Hệ thống kiến thức cơ bản Môn : TOÁN Lớp : 6,7; 8,9

CHƯƠNG I 1. TẬP HỢP. PHẦN TỬ CỦA TẬP HỢP TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIấN. GHI SỐ TỰ NHIấN Tập hợp là một khái niệm cơ bản thường dùng trong toán học và trong đời sống, ta hiểu tập hợp thông qua cỏc vớ dụ. :Để viết một tập hợp, ta có thể: Liệt kờ cỏc phần tử của tập hợp. Chỉ ra các tính chất đặt trưng cho các phần tữ của tập hợp. Để kí hiệu a là một phần tử của tập hợp A, ta viết a A. Để kí hiệu B không là phần tử của tập hợp A, ta viết b A. Tập hợp các số tự nhiên được kí hiệu là N N = {0;1;2;…} Tập hợp các số tự nhiên khác 0 được kí hiệu là N N = {1;2;3;…} Mỗi số tự nhiên được biểu diễn bởi một điểm trên tia số. Trên tia số, điểm biểu diễn số nhỏ ở bên trái điểm biểu diễn số lớn. Trong hệ thập phân, cứ mười đơn vị ở một hàng thỡ làm thành một đơn vị ở hàng trên liền trước đó. Để ghi số tự nhiên trong hệ thập phân, người ta dùng mười chữ số: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Trong hệ thập phõn, giỏ trị của mỗi số trong một dóy thay đổi theo vị trí.. 2. SỐ PHẨN TỬ CỦA TẬP HỢP.TẬP HỢP CON Cỏc kiến thức cần nhớ Một tập hợp cú thể cú một phần tử, cú nhiều phần tử, cú vụ số phần tử, cũng cú thể khụng cú phần tử nào. Tập hợp khụng cú phần tử nào gọi là tập hợp rỗng. Tập hợp rỗng kớ hiệu . Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B thỡ tập hợp A là con của tập hợp B. Kớ hiệu AB, đọc là : A là tập hợp con của tập hợp B, hoặc A được chứa trong B, hoặc B chứa A. Nếu AB và BA thỡ ta núi A và B làa hai tập hợp bằng nhau, kớ hiệu A = B. 3. PHẫP CỘNG VÀ PHẫP NHÂN Tớnh chất giao hoỏn giữa phộp cộng và phộp nhõn: Khi đổi chỗ các số hạn thỡ tổng khụng thay đổi. Khi đổi chổ các thừa số của một tích thỡ tớch khụng đổi. Tớnh chất kết hợp giữa phộp cộng và phộp nhõn: Muốn cộng một tổng hai số với một số thứ ba, ta cú thể cộng số thứ nhất với số thứ hai và số thứ ba. Muốn nhõn một tớch hai số với một số thứ ba, ta cú thể nhõn số thứ nhất với tớch của số thứ hai và số thứ ba. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: Muốn nhõn một số với một tổng, ta cú thể nhân số đó với từng số hạn của tổng rồi cộng các kết quả lại. Tớnh chất của pheựp cộng vaứ pheựp nhaõn: Tớnh chaỏt Pheựp coọng Pheựp nhaõn Giao hoaựn a + b = b + a a. b = b. a Keỏt hụùp (a+b)+c = a+(b+c) (a.b).c = a.(b.c) Coọng vụựi 0 a + 0 = 0 + a = a Nhaõn vụựi1 a.1 = 1.a = a Phaõn phoỏi a.( b + c ) = a.b + a.c 4. PHẫP TRỪ VÀ PHẫP CHIA Điều kiện để thực hiện phép trừ là số bị trừ lớn hơn hoặc bằng số trừ. Điều kiện để a chia hết cho b (a,b N, b 0) là số tự nhiờn q sao cho a = b.q Trong phép chia có dư : Số bị chia = số chia. Thương + số dư Số chia bao giờ cũng khác 0. Số dư bao giờ cũng nhỏ hơn số chia. 5. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN. NHÂN HAI LŨY THỪA CÙNG CƠ SỐ. CHIA HAI LŨY THỪA CÙNG CƠ SỐ Cỏc kiến thức cần nhớ Lũy thừa bậc n của a là tớch của n thừa số bằng a: an = a.a………a (n N) n thừa số

HƯ thèng kiÕn thøc c¬ b¶n



M«n : TỐN Líp : 6,7; 8,9 LỚP 6CHƯƠNG I

1 TẬP HỢP PHẦN TỬ CỦA TẬP HỢP

TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN GHI SỐ TỰ NHIÊN

Tập hợp là một khái niệm cơ bản thường dùng trong tốn học và trong đời sống, ta hiểu tập hợp thơng qua các ví dụ :Để viết một tập hợp, ta cĩ thể:

- Liệt kê các phần tử của tập hợp.

- Chỉ ra các tính chất đặt trưng cho các phần tữ của tập hợp.

Để kí hiệu a là một phần tử của tập hợp A, ta viết a  A Để kí hiệu B khơng là phần tử của tập hợp A, ta viết b A.

Tập hợp các số tự nhiên được kí hiệu là N

Trong hệ thập phân, cứ mười đơn vị ở một hàng thì làm thành một đơn vị ở hàng trên liền trước đĩ.

Để ghi số tự nhiên trong hệ thập phân, người ta dùng mười chữ số: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Trong hệ thập phân, giá trị của mỗi số trong một dãy thay đổi theo vị trí

Tính chất giao hốn giữa phép cộng và phép nhân:

Khi đổi chỗ các số hạn thì tổng khơng thay đổi.

Khi đổi chổ các thừa số của một tích thì tích khơng đổi.

Tính chất kết hợp giữa phép cộng và phép nhân:

Muốn cộng một tổng hai số với một số thứ ba, ta cĩ thể cộng số thứ nhất với số thứ hai và số thứ ba Muốn nhân một tích hai số với một số thứ ba, ta cĩ thể nhân số thứ nhất với tích của số thứ hai và số thứ ba.

Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:

Muốn nhân một số với một tổng, ta cĩ thể nhân số đĩ với từng số hạn của tổng rồi cộng các kết quả lại.

Tính ch t c a phép c ng và phép nhân: ất của phép cộng và phép nhân: ủa phép cộng và phép nhân: ộng và phép nhân:

Tính chất Phép cộng Phép nhân

Giao hoán a + b = b + a a b = b a

Kết hợp (a+b)+c = a+(b+c) (a.b).c = a.(b.c)

Cộng với 0 a + 0 = 0 + a = a

Phân phối a.( b + c ) = a.b + a.c

4 PHÉP TRỪ VÀ PHÉP CHIA

Điều kiện để thực hiện phép trừ là số bị trừ lớn hơn hoặc bằng số trừ.

Điều kiện để a chia hết cho b (a,b N, b  0) là số tự nhiên q sao cho a = b.q

Trong phép chia cĩ dư :

Số bị chia = số chia Thương + số dư

Số chia bao giờ cũng khác 0 Số dư bao giờ cũng nhỏ hơn số chia.

5 LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN NHÂN HAI LŨY THỪA CÙNG CƠ SỐ CHIA HAI LŨY THỪA CÙNG CƠ SỐ

Các kiến thức cần nhớ

Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng a:

a n = a.a………a (n  N * )

n thừa số Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ:

Tổng quát : a a m n = a m n +

Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ:

Tổng quát : a : a m n = a m n - (a ¹ 0,m ³ n)

- Quy ước : a 1 = a , a 0 = 1 a( ¹ 0)

6.Thứ tự thực hiện các phép tính :

a) Đối với biểu thức không có dấu ngoặc :

- Nếu chỉ có phép cộng và trừ hoặc chỉ có phép nhân và chia ta thực hiện phép tính theo thứ tự từ trái sang phải

- Nếu có các phép tính cộng , trừ , nhân , chia , nâng lên lũy thừa ta thực hiện theo thứ

tự :Lũy thừa Nhân và chia Cộng và trừ

b) Đối với biểu thức có dấu ngoặc :

Ta thực hiện : ( ) [ ] { }

(a b) m a) NÕu: a m , b m

(a b) m b) NÕu: a m , b m , c m (a b c) m

(a b) m c) NÕu: a m , b m

(a b) m d) NÕu: a m , b m , c m (a b c) m

ì + ïï

Þ íï ïỵ

ï + ï / Þ íï

/ - ïỵ

8 DẤU HIỆU CHIA HẾT CHO 2, CHO 5 DẤU HIỆU CHIA HẾT CHO 3, CHO 9

Các số cĩ chữ số tận cùng là các chữ số chẵn thì chia hết cho 2 và chỉ những số đĩ mới chia hết cho 2 Các số cĩ chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5 và chỉ những số đĩ mới chia hết cho 5.

