2 Bài toán cân bằng đơn trị
2.1.3 Nguyên lý ánh xạ KKM
Nguyên lý ánh xạ KKM là một mở rộng của Bổ đề KKM ra không gian vô hạn chiều và là trung tâm của Lý thuyết KKM, một bộ phận cơ bản và sâu sắc của giải tích phi tuyến.
Trước khi phát biểu và chứng minh Nguyên lý ánh xạ KKM, chúng ta định nghĩa ánh xạ KKM.
Cho C là một tập hợp trong không gian véctơ tôpô X,ánh xạ đa trị F từC vào
2C được gọi là ánh xạ KKM nếu với mọi tập con hữu hạn {x1, x2, ..., xn} trong C ta có: co{x1, x2, ..., xn} ⊂ n S i=1 F(xi). Nguyên lý ánh xạ KKM([9])
Cho C là một tập hợp trong không gian véctơ tôpô Hausdorff X, F :C → 2X
là một ánh xạ KKM với giá trị đóng. Khi đó với mọi tập hữu hạn A nằm trong C ta có:
T
x∈A
F(x)6=∅.
Chứng minh.Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng. Giả sử tồn tại một tập hợp hữu hạn{x1, x2, ..., xn}trong C thỏa mãn
n
T
i=1
F (xi) = ∅.GọiL là không gian con tuyến tính củaX sinh bởi{x1, x2, ..., xn}và dlà một khoảng cách trênLtương thích với tôpô cảm sinh từ X. Ký hiệu ∆ = co{x1, x2, ..., xn}. Đặt G(xi) = F(xi)∩L, i= 1, ..., n. Với mỗi x ∈ ∆, đặt αi(x) = d(x, G(xi)). Vì n T i=1 F(xi) =∅ nên n T i=1 G(xi) =∅. Do đó với mỗix∈∆,tồn tại một i sao cho x /∈G(xi), suy ra αi(x)>0 do G(xi)
đóng. Vậy có thể đặt µi(x) = nαi(x) P j=1 αj(x) , x∈∆. Các hàm µi đều liên tục và 0≤µi(x)≤1, n P i=1 µi(x) = 1 với mọi x∈∆. Đặt T x= n P i=1
µi(x)ui, do ∆ lồi ta được ánh xạ liên tục T : ∆ →∆⊂L với L hữu hạn chiều. Theo Định lý Brouwer, tồn tại x¯∈∆ mà x¯=Tx.¯
Đặt I ={i:µi(¯x)>0}, ta được: ¯ x=Tx¯=P i∈I µi(¯x)ui∈co{ui :i∈I} ⊂ S i∈I Fi, vì F là ánh xạ KKM.
Mặt khác, vì với mọi i ∈ I ta có αi(¯x) > 0 nên x /¯ ∈ G(xi). Vì x¯ ∈ L nên
¯
x /∈F(xi) với mọi i∈I, tức là x /¯∈ S
i∈I
F(xi), điều này mâu thuẫn. Vậy Nguyên lý được chứng minh.
Nhận xét. Nếu trong Nguyên lý ánh xạ KKM, ánh xạ F có một giá trị compắc, chẳng hạn F (x0), khi ấy họ tập đóng {F (x)∩F (x0) :x∈C} thuộc tập compắc F (x0) và có tính chất giao hữu hạn. Vì vậy họ này có giao khác rỗng. Kết quả này trong tài liệu gọi là Bổ đề Ky Fan dưới đây.
Bổ đề Ky Fan [9]
Cho C là một tập hợp khác rỗng trong không gian vectơ tôpô Hausdorff X và ánh xạ đa trị F :C →2X thỏa mãn:
1) Với mỗi x∈C thì F(x) là tập đóng, khác rỗng trong X; 2) F là ánh xạ KKM;
3) Tồn tại x0 ∈C sao cho F(x0) compắc. Khi ấy ta có: T
x∈C