Quá trình khuếch tán itô

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH F -TRẦN THỊ BÌNH QUÁ TRÌNH KHUẾCH TÁN ITÔ Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và Thống kê Toán học Mã số: 60.46.01.06 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Ngư

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

F

-TRẦN THỊ BÌNH

QUÁ TRÌNH KHUẾCH TÁN ITÔ

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

F

-TRẦN THỊ BÌNH

QUÁ TRÌNH KHUẾCH TÁN ITÔ

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và Thống kê Toán học

Mã số: 60.46.01.06

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS Nguyễn Thị Thế

Nghệ An - 2014

Mục lục

1 Các khái niệm cơ bản 5

1.1 Kỳ vọng có điều kiện 5

1.2 Quá trình ngẫu nhiên 7

1.3 Chuyển động Brown 9

1.4 Quá trình Markov 9

1.5 Phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô 14

1.5.1 Tích phân ngẫu nhiên Itô 14

1.5.2 Công thức Itô 17

1.5.3 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 19

2 Quá trình khuếch tán Itô 24 2.1 Quá trình khuếch tán 24

2.2 Quá trình khuếch tán Itô 32 Kết luận chung và kiến nghị 40 Tài liệu tham khảo 40

Bảng ký hiệu

R+: [0, +∞);

Rn: Không gian véc tơ Euclide n-chiều;

Rd×n: Không gian các d × n-ma trận thực;

In: Ma trận đơn vị cấp n;

x>: Chuyển vị của một véc tơ cột;

(Ω, F , P): Không gian xác suất;

E: Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên;

D: Phương sai của biến ngẫu nhiên;

h.c.c: Hầu chắc chắn;

Ft:=σ(X(s), s ≤ t; s, t ∈ T );

F≥t:=σ(X(s); s ≥ t; s, t ∈ T );

L2([a, b], Ω): Không gian các quá trình ngẫu nhiên X = (X(t), t ∈ [a, b])

đo được, tương thích

E

Z b a

X(t)2dt



< ∞;

L2([a, b], Ω): Không gian các quá trình ngẫu nhiên X = (X(t), t ∈ [a, b])

đo được, tương thích

P

Z b a

|X(t)|2dt < ∞



= 1;

Mở đầu

Lý thuyết tích phân ngẫu nhiên và phương trình vi phân ngẫu nhiênđược xây dựng bởi Itô Năm 1942, lý thuyết này lần đầu tiên được ápdụng vào bài toán của Kolmogorov về xây dựng quá trình khuếch tán.Kolmogorov và Feller cũng thành công trong việc xây dựng quá trình nàybằng phương pháp xác suất để giải phương trình Kolmogorov (dùng xácsuất chuyển) Do đó, đã thiết lập một phương pháp giải tích trong lý thuyếtxác suất (song song với lý thuyết nữa nhóm của Hille-Yosida) Ngược lạivới các phương pháp giải tích, Levy đã đề xuất tiếp cận theo phương phápxác suất và được Itô thiết lập để xây dựng hàm mẫu của quá trình khuếchtán một cách trực tiếp, đó là nghiệm của một phương vi phân ngẫu nhiên.Ngày nay, phương pháp của Itô không chỉ áp dụng vào quá trình khuếchtán mà còn áp dụng cho một lớp đủ rộng các quá trình ngẫu nhiên khác.Quá trình khuếch tán được mô tả bởi phương trình vi phân ngẫu nhiên,gọi là quá trình khuếch tán Itô Lớp quá trình này được biết là đủ rộngcho lý thuyết cũng như áp dụng, mà chuyển động Brown là một ví dụ điểnhình Hơn nữa, tính toán ngẫu nhiên cũng là một công cụ mạnh mẽ đểnghiên cứu lớp quá trình khuếch tán này Vì vậy, trong khuôn khổ của luậnvăn Thạc sỹ, chúng tôi chọn đề tài cho luận văn là "Quá trình khuếchtán Itô”

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn chia thànhhai chương

Chương 1 Các khái niệm cơ bản

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản của lí

thuyết xác suất để phục vụ cho chương 2.

