Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 35 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
35
Dung lượng
2,23 MB
Nội dung
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh Chuyên đề: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN PHẦN 1:CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH. 2. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ. 3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN. 4. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN. 5. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHUƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT LIÊN TỤC VÀ TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ. PHẦN 2: PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN PHẦN 1:CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN I.TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH: A. Phương pháp: Phương pháp phân tích là việc sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân thành tổng các hạng tử mà nguyên hàm của mỗi hạng tử đó có thể nhận được từ bảng nguyên hàm hoặc chỉ bằng các phép biển đổi đơn giản đã biết, sau đó áp dụng định nghĩa. B. Ví dụ: VD1: Tính tích phân 1 2x x 0 dx I e e = - ò . Giải : Biến đổi I về dạng 1 1 x x x x x x 0 0 [(e 1) e ]dx dx I e (e 1) e (e 1) + - = = + + ò ò = 1 x x 0 1 1 ( )dx e e 1 - + ò = 1 x x x x 0 1 e 1 e ( )dx e e 1 + - - + ò = 1 x x x 0 e (e 1 )dx e 1 - - + + ò = x x 1 0 ( e x ln e 1) - - - + + = VD2 : Tính caùc tích phaân sau: a/ 2 2 3 1 x 2x I dx; x − = ∫ b/ x 4 4 0 J (3x e )dx.= − ∫ Giaûi: a/ Ta coù: 2 2 2 1 1 1 2 2 I dx ln | x | (ln2 1) (ln1 2) ln2 1. x x x = − = + = + − + = − ÷ ÷ ∫ 1 GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh b/ Ta có: 4 x 2 4 0 3 J x 4e (24 4e) (0 4) 28 4e. 2 = − = − − − = − ÷ VD3 : Tính tích phân: 1 5 2 0 x I dx. x 1 = + ∫ Giải: Từ 5 3 2 2 x x (x 1) x(x 1) x.= + − + + Ta được: 1 1 3 4 2 2 2 0 0 x 1 1 1 1 1 I x x dx x x ln(x 1)] ln2 . 4 2 2 2 4 x 1 = − + = − + + = − ÷ + ∫ VD4 : Tính / 2 0 sinx dx. cosx sinx π + ∫ Giải: Ta có: sinx cosx sinx (A B)cosx (A B)sinx A B cosx sinx cosx sinx cosx sinx − + + − = + = ÷ + + + Đồng nhất đẳng thức, ta được: A B 0 1 A B . A B 1 2 + = ⇔ = = − − = Vậy: / 2 / 2 / 2 0 0 0 sinx 1 cosx sinx 1 1 dx dx x ln(cosx sinx) . cosx sinx 2 2(cosx sinx 2 2 4 π π π − π = − − = − − + = − + + ∫ ∫ C.Bài tập : Tính: 1) 2 4 2 4 2 sin tg x x π π − ∫ dx 2) 3 0 π ∫ ( cosxcos3x + sin4xsin3x) dx 3) 3 6 π π ∫ tg 2 x dx 4) 4 0 ∫ | x-2 | dx 5) 4 2 ∫ 2 6 9x x− + dx 6) 3 4− ∫ | x 2 -4 | dx 7) 3 4 4 π π ∫ cos2 1x + dx II. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ : 2 GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh 1) DẠNG 1: Tính ( ) b a I f x dx= ∫ với giả thiết hàm số f(x) liên tục trên [a;b] A. Phương pháp: +) Đặt dxxudtxut )()( ' =⇒= (t=u(x) có đạo hàm liên tục, f(t) liên tục trên tập xđ của t) +)Đổi cận : )( )( aut but ax bx = = ⇒ = = +) Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được [ ] ∫ = ∫ = )( )( )()('.)( bu au b a dttfdxxuxufI (tiếp tục tính tích phân mới) CHÚ Ý: +, Khi gặp dạng f(x) có chứa ( 1 ,lnx) x thì đặt t = lnx. +, Khi f(x) có chứa n u(x) thì thường đặt t = u(x). +, Khi f(x) có mẫu số thì thường đặt t = mẫu. Nhìn chung là ta phải nắm vững công thức và vận dụng hợp lý. B. Ví dụ: VD1 Tính tích phân 2 e e dx I xlnx = ò . Giải Đặt dx t lnx dt x = Þ = 2 x e t 1, x e t 2= Þ = = Þ = 2 2 1 1 dt I ln t ln2 t Þ = = = ò . Vậy I ln2= . VD2 : Tính tích phân 4 3 0 cosx I dx (sinx cosx) p = + ò . Hướng dẫn: 4 4 3 3 2 0 0 cosx 1 dx I dx . (sinx cosx) (tanx 1) cos x p p = = + + ò ò . Đặt t tanx 1= + ĐS: 3 I 8 = . VD3 :Tính tích phân: 3 1 2 dx I (1 x) 2x 3 = + + ò . Hướng dẫn: Đặt t 2x 3= + ĐS: 3 I ln 2 = . 3 GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh VD4. Tính tích phân 1 0 3 x I dx 1 x - = + ò . Hướng dẫn: Đặt 3 2 2 2 1 3 x t dt t 8 1 x (t 1) - = Þ + + ò L ; đặt t tanu= L ĐS: I 3 2 3 p = - + . Chú ý: Phân tích 1 0 3 x I dx 1 x - = + ò , rồi đặt t 1 x= + sẽ tính nhanh hơn. VD5 :: Tính tích phân : 7 3 3 2 0 x dx I 1 x = + ∫ Giải: Đặt 3 2 3 2 t x 1 t x 1,= + ⇒ = + khi đó: 2 2 3t dt 3t dt 2xdx dx . 2x = ⇒ = Đổi cận: x= 0 t = 1 x= 7 t 2 ⇒ ⇒ = Ta có: 3 3 2 3 4 3 2 x dx x .3t dt 3t(t 1)dt 3(t t)dt. 2xt 1 x = = − = − + Khi đó: 2 2 5 2 4 1 1 t t 141 I 3 (t t)dt 3 . 5 2 10 = − = − = ÷ ∫ C.Bài tập : Tính các tích phân sau: 1) 2 3 2 0 cos xsin xdx π ∫ ; 2) 2 5 0 cos xdx π ∫ ; 3) 4 2 0 sin4x dx 1 cos x π + ∫ ; 4) 1 3 2 0 x 1 x dx− ∫ . 5) 2 2 3 0 sin2x(1 sin x) dx π + ∫ ; 6) 4 4 0 1 dx cos x π ∫ ; 7) e 1 1 lnx dx x + ∫ ; 8) 4 0 1 dx cosx π ∫ . 9) e 2 1 1 ln x dx x + ∫ ; 10) 1 5 3 6 0 x (1 x ) dx− ∫ ; 11) 6 2 0 cosx dx 6 5sinx sin x π − + ∫ ; 12). 3 4 0 tg x dx cos2x ∫ 13) 4 0 cos sin 3 sin2 x x dx x π + + ∫ ; 14) ∫ + 2 0 22 sin4cos 2sin π dx xx x ; 15) ∫ −+ − 5ln 3ln 32 xx ee dx . 4 GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh 16) + 2 0 2 )sin2( 2sin dx x x ; 17) 3 4 2sin )ln( dx x tgx ; 18) 4 0 8 )1( dxxtg ; 19) + 2 4 2sin1 cossin dx x xx . 20) + + 2 0 cos31 sin2sin dx x xx ; 21) + 2 0 cos1 cos2sin dx x xx ; 22) + 2 0 sin cos)cos( xdxxe x ; 23) + 2 1 11 dx x x ; 24) + e dx x xx 1 lnln31 ; 25) + 4 0 2 2sin1 sin21 dx x x . 