Bài toán cân bằng và một vài ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN Nguyễn Thanh Hùng BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP THẠC SĨ Ngành: Toán Giải Tích Người hướng dẫn:GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn Hà Nội - 2013 LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn người đã tận tình hướng dẫn em. Thầy đã chỉnh sửa những sai sót và đưa ra những lời nhận xét quí báu. Cùng toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán, thầy cô trong tổ bộ môn "Toán giải tích" trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại trường. Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên em cổ vũ, động viên, giúp đỡ em. Cảm ơn các bạn trong lớp đã góp ý giúp đỡ em trong luận văn này. Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khi làm luận văn không tránh khỏi những sai sót. Em xin mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quí thầy cô và bạn đọc. Hà Nội, ngày tháng năm 2013 Tác giả luận văn Nguyễn Thanh Hùng LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn. Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, ngày tháng năm 2013 Tác giả luận văn Nguyễn Thanh Hùng i Mục lục MỞ ĐẦU 1 1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Định nghĩa và một số tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Không gian đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.3 Không gian compắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Không gian véctơ, không gian định chuẩn và không gian Banach . 11 1.3 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4 Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff . . . . . . . 14 1.5 Nón và ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Bài toán cân bằng đơn trị 23 2.1 Nguyên lý ánh xạ KKM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.1 Bổ đề KKM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.2 Định lý điểm bất động Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.3 Nguyên lý ánh xạ KKM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2 Bài toán cân bằng vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3 Bài toán cân bằng véctơ đơn trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ii 2.4 Một số mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3 Bài toán điểm cân bằng véctơ đa trị 58 3.1 Bài toán điểm cân bằng véctơ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.2 Một số ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 KẾT LUẬN 80 Tài liệu tham khảo 81 1 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Lí thuyết tối ưu được hình thành từ những ý tưởng về cân bằng kinh tế, lý thuyết giá trị của Edgworth và Pareto từ cuối thế kỉ XIX và đầu thế kỉ XX. Sau đó có rất nhiều công trình đã được nghiên cứu và ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của ngành khoa học và kĩ thuật cũng như kinh tế: Borel (1921), Von Neuman (1926) đã xây dựng lý thuyết trò chơi dựa trên các khái niệm và kết quả toán học, Koopman (1947) đã đưa ra lí thuyết lưu thông hàng hóa. Lý thuyết tối ưu véctơ là bộ phận quan trọng của lý thuyết tối ưu. Sau những công trình của H.W. Kuhn và A.W.Tucker về các điều kiện cần và đủ cho một véctơ thỏa mãn các ràng buộc là nghiệm hữu hiệu, tối ưu véctơ thực sự là một ngành toán học độc lập và có nhiều ứng dụng trong thực tế. Các bài toán cơ bản trong lí thuyết tối ưu bao gồm: bài toán tối ưu, bài toán cân bằng Nash, bài toán bù, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm yên ngựa, Bài toán điểm cân bằng được biết đến từ lâu bởi các công trình của Arrow- Debreu, Nash sau đó được nhiều nhà toán học sử dụng để xây dựng mô hình kinh tế từ nửa sau thế kỉ XX. Ky Fan (1972) và Minty (1978) đã phát biểu và chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng dựa trên các định lý điểm bất động. Năm 1994, Blum và