Các số cĩ tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và chỉ những số đĩ mới chia hết cho 9

Các số cĩ tổng các chữ số chia hết chỏ thì chia hết cho 3 và chỉ những số đĩ mới chia hết cho 3

9 ƯỚC VÀ BỘI SỐ NGUYÊN TỐ HỢP SỐ PHÂN TÍCH MỘT SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ

Nếu số tự nhiện a chai hết cho số tự nhiên b thì a là bội của b, b được gọi là ước của a.

- Muốn tìm bội của một số khác o, ta nhân số đĩ lần lược với 0,1,2,3 Bội của b cĩ dạng tổng quát

Số nguyờn tố là số tự nhiờn lớn hơn 1, khụng cú ước khỏc 1 và chớnh nú Hợp số là số tự nhiờn lớn 1, cú ước khỏc 1 và chớnh nú Số nguyờn tố nhỏ hơn 2, đú là số nguyờn tố chẵn duy nhất.

Phõn tớch một số tự nhiờn ra thừa số nguyờn tố là viết số đú dưới dạng cỏc thừa số nguyờn tố Mỗi số tự nhiờn lớn hơn 1 đều phõn tớch được ra thừa số nguyờn tố.

10 ƯỚC CHUNG VÀ BỘI CHUNG ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả cỏc số đú

Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả cỏc số đú

Ước chung lớn nhất (ƯCLN) của hai hay nhiều số lớn nhất trong tập hợp ước chung của cỏc số đú Muốn tỡm ƯCLN của hai hay nhiều số, ta thực hiện ba bước sau:

Bứơc 1: Phõn tớch mỗi số ra thừc số nguyờn tố

Bước 2: Chọn cỏc thừa số nguyờn tố chung.

Bước 3: Lập tớch cỏc thừa số đú, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nú Tớch đú là ƯCLN phải tỡm Hai hay nhiều số cú ƯCLN là 1 gọi là cỏc số nguyờn tố cựng nhau

Trong cỏc số đó cho, nếu số nhỏ nhất là ước của cỏc số cũn lại thỡ ƯCLN của cỏc số đó cho là số nhỏ nhất đú.

Để tỡm ước chung của cỏc số đó cho, ta cú thể tỡm cỏc ước của ƯCLN của cỏc số đú.

Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khỏc 0 trong tập hợp bội chung của cỏc

số đú.

Muốn tỡm BCNN của hai hay nhiều số ta thực hiện ba bước sau:

Bước 1: Phõn tớch mỗi số ra thừa số nguyờn tố.

Bước 2: Chọn ra cỏc thừa số nguyờn tố chung và riờng

Bước 3: Lập tớch cỏc thừa số đú, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nú.

Tớch đú là BCNN phải tỡm.

Nếu cỏc số đó cho từng đụi một nguyờn tố cựng nhau thỡ BCNN của chỳng là tớch của cỏc số đú.

Trong cỏc số đó cho, nếu số lốn nhất là bội của cỏc số cũn lại thỡ BCNN của cỏc số đó cho là số lớn nhất ấy

Để tỡm bội chung của cỏc số đó cho, ta cú thể tỡm cỏc bội của BCNN của cỏc số đú

CHƯƠNG II: SỐ NGUYấN

1) Taọp hụùp soỏ nguyeõn vaứ thửự tửù trong taọp hụùp soỏ nguyeõn :

- Taọp hụùp soỏ nguyeõn :

Z ={ , 3, 2, 1, 0 , 1 , 2 , 3 , - - - }

HayZ ={ Nguyeõn aõm , Soỏ 0 , Nguyeõn dửụng }

Chú ý :Mọi số tự nhiên đều là số nguyên ( NZ)

- Thửự tửù trong taọp hụùp soỏ nguyeõn : Khi bieồu dieón treõn truùc soỏ (naốm ngang) , ủieồm a naốm beõn traựi ủieồm b thỡ soỏ nguyeõn a nhoỷ hụn soỏ nguyeõn b

VD : 3    2     1 0 1

Nhaọn xeựt :

- Soỏ nguyeõn aõm < 0

- Soỏ nguyeõn dửụng > 0

- Soỏ nguyeõn aõm < 0 < Soỏ nguyeõn dửụng

2)Giaự trũ tuyeọt ủoỏi c ủ a m ộ t soỏ nguyeõn :

Giaự trũ tuyeọt ủoỏi cuỷa soỏ nguyeõn a kyự hieọu : a laứ khoaỷng caựch tửứ ủieồm a ủeỏn ủieồm O treõn truùc soỏ

Chuự yự: Giaự trũ tuyeọt ủoỏi cuỷa moọt soỏ nguyeõn (keỏt quaỷ) khoõng bao giụứ laứ moọt soỏ nguyeõn aõm ( vỡ keỏt quaỷ ủoự laứ khoaỷng caựch)

THỰC HIỆN PHÉP TÍNH

1 Cộng hai số nguyên dương: chính là cộng hai số tư nhiên,

2 Cộng hai số nguyên âm: Muốn cộng hai số nguyên âm,ta cộng hai giá trị tuyệt

đối của chúng rồi đặt dấu “-” trước kết quả

3 Cộng hai số nguyên khác dấu:

* Hai số nguyên đối nhau có tổng bằng 0

* Muốn cộng hai số nguyên khác dấu không đối nhau, ta tìm hiệu hai giá trị tuyệt đối của chúng (số lớn trừ số nhỏ) rồi đặt trước kết quả tìm được dấu của số có giá trị tuyệt đối lớn hơn

4 Hiệu của hai số nguyên: Muốn trừ số nguyên a cho số nguyên b, ta cộng a với số

đối của b, tức là: a – b = a + (-b)

5 Quy tắc chuyển vế: Muốn chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một

đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó: dấu “+” đổi thành dấu “-” và dấu “-” đổi thành dấu“+”

6 Nhân hai số nguyên: Muốn nhân hai số nguyên ta nhân hai giá trị tuyệt đối của

d gọi là bằng nhau nếu a.d = b.c

2 Quy đồng mẫu nhiều phân số: Quy đồng mẫu các phân số có mẫu dương ta làm

như sau:

Bước1: Tìm một BC của các mẫu (thường là BCNN) để làm mẫu chung.

Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu (bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu) Bước 3: Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng

* Cộng hai phân số cùng mẫu: Muốn cộng hai phân số cùng mẫu, ta cộng các tử và

giữ nguyên mẫu, tức là: m ma  b a bm

* Cộng hai phân số không cùng mẫu: Muốn cộng hai phân số không cùng mẫu, ta

viết chúng dưới dạng

hai phân số có cùng một mẫu rồi cộng các tử và giữ nguyên mẫu chung

5 Phép trừ phân số: Muốn trừ một phân số cho một phân số,ta cộng số bị trừ với số

đối của số trừ: a c a ( c)

b d b    d

6 Phép nhân phân số: Muốn nhân hai phân số,ta nhân các tử với nhau và nhân các

mẫu với nhau, tức là:

.

a c a c

b d b d

7 Phép chia phân số: Muốn chia một phân số hay một số nguyên cho một phân số,ta

nhân số bị chia với số nghịch đảo của số chia,

8 Tìm giá trị phân số của một số cho trước: Muốn tìmm

n của số b cho trước, ta tính

10 Tìm tỉ số của hai số: Muốn tìm tỉ số phần trăm của hai số a và b, ta nhân a với 100

rồi chia cho b và viết kí hiệu % vào kết quả:

.100

%

a b

A M B

Nắm vững các kiến thức sau:

 Định nghĩa(Khái niệm) và cách vẽ: Điểm, đường thẳng, tia, đoạn thẳng, trung điểm của

