PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC CỦA HỌC SINH VỀ BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình toán phổ thông lớp 11, 12, hình học không gian là một môn học rất thú vị, song đây cũng là môn học khó đối với một số học sinh. Các em cần phải nắm thật kỹ các định lý về lý thuyết, có óc tưởng tượng phong phú, đặc biệt là khả năng vẽ và nhìn được hình trong không gian khi vẽ chúng trên mặt phẳng. Điều này rất khó đối với phần lớn học sinh. Từ đó làm cho kết quả học tập của các em còn thấp. Nhằm giúp các em tìm kiếm một phương pháp khác để có thể giải quyết tốt các bài toán hình học không gian, năm học 2012 – 2013 tôi đã đưa ra một phương pháp là dùng tọa độ để giải quyết các bài toán hình học không gian, nhất là các bài toán về khoảng cách. Song, vẫn còn đó một số trở ngại: + Hệ trục tọa độ trong không gian lên đến giữa chương trình 12 mới học. + Việc thiết lập hệ trục tọa độ không phải lúc nào cũng dễ dàng, không phải học sinh nào cũng làm được. + Chuyển từ ngôn ngữ hình học không gian thuần túy sang hình học giải tích là một vấn đề khó khăn. Nó đòi hỏi các em phải có kỹ năng tính toán nhất định, bài giải thường dài và rườm rà. Để các em có thêm một công cụ nữa trong việc giải các bài toán khoảng cách trong các đề thi đại học, tôi đưa ra một hướng đi mới cho các em. Đó là “Phát huy tính tích cực về bài toán khoảng cách” cụ thể là, thông qua việc khai thác từ một bài toán đơn giản bao quát tất cả các vấn đề từ đó ta làm nền tảng khai thác bài toán khó hơn. Hướng đi này tôi sẽ hướng dẫn các em học sinh có sự kiên nhẫn và tích cực hơn đó là chỉ cần ta giải quyết được bài toán cơ bản thì ta sẽ giải quyết được mọi bài toán khác. Trong chuyên đề này tôi đưa ra bài toán cơ bản và cách giải, sau đó phân loại theo từng loại khoảng cách (có hai loại chính: khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau) theo từng dạng, có minh họa bằng các đề thi đại học, đề tham khảo và bài tập để các em học sinh vận dụng. Học sinh dựa vào đây có thể tự mình giải quyết được bài toán hình học không gian thuần túy. Đây là chuyên đề mà bản thân tôi thấy rất tâm đắc, có ích đối với học sinh và giáo viên. Qua chuyên đề này, mong các em học sinh khối 11 trường năm sau trở đi có thể áp dụng vào chương trình học, các em học sinh khối 12 áp dụng vào kỳ thi THPT Quốc Gia để đạt kết quả cao nhất. II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN a) Trong sách giáo khoa hình học 11 , Chương III, Bài 5: Khoảng cách; các khái niệm về khoảng cách được định nghĩa một cách khá đơn giản. Ngoài ra không đưa ra một thuật toán nào rõ ràng để tính các khoảng cách, nhưng bài tập yêu cầu với học sinh thì lại không đơn giản. Nếu người dạy chỉ đưa ra định nghĩa như sách giáo khoa và cho học sinh làm bài tập ví dụ thì chắc chắn không nhiều học sinh có thể làm được, học sinh sẽ rất lúng túng. Cụ thể qua các kì thi tuyển sinh Đại học hàng năm, tôi nhận thấy khi gặp bài toán tính khoảng cách các em học sinh vẫn còn lúng túng, chưa thuần thục và có 1 tư duy ổn định cho loại toán này. Đó là:
BM 01-Bia SKKN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Đơn vị: TRƯỜNG THPT LONG KHÁNH Mã số: (Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi) SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC CỦA HỌC SINH VỀ BÀI TỐN KHOẢNG CÁCH TRONG CHƯƠNG TRÌNH HÌNH HỌC 11 Người thực hiện: LƯƠNG HỒNG LỘC Lĩnh vực nghiên cứu: - Quản lý giáo dục - Phương pháp dạy học mơn: TỐN x (Ghi rõ tên môn) - Lĩnh vực khác: (Ghi rõ tên lĩnh vực) Có đính kèm: Các sản phẩm khơng thể in SKKN Mơ hình Đĩa CD (DVD) Phim ảnh Hiện vật khác (các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm) Năm học: 2014 – 2015 BM02-LLKHSKKN SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC –––––––––––––––––– I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN Họ tên: LƯƠNG HỒNG LỘC Ngày tháng năm sinh: 24/12/1978 Nam, nữ: Nam Địa chỉ: KP5, P Xuân Bình, TX Long Khánh, Tỉnh Đồng Nai Điện thoại: 0918.779.174 Fax: (CQ)/ (NR); ĐTDĐ: E-mail: luonghonglocgvlk@yahoo.com Chức vụ: Giáo viên Nhiệm vụ giao (quản lý, đồn thể, cơng việc hành chính, cơng việc chun mơn, giảng dạy mơn, lớp, chủ nhiệm lớp,…): Dạy mơn Tốn lớp 11C2, 11C9, 12B9 Chủ nhiệm lớp 12B9, Giáo vụ,… Đơn vị cơng tác: Trường THPT Long Khánh II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO - Học vị (hoặc trình độ chun mơn, nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân - Năm nhận bằng: 2001 - Chuyên ngành đào tạo: Toán-Tin III KINH NGHIỆM KHOA HỌC - Lĩnh vực chun mơn có kinh nghiệm: Giảng dạy Tốn Số năm có kinh nghiệm: 15 - Các sáng kiến kinh nghiệm có năm gần đây: Ứng dụng PPTĐ Giải tốn hình học khơng gian Góc Khoảng cách PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC CỦA HỌC SINH VỀ BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình tốn phổ thơng lớp 11, 12, hình học khơng gian môn học thú vị, song môn học khó số học sinh Các em cần phải nắm thật kỹ định lý lý thuyết, có óc tưởng tượng phong phú, đặc biệt khả vẽ nhìn hình khơng gian vẽ chúng mặt phẳng Điều khó phần lớn học sinh Từ làm cho kết học tập em thấp Nhằm giúp em tìm kiếm phương pháp khác để giải tốt tốn hình học không gian, năm học 2012 – 2013 đưa phương pháp dùng tọa độ để giải tốn hình học khơng gian, tốn khoảng cách Song, cịn số trở ngại: + Hệ trục tọa độ khơng gian lên đến chương trình 12 học + Việc thiết lập hệ trục tọa độ lúc dễ dàng, học sinh làm + Chuyển từ ngơn ngữ hình học khơng gian túy sang hình học giải tích vấn đề khó khăn Nó địi hỏi em phải có kỹ tính tốn định, giải