Chương 2 Quá trình khuếch tán Itô

Chương 2 là nội dung chính của luận văn Trong chương 2 nghiên cứu

về quá trình khuếch tán Itô Cụ thể là định nghĩa và xét một số tính chấtcủa quá trình này và đưa ra ví dụ minh họa

Luận văn được thực hiện tại trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫncủa TS Nguyễn Thị Thế Tác giả bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc nhất tới côNguyễn Thị Thế đã tận tình hướng dẫn, động viên, giúp đỡ và tạo điềukiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và làm đề tài Tácgiả xin cảm ơn các thầy cô giáo đã trực tiếp giảng dạy lớp Cao học 20 Xácsuất thống kê Toán học Đồng thời tác giả xin cảm ơn ban chủ nhiệm vàcác thầy cô trong khoa Toán, khoa sau Đại học cùng tập thể lớp cao học

20 Xác suất thông kê Toán học

Mặc dù, tác giả có nhiều cố gắng nhưng luận văn không thể tránh khỏinhững thiếu sót Vì vậy, tác giả rất mong nhận được những lời chỉ bảo quýbáu của các thầy cô giáo và bạn đọc

Vinh, tháng 9 năm 2014

Tác giả

Chương 1

Các khái niệm cơ bản

1.1 Kỳ vọng có điều kiện

Định nghĩa 1.1.1 (Hàm tập liên tục tuyệt đối) Giả sửΩ 6= ∅, G là σ-đại

số các tập con của Ω, µ là độ đo và ν là hàm tập σ-cộng tính trên G Tanói ν là hàm tập G-liên tục tuyệt đối đối với µ và ký hiệu ν G µ Nếuvới mọi A ∈ G mà µ(A) = 0 thì ν(A) = 0

Ví dụ 1.1.2 Giả sử X ∈ L1(Ω, F ) và G là σ-đại số con của F Đặt

ν(A) = RAXdP, A ∈ G, thì ν(A) là hàm tập cộng tính và ν G P

Ngược lại cũng đúng, tức là cho ν G P thì sẽ có X ∈ L1(Ω, G) để ν

có dạng trên Đó là nội dung của định lí Radon-Nikodym

Định lý 1.1.3 (Định lí Radon-Nikodym) Giả sử (Ω, F ,P) là khônggian xác suất, G là σ-đại số con của F, ν là hàm tập σ-cộng tính trên

G sao cho ν G P Khi đó, tồn tại duy nhất biến ngẫu nhiên Y là

G-đo được thỏa mãn ν(A) = E(1AY ) với mọi A ∈ G Y gọi là đạo hàmRadon-Nikodym của ν đối với P, ký hiệu Y = dνd

P.Định nghĩa 1.1.4 (Kỳ vọng có điều kiện) Giả sử (Ω, F ,P) là khônggian xác suất, X: Ω → R là biến ngẫu nhiên và G là σ-đại số con của F.Biến ngẫu nhiên Y gọi là kỳ vọng có điều kiện của X đối với G, ký hiệu

Y = E(X/G) Nếu

và gọi là xác suất có điều kiện của A đối với X1, , Xn.

Các tính chất của kỳ vọng có điều kiện được thể hiện ở định lý sau đây.Định lý 1.1.6 ([1]) Cho a, b là các số thực tùy ý; X, Y là các biếnngẫu nhiên trên không gian xác suất (Ω, F ,P); G, G1, G2 là các σ-đại sốcon của F

Đặc biệt, nếu X, Y độc lập thì tính chất này chính là E(XY /Y ) =

1.2 Quá trình ngẫu nhiên

Đối tượng nghiên cứu của quá trình ngẫu nhiên là họ vô hạn các biếnngẫu nhiên phụ thuộc tham số t ∈ T nào đó

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử T là tập vô hạn nào đó Nếu với mỗi t ∈ T,

X(t) là biến ngẫu nhiên thì ta ký hiệu X = (X(t), t ∈ T ) và gọi X là hàmngẫu nhiên (với tham biến t ∈ T)

• Nếu T là tập đếm được thì ta gọiX = (X(t), t ∈ T ) là quá trình ngẫunhiên với tham số rời rạc

• Nếu T = N thì ta gọi X = (X(t), t ∈ N) là dãy các biến ngẫu nhiên(một phía)

