tài liệu ôn thi kỳ thi THPT môn toán quốc gia 2015 bộ 2

TÀI LIỆU ÔN TẬP THI KỲ THI QUỐC GIA NĂM 2015 MÔN: TOÁN (BỘ 2) I. KHUNG CHƯƠNG TRÌNH ÔN TẬP STT Chuyên đề Thời lượng (%) /chuyên đề 1 Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan 20 - 25 2 Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình 10 - 20 3 Tích phân và ứng dụng của tích phân 10 - 15 4 Tổ hợp, xác suất - Số phức 5 - 10 5 Hình học không gian 10 - 15 6 Phương pháp toạ độ 10 - 15 7 Đề ôn tập tổng hợp 10 - 15 II. CÁC CHUYÊN ĐỀ Chuyên đề 1 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ (Thời lượng 20% - 25%) Chủ đề 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. Bài toán dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình 1. Một số kiến thức bổ trợ a) Đưa ra hệ thống các ví dụ ôn lại lý thuyết Ví dụ 1 : Tính đạo hàm của các hàm số 1) 3 2 1 x y x − = + 1 Cách 1: Tính đạo hàm bằng công thức ' ' ' ' 2 3 ( 3) (2 1) (2 1) ( 3) ( ) 2 1 (2 1) x x x x x y x x − − + − + − = = + + 2 2 2 1(2 1) 2( 3) 2 1 2 6 7 (2 1) (2 1) (2 1) x x x x x x x + − − + − + = = = + + + 2) 1 2 2 x y x − = + ' ' ' ' 2 1 2 (1 2 ) ( 2) ( 2) (1 2 ) ( ) 2 ( 2) x x x x x y x x − − + − + − = = + + 2 2 2 2( 2) 1(1 2 ) 2 4 1 2 5 ( 2) ( 2) ( 2) x x x x x x x − + − − − − − + − = = = + + + Ví dụ 2: Xét tính đơn điệu và tìm điểm cực trị của các hàm số a) y = x 3 −3x 2 +1. b) 4 2 8 10y x x = − + c) 3 1 1 x y x + = − Giải: a) y = x 3 −3x 2 +1 Txđ: D = R y’=3x 2 -6x y’ = 0    = = ⇔ 2 0 x x BBT x −∞ 0 2 +∞ y ’ + 0 - 0 + 1 +∞ y −∞ -3 Vậy HS ĐB trên các khoảng( −∞ ;0) và (2;+ ∞ ); HSĐB/ (0;2) HS đạt cực đại tại x = 0 ,y cđ =1 HS đạt cực tiểu tại x = 2 ,y ct =-3 b) 4 2 8 10y x x = − + Txđ: D = R y’ = 4x 3 -16x = 2 4 ( 4)x x − 2      = −= = ⇔= 2 2 0 0' x x x y BBT x - ∞ -2 0 2 + ∞ y ’ - 0 + 0 - 0 + y +∞ 10 + ∞ -6 -6 Vậy : Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( -2 ; 0) và ( 2 ; + ∞) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( - ∞; -2) và ( 0 ; 2). Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0 , y CĐ = 10 Hàm số đạt cực tiêu tại điểm x = 2 ± ; y CT = -6 c) 3 1 1 x y x + = − TXĐ: D = R\ { } 1 , 2 4 0, 1 (1 ) y x x = < ∀ ≠ − BBT x −∞ 1 +∞ y ’ + + y +∞ -3 -3 −∞ Vậy HS ĐB trêncác khoảng( −∞ ;1)và (1;+ ∞ ) HS không có cực trị Ví dụ 3: Giới hạn, tiệm cận: 3 lim lim x x a y y c →−∞ →+∞ = = ; suy ra y = a/c là tiệm cận ngang Nếu y ’ >0 trên D: ( ) ( ) lim ; lim d d x x c c y y + − → − → − = −∞ = +∞ suy ra x = -d/c là tiệm cận đứng Nếu y ’ <0 trên D: ( ) ( ) lim ; lim d d x x c c y y + − → − → − = +∞ = −∞ suy ra x = -d/c là tiệm cận đứng b) Các dạng bài tập tương tự cho học sinh tự làm Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số 1) 3 2 1 x y x − = + 2) 1 2 2 x y x − = + Bài 2: Xét tính đơn điệu và tìm điểm cực trị