thường dài rườm rà Để em có thêm cơng cụ việc giải tốn khoảng cách đề thi đại học, đưa hướng cho em Đó “Phát huy tính tích cực tốn khoảng cách” cụ thể là, thông qua việc khai thác từ toán đơn giản bao quát tất vấn đề từ ta làm tảng khai thác tốn khó Hướng tơi hướng dẫn em học sinh có kiên nhẫn tích cực cần ta giải tốn ta giải tốn khác Trong chun đề tơi đưa tốn cách giải, sau phân loại theo loại khoảng cách (có hai loại chính: khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau) theo dạng, có minh họa đề thi đại học, đề tham khảo tập để em học sinh vận dụng Học sinh dựa vào tự giải tốn hình học khơng gian túy Đây chuyên đề mà thân thấy tâm đắc, có ích học sinh giáo viên Qua chuyên đề này, mong em học sinh khối 11 trường năm sau trở áp dụng vào chương trình học, em học sinh khối 12 áp dụng vào kỳ thi THPT Quốc Gia để đạt kết cao II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN a) Trong sách giáo khoa hình học 11 , Chương III, Bài 5: Khoảng cách; khái niệm khoảng cách định nghĩa cách đơn giản Ngồi khơng đưa thuật tốn rõ ràng để tính khoảng cách, tập yêu cầu với học sinh lại không đơn giản Nếu người dạy đưa định nghĩa sách giáo khoa cho học sinh làm tập ví dụ chắn khơng nhiều học sinh làm được, học sinh lúng túng Cụ thể qua kì thi tuyển sinh Đại học hàng năm, nhận thấy gặp tốn tính khoảng cách em học sinh cịn lúng túng, chưa thục có tư ổn định cho loại tốn Đó là: Một, tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: + Chưa nhìn cách xác định hình chiếu điểm mặt phẳng + Chưa linh hoạt việc quy đổi khoảng cách mà vội vàng, “máy móc” vận dụng phương pháp tìm hình chiếu điểm xuống mặt phẳng, chưa kể đến đơi bế tắc phần tính tốn Hai, tốn tính khoảng cách đường thẳng chéo nhau: + Chưa nhận “mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng kia” + Hoặc lúng túng, mặt phẳng chứa đường song song với đường nào? với việc chọn tối ưu chưa? liệu có tính khoảng cách khơng? b) Để tìm lời giải tốn tính khoảng cách khơng gian trước hết phải trải qua bước tư sau: + Xác định loại khoảng cách + Quy đổi khoảng cách điểm + Xác định hình chiếu điểm mặt phẳng + Biết cách chọn mặt phẳng toán khoảng cách đường thẳng chéo Và bước cuối tính tốn dựa vào kiến thức tỉ số lượng giác hệ thức lượng tam giác Qua thực tế giảng dạy, rút số kinh nghiệm nhỏ việc hướng dẫn học sinh xác định loại khoảng cách Cơ sở lyù thuyết 1/ Khoảng cách từ điểm A đến mp(P) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) độ dài AH, với H hình chiếu A lên (P) Ký hiệu: d(A,(P)) = AH * Phương pháp xác định khoảng cách: + Tìm mp(Q) chứa A, vng góc mp(P) theo P) giao tuyến a + Kẻ AH ⊥ a Khi đó: d(A,(P)) = AH Tính chất Tính chất 1: Nếu a //(P) A, B ∈ a d(A,(P)) = d(B,(P)) Tính chất 2: Nếu a cắt (P) I d(A,(P )) AI = k = k (k biết