2) DNG 2: A. Phng phỏp: ( ) b a I f x dx= vi gi thit hm s f(x) liờn tc trờn [a;b] Cỏch thc hin: +) t dttdxtx )()( ' == ( trong ú ( )t l hm s c la chn thớch hp: nh ca ( )t nm trong tp xỏc nh ca f v ' ( )t liờn tc.) +) i cn : = = = = t t ax bx +) Chuyn tớch phõn ó cho sang tớch phõn theo bin t ta c [ ] = = dtttfdxxfI b a )(')()( (tip tc tớnh tớch phõn mi) Chỳ ý: * Nu f(x) cú cha: +, 2 2 n (a x )- thỡ t x a .sint= vi t ẻ ; 2 2 - p p ộ ự ờ ỳ ờ ỳ ở ỷ , hoc x a .cost= vi [ ] t 0;ẻ p . +, 2 2 n (a x )+ thỡ t x a .tant= vi t ; 2 2 - p p ổ ử ữ ỗ ẻ ữ ỗ ữ ố ứ , hoc x a .cott= vi ( ) t 0;ẻ p . +, ( ) n 2 2 x a- thỡ t a x sint = hoc a x cost = . +, a x a x ; a x a x + - - + thỡ t x acos2t= +, (x a)(b x)- - thỡ t x=a+(b-a)sin 2 t B. Vớ d VD1 :Tớnh tớch phõn 1 2 2 0 1 I dx 1 x = - ũ . Gii t x sint, t ; dx costdt 2 2 p p ộ ự = ẻ - ị = ờ ỳ ở ỷ 5 GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh 1 x 0 t 0, x t 2 6 p = ị = = ị = 6 6 2 0 0 cost cost I dt dt cost 1 sin t p p ị = = - ũ ũ 6 6 0 0 dt t 0 6 6 p p p p = = = - = ũ . Vy I 6 p = . VD2: Tớnh tớch phõn 2 2 0 I 4 x dx= - ũ . Hng dn: t x 2sint= S: I = p . VD3:Tớnh tớch phõn 1 2 0 dx I 1 x = + ũ . Hng dn: t 2 x tant, t ; dx (tan x 1)dt 2 2 ổ ử p p ữ ỗ = ẻ - ị = + ữ ỗ ữ ữ ỗ ố ứ x 0 t 0, x 1 t 4 p = ị = = ị = 4 4 2 2 0 0 tan t 1 I dt dt 4 1 tan t p p + p ị = = = + ũ ũ . Vy I 4 p = . VD4:Tớnh tớch phõn 3 1 2 0 dx I x 2x 2 - = + + ũ . Hng dn: 3 1 3 1 2 2 0 0 dx dx I x 2x 2 1 (x 1) - - = = + + + + ũ ũ . t x 1 tant+ = S: I 12 p = . VD5 : Tớnh tớch phaõn : = 2 2 2 0 2 x I dx. 1 x Giaỷi: 6 GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh Đặt x = sint, khi đó: dx = costdt .Đổi cận: với x= 0 t = 0 2 x= t 2 4 ⇒ π ⇒ = Lại có: 2 2 2 2 2 2 x dx sin t.costdt sin t.costdt sin tcostdt 1 (1 cos2t)dt. cost cost 2 1 x 1 sin t = = = = − − − Khi đó: / 4 / 4 0 0 1 1 1 1 I (1 cos2t)dt t sin2t . 2 2 2 8 4 π π π = − = − = − ÷ ∫ VD6 : Tính tích phân : 2/ 3 2 2 dx I x x 1 = − ∫ Giải: Đặt 2 1 cost x , khi đó: dx dt sint sin t = = − Đổi cận: x= 1 t = 2 2 x= t 3 3 π ⇒ π ⇒ = Khi đó: / 2 / 2 2 / 2 / 3 / 3 / 3 2 1 costdt sin t dt t 1 6 1 sint 1 sin t π π π π π π − π = = = − ∫ ∫ VD7 : Tính tích phân : 0 a a x I dx, (a 0) a x + = > − ∫ Giải: Đặt x a.cos2t, khi đó: dx 2a.sin2tdt.= = − Đổi cận: x= -a t = 2 x=0 t 4 π ⇒ π ⇒ = Lại có: a x a a.cos2t dx ( 2a.sin2tdt) cott ( 2a.sin2tdt) a x a a.cos2t + + = − = − − − 2 4a.cos t.dt 2a(1 cos2t)dt.= − = − + 7 GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh Do đó: / 2 / 2 / 4 / 4 1 I 2a (1 cos2t)dt 2a t sin2t a 1 2 4 π π π π π = − + = − − = − ÷ ÷ ∫ . VD8 : Tính tích phân : / 3 2 / 6 cosdx I sin x 5sinx 6 π π = − + ∫ Giải: Đặt x = sint, khi đó: dt = cosxdx Đổi cận: 1 x= t = 6 2 3 x= t 3 2 π ⇒ π ⇒ = Ta có: 2 2 cosdx dt dt (t 2)(t 3) sin x 5sinx 6 t 5t 6 = = − − − + − + A B [(A B)t 2A 3B]dt dt t 3 t 2 (t 