• Nếu T = Z thì ta gọi X = (X(t), t ∈ Z) là dãy các biến ngẫu nhiênhai phía

• Nếu T là một nửa khoảng của đường thẳng thực, tức là T thuộc mộttrong các tập sau:(−∞; ∞), [a; ∞), (−∞; b], [a; b), [a; b], (a; b], (a; b)thì

ta gọi X = (X(t), t ∈ T ) là quá trình ngẫu nhiên với tham số liêntục Khi đó, tham số t đóng vai trò thời gian

• Nếu T là tập con của Rd thì ta gọi X = (X(t), t ∈ T ) là trường ngẫunhiên.

Định nghĩa 1.2.2 Giả sửG làσ-đại số các tập con của tập tham sốt ∈ T

Ta có thể xem quá trình ngẫu nhiên X = (X(t), t ∈ T ) là hàm hai biến

X: Ω × T → R

Nếu ánh xạ này đo được đối với σ-đại số tích F × G, tức là với mọi tập

B ∈ B(R) đều có

X−1(B) := {(ω, t) ∈ Ω × T | X(ω, t) ∈ B} ∈ F × G

thì (X(t), t ∈ T ) được gọi là quá trình đo được

Nếu T đếm được thì tính đo được tự động thực hiện Vì thế, tính đođược chỉ quan trọng khi T không đếm được Nếu quá trình X = (X(t), t ∈

T ) liên tục, hoặc có quỹ đạo liên tục phải (trái) thì X đo được

Định nghĩa 1.2.3 Họ các σ-đại số con Ft ⊂ F được gọi là một bộ lọcthỏa mãn điều kiện thông thường nếu

(i) Là một họ tăng, tức Fs ⊂ Ft nếu s < t

(ii) Họ đó liên tục phải, tức là Ft = T

>0

Ft+.(iii) Ft chứa mọi tập có xác suất 0, ∀ t ∈ T

Định nghĩa 1.2.4 Cho quá trình ngẫu nhiên X = (X(t), t ≥ 0) Xét họ

σ-đại số Ft sinh bởi biến ngẫu nhiên X(ω, t), tức Ft = σ(X(s), 0 ≤ s ≤ t).Khi đó, họ (Ft, t ≥ 0) được gọi là bộ lọc tự nhiên (lịch sử) của quá trình

X

Định nghĩa 1.2.5 Cho một bộ lọc (Ft, t ≥ 0) trên (Ω, F ) Một quátrình Y được gọi là tương thích với bộ lọc này, nếu với mọi t thì Y (t) là

đo được đối với σ-đại số Ft

Chú ý rằng mọi quá trình ngẫu nhiên đều tương thích với bộ lọc tựnhiên của nó

1.3 Chuyển động Brown

Định nghĩa 1.3.1 Giả sử (Ω, F ,P) là một không gian xác suất Quátrình ngẫu nhiên B = (B(t), t ≥ 0) được gọi là chuyển động Brown (hayquá trình Wiener) nếu thỏa mãn các tính chất sau

(iv) Với hầu hết ω, các quỹ đạo của chuyển động Brown liên tục

Mệnh đề 1.3.2 ([5]) Hầu chắc chắn các quỹ đạo của chuyển độngBrown liên tục nhưng có biến phân không bị chặn trên mọi đoạn hữuhạn Tức là với mọi đoạn [a, b] ⊂ R+ thì

1906 Chẳng hạn như X(t) là dân số tại thời điểm t Các hệ (sinh thái, vật

lí, cơ học ) không có nhớ hoặc sức ỳ lớn là các quá trình Markov Địnhnghĩa cụ thể của quá trình Markov như sau

Định nghĩa 1.4.1 Quá trình ngẫu nhiên n-chiều (X(t), t ∈ T ) trênkhông gian xác suất (Ω, F, P) gọi là quá trình Markov (n-chiều) nếutính chất Markov sau đây được thỏa mãn

P(AB/X(t)) = P(A/X(t))P(B/X(t)), (1.1)trong đó A ∈ Ft, B ∈ F≥t, t ∈ T

• Nếu không gian trạng thái là không quá đếm được, thì X(t) được gọi làxích Markov (với thời gian rời rạc hay liên tục là tùy vào T)