trước) d(B,(P )) BI 2/ Khoảng cách đường thẳng chéo a b TH1: Nếu a, b hai đường thẳng chéo (khơng vng góc) (P) mặt phẳng chứa b song song với a thì: d(a,b) = d(a,(P)) = d(A,(P)) với A ∈ a TH 2: Đặc biệt a, b chéo a ⊥ b Tìm mp(P) chứa b ⊥ a điểm A Kẻ AH ⊥ b ⇒ d(a,b) = AH AH gọi đoạn vng góc chung a b III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP Giải pháp 1: Phát huy tính tích cực qua Bài toán khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khi gặp tốn tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) ta thực bước tư sau: • Bước 1: Tìm đường thẳng qua A vng góc với (P) H ⇒ d(A,(P)) = AH Nếu khơng có ta chuyển sang bước • Bước 2: Tìm mặt phẳng (Q) qua A (Q) ⊥ (P) theo giao tuyến d Từ A kẻ AH ⊥ d H, suy AH ⊥ (P) Ta có: d(A,(P)) = AH * Dấu hiệu nhận mp(Q): (Q) qua A (Q) có chứa sẵn đường thẳng a vng góc với đường thẳng b chứa (P) Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với b, ta xác định mp(Q) Nếu khơng có dấu hiệu nhận mặt phẳng qua A vng góc với (P) ta chuyển sang bước • Bước 3: Tìm đường thẳng a qua A a // (P), a có điểm B (B ≠ A) Theo tính chất 1: d(A,(P)) = d(B,(P)), để tính d(B,(P)) ta quay bước 1, Nếu khơng có dấu hiệu bước có việc xác định hình chiếu khó khăn, ta chuyển sang bước • Bước 4: Tìm đường thẳng a qua A cắt (P) I, đường thẳng có điểm B cho AI, BI biết tỉ số d(A,(P )) AI AI = Þ d(A,(P )) = d(B,(P )) , để tính d(B,(P )) BI BI khoảng cách d(B,(P)) ta quay bước 1, 2, Bài toán 1: Bài toán khoảng cách Theo tính chất 2: Cho hình chóp S.ABC có SA⊥ (ABC) Tính khoảng cách từ A đến (SBC) Bình luận Lời giải Ta có: SA ⊥ BC, kẻ AI ⊥ BC ⇒(SAI)⊥ BC Theo dấu hiệu nêu ta có: ⇒(SAI)⊥ (SBC) theo giao tuyến SI Nhận thấy SA ⊥ BC, từ A kẻ AI ⊥ Từ A kẻ AH ⊥ SI ⇒ AH ⊥ (SBC) BC, ta thiết lập nên mp(Q) (SAI) ⇒ d(A,(SBC)) = AH qua A ⊥ (SBC) ∗ Tính AH: Cần nắm vững tốn gốc này, cốt lõi, toán khoảng cách quy dạng ∆SAI vuông A, AH đường cao AH = AS.AI AS + AI Bài toán 2: Bài toán minh họa bước tư Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, cạnh a; SA ⊥ (ABCD), SA = a Gọi H, G trọng tâm tam giác SAB SBD Tính khoảng cách: a/ d(S,(ABCD)) b/ d(B,(SAD)) c/ d(C,(SAB)) d/ d(A,(SBC)) e/ d(A,(SBD) f/ d(A,(SCD)) g/ d(D,(SBC)) h/ d(O,(SCD)) i/ d(C,(SBD)) j/ d(G,(SCD)) k/ d(H,(SBD)) Bình luận Lời giải a/ Nhận thấy có đường thẳng qua a/ Ta có: SA ⊥(ABCD) S vng góc (ABCD) ⇒ d(S,(ABCD)) = SA = a SA ⊥(ABCD) b/ Nhận thấy chứng minh BA ⊥ (SAD) b/ Vì BA ⊥ AD, BA ⊥ SA c/ Nhận thấy chứng minh CB ⊥ (SAB) c/ Vì CB ⊥ AB, CB ⊥ SA d/ Khơng có bước 1, chuyển sang bước 2, tìm mp qua A vng góc với (SBC), mặt (SAB) mp(SAB) chứa sẵn SA ⊥ BC ⊂(SBC) d/ Ta có: SA ⊥ BC, AB ⊥ BC ⇒BA ⊥ (SAD)⇒d(B,(SAD)) = BA = a ⇒CB ⊥ (SAB)⇒d(C,(SAB)) = CB = a ⇒(SAB) ⊥ BC ⇒(SAB) ⊥ (SBC) theo giao tuyến SB Từ A kẻ AJ ⊥ SB⇒AJ⊥ (SBC) ⇒d(A,(SBC)) = AJ * Tính AJ: ∆SAB vuông A, AJ đường cao AJ = AB AS AB + AS ⇒d(A,(SBC)) = e/ Khơng có bước 1, chuyển sang bước 2, tìm mp qua A vng góc với (SBD), mặt (SAC), mp(SAC) chứa sẵn SA ⊥ BD ⊂(SBD) = aa a2 + 2 a = a a e/ Ta có: SA ⊥ BD, AC ⊥ BD ⇒(SAC) ⊥ BD ⇒(SAC) ⊥ (SBD) theo giao tuyến SO Từ A kẻ AK ⊥ SO⇒AK⊥ (SBD) ⇒d(A,(SBD)) = AK * Tính AK: ∆SAO vng A, AK đường cao a a a 10 AK = = = AO + AS 22 a +2 a AO.AS ⇒d(A,(SBD)) = f/ Không có bước 1, chuyển sang bước 2, tìm mp qua A vng góc với (SCD), mặt (SAD), mp(SAD) chứa sẵn SA ⊥ CD ⊂(SCD) Tương tự câu d a 10 f/ Ta có: SA ⊥ CD, AD ⊥ CD ⇒(SAD) ⊥ CD ⇒(SAD) ⊥ (SCD) theo giao tuyến SD Từ A kẻ AL ⊥ SD ⇒ AL⊥ (SCD) ⇒d(A,(SCD)) = AL * Tính AL: ∆SAD vng A, AL đường cao AL = AD.AS AD + AS ⇒d(A,(SCD)) = = aa a2 + 2 a = a g/ Khơng có bước 1, chuyển sang g/ Ta có: AD //(SBC), nên: bước Vì thấy AD // (SBC) a d(D,(SBC)) = d(A,(SBC)) = ⇒ d(D,(SBC)) = d(A,(SBC)) Đến đây, giả sử chưa có d(A,(SBC)) a câu d, tiếp tục thực bước tư 1, để tính d(A,(SBC)) h/ Nhận thấy khơng có bước 1, 2, ta chuyển sang bước Phát O thuộc đường thẳng AC cắt (SCD) điểm C AC = 2OC, áp dụng tính chất h/ Vì O trung điểm AC, nên: a d(O,(SCD )) = d(A,(SCD )) = Giải sử đến đây, chưa có d(A, (SCD)) tính sẵn, ta quay thực bước tư 1,2,3, cho điểm A Hỏi: không quy B đường thẳng BD mà quy A? Vì B khơng có dấu hiệu có mặt phẳng qua vng góc với (SCD) i/ Khơng có bước 1, 2, 3, suy bước Phát C nằm đường thẳng AC, cắt (SBD) trung điểm O AC i/ Vì O trung điểm AC, nên: d(C,(SBD)) = d(A,(SBD)) = a 10 Tương tự lí luận trên, chưa có d(A,(SBD)) ta quay bước tư 1, 2, cho điểm A j/ d(G,(SCD))? j/ Ta có: GS = OS Tư bước 1, 2, thất bại, nên bước Phát G thuộc Þ d(G,(SCD)) = d(O,(SCD)) SO đường thẳng cắt (SCD) S có tỉ số GS Mà: AC = 2OC OS, nên quy khoảng cách điểm O, tính d(O,(SCD)) Þ d(O,(SCD)) = d(A,(SCD )) Tiếp tục tư bước cho O, a thỏa bước 4, tức có đường Þ d(G,(SCD)) = d(A,(SCD )) = = thẳng AC qua O cắt (SCD) C AC có tỉ lệ, nên ta quy điểm A Vậy ta thấy, qua lần thực tư bước 4, ta chuyển toán khoảng cách từ điểm G thành điểm A đến mp(SCD) k/ Tương tự, nhận thấy bước 1,2,3 thất bại, ta chuyển qua bước Ta có: 10 HS = MS Bài toán 4: (ĐH Khối D|2011).Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác · vuông B, BA = 3a, BC = 4a; (SBC) ^ (ABC) Biết SB = 2a SBC = 300 Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a Bình luận Lời giải Vì mp(SBC) ⊥ (ABC) theo giao tuyến BC Không xảy bước 1, 2, Từ S kẻ SH ⊥ BC ⇒ SH ⊥ (ABC) Nhận thấy có đường thẳng qua B cắt (SAC), có điểm H * ∆SBH vuông H: Đánh giá: H chân đường vng góc, nên dễ xác định hình chiếu H xuống (SBC) Tức qua H dễ xác định mp vng góc với mp(SBC) có sẵn SH ⊥ AC ⊂(SBC) · SH = SB sinSBH = 2a 3.sin30o = a · BH = SB.cosSBH = 2a 3.cos30o = 3a Vì