Quá trình khuếch tán itô

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - - - - - -  - - - - - - TRẦN THỊ BÌNH QUÁ TRÌNH KHUẾCH TÁN ITÔ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Nghệ An - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - - - - - -  - - - - - - TRẦN THỊ BÌNH QUÁ TRÌNH KHUẾCH TÁN ITÔ Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và Thống kê Toán học Mã số: 60.46.01.06 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Thị Thế Nghệ An - 2014 Mục lục Mục lục 1 Bảng ký hiệu 2 1 Các khái niệm cơ bản 5 1.1 Kỳ vọng có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Chuyển động Brown . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Quá trình Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô . . . . . . . . . . . . 14 1.5.1 Tích phân ngẫu nhiên Itô . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5.2 Công thức Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5.3 Phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . 19 2 Quá trình khuếch tán Itô 24 2.1 Quá trình khuếch tán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2 Quá trình khuếch tán Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Kết luận chung và kiến nghị 40 Tài liệu tham khảo 40 1 Bảng ký hiệu R + : [0, +∞); R n : Không gian véc tơ Euclide n-chiều; R d×n : Không gian các d × n-ma trận thực; I n : Ma trận đơn vị cấp n; x  : Chuyển vị của một véc tơ cột; (Ω, F, P): Không gian xác suất; E: Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên; D: Phương sai của biến ngẫu nhiên; h.c.c: Hầu chắc chắn; F t :=σ(X(s), s ≤ t; s, t ∈ T ); F ≥t :=σ(X(s); s ≥ t; s, t ∈ T ); L 2 ([a, b], Ω): Không gian các quá trình ngẫu nhiên X = (X(t), t ∈ [a, b]) đo được, tương thích E   b a X(t) 2 dt  < ∞; L 2 ([a, b], Ω): Không gian các quá trình ngẫu nhiên X = (X(t), t ∈ [a, b]) đo được, tương thích P   b a |X(t)| 2 dt < ∞  = 1; 2 Mở đầu Lý thuyết tích phân ngẫu nhiên và phương trình vi phân ngẫu nhiên được xây dựng bởi Itô. Năm 1942, lý thuyết này lần đầu tiên được áp dụng vào bài toán của Kolmogorov về xây dựng quá trình khuếch tán. Kolmogorov và Feller cũng thành công trong việc xây dựng quá trình này bằng phương pháp xác suất để giải phương trình Kolmogorov (dùng xác suất chuyển). Do đó, đã thiết lập một phương pháp giải tích trong lý thuyết xác suất (song song với lý thuyết nữa nhóm của Hille-Yosida). Ngược lại với các phương pháp giải tích, Levy đã đề xuất tiếp cận theo phương pháp xác suất và được Itô thiết lập để xây dựng hàm mẫu của quá trình khuếch tán một cách trực tiếp, đó là nghiệm của một phương vi phân ngẫu nhiên. Ngày nay, phương pháp của Itô không chỉ áp dụng vào quá trình khuếch tán mà còn áp dụng cho một lớp đủ rộng các quá trình ngẫu nhiên khác. Quá trình khuếch tán được mô tả bởi phương trình vi phân ngẫu nhiên, gọi là quá trình khuếch tán Itô. Lớp quá trình này được biết là đủ rộng cho lý thuyết cũng như áp dụng, mà chuyển động Brown là một ví dụ điển hình. Hơn nữa, tính toán ngẫu nhiên cũng là một công cụ mạnh mẽ để nghiên cứu lớp quá trình khuếch tán này. Vì vậy, trong khuôn khổ của luận văn Thạc sỹ, chúng tôi chọn đề tài cho luận văn là "Quá trình khuếch tán Itô”. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn chia thành hai chương. Chương 1. Các khái niệm cơ bản Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản của lí 3 thuyết xác suất để phục vụ cho chương 2. Chương 2. Quá trình khuếch tán Itô Chương 2 là nội dung chính của luận văn. Trong chương 2 nghiên cứu về quá trình khuếch tán Itô. Cụ thể là định nghĩa và xét một số tính chất của quá trình này và đưa ra ví dụ minh họa. Luận văn được thực hiện tại trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thị Thế. Tác giả bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc nhất tới cô Nguyễn Thị Thế đã tận tình hướng dẫn, động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và làm đề tài. Tác giả xin cảm ơn các thầy cô giáo đã trực tiếp giảng dạy lớp Cao học 20 Xác suất thống kê Toán học. Đồng thời tác giả xin cảm ơn ban chủ nhiệm và các thầy cô trong khoa Toán, khoa sau Đại học cùng tập thể lớp cao học 20 Xác suất thông kê Toán học. Mặc dù, tác giả có nhiều cố gắng nhưng luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, tác giả rất mong nhận được những lời chỉ bảo quý báu của các thầy cô giáo và bạn đọc. Vinh, tháng 9 năm 2014. Tác giả 4 Chương 1 Các khái niệm cơ bản 1.1 Kỳ vọng có điều kiện Định nghĩa 1.1.1 (Hàm tập liên tục tuyệt đối). Giả sử Ω = ∅, G là σ-đại số các tập con của Ω, µ là độ đo và ν là hàm tập σ-cộng tính trên G. Ta nói ν là hàm tập G-liên tục tuyệt đối đối với µ và ký hiệu ν  G µ. Nếu với mọi A ∈ G mà µ(A) = 0 thì ν(A) = 0. Ví dụ 1.1.2. Giả sử X ∈ L 1 (Ω, F) và G là σ-đại số con của F. Đặt ν(A) =  A XdP, A ∈ G, thì ν(A) là hàm tập cộng tính và ν  G P. Ngược lại cũng đúng, tức là cho ν  G P thì sẽ có X ∈ L 1 (Ω, G) để ν có dạng trên. Đó là nội dung của định lí Radon-Nikodym. Định lý 1.1.3 (Định lí Radon-Nikodym). Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất, G là σ-đại số con của F, ν là hàm tập σ-cộng tính trên G sao cho ν  G P. Khi đó, tồn tại duy nhất biến ngẫu nhiên Y là G-đo được thỏa mãn ν(A) = E(1 A Y ) với mọi A ∈ G. Y gọi là đạo hàm Radon-Nikodym của ν đối với P, ký hiệu Y = dν dP . Định nghĩa 1.1.4 (Kỳ vọng có điều kiện). Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất, X: Ω → R là biến ngẫu nhiên và G là σ-đại số con của F. Biến ngẫu nhiên Y gọi là kỳ vọng có điều kiện của X đối với G, ký hiệu Y = E(X/G). Nếu 5 1. Y là G-đo được; 2. E(1 A X) = E(1 A Y ) với mọi A ∈ G. Chú ý 1.1.5. (i) Nếu G = σ(X 1 , , X n ), thì ta viết E(X/X 1 , , X n ) thay cho E(X/G). (ii) Nếu X = 1 A thì E(X/G) được ký hiệu P(A/G) và gọi là xác suất có điều kiện của A đối với G. E(1 A /X 1 , , X n ) được ký hiệu P(A/X 1 , , X n ) và gọi là xác suất có điều kiện của A đối với X 1 , , X n . Các tính chất của kỳ vọng có điều kiện được thể hiện ở định lý sau đây. Định lý 1.1.6 ([1]). Cho a, b là các số thực tùy ý; X, Y là các biến ngẫu nhiên trên không gian xác suất (Ω, F, P); G, G 1 , G 2 là các σ-đại số con của F. 1. E(aX + bY/G) = aE(X/G) + bE(Y/G). 2. E(E(X/G)) = E(X). 3. E(XY/G) = XE(Y/G) nếu X là G-đo được và XY khả tích. 4. E(X/G) = E(X) nếu X độc lập với G. 5. Nếu G 1 ⊂ G 2 thì E(E(X/G 1 )/G 2 ) = E(E(X/G 2 )/G 1 ) = E(X/G 1 ). 6. Nếu X ≥ 0 (h.c.c) thì E(X/G) ≥ 0 (h.c.c). 7. |E(X/G)| ≤ E(|X|/G). 8. (Bất đẳng thức Jensen) Cho X khả tích. Giả sử ϕ là hàm lồi trên R và ϕ(X) khả tích. Khi đó E(ϕ(X)/G) ≥ ϕ(E(X/G)). 9. Cho X, Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập và ϕ(x, y) là hàm sau cho Eϕ(X, Y ) < ∞. Khi đó E(ϕ(X, Y )/Y ) = Eϕ(X, y)| y=Y . 6 Đặc biệt, nếu X, Y độc lập thì tính chất này chính là E(XY/Y ) = Y EX. Ví dụ 1.1.7. Cho Ω = [0; 1] với σ-đại số Borel và P là độ đo Lebesgue trên [0; 1]. Giả sử X(x) = 2x 2 , Y (x) =    2 nếu x ∈ [0; 1 2 ); x nếu x ∈ [ 1 2 ; 1]. Khi đó E(X/Y )(x) =    1 6 nếu x ∈ [0; 1 2 ); 2x 2 nếu x ∈ [ 1 2 ; 1]. 1.2 Quá trình ngẫu nhiên Đối tượng nghiên cứu của quá trình ngẫu nhiên là họ vô hạn các biến ngẫu nhiên phụ thuộc tham số t ∈ T nào đó. Định nghĩa 1.2.1. Giả sử T là tập vô hạn nào đó. Nếu với mỗi t ∈ T , X(t) là biến ngẫu nhiên thì ta ký hiệu X = (X(t), t ∈ T ) và gọi X là hàm ngẫu nhiên (với tham biến t ∈ T ). • Nếu T là tập đếm được thì ta gọi X = (X(t), t ∈ T ) là quá trình ngẫu nhiên với tham số rời rạc. • Nếu T = N thì ta gọi X = (X(t), t ∈ N) là dãy các biến ngẫu nhiên (một phía). • Nếu T = Z thì ta gọi X = (X(t), t ∈ Z) là dãy các biến ngẫu nhiên hai phía. • Nếu T là một nửa khoảng của đường thẳng thực, tức là T thuộc một trong các tập sau: (−∞; ∞), [a; ∞), (−∞; b], [a; b), [a; b], (a; b], (a; b) thì ta gọi X = (X(t), t ∈ T ) là quá trình ngẫu nhiên với tham số liên tục. Khi đó, tham số t đóng vai trò thời gian. 7 • Nếu T là tập con của R d thì ta gọi X = (X(t), t ∈ T ) là trường ngẫu nhiên. Định nghĩa 1.2.2. Giả sử G là σ-đại số các tập con của tập tham số t ∈ T . Ta có thể xem quá trình ngẫu nhiên X = (X(t), t ∈ T ) là hàm hai biến X: Ω ×T → R. Nếu ánh xạ này đo được đối với σ-đại số tích F × G, tức là với mọi tập B ∈ B(R) đều có X −1 (B) := {(ω, t) ∈ Ω × T | X(ω, t) ∈ B} ∈ F × G thì (X(t), t ∈ T ) được gọi là quá trình đo được. Nếu T đếm được thì tính đo được tự động thực hiện. Vì thế, tính đo được chỉ quan trọng khi T không đếm được. Nếu