đoạn thẳng, 3 điểm thẳng hàng, 3 điểm khơng thẳng hàng, điểm nằm giữa hai điểm, hai tia đối nhau, hai tia trùng nhau, hai đường thẳng song song

 Quan hệ giữa điểm, đường thẳng, tia, đoạn thẳng (Điểm thuộc hay khơng thuộc đường thẳng, đường thẳng cắt đường thẳng, …) và cách vẽ

- Dựa vào tính chất trung điểm của đoạn thẳng:

M là trung điểm của AB

ƯƠNG I

1) Đường thẳng , đoạn thẳng , tia :

e) Hai tia OM và ON đối nhau

 Cách nhận biết một điểm là trung điểm của đoạn thẳng:

nằm giữa A và B

 M là trung điểm của AB

- Gốc chung của hai tia là đỉnh của gĩc Hai tia là hai cạnh của gĩc

*/ Các loại gĩc:

a) Gĩc cĩ số đo bằng 900 là gĩc vuơng

b) Gĩc nhỏ hơn gĩc vuơng là gĩc nhọn

c) Gĩc cĩ số đo bằng 1800 là gĩc bẹt

d) Gĩc lớn hơn gĩc vuơng nhưng nhỏ hơn gĩc bẹt là gĩc tù

*/ Quan hệ gĩc: a) Hai gĩc phụ nhau là hai gĩc cĩ tổng số đo bằng 90 0

b) Hai gĩc bù nhau là hai gĩc cĩ tổng số đo bằng 180 0

c) Hai gĩc kề nhau là hai gĩc cĩ chung một cạnh và mỗi cạnh cịn lại của hai

gĩc nằm ở hai nửa mặt phẳng đối nhau cĩ bờ chứa cạnh chung

d) Hai gĩc kề bù là hai gĩc vừa kề vừa bù

2 Tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz  xOy yOz xOz     

3 Tia Oy là tia phân giác của xOz   TiaOy nằm giữaOx và OzxOy yOz 

I (tập số vô tỉ) Số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

1.6 Một số quy tắc ghi nhớ khi làm bài tập

a) Quy tắc bỏ ngoặc:

Bỏ ngoặc trước ngoặc có dấu “-” thì đồng thời đổi dấu tất cả các hạng tử có trongngoặc, còn trước ngoặc có dấu “+” thì vẫn giữ nguyên dấu các hạng tử trong ngoặc

b) Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng

thức, ta phải đổi dấu số hạng đó

Với mọi x, y, z R : x + y = z => x = z – y

Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ:

ĐN: Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ x, kí hiệu x là khoảng cách từ điểm x tới điểm 0

-Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối :

A B A B dấu ‘=’ xẩy ra khi AB 0; A B A  B dấu ‘= ‘ xẩy ra A,B >0

-Tính chất lũy thừa của 1 số thực : A2n  0 với mọi A ; - A2n 0 với mọi A

Am = An  m = n; An = Bn  A = B (nếu n lẻ ) hoặc A =  B ( nếu n chẵn)

0< A < B  An < Bn ;

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT , GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC

1.Các kiến thức vận dụng :

* a 2 + 2.ab + b 2 = ( a + b) 2  0 với mọi a,b

* a 2 – 2 ab + b 2 = ( a – b) 2  0 với mọi a,b

*A 2n  0 với mọi A, - A 2n  0 với mọi A

* A   0, A ,  A   0, A

* A  B A B , A B, dấu “ = ” xẩy ra khi A.B  0

* A  B A B , A B, dấu “ = ” xẩy ra khi A,B  0

LUỸ THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ.

D ng 1: S d ng nh ngh a c a lu th a v i s m t nhiênạng 1: Sử dụng định nghĩa của luỹ thừa với số mũ tự nhiên ử dụng định nghĩa của luỹ thừa với số mũ tự nhiên ụng định nghĩa của luỹ thừa với số mũ tự nhiên định nghĩa của luỹ thừa với số mũ tự nhiên ĩa của luỹ thừa với số mũ tự nhiên ủa luỹ thừa với số mũ tự nhiên ỹ thừa với số mũ tự nhiên ừa với số mũ tự nhiên ới số mũ tự nhiên ố mũ tự nhiên ũ tự nhiên ự nhiên

Cần nắm vững định nghĩa: xn = x.x.x.x… x (xQ, nN)

n thừa số xQuy ước: x1 = x; x0 = 1; (x  0)

D ng 2: ạng 1: Sử dụng định nghĩa của luỹ thừa với số mũ tự nhiên Đưa luỹ thừa về dạng các luỹ thừa cùng cơ số.a lu th a v d ng các lu th a cùng c s ỹ thừa với số mũ tự nhiên ừa với số mũ tự nhiên ề dạng các luỹ thừa cùng cơ số ạng 1: Sử dụng định nghĩa của luỹ thừa với số mũ tự nhiên ỹ thừa với số mũ tự nhiên ừa với số mũ tự nhiên ơ số ố mũ tự nhiên

Áp dụng các công thức tính tích và thương của hai luỹ thừa cùng cơ số

D ng 3: ạng 1: Sử dụng định nghĩa của luỹ thừa với số mũ tự nhiên Đưa luỹ thừa về dạng các luỹ thừa cùng cơ số.a lu th a v d ng các lu th a cùng s m ỹ thừa với số mũ tự nhiên ừa với số mũ tự nhiên ề dạng các luỹ thừa cùng cơ số ạng 1: Sử dụng định nghĩa của luỹ thừa với số mũ tự nhiên ỹ thừa với số mũ tự nhiên ừa với số mũ tự nhiên ố mũ tự nhiên ũ tự nhiên

Áp dụng các công thức tính luỹ thừa của một tích, luỹ thừa của một thương:

am : an = am –n ( a 0, mn)

; ( a.b)n = an bn ;

( ) ( 0)

n n n

I Viết phân số dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần hoàn:

1 Nếu một phân số tối giản mà mẫu không có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.(STPHH)

2 Nếu một phân số tối giản mà mẫu có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì không viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn Phân số đó viết thành số thập phân vô hạn, trong đó

có những nhóm chữ số được lặp lại, nhóm chữ số đó gọi là chu kì, số thập phân vô hạn đó gọi là số thập phân vô hạn tuần hoàn(STPVHTH)

- Số thập phân có nguồn gốc từ phân số nếu vô hạn thì phải tuần hoàn

- Ví dụ: Khi chia 1 cho 7 ta được số thập phân vô hạn, số dư trong phép chia này chỉ có thể là 1,2,3,4,5,6 nếu nhiều nhất đến số dư thứ 7, số dư phải lặp lại,

do đó các nhóm chữ số cũng thường lặp lại, và số thập phân vô hạn phải tuần hoàn

ví dụ 0,3(18) chu kì là 18 và phần bất thường là 3

II Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số:

 Muốn viết phần thập phân của STPVHTH dưới dạng phân số ta lấy chu kì làm tử, còn

mẫu là một số gồm các chữ số , số chữ số 9 bằng số chữ số của chu kì

III Điều kiện để phân số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn hay tạp:

Một phân số tối giản mà mẫu có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn Đối với các phân số đó

- Nếu mấu không có ước nguyên tố 2 và 5 thì viết được dưới dạng số thập phân

vô hạn tuần hoàn đơn

Ví dụ: 1

7 = 0,(142857) ( mẫu chỉ chứa ước nguyên tố 7)

- Nếu mấu có một trong các ước nguyên tố 2 và 5 thì viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp

Ví dụ: 7

22= 0,31818 = 0,3(18) (mẫu có chứa ước nguyên tố 2 và 11)

QUY ƯỚC LÀM TRÒN SỐ

1 Nếu chữ số đầu tiên bỏ đi nhỏ hơn 5 thì ta giữ nguyên bộ phận còn lại.

Ví dụ: Làm tròn số 12, 348 đến chữ số thập phân thứ nhất, được kết quả 12,3

2 Nếu chữ số đầu tiên bỏ đi lớn hơn hoặc bằng 5 thì ta cộng thêm 1 vào chữ số cuối cùng

của bộ phận còn lại

Ví dụ: Làm tròn số 0,26541 đến chữ số thập phân thứ hai, được kết quả 0,27

CĂN BẬC HAI

a) Định nghĩa về căn bậc hai :

- Định nghĩa : Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2 =a

- Số dương a có đúng hai căn bậc hai, một số dương ký hiệu là avà một số âm kýhiệu là - a

b) Định nghĩa căn bậc hai số học :

Với số dương a, số ađược gọi là căn bậc hai số học của a

Sau đó đưa ra chú ý : với a ≥ 0, ta có :

x

2

0

Đồ thị hàm số y = ax (a0) là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ.