• Có nhiều dạng định nghĩa khác nhau về quá trình Markov, tùy vào từngtrường hợp cụ thể để dùng định nghĩa nào cho thích hợp

Sau đây ta đưa ra một số định nghĩa tương đương

Định lý 1.4.2 ([5]) Quá trình ngẫu nhiên n-chiều (X(t), t ∈ T ) trênkhông gian xác suất (Ω, F, P) là quá trình Markov (n-chiều) nếu vàchỉ nếu thỏa mãn một trong các tính chất sau đây

7 Với mọi hàm Borel bị chặn ϕ: Rn →R thì

E(ϕ(X(t))/Ft) = E(ϕ(X(t))/X(t))

Vai trò then chốt khi nghiên cứu quá trình Markov là hàm chuyển, đượcđịnh nghĩa như sau

Định nghĩa 1.4.3 Hàm 4 biến P (s, x, t, B) gọi là hàm chuyển trên

(Rn, B(Rn)) của quá trình Markov (X(t), t ∈ T ) nếu

(i) P (s, x, t, B) là độ đo xác suất khi cố định s, t, x,

(ii) Khi cố định s, t, B thì P (s, x, t, B) là đo được,

Định lý 1.4.5 Cho quá trình Markov(X(t), t ∈ T ) VớiB ∈ B(Rn), s, t ∈

Chứng minh Ta có tính chất trong định nghĩa hàm chuyển là dễ thấy Với

Ngược lại ta có định lí sau

Định lý 1.4.7 Cho hàm chuyển P (s, x, t, B) thỏa mãn phương trình(1.2) và cho độ đo xác suất µ Khi đó, tồn tại quá trình Markov cóphân phối ban đầu µ với hàm chuyển đã cho

Định lý 1.4.8 ([6]) Nếu X(t) là quá trình Markov trên T và g(t, x)

là hàm xác định trên T ×R và đơn điệu theo x khi t cố định Khi đó,

g(t, X(t)) cũng là quá trình Markov với hàm chuyển P (s, x, t, B)˜ biểudiễn qua hàm chuyển của X(t) như sau

Chứng tỏ chuyển động Brown B(t) là quá trình Markov

2 Cho X(t) là quá trình ngẫu nhiên có gia số độc lập và X(0) = 0 Vớimọi t1 < t2 < < tn < t và x ∈ R, ta có

P(X(t) ≤ x/X(t1), X(t2), , X(tn))

= P((X(t) − X(tn)) + X(tn) ≤ x/X(t1), X(t2), , X(tn))

= P((X(t) − X(tn)) + X(tn) ≤ x/X(tn))

= P(X(t) ≤ x/X(tn))

Vì vậy X(t) = φ(B(t)) là quá trình Markov.

1.5 Phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô

Trong phần này ta định nghĩa tích phân

Z T 0

mà tích phân ngẫu nhiên Itô sẽ được xác định là L2([a, b], Ω), được địnhnghĩa như sau

Kí hiệu 1.5.1 Ký hiệu L2([a, b], Ω) là không gian gồm các quá trìnhngẫu nhiên đo được f: [0, T ] × Ω 7→ R , thỏa mãn hai điều kiện sau

(i) f (t, ·) là Ft-đo được với mọi t ∈ [0, T ],

(ii) R0T E(|f (t)|2)dt < ∞

Đầu tiên định nghĩa tích phân (1.3) cho các hàm đơn giản.

Định nghĩa 1.5.2 Một quá trình ngẫu nhiên f ∈ L2([a, b], Ω) được gọi

là quá trình đơn giản nếu có dạng

Ký hiệu S là tập tất cả các hàm đơn giản trong L2([a, b], Ω)

Định nghĩa 1.5.3 Tích phân Itô trên đoạn [0, T ] của hàm đơn giản

I(αf + βg) = αI(f ) + βI(g)

Ngoài ra tích phân này còn có tính chất sau, gọi là tính chất "Đẳng cựItô”

E(|I(f )|2) =

Z T 0

E(|f (t)|2)dt (1.6)Tiếp theo, mỗi hàm f ∈ L2([a, b], Ω) được Itô xấp xỉ bởi một dãy hàm đơngiản {fn(t), n ≥ 1} ⊂ S theo nghĩa sau