quá trình X = (X(t), t ∈ T ) liên tục, hoặc có quỹ đạo liên tục phải (trái) thì X đo được. Định nghĩa 1.2.3. Họ các σ-đại số con F t ⊂ F được gọi là một bộ lọc thỏa mãn điều kiện thông thường nếu (i) Là một họ tăng, tức F s ⊂ F t nếu s < t. (ii) Họ đó liên tục phải, tức là F t =  >0 F t+ . (iii) F t chứa mọi tập có xác suất 0, ∀ t ∈ T . Định nghĩa 1.2.4. Cho quá trình ngẫu nhiên X = (X(t), t ≥ 0). Xét họ σ-đại số F t sinh bởi biến ngẫu nhiên X(ω, t), tức F t = σ(X(s), 0 ≤ s ≤ t). Khi đó, họ (F t , t ≥ 0) được gọi là bộ lọc tự nhiên (lịch sử) của quá trình X. Định nghĩa 1.2.5. Cho một bộ lọc (F t , t ≥ 0) trên (Ω, F). Một quá trình Y được gọi là tương thích với bộ lọc này, nếu với mọi t thì Y (t) là đo được đối với σ-đại số F t . Chú ý rằng mọi quá trình ngẫu nhiên đều tương thích với bộ lọc tự nhiên của nó. 8 [...]... Chương 2 Quá trình khuếch tán Itô 2.1 Quá trình khuếch tán Hầu hết quá trình Markov X(t), bao gồm quá trình Poisson, quá trình sinh và tử (birth and death process), đều thỏa mãn tính chất 1 P{|X(t + h) − X(t)| > δ/X(t) = x} = λ(x, δ) ≥ 0, ∀δ > 0 (2.1) 0h lim h Chẳng hạn quá trình Poisson với cường độ λ > 0 thì 1 P{X(h) − i = 1/X(0) = i} = λ, i = 1, 2, 0h lim h (2.2) Chú ý rằng hàm mẫu của quá trình. .. gián đoạn (bước nhảy là 1) Một lớp quá trình Markov với thời gian liên tục và trạng thái liên tục mà điều kiện (2.1) không đảm bảo, đó là quá trình khuếch tán Có nhiều cách tiếp cận để định nghĩa quá trình khuếch tán, sau đây là một trong những định nghĩa của quá trình này Định nghĩa 2.1.1 Một quá trình Markov m-chiều (X(t), a ≤ t ≤ b) được gọi là quá trình khuếch tán (m-chiều) nếu ma trận xác suất... nhiên Trong luận văn sẽ xét phương pháp tiếp cận này Đó là chỉ ra với một số điều kiện thì nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên là quá trình khuếch tán và ngược lại quá trình khuếch tán thỏa mãn một phương trình vi phân ngẫu nhiên 2.2 Quá trình khuếch tán Itô Trong mục này ta xét phương trình vi phân ngẫu nhiên dX(t) = σ(t, X(t))dB(t) + f (t, X(t))dt, (2.13) X(a) = ξ, a ≤ t ≤ b, trong đó f : [a,... −1 (t, x)) ∂x 2 Nhận xét 2.1.10 Giả sử X(t) là quá trình khuếch tán thì hệ số dịch chuyển ρ(t, x) và ma trận khuếch tán Q(t, x) tương ứng được tính theo công thức (2.10) và (2.11) Vấn đề đặt ra là cho ma trận hàm Q(t, x) và véc tơ hàm ρ(t, x) thì có tồn tại quá trình khuếch tán với hệ số tương ứng là Q(t, x) và ρ(t, x) hay không? Nếu có thì xác định quá trình này như thế nào? Hiển nhiên, Q(t, x) phải... a = t0 < t1 < · · · < tn = b Định nghĩa 1.3.3 Quá trình ngẫu nhiên m-chiều B(t) = (B1 (t), , Bm (t)) , được gọi là chuyển động Brown m-chiều nếu mỗi thành phần Bi (t), i = 1, , m, là chuyển động Brown một chiều và chúng là các quá trình ngẫu nhiên độc lập với nhau 1.4 Quá trình Markov Quá