Cách vẽ : cho x = 0 => y = 0 ta được điểm O ( 0 : 0 )

x = 1 = > y = a Ta được điểm A ( 1 ; a )

CHƯƠNG III THỐNG KÊ Các kiến thức cần nhớ

1/ Bảng số liệu thống kê ban đầu

2/ Đơn vị điều tra

3/ Dấu hiệu ( kí hiệu là X )

4/ Giá trị của dấu hiệu ( kí hiệu là x )

5/ Dãy giá trị của dấu hiệu (số các giá trị của dấu hiệu kí hiệu là N)

6/ Tần số của giá trị (kí hiệu là n)

7/ Tần suất của một giá trị của dấu hiệu được tính theo công thức f n

N Tần suất f thường được tính dưới dạng tỉ lệ phần trăm

8/ Bảng “tần số” (bảng phân phối thực nghiệm của dấu hiệu)

9/ Biểu đồ ( biểu đồ đoạn thẳng, biểu đồ hình chữ nhật, biểu đồ hình quạt)

10/ Số trung bình cộng của dấu hiệu

11/ Mốt của dấu hiệu

CHƯƠNG IV : BIỂU THỨC ĐẠI SỐDạng 1: Thu gọn biểu thức đại số:

a) Thu gọn đơn thức, tìm bậc, hệ số.

Phương pháp:

Bước 1: dùng qui tắc nhân đơn thức để thu gọn

Bước 2: xác định hệ số, bậc của đơn thức đã thu gọn

b) Thu gọn đa thưc, tìm bậc, hệ số cao nhất.

Phương pháp:

Bước 1: nhóm các hạng tử đồng dạng, tính cộng, trừ các hạng tử đòng dạng

Bước 2: xác định hệ số cao nhất, bậc của đa thức đã thu gọn

Dạng 2: Tính giá trị biểu thức đại số :

Phương pháp :

Bước 1: Thu gọn các biểu thức đại số

Bước 2: Thay giá trị cho trước của biến vào biểu thức đại số

Bước 3: Tính giá trị biểu thức số

Dạng 3 : Cộng, trừ đa thức nhiều biến

Phương pháp :

Bước 1: viết phép tính cộng, trừ các đa thức

Bước 2: áp dung qui tắc bỏ dấu ngoặc

Bước 3: thu gọn các hạng tử đồng dạng ( cộng hay trừ các hạng tử đồng dạng)

Dạng 4: Cộng trừ đa thức một biến:

Phương pháp:

Bước 1: thu gọn các đơn thức và sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến

Bước 2: viết các đa thức sao cho các hạng tử đồng dạng thẳng cột với nhau

Bước 3: thực hiện phép tính cộng hoặc trừ các hạng tử đồng dạng cùng cột

Chú ý: A(x) - B(x)=A(x) +[-B(x)]

Dạng 5 : Tìm nghiệm của đa thức 1 biến

1 Kiểm tra 1 số cho trước có là nghiệm của đa thức một biến không

Phương pháp :

Bước 1: Tính giá trị của đa thức tại giá trị của biến cho trước đó

Bước 2: Nếu giá trị của đa thức bằng 0 thì giá trị của biến đó là nghiệm của đa thức

2 Tìm nghiệm của đa thức một biến

Phương pháp :

Bước 1: Cho đa thức bằng 0

Bước 2: Giải bài toán tìm x

Bước 3: Giá trị x vừa tìm được là nghiệm của đa thức

Chú ý : – Nếu A(x).B(x) = 0 => A(x) = 0 hoặc B(x) = 0

– Nếu đa thức P(x) = ax2 + bx + c có a + b + c = 0 thì ta kết luận đa thức có 1 nghiệm là x = 1, nghiệm còn lại x2 = c/a

– Nếu đa thức P(x) = ax2 + bx + c có a – b + c = 0 thì ta kết luận đa thức có 1 nghiệm là x = –1, nghiệm còn lại x2 = -c/a

Dạng 6 : Tìm hệ số chưa biết trong đa thức P(x) biết P(x 0 ) = a

Phương pháp :

Bước 1: Thay giá trị x = x0 vào đa thức

Bước 2: Cho biểu thức số đó bằng a

Bước 3: Tính được hệ số chưa biết

y

x' x

c

ba

B.HÌNH HỌC

1) Lý thuyết:

1.1 Định nghĩa hai gúc đối đỉnh: Hai gúc đối đỉnh là hai gúc mà

mỗi cạnh của gúc này là tia đối của một cạnh của gúc kia

1.2 Định lớ về hai gúc đối đỉnh : Hai gúc đối đỉnh thỡ bằng nhau.

1.3 Hai đường thẳng vuụng gúc: Hai đường thẳng

xx’, yy’ cắt nhau và trong cỏc gúc tạo thành cú

một gúc vuụng được gọi là hai đường thẳng

vuụng gúc và được kớ hiệu là xx’yy’

1.4 Đường trung trực của đường thẳng:

Đường thẳng vuụng gúc với một đoạn thẳng tại

trung điểm của nú được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng ấy

1.5 Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song:

Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a,b và trong cỏc

gúc tạo thành cú một cặp gúc so le trong bằng nhau

(hoặc một cặp gúc đồng vị bằng nhau) thỡ a và b

song song với nhau (a // b)

1.6 Tiờn đề Ơ-clit: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ cú một đường thẳng song

song với đường thẳng đú

1.7 Tớnh chất hai đường thẳng song song:

Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thỡ:

a) Hai gúc so le trong bằng nhau;

b) Hai gúc đồng vị bằng nhau;

c) Hai gúc trong cựng phớa bự nhau

1 Đờng trung trực của đoạn thẳng

a) Định nghĩa: Đờng thẳng vuông góc

với một đoạn thẳng tại trung điểm của

nó đợc gọi là đờng trung trực của đoạn

là các cặp góc trong cùng phía bù nhau

3 Hai đờng thẳng song song

a

A

14

23

4

3 21

b

a

BA

a) Dấu hiệu nhận biết

- Nếu đờng thẳng c cắt hai đờng

song với đờng thẳng đó

c, Tính chất hai đờng thẳng song song

- Nếu một đờng thẳng cắt hai đờng thẳng song song thì:

 Hai góc so le trong bằng nhau;

 Hai góc đồng vị bằng nhau;

 Hai góc trong cùng phía bù nhau.

d) Quan hệ giữa tính vuông góc với tính song song

- Hai đờng thẳng phân biệt cùng

vuông góc với đờng thẳng thứ ba

thì chúng song song với nhau

- Một đờng thẳng vuông góc với

một trong hai đờng thẳng song

song thì nó cũng vuông góc với

b a M

- Hai đờng thẳng phân biệt cùng

song song với một đờng thẳng

thứ ba thì chúng song song với

nhau

a//c và b//c => a//b

CH

ƯƠNG II TAM GIÁC

1 Tổng ba gúc của tam giỏc: Tổng ba gúc của một tam giỏc bằng 1800

Định lớ tổng ba gúc trong một tam giỏc Tớnh chất gúc ngoài của tam giỏc

2 Góc ngoài của tam giác

a) Định nghĩa: Góc ngoài của một

tam giác là góc kề bù với một góc của

tam giác ấy

b) Tính chất: Mỗi góc ngoài của tam

giác bằng tổng hai góc trong không kề

với nó

ACx  A  B

3 Hai tam giác bằng nhau

a) Định nghĩa: Hai tam giác bằng

nhau là hai tam giác có các cạnh tơng

x C

B

A

C ' B'

A'

C B

A

x C

B

A

*) Trờng hợp 1: Cạnh - Cạnh - Cạnh

(c.c.c)

- Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba

cạnh của tam giác kia thì hai tam giác

- Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam

giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa

của tam giác kia thì hai tam giác đó

- Nếu một cạnh và hai góc kề của tam

giác này bằng một cạnh và hai góc kề

của tam giác kia thì hai tam giác đó

4/ Bốn trường hợp bằng nhau của tam giỏc vuụng.