Bổ đề 1.5.4 Cho f ∈ L2([a, b], Ω) Khi đó luôn tồn tại dãy các hàm đơngiản {fn(t), n ≥ 1} ⊂ S sao cho

Z T 0

E{|f (t) − fn(t)|2}dt −→ 0,khi n → ∞ (1.7)

Như vậy tập tất cả các hàm đơn giản S là trù mật trong L2([a, b], Ω).Bây giờ với {fn(t), n ≥ 1} là dãy hàm như trong Bổ đề 1.5.4, theo tínhchất "Đẳng cự Itô” trong công thức (1.6), ta có

E(|I(fn) − I(fm)|2) =

Z T 0

E(|I(fn) − I(fm)|2)dt −→ 0,khi n, m → ∞

Do đó {I(fn), n ≥ 1} là dãy Cauchy trong L2(Ω), với L2(Ω) là khônggian các biến ngẫu nhiên bình phương khả tích Đây là không gian địnhchuẩn đầy đủ với chuẩn kXk2 = pE(X)2 Suy ra tồn tại giới hạn

I(f ) = lim

n→∞I(fn), trong L2(Ω) (1.8)Hơn nữa, có thể chứng minh được rằng I(f ) xác định như ở (1.8) khôngphụ thuộc vào cách chọn dãy {fn, n ≥ 1} trong Bổ đề 1.5.4 Từ đây ta cóđịnh nghĩa

Định nghĩa 1.5.5 Giới hạn I(f ) trong phương trình (1.8) được gọi làtích phân Itô của hàm ngẫu nhiên f và được ký hiệu bởi R0T f (t)dB(t).Như vậy I(f ) được xác định cho mọi f ∈ L2([a, b], Ω) Bây giờ, với mỗi

f ∈ L2([a, b], Ω) và t1 < t2 ∈ [0, T ], ký hiệu 1[t1,t2] là hàm chỉ tiêu của đoạn

f (s)1[t1,t2](s)dB(s)

Ký hiệu

X(t) =

Z t 0

f (s)dB(s), 0 ≤ t ≤ T

Khi đó X(t) là một quá trình ngẫu nhiên, thường được gọi là quá trìnhngẫu nhiên tích hợp

Tích phân ngẫu nhiên Itô của các hàm trong L2([a, b], Ω) có đầy đủcác tính chất của tích phân thường, như là tính tuyến tính, tính cộng tính,ngoài ra nó còn có các tính chất sau:

Mệnh đề 1.5.6 Tích phân ngẫu nhiên của f ∈ L2([a, b], Ω) có cáctính chất sau:

(i) ER0T f (t)dB(t) = 0

(ii) Đẳng cự Itô: E(|I(f )|2) = R0T E(|f (t)|2)dt

(iii) Quá trình ngẫu nhiên tích hợp (X(t)) tương thích với lọc (Ft), sinhbởi chuyển động Brown

(iv) Quá trình ngẫu nhiên tích hợp (X(t)) là Martingale đối với lọc củachuyển động Brown

(v) Quá trình ngẫu nhiên tích hợp (X(t)) có quỹ đạo liên tục

(vi) Quá trình (X(t)) có gia số không tương quan

Chứng minh các tính chất trên có thể xem trong ([5])

Tích phân ngẫu nhiên Itô cũng được mở rộng cho lớp hàm L2([a, b], Ω)

gồm các quá trình ngẫu nhiên đo đượcf:[0, T ]×Ω → R tương thích với lọc(Ft)t≥0 và hầu chắc chắn R0T |f (t)|2dt < ∞ Khi đó tính chất (i), (ii), (iv)

trong Mệnh đề 1.5.6 nói chung không thỏa mãn nhưng quá trình ngẫunhiên (X(t)) là Martingale địa phương

Công thức này viết dưới dạng tích phân là

f (g(t)) − f (g(a)) =

Z t a

f0(g(s))dg(s)