của các hàm số 1) y = f(x) = 2x 2 − x 4 2) y= f(x) = - x 3 + 3x 2 - 2 3) 1x2 1x y + − = . Ví dụ 3 : Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau: ( ) 3 2 ) 2 6 1a y f x x x= = − + trên đoạn [ ] 1;1− ( ) 4 2 ) 2 4 3b y f x x x= = − + + trên đoạn [ ] 0;2 ( ) 2 1 ) 2 x c y f x x + = = − trên đoạn 1 ;1 2   −     Giải a) Ta có :  ( ) / 2 6 12f x x x= −  ( ) / 2 0 2 0 6 12 0 x x f x x x = =  = ⇔ − = ⇔  ( 2x = loại )  Tính : ( ) ( ) ( ) 1 7; 0 1; 1 3f f f − =− = −  Vậy : ( ) [ ] 1;1 max 1 f x − = ; ( ) [ ] 1;1 min 7f x − = − b) Ta có :  ( ) / 3 8 8f x x x= − +  ( ) / 3 0 1 0 8 8 0 x x f x x x = =±  = ⇔ − + = ⇔  ( 1x = − loại )  Tính : ( ) ( ) ( ) 0 3; 1 6; 2 13f f f = = =−  Vậy : ( ) [ ] 0;2 max 6 f x = ; ( ) [ ] 0;2 min 13f x =− 4 c)Ta có :  ( ) ( ) / 2 5 0 2 2 f x x x =− < ∀ ≠ −  Tính : ( ) 1 0; 1 3 2 f f   − = =−  ÷    Vậy : ( ) 1 ;1 2 max 0 f x   −     = ; ( ) 1 ;1 2 3minf x   −     = − Bài 3 : Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau ( ) 3 2 ) 3 5a y f x x x= = − + trên đoạn [ ] 1;4− ( ) 4 2 ) 8 16b y f x x x= = − + trên đoạn [ ] 1;3− ( ) 2 1 ) 1 x c y f x x + = = − trên đoạn [ ] 2;4 2. Tiến hành giải quyết nội dung chuyên đề (18 tiết) Phần 1: Khảo sát hàm số bậc ba và bài toán liên quan (6 tiết) a) Giáo viên đưa ra hệ thống các ví dụ ôn lại kiến thức cơ bản của chủ đề: Ví dụ 1 : Cho hàm số y = - x 3 + 3x - 2 (1) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) b. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm cực đại của hàm số. c. Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình x 3 - 3x + 2 + m = 0 Giải: 1.Tập xác định: D = R 2. Sự biến thiên a. Chiều biến thiên y ′ = - 3x 2 + 3 = - 3(x 2 -1), = −  ′ = ⇔  =  1 0 1 x y x Trên khoảng ( 1;1)− , y’>0 nên hàm số đồng biến. Trên khoảng ( ; 1)−∞ − và (1; )+∞ , y’<0 nên hàm số nghịch biến b.Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 1 => y CĐ = 0 Hàm số đạt cực tiểu tại x = - 1 => y CT = - 4 c. Giới hạn 5 3 3 ( 3 2) lim ( 3 2) x x Lim x x x x →−∞ →+∞ − + − = +∞ − + − = −∞ Đồ thị hàm số không có tiệm cận d. Lập bảng biến thiên. x −∞ -1 1 + ∞ y / - 0 + 0 - Y + ∞ 0 - ∞ -4 3. Đồ thị Giao với Ox tại A(1;0) và B(-2;0) Giao với Oy tại C(0;-2 b. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm cực đại Điểm cực đại (1;0) PTTT có dạng: 00)( )(' 0 yxxyy x +−= Ta có: y’(1) = 0 Vậy phương trình tiếp tuyến là y = 0 6 - 2 x 1 0 c. Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình x 3 -3x+2+m=0 Ta có: x 3 - 3x + 2 + m = 0  - x 3 + 3x - 2 = m (*) Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y = m • -4<m<0 Phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt • 4 0 m m = −   =  Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt • 0 4 m m >   < −  Phương trình (*) có 1 nghiệm b) Các dạng bài tập tương tự tại lớp: (Hướng dẫn học sinh làm với phương pháp phù hợp. Giáo viên chữa và khắc phục những sai lầm HS thường gặp) Ví dụ 2:: Cho hàm số 3 2 6 9y x x x= − + (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) b) Dựa vào đồ thị (C) của hàm số (1) biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3 2 6 9x x x m− + = c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(2;2) Bài giải: a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) 1.TXĐ: D = R 2.Sự biến thiên a.Chiều biến thiên 2 2 ' 3 12 9 1 ' 0 3 12 9 0 3 y x x x y x x x = − + =  = ⇔ − + = ⇔  =  Trên khoảng ( ) ;1−∞ và ( ) 3;+∞ , ' 0y > nên hàm số đồng biến Trên khoảng ( ) 1;3 , ' 0y < nên hàm số nghịch biến b.Cực trị Hàm số đạt cực đại tại x = 1, y CĐ = y(1)= 4 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3, y CT = y(3)= 0 7 c.Giới hạn ( ) ( ) 3 2 3 2 lim lim 6 9 lim lim 6 9 x x x x y x x x y x x x →−∞ →−∞ →+∞ →+∞ = − + = −∞ = − + = +∞ Đồ thị hàm số không có tiệm cận d.Bảng biến thiên 3. Đồ thị Giao với trục Oy tại điểm (0;0) Giao với trục Ox tại điểm (0;0), (3;0) b) Dựa vào đồ thị (C) của hàm số (1) biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3 2 6 9x x x m− + = Ta có: 3 2 6 9x x x m− + = (*) Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số (1) với đường thẳng y m= . Dựa vào đồ thị hàm số (1) ta có: Nếu 4 0 m m >   <  thì phương trình (*) có một nghiệm 8 Nếu 4 0 m m =   =  thì phương trình (*) có hai nghiệm Nếu 0 4m < < thì phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(2;2) Ta có: ( ) 2 ' 3 12 9, ' 2 3y x x y= − + = − Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(2;2) là: ( ) 3 2 2 3 8 y x y x = − − + ⇔ = − + d) Các dạng bài tập giao cho học sinh làm ở nhà: (GV hướng dẫn cách giải từng dạng bài) Bài 1 : Cho hàm số 3 2 3y x x= − + (1) a.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) b.Dựa vào đồ thị (C) của hàm số (1) biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3 2 3 0x x m− + = c.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(1;2) Bài 2: Cho hàm số 3 2 2 3 1y x x= + − (2) a.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (2) b.Dựa vào đồ thị (C) của hàm số (2) biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3 2 2 3 1 0x x m+ − + = c.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = 0 e) Một số đề kiểm tra: (GV chọn 1 đề cho HS làm, chấm, chữa và có giải pháp thích hợp) Đề bài: Cho hàm số: 2 (1 ) (4 )y x x= - - 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho. 2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C tại giao điểm của ( )C với trục hoành. 