+ Trưũng hợp 1: Hai cạnh gúc vuụng.

C'B

'

A'

CB

A

C'B'

A'

CB

 : Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng hai cạnh góc

vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

 : Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh

huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

 ABC= DEF( Cạnh huyền - gúc nhọn )

+ Trưũng hợp 4: Cạnh huyền - cạnh gúc vuụng.

Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông

5/ Định nghĩa tớnh chất của tam giỏc cõn.

* Định nghĩa: Tam giỏc ABC cú AB = AC  ABC cõn tại A

B

A

+ BC +  0 

6/ Định nghĩa tính chất của tam giác đều:

* Định nghĩa: Tam giác ABC có AB = AC = BC  ABC là tam giác đều

7/ Tam giác vuông:

* Định nghĩa: Tam giác ABC có  0

ABC có BC2 = AB2 + AC2  ABCvuông tại A

8/ Tam giác vuông cân:

* Tính chất:

+ AB = AC = c + BC2 = AB2 + AC2  BC = c 2

Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau Hai cạnh bằng nhau là hai cạnh bên, cạnhcòn lại là cạnh đáy

2/ Phát biểu các tính chất của tam giác cân?

Tính chất 1: Trong tam giác cân hai góc ở đáy bằng nhau.

Tính chất hai: tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân.

3/Phát biểu định nghĩa tam giác đều:

Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau

4 /Phát biểu tính chất của tam giác đều?

+ Trong tam giác đều mỗi góc bằng 600

+ Nếu một tam giác có ba góc bằng nhau là tam giác đều

+ Nếu một tam giác cân có một góc bằng 600 thì tam giác đó là tam giác đều

5 /Phát biểu định nghĩa tam giác vuông cân

Tam giác vuông cân là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau

C B

A

6 /Phỏt biểu tớnh chất của tam giỏc vuụng cõn.

Trong tam giỏc vuụng cõn mỗi gúc nhọn bằng 450

1 Quan hệ giữa các yếu tố trong tam

giác (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện

trong tam giác)

- Trong một tam giác, góc đối diện với

cạnh lớn hơn là góc lớn hơn

  ABC : Nếu AC > AB thì B > C



- Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn

 ABC : Nếu B > C thì AC > AB  

2 Quan hệ giữa đ ờng vuông góc và đ ờng xiên, đ ờng xiên và hình chiếu

 Khái niệm đờng vuông góc, đờng xiên, hình chiếu của đờng xiên

- Lấy A  d, kẻ AH  d, lấy B  d và B  H Khi đó:

- Đoạn thẳng AH gọi là đờng vuông

- Đoạn thẳng HB gọi là hình chiếu

của đờng xiên AB trên đ.thẳng d

 Quan hệ giữa đờng xiên và đờng vuông góc: Trong các đờng xiên và

đờng vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đờng thẳng đến đờng thẳng đó, đờng vuông góc là đờng ngắn nhất.

 Quan hệ giữa đờng xiên và hình chiếu: Trong hai đờng xiên kẻ từ

một điểm nằm ngoài một đờng thẳng đến đờng thẳng đó, thì:

- Đờng xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn

- Đờng xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn

- Nếu hai đờng xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và ngợc lại, nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đờng xiên bằng nhau.

3 Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác Bất đẳng thức tam giác

- Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

A

d B

H A

- Nhận xét : Trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn

hơn hiệu và nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại.

VD: AB - AC < BC < AB + AC

4 Tính chất ba đ ờng trung tuyến của tam giác

Ba đờng trung tuyến của một tam giác

cùng đi qua một điểm Điểm đó cách

G là trọng tâm của tam giác ABC

5 Tính chất ba đ ờng phân giác của tam giác

Ba đờng phân giác của một

tam giác cùng đi qua một

điểm Điểm này cách đều ba

cạnh của tam giác đó

- Điểm O là tâm đờng tròn nội

tiếp tam giác ABC (lớp 9)

6 Tính chất ba đ ờng trung trực của tam giác

Ba đờng trung trực của một tam giác

cùng đi qua một điểm Điểm này cách

đều ba đỉnh của tam giác đó

- Điểm O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam

giác ABC

7 Ph ơng pháp chứng minh một số bài toán cơ bả n (sử dụng một trong các cách sau đây)

a) Chứng minh tam giác cân

1 Chứng minh tam giác có hai cạnh bằng nhau

2 Chứng minh tam giác có hai góc bằng nhau

C B

A

G D

C B

A

O

C B

A

O

C B

A

3 Chứng minh tam giác đó có đờng trung tuyến vừa là đờng cao

4 Chứng minh tam giác đó có đờng cao vừa là đờng phân giác ở đỉnh

b) Chứng minh tam giác đều

1 Chứng minh tam giác đó có ba cạnh bằng nhau

2 Chứng minh tam giác đó có ba góc bằng nhau

3 Chứng minh tam giác cân có một góc là 60 0

c) Chứng minh một tứ giác là hình bình hành

1 Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành

2 Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành

3 Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành

4 Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành

5 Tứ giác có hai đờng chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đờng là hình bình hành

d) Chứng minh một tứ giác là hình thang: Ta chứng minh tứ giác đó có

hai cạnh đối song song

e) Chứng minh một hình thang là hình thang cân

1 Chứng minh hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau

2 Chứng minh hình thang có hai đờng chéo bằng nhau

f) Chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật

1 Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật

2 Hình thanh cân có một góc vuông là hình chữ nhật

3 Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật

4 Hình bình hành có hai đờng chéo bằng nhau là hình chữ nhật

g) Chứng minh một tứ giác là hình thoi

1 Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau

2 Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau

3 Hình bình hành có hai đờng chéo vuông góc với nhau

4 Hình bình hành có một đờng chéo là đờng phân giác của một góc

h) Chứng minh một tứ giác là hình vuông

1 Hình chữ nhật co hai cạnh kề bằng nhau

2 Hình chữ nhật có hai đờng chéo vuông góc

3 Hình chữ nhật có một đờng chéo là đờng phân giác của một góc

4 Hình thoi có một góc vuông

5 Hình thoi có hai đờng chéo bằng nhau

Một số phương phỏp chứng minh hỡnh hoc

1.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau:

P 2 : - Chứng minh hai tam giỏc bằng nhau chứa hai đoạn thẳng đú

- Chứng minh hai đoạn thẳng đú là hai cạnh bờn của một tam giỏc cõn

- Dựa vào tớnh chất đường trung tuyến, đường trung trực của đoạn thẳng

- Dựa vào định lớ Py-ta- go để tớnh độ dài đoạn thẳng

2.Chứng minh hai gúc bằng nhau:

P 2 : - Chứng minh hai tam giỏc bằng nhau chứa hai gúc đú

- Chứng minh hai gúc đú là hai gúc ở đỏy của một tam giỏc cõn

- Chứng minh hai đường thẳng song song mà hai gúc đú là cặp gúc so le trong ,đồng vị

- Dựa vào tớnh chất đường phõn giỏc của tam giỏc

3 Chứng minh ba điểm thẳng hàng:

P 2 : - Dựa vào số đo của gúc bẹt ( Hai tia đối nhau)

- Hai đường thẳng cựng vuụng gúc với đường thẳng thứ 3 tại một điểm

- Hai đường thẳng đi qua một điểm và song song với đường thẳng thứ 3

- Dựa vào tính chất 3 đường trung tuyến, phân giác, trung trực, đường cao

4 Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

P 2 : - Tính chất của tam giác vuông, định lí Py – ta – go đảo

- Qua hệ giữa đường thẳng song song và đường thẳng vuông góc

- Tính chất 3 đường trung trực, ba đường cao

5 Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy( đi qua một điểm )

P 2 : - Dựa vào tính chất của các đường trong tam giác

6 So sánh hai đoạn thẳng, hai góc :

P 2 : - Gắn hai đoạn thẳng , hai góc vào một tam giác từ đó vận định lí về quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong một tam giác , BĐT tam giác

- Dựa vào định lí về quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu, đường xiên và đường vuông góc

Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đơn

B Những phơng pháp nào thờng dùng để phân tích đa thức thành nhân tử?