Oettli đã phát biểu bài toán cân bằng một cách tổng quát và tìm cách liên kết bài toán của Ky Fan và Minty với nhau thành dạng chung cho cả hai. Bài toán được phát biểu ngắn gọn là: tìm ¯x ∈ K sao cho f(¯x, x) ≥ 0, ∀x ∈ K, trong đó K là tập cho trước, f : K × K → R là hàm số thực thỏa mãn f(x, x) ≥ 0. Đây là dạng suy rộng trực tiếp của bài toán cổ điển trong 2 lý thuyết tối ưu véctơ. Ban đầu người ta nghiên cứu những bài toán liên quan đến ánh xạ đơn trị từ không gian hữu hạn chiều này sang không gian hữu hạn chiều khác mà thứ tự được sinh bởi nón Orthan dương. Sau đó mở rộng sang không gian có số chiều vô hạn với nón bất kì. Khái niệm về ánh xạ đa trị đã được xây dựng và phát triển bởi bản thân toán học và các lĩnh vực khoa học khác. Những định nghĩa, tính chất, sự phân lớp của ánh xạ đơn trị dần được mở rộng cho ánh xạ đa trị. Từ đó người ta tìm cách chứng minh các kết quả thu được từ đơn trị sang đa trị. Chính vì lẽ đó, bài toán điểm cân bằng được nhiều nhà nghiên cứu đặc biệt quan tâm trong những năm gần đây. Với những lí do trên mà chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn là: "Bài toán cân bằng và một vài ứng dụng". 2. Mục đích nghiên cứu Trình bày một số kết quả nghiên cứu cơ bản về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng với cách tiếp cận dùng Nguyên lý ánh xạ KKM và đưa ra một số ứng dụng trong các bài toán tối ưu véctơ. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu bài toán cân bằng, sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng với cách tiếp cận dùng Nguyên lý ánh xạ KKM. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Luận văn tập trung nghiên cứu bài toán cân bằng, sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng và đưa ra một số ứng dụng trong các bài toán trong lý thuyết tối ưu. 5. Phương pháp nghiên cứu Tìm hiểu các thông tin trong sách báo liên quan đến nội dung nghiên cứu. Tổng hợp và vận dụng các kiến thức cho mục đích nghiên cứu. 3 6. Dự kiến đóng góp mới Tìm một số ứng dụng mới của bài toán cân bằng véctơ đa trị vào mô hình kinh tế. 4 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Đằng sau mỗi bài toán có một cấu trúc không gian trừu tượng (tức là một tập trong đó có những quan hệ giữa các phần tử và những quy tắc tổ hợp các phần tử) và một phép biến đổi (ánh xạ, toán tử) trong không gian ấy, hoặc tổng quát hơn, từ không gian ấy vào một không gian khác. Do đó xây dựng lý thuyết các không gian trừu tượng và các hàm số trong không gian đó sẽ giúp ta có công cụ để xử lý dễ dàng hơn các bài toán bao gồm bài toán trong thực tế và trong khoa học. Chính vì vậy, phần đầu của chương này ta nhắc lại khái niệm một số không gian thường dùng trong các bài toán tối ưu véctơ. Phần tiếp theo ta nhắc lại khái niệm nón và khái niệm ánh xạ đa trị. Phần lớn các kiến thức trong chương này đều được lấy từ cuốn sách của GS. Hoàng Tụy [2] và cuốn sách của N.X.Tấn và N.B.Minh [3]. [...]... 2.2 Bài toán cân bằng vô hướng Bài toán cân bằng cổ điển (hay còn gọi là bài toán cân bằng vô hướng) đóng một vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học lý thuyết cũng như ứng dụng Từ bài toán này ta có thể suy ra được các bài toán khác nhau trong lý thuyết tối ưu: Bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán cân bằng Nash, bài toán điểm yên ngựa, Chính vì vậy, bài. .. cân bằng và bài toán được gọi là bài toán điểm cân ¯ bằng và được ký hiệu là (EP) Bài toán trên, ngoài những ứng dụng trong toán học, còn có ý nghĩa trong kinh tế, chẳng hạn như mô hình kinh tế Walras hay cân bằng kinh tế Nash Từ bài toán này bằng cánh chọn hàm f một cách thích hợp cho từng trường hợp cụ thể, ta suy ra được các bài toán có liên quan sau: 1 Bài toán tối ưu Xét hàm số g : D → R Bài toán: ... chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán điểm cân bằng Năm 1972 Ky Fan [10] và