3) Tìm m để phương trình sau đây có 3 nghiệm phân biệt: 3 2 6 9 4 0x x x m- + - + = 9 ỏp ỏn 2 2 2 2 3 (1 ) (4 ) (1 2 )(4 ) 4 8 2 4y x x x x x x x x x x= - - = - + - = - - + + - 3 2 6 9 4x x x= - + - + 3 2 6 9 4y x x x= - + - + Tp xỏc nh: D = Ă o hm: 2 3 12 9y x x  = - + - Cho 2 1 0 3 12 9 0 3 x y x x x ộ = ờ  = - + - = ờ = ờ ở Gii hn: ; lim lim x x y y đ- Ơ đ+Ơ = +Ơ = - Ơ Bng bin thiờn x 1 3 + y  0 + 0 y + 4 0 Hm s B trờn khong (1;3), NB trờn cỏc khong (;1), (3;+) Hm s t cc i CD 4y = ti CD 3x = ; t cc tiu CT 0y = ti CT 1x = 6 12 0 2 2y x x y  = - + = = ị = . im un l I(2;2) Giao im vi trc honh: 3 2 1 0 6 9 4 0 4 x y x x x x ộ = ờ = - + - + = ờ = ờ ở Giao im vi trc tung: 0 4x y= ị = Bng giỏ tr: x 0 1 2 3 4 y 4 0 2 4 0 th hm s: nhn im I lm trc i xng nh hỡnh v bờn õy 3 2 ( ) : 6 9 4C y x x x= - + - + . Vit pttt ti giao im ca ( )C vi trc honh. Giao im ca ( )C vi trc honh: (1;0), (4;0)A B pttt vi ( )C ti (1;0)A : vaứ pttt taùi 0 0 0 1 0 : 0 0( 1) 0 ( ) (1) 0 x y A y x y f x f ỹ ù = = ù ị - = - = ý   ù = = ù ỵ O O 10 [...]... log 2 (2x + 3) ≥ 4 d) log4 e) log2 (x − 1 )2 + log2 (x − 1)3 = 7 2 2 f) log3 x − 5log3 x + 6 ≤ 0 2 29 2 1 + 2x ≥0 x −1 Bài 2 Giải các phương trình và bất phương trình sau a) log2 x − log4 (x − 3) = 2 b) log(x2 + x − 2) = 2 + log10 c) log 2 x + 4 log 4 x + log8 x = 13 d) log3 (x − 5) > 2 1 e) (D- 20 13) 2 log2 x + log 1 (1 − x) = 2 log 2 (x − 2 x + 2) 2 f) (D- 20 14) log2 ( x − 1) − 2 log4 (3x − 2) + 2. ..       x = 0 t = 1  2 ⇒ x = log 3 vào (4’) ta được: t − 4t + 3 = 0 ⇔  3− 5 là nghiệm của (4) t = 3    2 VD 5 Giải phương trình: 22 x 2 + 2 x2 + 2 x −1 = 24 x −1 (5) 1 2 2 2 1 2 HD (5) ⇔ (2 x )2 + 2 x 22 x = (22 x ) 2 ⇔ 2. (2 x 2 2 x 2 2 ) + 2x 2 x −1 = 0 Đặt t = 2 x2 − 2 x > 0 và giải tương tự trên Dạng 3: Phương pháp logarit hóa Đơi khi ta khơng thể giải một PT, BPT mũ bằng cách đưa... cos2x = 2 sin x sin 2x 1 + cot 2 x b) (B -20 11): sin 2xcosx + sin xcosx = cos 2x + sin x + cos x sin 2x + 2 cos x − s inx − 1 =0 c) (D -20 11): t anx + 3 a) (A -20 11): d) (CD -20 11): cos4x + 12sin 2 x − 1 = 0 e) (A -20 12) : 3 s in2x+cos2x=2cosx-1 f) (B -20 12) : 2( cos x + 3 sin x) cos x = cos x − 3 sin x + 1 g) (D -20 12) : sin 3x + cos3x − s inx + cos x = 2cos2x h) (CD -20 12) : 2 cos 2x + s inx = sin 3x k) (D - 20 06)... 4x 2 −15x + 4 >1 Bài 3 Giải các phương trình sau: a) 22 x + 5 + 22 x + 3 = 12 e) 2  1   ÷ 2 < 23 x −4 c) 5 – 110.5 x 3− x e) 5 −5 x+1 6 ≤ 3 x +2 f) 52x + 2 > 3 5x b) 92x +4 - 4.32x + 5 + 27 = 0 x 2x + 4 9 x – 75 = 0 ( f) 4 − 15 = 20 25 x +1 5 2 d)  ÷ − 2  ÷ 2 5 ) ( x + 4 + 15 + ) x 8 =0 5 =2 x x   g)  5 + 2 6  +  5 − 2 6 ÷ = 10  ÷   x  h)32x+1 − 9.3x + 6 = 0  1− x m) 22 x +2 − 9.2x... nghiệm của (16) 2. 2 Một số bài tập tương tự Bài 1 Giải các phương trình sau: a) 2x−4 = 3 4 d) 2x 2 − x +8 x +5 x−7 32 b) = 41−3x 2 x2 −6x − 5 2 c) 32x−3 = 9x = 16 2 e) 52x + 1 – 3 52x -1 = 110 2 +3x −5 f) x +17 1 = 128 x −3 4 g) (1 ,25 )1 – x = (0,64 )2( 1+ x ) h) 2x + 2x -1 + 2x – 2 = 3x – 3x – 1 + 3x - 2 k) (CĐ - 20 14) 32x+1 − 4.3x + 1 = 0 Bài 2 Giải các phương trình sau: 2x +5 a) 16 x–4 d) 4x 2 1 b) ... x m) 22 x +2 − 9.2x + 2 = 0 k) 7 + 2. 