Qui tắc này không còn đúng trong tính toán ngẫu nhiên nữa Thay vào đóItô [11] đã đưa ra một công thức, ngày nay gọi là công thức Itô Sau đây

ta sẽ giới thiệu công thức này

Định nghĩa 1.5.7 Một quá trình Itô là quá trình ngẫu nhiên (X(t), t ∈[0, T ]) có dạng

Z T 0

|f (t)|dt < ∞,

Z T 0

|σ(t)|2dt < ∞

Khi đó, ta nói quá trình ngẫu nhiên X(t) có vi phân ngẫu nhiên và viết

dX(t) = f (t)dt + σ(t)dB(t), t ∈ [0, T ] (1.11)Định lý 1.5.8 (Công thức Itô) Giả sử U (t, x) là hàm liên tục xác địnhtrên [0, T ] ×Rn nhận giá trị trong Rd với các đạo hàm riêng liên tục,

trong đó B(t) là chuyển động Brownm-chiều Khi đó, Y (t) = U (t, X(t))

là quá trình Itô d-chiều xác định trên [0, T ] và có vi phân Itô cho bởi

Ở đây, ta hiểu: Ux = (Ux1, , Uxn) là d × n-ma trận, Uxixj là n-véc tơcột và Uxx = (Uxixj) là n × n-ma trận mà mỗi phần tử của nó là n-véc

eB(s)−s2dB(s) = eB(t)−2t

Quá trình eB(t)−2t, t > 0 được gọi là quá trình mũ

Cho B(t) = (B1(t), , Bm(t))> là chuyển động Brown m-chiều trênkhông gian xác suất đầy đủ (Ω, F ,P) với lọc (Ft)

Định nghĩa 1.5.10 Phương trình vi phân ngẫu nhiên là phương trình

có dạng

dX(t) = f (t, X(t))dt + σ(t, X(t))dB(t), t ∈ [0, T ] (1.12)hay viết dưới dạng tích phân

X(t) − ξ =

Z t 0

f (s, X(s))ds +

Z t 0

σ(s, X(s))dB(s), t ∈ [0, T ], (1.13)trong đó ξ là biến ngẫu nhiên n-chiều, độc lập với B(t), gọi là giá trị banđầu; f (·, ·): [0, T ] ×Rn → Rn, σ(·, ·): [0, T ] ×Rn → Rn×m là các hàm đo

được; tích phân đầu của vế phải trong (1.13) là tích phân Riemann còntích phân thứ hai là tích phân Itô.

Định nghĩa 1.5.11 (Nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên).Nghiệm của (1.12) (hay (1.13)) trên [0, T ] là quá trình X(·) = (X(t), t ∈[0, T ]) với quỹ đạo liên tục thỏa mãn các điều kiện sau

(i) X(·) là tương thích của bộ lọc (Ft)t∈[0,T ],

(ii) Với xác suất 1, ta có

Z T 0

|f (s, X(s))|ds < ∞ và

Z T 0

|σ(s, X(s))ds|2 < ∞

(iii) Phương trình (1.13) thỏa mãn với t ∈ [0, T ] với xác suất 1

Nghiệm {X(t)} được gọi là duy nhất nếu với bất kỳ nghiệm { ¯X(t)} khácthì ta có

P{X(t) = ¯X(t) với mọi t ∈ [0, T ]} = 1

Trong định nghĩa trên, không gian xác suất và chuyển động BrownB(t)

cho trước Nếu không cho trước các yếu tố này thì ta gọi là nghiệm yếu.Nghiệm mạnh nếu tồn tại là nghiệm yếu Tính duy nhất của nghiệm yếuhiểu theo nghĩa cùng phân phối, còn tính duy nhất của nghiệm mạnh làtheo quỹ đạo

Định lý 1.5.12 Giả sử phương trình vi phân ngẫu nhiên (1.12) thỏamãn điều kiện tồn tại hằng số K > 0 sao cho

(i) (Điều kiện Lipschitz): Với mọi t ∈ [0, T ] và x, y ∈ Rn

|f (t, x) − f (t, y)| + |σ(t, x) − σ(t, y)| ≤ K|x − y|,(ii) (Điều kiện tăng tuyến tính): Với mọi t ∈ [0, T ], x ∈Rn

|f (t, x)|2 + |σ(t, x)|2 ≤ K(1 + |x|2)