2)(t 3) + − − = + = ÷ − − − − Từ đó: A B 0 A 1 2A 3B 1 B 1 + = = ⇔ − − = = − Suy ra: 2 cosxdx 1 1 dt. t 3 t 2 sin x 5sinx 6 = − ÷ − − − + Khi đó: 3 / 2 3 / 2 1/ 2 1/ 2 1 1 t 3 3(6 3) I dt ln ln t 3 t 2 t 2 5(4 3) − − = − = = ÷ − − − − ∫ C.Bài tập : Tính các tích phân sau: 1) 1 4 2 0 x dx x x 1+ + ∫ 2) 2 0 1 1 cos sin dx x x π + + ∫ 3) 2 2 2 2 0 x dx 1 x− ∫ 4) 2 2 2 1 x 4 x dx− ∫ 5) 2 3 2 2 1 dx x x 1− ∫ 6) 3 2 2 1 9 3x dx x + ∫ 7)) 1 5 0 1 (1 ) x dx x − + ∫ 8) 2 2 2 3 1 1 dx x x − ∫ 9) 2 0 cos 7 cos2 x dx x π + ∫ 10) 1 4 6 0 1 1 x dx x + + ∫ 11) 2 0 cos 1 cos x dx x π + ∫ 12) ∫ ++ − 0 1 2 22xx dx 13) ∫ ++ 1 0 311 x dx 14) ∫ − − 2 1 5 1 dx x xx . III. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN: A. Phương pháp: 8 GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh * Kiến thức: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D vi phân của hàm số ký hiệu: dy = f '(x).dx hay d(f(x)) = f '(x).dx. * Để tính được nhanh các em cần nhớ những công thức sau: +, d(a.x b) d(a.x b) a.dx dx (a 0) a + + = Û = ¹ . +, x x x x d(ae b) d(ae b) ae .dx dx a.e + + = Û = . +, d(sinx) d(sinx) cosx.dx dx cosx = Û = ; d(cosx) d(cosx) sinx.dx dx sinx = - Û = - . +, dx d(lnx) . x = dx 1 d(a.x b) 1 ln(a.x b) a.x b a a.x b a + = = + + + . +, 2 2 2 2 x.dx d( x a ) x a + = + . B. Ví dụ 1 : Tính các tích phân sau: 1) 1 0 dx 2007.x 2008+ ò ; 2) 4 2 0 sin x.cosxdx; p ò 3) e x 2x 1 e .dx 4 3e- ò ; 4) 4 6 cotx.dx p p ò . C. Bài tập Tính các tích phân sau: 1) 1 2 3 0 2 1 x x+ ∫ ; 2) 1 2 3 0 ( ) 2 x x− ∫ dx; 3) 1 2 3 0 2 1 x x+ ∫ dx ; 4) 2 1 0 x xe dx ∫ ; 5) 3 1 2 1 x x e − − ∫ dx . 6) 1 2 ln e x x + ∫ dx ; 7) 2 1 ln e e dx x x+ ∫ ; 8) 3 3 0 sin cos x x π ∫ dx ; 9) 3 cos 0 sin x x e π ∫ dx ; 10) 1 x 0 dx 2e 3+ ò . IV. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: A. Phương pháp: Công thức tích phân từng phần: [ ] ∫ ∫ −= b a b a b a dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').( Hay: [ ] ∫ ∫ −= b a b a b a vduvuudv . Cách thực hiện: +) Đặt )( )(' )(' )( xvv dxxudu dxxvdv xuu = = ⇒ = = +) Thay vào công thức tích phân từng từng phần : [ ] ∫ ∫ −= b a b a b a vduvuudv . Chú ý: 9 GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh +)Đặt u f(x), dv g(x)dx= = (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi phân / du u (x)dx= không quá phức tạp. +)Hơn nữa, tích phân b a vdu ò phải tính được. +)Đặc biệt: i/ Nếu gặp b b b ax a a a P(x) sinaxdx, P(x)cosaxdx, e .P(x)dx ò ò ò với P(x) là đa thức thì đặt u P(x)= . ii/ Nếu gặp b a P(x) lnxdx ò thì đặt u lnx= . iii/ Nếu gặp b x a e .sinaxdx a ò , b x a e .cosaxdx a ò thì ta tính hai lần từng phần bằng cách đặt x u e a = . B. Ví dụ: VD1:Tính tích phân 