trình Markov là những quá trình ngẫu nhiên mà tương lai và quá khứ là độc lập với nhau nếu biết hiện tại,... với k = 0 thì ta suy ra điều kiện (2.3) được thỏa mãn Định lý 2.1.9 Giả sử X(t) là quá trình khuếch tán với hệ số dịch chuyển và ma trận khuếch tán tương ứng là ρ(t, x) và Q(t, x) Cho g(t, x) là hàm khả vi liên tục theo t, hai lần khả vi liên tục và đơn điệu theo x Khi đó Y (t) := g(t, X(t)) cũng là quá trình khuếch tán với ∂ ∂ g(t, g −1 (t, x)) + ρ(t, g −1 (t, x)) g(t, g −1 (t, x)) ∂t ∂x 2 1 ∂ + Q(t,... , ρm (t, x)) và ma trận Q(t, x) = (Qij (t, x)) trong Định nghĩa 2.1.1, tương ứng, được gọi là hệ số dịch chuyển và ma trận khuếch tán của quá trình khuếch tán X(t) Trong trường hợp m = 1 thì Q(t, x) thường gọi là hệ số khuếch tán Chú ý 2.1.3 Điều kiện (2.3) kéo theo quá trình ngẫu nhiên X(t) không có bước nhảy Mệnh đề 2.1.4 Giới hạn (2.4) và (2.5) không phụ thuộc vào δ Chứng minh Với mọi δ2 > δ1... lý thuyết nửa nhóm của Hille-Yosida + Tiếp cận theo phương trình vi phân đạo hàm riêng (phương trình Kolmogorov) + Tiếp cận theo phương trình vi phân ngẫu nhiên (lý thuyết Itô) Người ta đã chỉ ra rằng, lý thuyết Itô đưa ra cách ngắn nhất và trực tiếp để xây dựng quá trình khuếch tán từ Q(t, x) và ρ(t, x) Thực tế, đây 31 cũng là động lực để Itô xây dựng lý thuyết tích phân ngẫu nhiên Trong luận văn... E(|X(t + h) − x) a|2 /X(t) = x) h 0h ≥ 0, = lim ở đây chuẩn |.| là chuẩn Euclide trong Rm Ví dụ 2.1.6 Chuyển động đều với vận tốc v là quá trình khuếch tán với hệ số dịch chuyển là v và hệ số khuếch tán là 0 Ví dụ 2.1.7 Chuyển động Brown m-chiều B(t) là quá trình khuếch tán Thật vậy, kiểm tra điều kiện (2.3), với bất kì δ > 0, x ∈ Rm , ta có: 1 1 P(|B(t + h) − x| ≥ δ/B(t) = x) = P(|B(t + h) − x| ≥ δ)... được Ta sẽ chứng minh nghiệm của phương trình này là quá trình khuếch tán Đồng thời với phương trình (2.13), ta xét phương trình này nhưng trên đoạn [s, b], a ≤ s ≤ b và điều kiện ban đầu X(s) = x ∈ Rn Khi đó, ta có phương trình tích phân tương đương t X(t) = x + t f (u, X(u))du, s ≤ t ≤ b (2.14) σ(u, X(u))dB(u) + s s Đầu tiên, ta chứng minh nghiệm X(t) là quá trình Markov Định lý 2.2.1 Cho f : [a, . 17 1.5.3 Phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . 19 2 Quá trình khuếch tán Itô 24 2.1 Quá trình khuếch tán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2 Quá trình khuếch tán Itô . . khuếch tán mà còn áp dụng cho một lớp đủ rộng các quá trình ngẫu nhiên khác. Quá trình khuếch tán được mô tả bởi phương trình vi phân ngẫu nhiên, gọi là quá trình khuếch tán Itô. Lớp quá trình. - TRẦN THỊ BÌNH QUÁ TRÌNH KHUẾCH TÁN ITÔ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Nghệ An - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - - - - - -  - - - - - - TRẦN THỊ BÌNH QUÁ TRÌNH KHUẾCH TÁN ITÔ Chuyên