7 − 9 = 0 Bài 4 Giải các phương trình sau: a) 22 x + 6 + 2x + 7 > 17 c) 1 4x −1 1 > 2x 2 b) 52x – 3 – 2. 5x -2 ≤ 3 d) 5.4x +2. 25x ≤ 7.10x +3 e) 2 16x – 24 x – 42x – 2 ≤ 15 f) 4x +1 -16x ≥ 2log48 Bài 4 Giải các phương trình sau: 2 a) 2x - 2 = 3 b) 3x + 1 = 5x – 2 c) 3x – 3 = 5x −7x + 12 d) 2x 2 = 5x 2 −5x + 6 e) x 5 x −1 8 x f) 52x + 1- 7x + 1 = 52x = 500 + 7x g) 3x... 2 khả năng + Nếu a > 1 thì bpt ⇔ f(x) > loga b + Nếu 0 < a < 1 thì bpt ⇔ f(x) < loga b VD1 Giải các phương trình sau: 2 a) 2 x = 28 b) 2x −3x +2 = 2x +2 2 c) 3 2 x = 33x d) 2 x = 8 Giải a) 2 x = 28 ⇔ − x = 8 ⇔ x = −8 Vậy phương trình có nghiệm x = −8 b) 2x 2 −3x +2 = 2x +2 ⇔ x2 − 3x + 2 = x + 2 x = 0 ⇔ x 2 − 4x = 0 ⇔  x = 4 Vậy phương trình có nghiệm x = 0 và x = 4 2 c) 3 2 x = 33x ⇔ 2. .. = x 2 + x + 3, b = 2 x 2 + 4 x + 5 (a, b > 0) ta được phương trình: log3 a + a = log3 b + b  x = −1  x = 2 (*) Vì hàm số f (t ) = log3 t + t đồng biến trên khoảng (0; +∞) nên (*) ⇔ a = b ⇒  là nghiệm của (7) VD8 Giải phương trình: log 2 2+ 3 ( x 2 − 2 x − 2) = log 2 + 3 ( x 2 − 2 x − 3) (8)  x 2 − 2 x − 2 = (2 2 + 3 )t  t = log ( x 2 − 2 x − 2) = log 2 + 3 ( x 2 − 2 x − 3) ⇒  HD Đặt 2 2+ 3... = 2 sin  α + ÷= 2cos  α − ÷; 4 4     π π b) sin α − cosα = 2 sin  α − ÷= − 2cos  α + ÷ 4 4   tan(α − β ) = 2) Cơng thức nhân đơi nx nx cos 2 2 cos 2x = cos2 x − sin 2 x = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2sin 2 x sin 2x = 2 sin x cos x TQ : sin nx = 2sin 3) Cơng thức nhân ba: sin 3x = 3sin x − 4 sin 3 x cos3x = 4 cos3 x − 3cos x 4) Cơng thức hạ bậc: sin 2 x = 1 − cos 2x 2 cos2 x = 1 + cos 2x 2. .. log3 (2x + 1) = log3 5 (1) c) log3 (x − 1) = 2 Giải (2) d) log(x − 1) − log(2x − 11) = log 2 (3) b) log3 (x + 3) = log3 (2x 2 − x − 1) (4) 1 2 (1) ⇔ 2x + 1 = 5 ⇔ x = 2 (t/m đk) Ta có a) ĐK: 2x + 1 > 0 ⇔ x > − Vậy phương trình có nghiệm x = 2  x > −3 x > 1  x >1 x + 3 > 0  ⇔  ⇔ 1 b) ĐK:  2  −3 < x < − 2x − x − 1 > 0 x < − 1  2  2  x = −1 Khi đó PT (2) ⇔ x + 3 = 2x 2 − x − 1 ⇔ 2x2 − 2x . = + + 2 2 2 1 (2 1) 2( 3) 2 1 2 6 7 (2 1) (2 1) (2 1) x x x x x x x + − − + − + = = = + + + 2) 1 2 2 x y x − = + ' ' ' ' 2 1 2 (1 2 ) ( 2) ( 2) (1 2 ) ( ) 2 ( 2) x x x. TÀI LIỆU ÔN TẬP THI KỲ THI QUỐC GIA NĂM 20 15 MÔN: TOÁN (BỘ 2) I. KHUNG CHƯƠNG TRÌNH ÔN TẬP STT Chuyên đề Thời lượng (%) /chuyên đề 1 Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan 20 - 25 2 Phương. + 2 2 2 2( 2) 1(1 2 ) 2 4 1 2 5 ( 2) ( 2) ( 2) x x x x x x x − + − − − − − + − = = = + + + Ví dụ 2: Xét tính đơn điệu và tìm điểm cực trị của các hàm số a) y = x 3 −3x 2 +1. b) 4 2 8 10y