1 x 0 I xe dx= ò . Giải Đặt x x u x du dx dv e dx v e = = ì ì ï ï ï ï Þ í í = ï ï = ï ïî î (chọn C 0= ) 1 1 1 1 x x x x 0 0 0 0 xe dx xe e dx (x 1)e 1Þ = - = - = ò ò . VD2Tính tích phân e 1 I x lnxdx= ò . Giải Đặt 2 dx du u lnx x dv xdx x v 2 ì ï = ï = ì ï ï ï ï Þ í í ï ï = ï ï î = ï ï î e e e 2 2 1 1 1 x 1 e 1 x lnxdx lnx xdx 2 2 4 + Þ = - = ò ò . VD3Tính tích phân 2 x 0 I e sinxdx p = ò . Giải Đặt x x u sinx du cosxdx dv e dx v e = = ì ì ïï ï ï Þ í í ï ï = = ï ï î î 2 2 x x x 2 2 0 0 0 I e sinxdx e sinx e cosxdx e J p p p p Þ = = - = - ò ò . 10 [...]...GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh p 2 ì du = - sin xdx ì u = cosx ï ï ï Þ ï Đặt í dv = ex dx í ï ï v = ex ï ỵ ï ỵ òe x Þ J = cosxdx = ex cosx p 2 0 0 p Þ I = e2 - (- 1 + I) Þ I = p 2 + ò ex sin xdx = - 1 + I 0 p 2 e + 1... ∫ e2x dx = 0 1 1 3e2 − 1 − (e2 − 1) = e2 2 2 ( ⇒ du = ( 2x + 1) dx 1 2x v = e 2 du = 2x + 1dx 1 2x v = 2 e ⇒ 1 1 (3e2 − 1) − e2x 2 2 1 2 Vậy I = e2 − e2 = 1 0 e2 2 11 GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh 0 VD6:Tính tích phân: ∫−1x 5 3 e− x dx Giải: 0 3 I = ∫−1x5 e− x dx Đặt t = –x3 ⇒ dt = –3x2dx , x=0 ° ⇒ t = 0 , x = –1 ⇒ t = 1 0 t 1 u = t t dv = e dt Đặt ° 1 1 1 t ∫1 (−t).e... = 0 π π π/ 2 + cos x 0 = − 1 2 2 (2) π − 1÷ = π − 1 2 Thay (2) vào (1) ta được: I = 1 + 2 VD8:Tính tích phân: 1 ∫0 xe x dx Giải: 1 ∫0 xe x dx Đặt t = x ⇒ t2 = x ⇒ 2tdt = dx 12 GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh ° x=1 ⇒ t=1 , x=0 ⇒ t=0 ⇒ I= ⇒ I1 = Đặt 1 2 t t e 2tdt 0 ∫ 1 et t3 0 1 = 2∫ t 3et dt = 2I1 0 1 − 3∫ et t 2dt = e − 3I2 0 u = t 2 t dv = e dt 1 t 2 ⇒ I2 = e t 01 1 0 1 t 2 ∫0 e t... sin 2xdx Khi đó: I 2 = e cos2x + ∫ e sin 2xdx = 2 2 2 ∫ 0 0 0 (3) π • 2x Xét tích phân: I 2, 1 = ∫ e sin 2xdx 0 du = 2 cos2xdx u = sin 2x ⇒ Đặt: 1 2x 2x dv = e dx v = 2 e 13 GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh π π 1 2x I 2, 1 = e sin − ∫ e2x cos2xdx = −I 2 Khi đó: 2 0 0 1 44 2 4 4 3 (4) I2 Thay (4) vào (3), ta được: I 2 = e2 π 1 e2π 1 − − I 2 ⇔ I2 = − 2 2 4 4 (5) 1 e2 π 1 e2 π 1 1 Thay (2),... f(x) = f( a +b - x) thì b b a+b ò x.f(x)dx = 2 ò f(x).dx a a B Ví dụ VD1: Tính tích phân 1/ 2 1− x I = ∫ cos x.ln( )dx 1+ x −1/ 2 1− x ) thỏa: Giải: nhận xét hs f(x) = cos x.ln( 1+ x 14 GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh * Liên tục trên [-1/2;1/2] * f(x) +f(-x) = = 0 Theo tc 1 ta được I=0 VD2 :Tính tích phân p 2 ò cosx.ln(x + I= x2 + 1)dx - p 2 VD3 Cho f (x) là hàm số liên tục trên R thoả mãn f (x) + f (-... Chú ý: (sinx)2n+1 = (sin2 x)n.sin x = (1- t2)n.sinx Ví dụ 1 (bậc sin lẻ) Tính tích phân I = p 2 ò cos 2 x sin3 xdx 0 Giải Đặt t = cosx Þ dt = - sin xdx p x = 0Þ t =1 x = Þ t = 0 , 2 15 GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh p 2 1 0 Þ I = ò cos x(1 - cos x) sin xdx = - ò t (1 - t )dt = 2 2 2 2 Vậy I = 1 ỉ3 t5 ư t ÷ = 2 (t2 - t4 )dt = ç ÷ ç3 ò ÷ è 5 ø0 15 0 2 15 0 1 2 Dạng bậc lẻ với hàm cos Phương pháp chung:... 