BC = 4HC Þ d(B,(SAC ) = (H ,(SAC )) d Kẻ HM ⊥ AC ⇒ (SHM) ⊥ AC ⇒ (SHM) ⊥ (SAC) theo giao tuyến SM Kẻ HK ⊥ SM ⇒ HK ⊥ (SAC) ⇒ d(H,(SAC)) = HK * Hai tam giác ABC HMC đồng dạng ⇒ AC AB AB = Þ HM = HC = a HC HM AC Ta có: HK = HS.HM HS + HM = 7a 14 Þ d(B,(SAC ) = 4d(H ,(SAC )) = 12 17 7a a= 14 Bài tốn 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A D, AB = , AD = CD = a, SA = , SA ^ (ABCD ) Gọi I giao điểm AC BD a a Tính khoảng cách từ I đến mp(SCD) Bình luận Lời giải Tam giác IAB ICD đồng dạng - Phát I nằm đường thẳng AC, có tỉ số biết trước ⇒ quy d(A,(SCD) ⇒ IA AB = = Þ IC = AC IC CD Þ d(I ,(SCD) = d(A,(SCD)) - Nhận thấy mặt phẳng (SAD) qua A ⊥(SCD) Ta có: SA ⊥ CD , AD ⊥ CD⇒ (SAD) ⊥ CD - Bài toán điểm mấu chốt cần nhìn tỉ số AC IC Kẻ AH ⊥ SD ⇒ AH ⊥ (SCD) ⇒ (SAD) ⊥ (SCD) theo giao tuyến SD ⇒ d(A,(SCD)) = AH * ∆SAD vuông, AH đường cao Ta có: AH = AS.AD AS + AD = 10 a 10 Bài toán 6: (ĐH Khối D|2012).Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình vng, tam giác A’AC vng cân, A’C = a Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a 13 Bình luận Lời giải Tam giác A’AC vng cân A, A’C = a - Bỏ qua bước 1, Phát bước AD //(BCD’); quy d(D,(BCD’) - Thực chất dùng bước 2, phải nhìn mp(BCD’) mở rộng mp(ABCD’) ⇒ AA’ = AC = a a ⇒ AB = 2 Vì AD // (BCD’) Þ d(A,(BCD ') = d(D,(BCD ')) Ta có: DD’ ⊥ BC , CD ⊥ BC ⇒ (CDD’C’) ⊥ BC ⇒ (CDD’C’) ⊥ (BCD’) theo giao tuyến CD’ Kẻ DK ⊥ CD’ ⇒ DK ⊥ (BCD’) ⇒ d(D,(BCD’)) = DK * ∆CDD’ vng, DK đường cao Ta có: DK = DC DD ' DC + DD '2 = a 6 Bài toán 7: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác vng cân A, BC = a , AA’ = 2a, biết A’ cách đỉnh A,B,C Gọi M, N trung điểm AA’ AC Tính khoảng cách từ C’ đến mp(MNB) 14 Bình luận - Bỏ qua bước 1, 2, Phát bước vì: C’P = 3AP; quy d(A,(MNB) - Gọi K trung điểm AH⇒MK//SH ⇒AG = 4KG ⇒ tính d(K,(MNB)) Lời giải Gọi G trọng tâm ∆ABC, K trung điểm AH ⇒MK ⊥(ABC) Gọi P =C’A∩ MN Ta có: C’P = 3AP ⇒d(C’,(MNB)) = 3d(A,(MNB)) Ta có: AG = 4KG Tại phải đổi K mà không đổi H? ⇒d(A,(MNB)) = 4d(K,(MNB)) Bằng trực quan ta thấy, hình vẽ độ xiên mặt phẳng (MNB) đường thẳng SH Ta dựng hình chiếu H xuống (MNB), nhiên hình chiếu nằm miền ngồi hình lăng trụ, phía đáy (ABC) khó khăn thực phép tính ⇒(MKI) ⊥ BN⇒ (MKI) ⊥ (MNB) theo giao tuyến MI Bài toán thực chất khó phần biết cách nhìn quy khoảng cách từ A khoảng cách từ K Kẻ KI ⊥ BN, MK ⊥ BN Kẻ KJ ⊥ MI ⇒ KJ ⊥ (MNB) ⇒ d(K,(MNB)) = KJ * Tính KJ A ' H = AA '2- BH = a 14 a 14 ⇒ MK = Hai tam giác vuông GHB GIK đồng dạng ⇒ IK = GK HB GB GK = 1 a AG = AH = 12 GB = 2 a2 a BN = a + = 3 Þ IK = a 20 ∆MKI vng, KJ đường cao Ta có: K J = MK K I MK + K I = a 14 71 • Kết thực nghiệm giải pháp: Cho thí điểm kiểm tra với lớp 11C2 chưa triển khai lớp 11C9 triển khai Có sĩ số 38 học sinh, mức độ đề 15 phút ngang tầm Kết