đơn giản cho phơng pháp này không ?

 Nếu tất cả các hạng tử của đa thức có một nhân tử chung thì đa thức đó biểu diễn đ

-ợc thành một tích của nhân tử chung đó với một đa thức khác

 Phơng pháp này dựa trên tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng các

đa thức

Công thức : AB + AC + … + AF = A(B + C +… + F)

 Phơng pháp: Tìm nhân tử chung.

- Lấy ƯCLN của các hệ số

- Lấy các biến chung có mật trong tất cả các hạng tử

- Đặt nhân tử chung ra ngoài ngoặc theo công thức

AB + AC + … + AF = A(B + C +… + F)

 Chú ý:

- Phơng pháp này áp dụng khi các hạng tử của đa thức có nhân tử chung

- Nhiều khi muốn có nhân tử chung ta phải đổi dấu các số hạng bằng cách đa số hạngvào trong ngoặc hoặc đa vào trong ngoặc đằng trớc có dấu cộng hoặc trừ

Phơng pháp 2: Dùng hằng đẳng thức

 Nội dung cơ bản của phơng pháp dùng hằng đẳng thức là gì ?

Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức đáng nhớ nào đó thì có thể dùng hằng đẳngthức đó để biểu diễn đa thức này thành một tích các đa thức

 Phơng pháp dùng hằng đẳng thức:

- Nhận dạng các hằng đẳng thức

- Kiểm tra xem có phải đúng là hằng đẳng thức không

 Chú ý: Nhiều khi phải đổi dấu mới áp dụng đợc hằng đẳng thức.

Phơng pháp 3: Nhóm nhiều hạng tử

 Nội dung cơ bản của phơng pháp nhóm nhiều hạng tử là gì ?

Nhóm nhiều hạng tử của một đa thức một cách hợp lí để có thể đặt đợc nhân tử chunghoặc dùng đợc hằng đẳng thức đáng nhớ.

 Chú ý:

- Một đa thức có thể có nhiều cách nhóm

- Sau khi nhóm ta có thể áp dụng phơng pháp đặt nhân tử chung, phơng pháp dùng hằng

đẳng thức để xuất hiện nhân tử chung mới hoặc hằng đẳng thức mới

 Trong đa thức có biểu thức xuất hiện nhiều lần ta đặt biểu thức đó làm biến phụ đ a

về đa thức đơn giản Sau khi phân tích đa thức này ra nhân tử rồi lại thay biến cũvào và tiếp tục phân tích

Phơng pháp 8: Phơng pháp xét giá trị riêng

 Kiến thức:

1 x = a là nghiệm của đa thức f(x)  f(a) = 0

2 x = a là nghiệm của đa thức f(x) => f (x) (x a)  

 Điều kiện để tam thức bậc hai phân tích đợc thành nhân tử.

Đối với tam thức bậc hai dạng ax2 + bx + c, muốn xét xem đa thức này có phân tích đợcthành nhân tử hay không thờng dùng phơng pháp sau:

Đối với các đa thức mà các hạng tử không có nhân tử chung, khi phân tích ra nhân tử

ta thờng phải tách một hạng tử nào đó ra thành nhiều hạng tử khác để nhóm với các hạng tử đã có trong đa thức để cho trong các nhóm có nhân tử chung, từ đó giữa các nhóm có nhân tử chung mới hoặc xuất hiện các hằng đẳng thức quen thuộc

Tổng quát: Để phân tích tam thức bậc hai f(x) = ax 2 + bx + c ra nhân tử, ta tách hạng

một nghiệm của nó để định hớng việc phân tích ra nhân tử.

Tổng quát: Nếu đa thức f(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + … + a + a 1 x + a 0 có nghiệm hữu tỉ là

x = q p (dạng tối giản) thì p là một ớc của hệ số tự do a 0 còn q là ớc dơng

III) Phơng pháp đổi biến:

Một số đa thức có bậc cao, nhờ đặt biến phụ đa về đa thức có bậc thấp hơn để thuận tiện cho việc phân tích ra nhân tử, sau khi phân tich ra nhân tử đối với đa thức mới, thay trở lại biến cũ để đợc đa thức với biến cũ

IV) Phơng pháp hệ số bất định:

V) Phơng pháp xét giá trị riêng:

(Đối với một số đa thức nhiều biến, có thể hoán vị vòng quanh)

Chủ đề 1: Tính chia hết trong tập hợp số nguyên

A Kiến thức cơ bản

- Nắm đợc tính chất chia hết trong tập hợp số nguyên

- Vận dụng tốt tích chất để làm các bài tập

B Phơng pháp chung

I Chứng minh tính chia hết trong tập hợp số nguyên

Gọi A(n) là một biểu thức phụ thuộc vào n (n  N hoặc n  Z)

Để chứng minh A(n) chia hết cho một số m, ta thờng phân tích A(n) thành thừa số, trong đó có một thừa số là m Nừu m là một hợp số ta phân tích m thành tích các thừa số

đôi một nguyên tố cùng nhau, rồi chứng minh A(n) chia hết cho tất cả các số đó

Nhận xét: Trong k số nguyên liên tiếp bao giờ cũng tồn tại một bội của k

Lu ý: Các hằng đẳng thức hay dùng để chứng minh tính chia hết của một luỹ thừa.

an - bn = (a - b)(an-1 + an-2.b + an-3 b2 + + a.bn-2 + bn-1) với n  N*

an + bn = (a + b)(an-1 - an-2.b + an-3 b2 - - a.bn-2 + bn-1) với mọi n lẻ Công thức Niu-tơn(a + b)n = an + c1an-1b + c2an-2b2 + + cn-1abn-1 + bn

Các hệ số ci đợc xác định bởi tam giác Pa-xcan

áp dụng vào tính chất chia hết ta có:

an - bn Chia hết cho a - b (a  b)

a2n+1 + b2n+1 Chia hết cho a + b (a  - b) (a + b)n = BS a + bn (BS a là bội số của a)

III Tìm chữ số cuối cùng trong biểu diễn thập phân của một số

Thì chữ số cuối cùng của A cũng chính là chữ số của cùng của rk

- Nếu A = 100b + ab = abc thì bc là hai chữ số cuối cùng của A

-

Cách 2:

Khi lấy k lần lợt những giá trị tự nhiên khác nhau thì trong biểu diễn thập phân của

số A = nk chữ số cuối cùng hoặc một chữ số cuối cùng xuất hiện tuần hoàn Ta chỉ cần tìm chu kì của hiện tợng này và A ở trờng hợp nào với giá trị k đã cho

Cách 3: Dùng phép chia có d

IV Tìm điều kiện chia hết

V Tính chia hết đối với đa thức

1 Tìm số d của phép chia mà không thực hiện phép chia

Phơng pháp:

* Đa thức chia có dạng x - a với a là hằng số

Số d của phép chia đa thức f(x) cho x - a bằng giá trị của đa thức f(x) tại x = a

- Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung.

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó

IV) Quy đồng mẫu thức.