8 0 p Vậy I = 32 Nhận xét: Ví dụ 4 Tính tích phân I = p 2 dx ò cosx + sin x + 1 0 Giải x 1 2x 2dt Đặt t = tg Þ dt = tg + 1 dx Þ dx = 2 2 2 2 t +1 p x = 0Þ t = 0 x = Þ t =1 , 2 ( ) 16 GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh 1 Þ I = 1 ò 10 2 t 2t + 2 1+ t 1 + t2 2dt 1 + t2 = +1 1 dt ò t + 1 = ln t + 1 1 0 = ln2 0 Vậy I = ln2 4 Dạng liên kết p Ví dụ 1 Tính tích phân I = xdx ò sin x + 1 0 Giải Đặt x = p -... sinn x + cosn x dx = 0 Ví dụ 3 Tính tích phân I = ) n p 6 p 2 cosn x p ò sinn x + cosn x dx = 4 , n Ỵ Z+ 0 sin x ò sin x + 3cosx dx và J = 0 2 p 6 cos2 x ò sin x + 3cosx dx 0 Giải 17 GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh +, I - 3J = p 6 sin x - 3cos x dx = 3cosx 2 2 ò sin x + 0 p 6 ò (sin x - 3cosx)dx 0 = ( - cosx p 6 +, I + J = dx ò sin x + 0 3sin x ) p 6 0 3 (1) = 1- p 6 1 dx ò sin x + p 20 3cosx 3 p Đặt... ln ç1 + du ÷ ç è 1 + tgu ø 0 p 4 = p 1 ò ln(1 + tgt)dt = - ò ln ê + tg( 4 ë 0 ỉ 2 ư ÷ ç ÷ ç ò ln è1 + tgu ødu 0 p 4 0 p 4 p ò ln2du - ò ln ( 1 + tgu ) du = 4 ln2 Vậy I = I p ln2 8 18 GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh p 4 Ví dụ 5 Tính tích phân I = cosx dx x +1 ò 2007 - p 4 Giải Đặt x = - t Þ dx = - dt p p p p x=Þ t= , x= Þ t=4 4 4 4 - p 4 p 4 cos(- t) Þ I =- ò dt = - t +1 p 2007 2007t cost ò 1 + 2007t... Þ t= , x= Þ t=2 2 2 2 x=p 2 Þ I = p 2 ò f(- t)dt = J p 2 Þ 3I = J + 2I = p 2 ò[ f(- x) + 2f(x) ] dx - p 2 = p 2 p 2 ò cosxdx = 2ò cosxdx = 2 - p 2 0 Vậy I = 2 3 Vậy I = p 2 Chú ý: 19 GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh Đơi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần p2 4 Ví dụ 7 Tính tích phân I = xdx ò cos 0 Giải x Þ x = t2 Þ dx = 2tdt p2 p x = 0Þ t = 0 x = , Þ t= 4 2 Đặt t = p 2 Þ I = . 7) 3 4 4 π π ∫ cos2 1x + dx II. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ : 2 GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh 1) DẠNG 1: Tính ( ) b a I f x dx= ∫ với giả thi t hàm số f(x) liên tục trên [a;b] A. Phương pháp: +) Đặt dxxudtxut. )( )(' )(' )( xvv dxxudu dxxvdv xuu = = ⇒ = = +) Thay vào công thức tích phân từng từng phần : [ ] ∫ ∫ −= b a b a b a vduvuudv . Chú ý: 9 GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh +)Đặt u f(x), dv g(x)dx= = (hoặc. GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh Chuyên đề: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN PHẦN 1:CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1.