năm 1978 Minty [8] đã phát biểu bài toán điểm cân bằng một cách tổng quát và chứng minh sự tồn tại nghiệm của nó với những giả thiết khác nhau Kết quả của Ky Fan nặng về tính nửa liên tục trên, còn kết quả của Minty nặng về tính đơn điệu của hàm số Năm 1991, Blum và Oettli [6] đã phát biểu bài toán cân bằng tổng quát và. .. cân bằng tổng quát và tìm cách liên kết các bài toán của Ky Fan và Minty với nhau thành dạng chung cho cả hai Các tác giả đã chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán này dựa 24 trên Nguyên lý KKM Trong chương này ta gọi bài toán tổng quát do Blum và Oettli đặt ra là bài toán cân bằng cổ điển hay bài toán cân bằng vô hướng Trước hết chúng tôi đề cập tới một số điểm cơ bản của nguyên lí ánh xạ KKM 2.1... là nghiệm của (EP) ¯ ¯ 4 Bài toán cân bằng Nash Cho Di ∈ X, i ∈ I là các tập con khác rỗng trong X với I là tập hữu hạn các phần tử Đặt D = i∈I Di và xét các hàm fi : D → R Với mỗi x = (xi )i∈I ∈ D, 30 ta đặt xi = (xj )j∈I,j=i Bài toán: Tìm x = (¯i )i∈I ∈ D sao cho ¯ x ¯ fi (¯) ≤ fi xi , yi , ∀yi ∈ Di , x (2.4) được gọi là bài toán cân bằng Nash Điểm x được gọi là điểm cân bằng Nash ¯ Ta định nghĩa... (tương ứng, F (αx + (1 − α)y) ⊂ αF (x) + (1 − α)F (y) − C ) với mọi x, y ∈ domF và α ∈ [0, 1] b) F được gọi là C− lõm trên (hoặc C− lõm dưới) nếu αF (x) + (1 − α)F (y) ⊂ F (αx + (1 − α)y) − C (hoặc F (αx + (1 − α)y) ⊂ αF (x) + (1 − α)F (y) + C ) với mọi x, y ∈ domF và α ∈ [0, 1] 23 Chương 2 Bài toán cân bằng đơn trị Bài toán điểm cân bằng được hình thành từ khái niệm hữu hiệu mà Edgeworth và Pareto... mở Đối với hợp của một họ tập mở ta cũng chứng minh tương tự Định lí 1.1.5 Hợp của một số hữu hạn tập đóng cũng là tập đóng Giao của 9 một họ bất kỳ những tập đóng cũng là tập đóng Chứng minh Cho tập đóng Fi (i = 1, , n) và F c = n i=1 Fic mà mỗi Fic là mở nên theo định lí trên F c cũng là mở và do đó F đóng Đối với giao của một họ tập đóng ta cũng chứng minh tương tự (5) Cho trước một tập A trong không... điểm yên ngựa, Chính vì vậy, bài toán này được rất nhiều các nhà toán học quan tâm như E Blum, W Oettli [6], G.J Minty [8], Ky Fan [10], Trong mục này chúng ta trình bày nội dung bài toán, các bài toán có liên quan và điều kiện về sự tồn tại nghiệm Bài toán này được phát biểu như sau: Cho X là không gian véctơ lồi địa phương thực, D ⊂ X là tập lồi đóng, khác rỗng và f : D × D → R là hàm thỏa mãn... rằng, một tập M trong không gian metric X bị chặn nếu nó nằm trọn trong một hình cầu nào đó, nghĩa là có một điểm a ∈ X và một số C > 0 sao cho ρ (x, a) ≤ C với mọi x ∈ M (2) Ta nói rằng, một tập M trong không gian metric X là hoàn toàn bị chặn nếu với mọi ε > 0 cho trước, tập M có thể phủ được bằng một số hữu hạn hình cầu 10 bán kính ε Điều hiển nhiên: một tập hoàn toàn bị chặn thì phải bị chặn (3) Một. .. mọi dãy {xn } ⊂ M đều chứa một dãy con {xnk } hội tụ tới một điểm thuộc M Định lý 1.1.7 (Hausdorff) Một tập compắc thì đóng và hoàn toàn bị chặn Ngược lại, một tập đóng và hoàn toàn bị chặn trong không gian metric đủ thì compắc Chứng minh Ta công nhận định lí này Định lý 1.1.8 (Heine – Borel) Một tập M là tập compắc khi và chỉ khi mọi tập mở {Gα } phủ lên M : Gα ⊃ M, đều có một họ con hữu hạn: Gα1 , . Các bài toán cơ bản trong lí thuyết tối ưu bao gồm: bài toán tối ưu, bài toán cân bằng Nash, bài toán bù, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm yên ngựa, Bài toán điểm cân bằng được. xạ KKM. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Luận văn tập trung nghiên cứu bài toán cân bằng, sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng và đưa ra một số ứng dụng trong các bài toán trong lý thuyết. động. Năm 1994, Blum và Oettli đã phát biểu bài toán cân bằng một cách tổng quát và tìm cách liên kết bài toán của Ky Fan và Minty với nhau thành dạng chung cho cả hai. Bài toán được phát biểu