1) Tìm mẫu thức chung của nhiều phân thức:

1 Cộng hai phõn thức cựng mẫu thức

Qui tắc: Muốn cộng hai phõn thức cựng mẫu thức ta cộng cỏc tử thức với nhau, giữ nguyờn mẫu thức

2 Cộng phõn thức cú mẫu thức khỏc nhau

Qui tắc: Muốn cộng hai phõn thức cú mẫu thức khỏc nhau ta quy đồng mẫu thức vừa tỡm được

- Tìm điều kiện xác định của phơng trình

- Quy đồng mẫu thức ở hai vế của phơng trình rồi khử mẫu thức

- Giải phơng trình vừa nhận đợc

- Nghiệm của phơng trình là các giá trị tìm đợc của ẩn thoả mãn điều kiện xác định

4) Giải bài toán bằng cách lập phơng trình:

a) Các bớc giải bài toán bằng cách lập phơng trình:

Bớc 1:

- Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn

- Biểu diễn các đại lợng cha biết theo ẩn và các đại lợng đã biết

- Lập phơng trình biểu thị sự tơng quan giữa các đại lợng

PH ƯƠNG TRÌNH

I ph ơng trình bậc nhất một ẩn:

1 Định nghĩa:

Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng ax + b = 0 , với a và b là hai số đã cho và a 0 , Ví dụ : 2x – 1 = 0 (a = 2; b = - 1)

2.Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn:

Bước 1: Chuyển hạng tử tự do về vế phải

Bước 2: Chia hai vế cho hệ số của ẩn

( Chú y:ù Khi chuyển vế hạng tử thì phải đổi dấu số hạng đó)

II Ph ¬ng tr×nh ® a vỊ ph ¬ng tr×nh bËc nhÊt:



C¸ch gi¶i:

Bước 1 : Quy đồng mẫu rồi khử mẫu hai vế

Bước 2:Bỏ ngoặc bằng cách nhân đa thức; hoặc dùng quy tắc dấu ngoặc

Bước 3:Chuyển vế: Chuyển các hạng tử chứa ẩn qua vế trái; các hạng tử tự do qua vế

phải.( Chú y:ù Khi chuyển vế hạng tử thì phải đổi dấu số hạng đó)

Bước4: Thu gọn bằng cách cộng trừ các hạng tử đồng dạng

Bước 5: Chia hai vế cho hệ số của ẩn

III ph ¬ng tr×nh tÝch vµ c¸ch gi¶i:



ph ¬ng tr×nh tÝch:

Phương trình tích: Có dạng: A(x).B(x)C(x).D(x) = 0 Trong đó A(x).B(x)C(x).D(x)

là các nhân tử



C¸ch gi¶i: A(x).B(x)C(x).D(x) = 0

( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0

Bước 2: Tìm ĐKXĐ của phương trình

Tìm ĐKXĐ của phương trình :Là tìm tất cả các giá trị làm cho các mẫu khác 0

( hoặc tìm các giá trị làm cho mẫu bằng 0 rồi loại trừ các giá trị đó đi)

Bước 3:Quy đồng mẫu rồi khử mẫu hai vế

Bước 4: Bỏ ngoặc

Bước 5: Chuyển vế (đổi dấu)

Bươc 6: Thu gọn

+ Sau khi thu gọn mà ta được: Phương trình bậc nhất thì giải theo quy tắc giải phương trình bậc nhất

+ Sau khi thu gọn mà ta được: Phương trình bậc hai thì ta chuyển tất cảù hạng tử qua vếtrái; phân tích đa thức vế trái thành nhân tử rồi giải theo quy tắc giải phương trình tích.Bước 4: Đối chiếu ĐKXĐ để trả lời

c.gi¶I bµi to¸n b»ng c¸h lËp ph ¬ng tr×nh

1.Phương pháp:

Bước1: Chọn ẩn số:

+ Đọc thật kĩ bài toán để tìm được các đại lượng, các đối tượng tham gia trong bài toán + Tìm các giá trị của các đại lượng đã biết và chưa biết

+ Tìm mối quan hệä giữa các giá trị chưa biết của các đại lượng

+ Chọn một giá trị chưa biết làm ẩn (thường là giá trị bài toán yêu cầu tìm) làm ẩn số ;

đặt điều kiện cho ẩn

Bước2: Lập phương trình

+ Thông qua các mối quan hệ nêu trên để biểu diễn các đại lượng chưa biết khác qua

ẩn

Bước3: Giải phương trình

Giải phương trình , chọn nghiệm và kết luận

CH

Bất phương trình dạng ax + b < 0 (hoặc ax + b > 0, ax + b  0, ax + b 0) với a và b là hai số đã cho và a 0 , được gọi làbất phương trình bậc nhất một ẩn

 Cách giải bất phương trình bậc nhất một ẩn :

Tương tự như cách giải phương trình đưa về bậc nhất.råi biĨu diƠn nghiƯm trªn trơc sè

Chú ý :

Khi chuyển vế hạngtử thì phải đổi dấu số hạng đó.

Khi chia cả hai về của bất phương trình cho số âm phải đổi chiều bất phương trình

(a2 + b2)(x2 + y2)  (ax + by)2 (Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki)

III Các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức:

- Học sinh nắm đợc thế nào là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

- Biết cách xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

B Các khái niệm cơ bản

1 Cho biểu thức f(x,y, )

Ta nói M là GTLN của biểu thức f(x,y, ) nếu thoả mãn hai điều kiện sau:

- Với mọi x, y, để f(x,y, ) xác định thì

f(x,y, )  M (M là hằng số) (1)

- Tồn tại x0 , y0 sao cho

f(x0, y0, ) = M (2)

2 Cho biểu thức f(x,y, )

Ta nói M là GTNN của biểu thức f(x,y, ) nếu thoả mãn hai điều kiện sau:

Với mọi x, y, để f(x,y, ) xác định thì (1’)f(x,y, )  m (m là hằng số)

- Tồn tại x0 , y0 sao cho

Chú ý: Nếu chỉ có điều kiện (1) và (1’) thì cha thể nói gì về cực trị của một biểu thứcChẳng hạn ta xét biểu thức

A = (x - 1)2 + (x - 3)2Mặc dù A  0 nhng cha thể kết luận GTNN của A = 0 vì không tồ tại giá trị nào của

3 Ph©n thøc cã tö lµ h»ng sè mÉu lµ tam thøc bËc hai

Trong các hình trên thì hình thang là hình gốc:

Hình thang là 1 tứ giác có 2 cạnh song song

Hình thang cân là hình thang có 2 cạnh bên bằng nhau

Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông

Hình chữ nhật là hình thang vừa vuông vừa cân

- Tứ giác có hai cạnh đối song song

- Hình thang có một góc vuông là hình thang vuông

- Hình thang có hai góc kề một đáy là hình thang cân

- Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình thang cân

- Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân

2): Dấu hiệu nhận biết hình bình hành (Có 5 dấu hiệu nhận biết):

- Tứ giác có các cặp cạnh đối song song

- Tứ giác có các cặp cạnh đối bằng nhau

- Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau

- Tứ giác có các góc đối bằng nhau

- Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

3): Hình chữ nhật (có 4 dấu hiệu nhận biết):

- Tứ giác có 3 góc vuông

- Hình thang cân có một gócvuông

- Hình bình hành có một góc vuông

- Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau

4): Hình thoi (có 4 dấu hiệu nhận biết):

- Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau

- Hình bình hành cá hai cạnh kề bằng nhau

- Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc nhau

- Hình bình hành có 1 đường chéo là đường phân giác cùa 1 góc

5): Hình vuông (có 5 dấu hiệu nhận biết):

- Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau

- Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc

- Hình chứ nhật có đường chéo là đường phân giác của một góc

+) Hệ quả của định lí Ta-let:

"Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho."Nghĩa là: Nếu ta có tam giác ABC và B'C'//BC (B' thuộc AB, C' thuộc AC) thì

AB'/AB = AC'/AC = B'C'/BC

ĐỊNH NGHĨA , TÍNH CHẤT VÀ DẤU HIỆU NHẬN BIẾT

Câu 1 : Định nghĩa tứ giác , tứ giác lồi , tổng các góc của tứ giác

a) Định nghĩa tứ giác : Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB , BC , CD , DA trong đó bất kỳ hai đoạn thẳng nào cũng không nằm trên một đường thẳng

b) Định nghĩa tứ giác lồi : Tứ giác lồi là tứ gáic luôn nằm trong một nữa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kỳ cạnh nào của tứ giác

c) Định lý tổng các góc của tứ giác : Tổng các góc của tứ giác bằng

Câu 3 : Hình thang cân :

a) Định nghĩa : Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau b) Tính chất :

- Trong Hình thang cân , hai cạnh bên bằng nhau

- Trong hình thang cân , hai đường chéo bằng nhau

c) Dấu hiệu nhận biết :

- Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân

- Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân

Câu 4 : Hình bình hành :

a) Định nghĩa : Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song

b) Tính chất : Trong hình bình hành :

- Các cạnh đối bằng nhau

- Các góc đối bằng nhau

- Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

c) Dấu hiệu nhận biết :

- Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành

- Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là HBH

- Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là HBH

- Tứ giác có các góc đối bằng nhau là HBH

- Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là HBH

Câu 5 : Hình chữ nhật :

a) Định nghĩa : Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông

- HÌnh chữ nhật cũng là một hình thang cân , hình bình hành

b) Tính chất : HCN có tất cả các tính chất của HBH , Hình thang cân

- Trong HCN ,hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

c) Dấu hiệu nhận biết :

- Tứ giác có ba góc vuông là HCN

- Hình thang cân có một góc vuông là HCN

- HBH có một góc vuông là HCN

- HBH có hai đường chéo bằng nhau là HCN

Câu 6 : Hình thoi :

a) Định nghĩa : Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau

b) Tính chất : Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành

Trong hình thoi :

- Hai đường chéo vuông góc với nhau

- Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi

c) Dấu hiệu nhận biết :

- Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau

- Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi

- Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi

- Hình bình hành có một đường chéo là tia phân giác của một góc là hình thoi Câu 7 : Hình vuông :

a) Định nghĩa : Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng nhau

b) Tính chất : Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi c) Dấu hiệu nhận biết :

- HÌnh chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông

- Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông

- Hình chữ nhật có một đường chéo là phân giác của một góc là hình vuông

- Hình thoi có một góc vuông là hình vuông

- Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông

Câu 8 : Định nghĩa , định lý – tính chất đường trung bình của tam giác

a) Định nghĩa : Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối hai trung điểm hai cạnh tam giác

b) Định lý ( Đường thẳng đi qua trung điểm ) : Đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba

c) Tính chất : Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh thứ ấy

§êng trung b×nh cđa tam gi¸c, cđa h×nh thang

a) Đờng trung bình của tam giác

 Định nghĩa: Đờng trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác

 Định lí: Đờng trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy

1

DE / / BC, DE BC

2



Caõu 9 :ẹũnh nghúa , ủũnh lyự – tớnh chaỏt ủửụứng trung bỡnh cuỷa hỡnh thang

a) ẹũnh nghúa : ẹửụứng trung bỡnh cuỷa hỡnh thang laứ ủoaùn thaỳng noỏi trung ủieồm hai caùnh beõn

b) ẹũnh lyự : ẹửụứng thaỳng ủi qua trung ủieồm moọt caùnh beõn cuỷa hỡnh thang vaứ song song vụựi hai ủaựy thỡ ủi qua trung ủieồm caùnh beõn thửự hai

c) Tớnh chaỏt : ẹửụứng trung bỡnh cuỷa hỡnh thang thỡ song song vụựi hai ủaựy vaứ baốngnửỷa toồng hai ủaựy

Đờng trung bình của hình thang

 Định nghĩa: Đờng trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang

 Định lí: Đờng trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng

Caõu 10 : ẹũnh nghúa hai ủieồm ủoỏi xửựng qua ủửụứng thaỳng – Qua moọt ủieồm :

a) Hai ủieồm ủửụùc goùi laứ ủoỏi xửựng nhau qua moọt ủửụứng thaỳng d neỏu d laứ ủửụứng trung trửùc cuỷa ủoaùn thaỳng ủoự

b) Hai ủieồm ủửụùc goùi laứ ủoỏi xửựng nhau qua ủieồm O neỏu ủieồm O laứ trung ủieồm cuỷa ủoaùn thaỳng noỏi hai ủieồm ủoự

c) Tớnh chaỏt ủoỏi xửựng cuỷa caực hỡnh :

- Hỡnh thang caõn : ẹửụứng thaỳng ủi qua trung ủieồm hai ủaựy laứ truùc ủoỏi xửựng cuỷa hỡnh thang caõn

- Hỡnh bỡnh haứnh : Giao ủieồm hai ủửụứng cheựo cuỷa hỡnh bỡnh haứnh laứ taõm ủoỏi xửựng cuỷa hỡnh bỡnh haứnh ủoự

E

C B

D A

FE

BA

Câu 11 : Định nghĩa khoảng cách giữa hai đường thẳng song song – tính chất những điểm cách đều một đường thẳng cho trước , tính chất những đường thẳng song song cách đều

a) Định nghĩa : Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm tuỳ ý trên đường thẳng này đến đường thẳng kia

b) Tính chất : Các điểm cách đường thẳng b một khoảng bằng h nằm trên hai đường thẳng song song với b và cách b một khaỏng bằng h

c) Đường thẳng song song cách đều :

- Nếu các đường thẳng song song cách đều cắt một đường thẳng thì chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau

- Nếu các đường thẳng song song cắt một đường thẳng và chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau thì chúng song song cách đều

Câu 12: Tính chất trung tuyến trong tam giác vuông

- Trong tam giác vuông , đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnhhuyền

- Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông

Câu 13: Định nghĩa đa giác lồi , đa giác đều

a) Đa giác lồi là đa giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kỳ cạnh nào của đa giác

b) Định nghĩa đa giác đều : là đa giác có tất cả các cạnh và các góc bằng nhau

Định lí TaLet trong tam giác : Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác

và song song với cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ

C' B'

A

2.

Định lí đảo của định lí TaLet :Nếu một đường thăûng cắt hai cạnh của một tam giác

và định ra trên hai cạnh này những đạon thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thăûng đó song song với cạnh còn lại

C'

B '

C B

A

3.Hệ quả của định lí TaLet : Nếu một đường thăûng cắt hai cạnh của một tam giác và

song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ

4.

Tính chất đường phân giác trong tam giác :Trong tam giác , đường phân giác của

một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với 2 cạnh kề hai đoạn ấy

KL DC DB ABAC

5.

Caực caựch chửựng minh hai tam giaực ủoàng daùng :

 Neỏu moọt ủửụứng thaờỷng caột hai caùnh cuỷa moọt tam giaực vaứ song song vụựi caùnh coứn laùi thỡ noự taùo thaứnh moọt tam giaực mụựi ủoàng daùng vụựi tam giaực ủaừ cho

Neỏu ba caùnh cuỷa tam giaực naứy tổ leọ vụựi ba caùnh cuỷa tam giaực kia thỡ hai tam giaực ủoự ủoàng daùng (caùnh – caùnh – caùnh)

Neỏu hai caùnh cuỷa tam giaực naứy tổ leọ vụựi 2 caùnh cuỷa tam giaực kia vaứ hai goực taùo ù bụỷi caực caởp caùnh ủoự baống nhau , thỡ hai tam giaực ủoự ủoàng daùng (caùnh – goực – caùnh)

Neỏu hai goực cuỷa tam giaực naứy laàn lửụùt baống hai goực cuỷa tam giaực kia thỡ hai tam giaực ủoự ủoàng daùng vụựi nhau (goực – goực)

6.

Caực caựch chửựng minh hai tam giaực vuoõng ủoàng daùng :

Tam giaực vuoõng naứy coự moọt goực nhoùn baống goực nhoùn cuỷa tam giaực vuoõng kia(g-g)

Tam giaực vuoõng naứy coự hai caùnh goực vuoõng tổ leọ vụựi hai caùnh goực vuoõng cuỷa tam giaực vuoõng kia (Caùnh - goực - caùnh)

7.Tyỷ soỏ 2 ủửụứng cao , tyỷ soỏ dieọn tớch cuỷa hai tam giaực ủoàng daùng :

Tổ soỏ hai ủửụứng cao tửụng ửựng cuỷa hai tam giaực ủoàng daùng baống tyỷ soỏ ủoàng daùng

a) Định lí Ta_lét trong tam giác: Nếu một đờng thẳng song song với một cạnh của tam

giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ

b) Định lí đảo của định lí Ta_lét: Nếu một đờng thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và

định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ thì đờng thẳng đó song song vớicạnh còn lại của tam giác

Ví dụ: AB ' AC ' B 'C '/ / BC

AB  AC  ; Các trờng hợp khác tơng tự

c) Hệ quả của định lí Ta_lét

- Nếu một đờng thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lạithì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tơng ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đãcho Hệ quả còn đúng trong trờng hợp đờng thẳng song song với một cạnh của tam giác vàcắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại (B 'C '/ / BC AB ' AC ' B 'C'

A