ cho sẵn) CHƯƠNG 2:MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 2.1 Hệ phương trình tuyến tính 2.2 Một. .. phương trình tuyến tính -Các bài toán hoá lý 5 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu của giải tích số và đại số tuyến tính 6 Dự kiến đóng góp mới Luận văn trình bày một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản và các ví dụ đối với mỗi phương pháp giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính trong phạm vi luận văn nghiên cứu CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian định chuẩn 1.1.1 Một số định... sai số của lgKp tính bằng hàm vừa tìm được so với kết quả đo thực nghiệm là không đáng kể KẾT LUẬN Luận văn đã trình bày hai nhóm phương pháp giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính đó là nhóm phương pháp trực tiếp và nhóm phương pháp lặp Luận văn nêu được phương pháp giải, các ví dụ cụ thể và đánh giá thuật toán Luận văn đã chỉ ra những ưu điểm, nhược điểm của từng phương pháp giải hệ phương trình tuyến. .. hệ thống hoá các phương pháp giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính Phân tích các ưu điểm, nhược điểm của từng phương pháp -Ứng dụng tìm hàm biểu thị phụ thuộc của nhiệt dung phân tử các chất, hằng số cân bằng các chất vào nhiệt độ 4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Phương pháp Gauss, phương pháp Gauss-Joocdan, phương pháp Cholesky, phương pháp lặp đơn và phương pháp trực giao giải gần đúng hệ phương. .. công trình nào khác Hà Nội, tháng 11 năm 2011 32 Học viên Lê Thị Hằng MỤC LỤC Nội dung Lời cảm ơn Lời cam đoan Mở đầu 3 Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian định chuẩn 5 1.2 Sai số 7 1.3 Hệ phương trình đại số tuyến tính 12 1.4 Các định nghĩa trong hoá lý 15 33 Chương 2: Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 2.1 Hệ phương trình tuyến . HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 2.1. Hệ phương trình tuyến tính 2.2. Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 2.2.1. Phương pháp Gauss Xét hệ phương trình           mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa . định tính 1.2.6.1. Sai số tính toán và sai số phương pháp 1.2.6.2. Sự ổn định của quá trình tính 1.3. Hệ phương trình đại số tuyến tính 1.3.1. Dạng tổng quát của hệ phương trình tuyến tính. định tính 1.2.6.1. Sai số tính toán và sai số phương pháp 1.2.6.2. Sự ổn định của quá trình tính 1.3. Hệ phương trình đại số tuyến tính 1.3.1. Dạng tổng quát của hệ phương trình tuyến tính