Số Topo bán nguyên trong mô hình Skyrmion

1 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thị Hiền SỐ TOPO BÁN NGUYÊN TRONG MÔ HÌNH SKYRMION LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2014 2 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thị Hiền SỐ TOPO BÁN NGUYÊN TRONG MÔ HÌNH SKYRMION Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán Mã số: 60.44.01.03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. PHẠM THÚC TUYỀN Hà Nội – Năm 2014 3 LỜI CẢM ƠN Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc TS. Phạm Thúc Tuyền, thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi hoàn thành bản luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô tại bộ môn Vật lý lý thuyết – trường Đại học Khoa học tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội – nơi tôi đã hoàn thành bản luận văn này. Cuối cùng, tôi muốn dành tình cảm biết ơn sâu nặng tới những người thân trong gia đình, đồng nghiệp và bạn bè đã thông cảm, động viên và chia sẻ cho tôi rất nhiều để tôi vượt qua những khó khăn trong suốt những năm tháng học tập. Học viên Nguyễn Thị Hiền 4 MỞ ĐẦU……………………… …………………………………….1 Chương 1 –SKYRMION TRONG MÔ HÌNH  -PHI TUYẾN………… ……5 1.1. Lý thuyết   phi tuyến (Skyrme)…… ….5 1.2. Biểu diễn phi tuyến của nhóm đối xứng chiral SU(2)xSU(2)… …… 10 Chương 2 – SKYRMION TRONG MÔ HÌNH BẤT BIẾN PHI TUYẾN 21 2.1. Nghiệm con nhím và dạng của hàm chiral …………………… 21 2.2. Lượng tử hóa skyrmion trong phương pháp tọa độ tập thể. … …… 26 2.3. Biểu thức các dòng topological, vector và Nother ………… … … 32 Chương 3 – CÁC ĐẶC TRƯNG TĨNH CỦA NUCLEON TRONG MÔ HÌNH SKYRMION 35 3.1. Tổng quan………… ……35 3.2. Điều kiện biên và nghiệm……… 37 3.3. Skyrmion và năng lượng tới hạn 40 3.4. Mật độ hạt nhân và skyrmion mới 42 3.5. Đặc trưng tĩnh của skyrmion 45 3.6. Kết quả số của Skyrmion loại II 47 KẾT LUẬN…………………………………………………………………… 53 Tài liệu tham khảo…………………………… ………………………………54 Phụ lục………………………………………………………………………… 55 5 MỞ ĐẦU Theo lý thuyết hiện nay (Standard Model) các hadron, hạt tham gia tương tác mạnh, bao gồm baryon và meson, được cấu tạo từ các quark và phản quark. Quark gồm có 6 hương: u, c, t có điện tích 2/3 và d, s, b có điện tích -1/3. Spin của chúng bằng 1/2, như vậy, chúng cũng là fermion. Trạng thái ba quark là baryon còn trạng thái quark và phản quark là meson. Mỗi hương quark có ba màu, có thể gọi tên là đỏ (red), vàng (yellow) và xanh (blue) hoặc gì đó tương tự. Quark tương tác với nhau thông qua trường gluon. Khác với quark, lượng tử của trường gluon là các hạt vectơ, tức là có spin bằng 1. Như vậy, gluon là boson. Lý thuyết tương tác giữa quark và gluon là sắc động lực học lượng tử (QCD). Lý thuyết này diễn tả tương tác giữa những hạt có màu giống như tương tác điện từ diễn tả tương tác giữa những hạt có điện tích. QCD tỏ ra là một lý thuyết hợp lý cho tương tác mạnh ở năng lượng cao (cỡ trên dưới 1 Gev), còn ở năng lượng thấp, cần đến một lý thuyết hiệu dụng, đơn giản hơn. Do các meson là trạng thái liên kết của quark - phản quark, baryon là trạng thái liên kết của ba quark, cho nên, ngay trong những phản ứng đơn giản nhất: + - p π + n n π +p   Đã có sự tham gia của tám hạt. Việc nghiên cứu một hệ nhiều hạt như vậy trong lý thuyết trường lượng tử là không khả thi. Để nghiên cứu một phản ứng thực trong thế giới các hạt hadron, ta phải có những lý thuyết hiện tượng luận, thỏa mãn hai điều kiện: - Một là: Nó phải là một lý thuyết hiệu dụng của mô hình tiêu chuẩn. - Hai là: Nó phải cho một thuật tính đơn giản và triệt để. Trong những cách thức mô tả hạt hadron thỏa mãn hai điều kiện ở trên là Lý thuyết  - phi tuyến và Lý thuyết bất biến phi tuyến. Cả hai lý thuyết này đều có chung 6 mục tiêu là mô tả hadron như hạt soliton lượng tử. Ý tưởng này đã được Skyrme đề xuất trong Lý thuyết  - phi tuyến, cho nên, soliton lượng tử mô tả hadron sau này được gọi là skyrmion [27]. Lý thuyết bất biến phi tuyến đã được N.A.Việt và P.T. Tuyền đề xuất [20]. Soliton tương ứng được gọi là skyrmion mở rộng [19]. Ý tưởng của Skyrme là xây dựng một mô hình cho trường  - meson, trong đó có chứa những số hạng phi tuyến, sao cho, lý thuyết trường cổ điển tương ứng với nó có nghiệm ổn định (không bị phân tán theo thời gian) và có kích thước không gian hữu hạn (không phải là nghiệm điểm). Nghiệm như vậy được gọi là soliton. Khi lượng tử hóa nghiệm này bằng các biến gọi là biến tập thể, ta được các hạt lượng tử khác nhau, và đặc biệt nhất là chúng có một đại lượng mang tính chất topology (tính hình học), có thể coi là spin. Như vậy, trong một lý thuyết của meson (spin bằng không), ta có thể thu được nghiệm baryon (có spin bằng 1/2). Ý tưởng đó quá kỳ lạ, cho nên rất nhiều năm trôi qua, kể từ sau khi được đề xuất, đã không được cộng đồng vật lý quan tâm thích đáng. Chỉ đến khi nhóm E.Witten dùng ý tưởng của Skyrme tính toán được các đặc trưng của nucleon, và các kết quả này khá phù hợp với thực nghiệm, ý tưởng về skyrmion mới được mọi người để ý [7]. Tuy nhiên, những tính toán sau này của nhóm Witten, có tính đến đóng góp của K - meson, lại cho kết quả càng ngày càng xa với những số liệu thực nghiệm. Cũng trong thời gian đó, nhóm Việt - Tuyền đã đề xuất một mô hình, trong đó Lagrangian bất biến đối với một quy luật biến đổi, gọi là phép biến đổi phi tuyến. Mô hình này cũng có chứa số hạng phi tuyến và do đó cũng có nghiệm soliton. Nếu coi đây là nghiệm cơ bản và sau đó lượng tử hóa nó, ta cũng thu được hạt có spin, mà sau đó đã đồng nhất với các nucleon. Mô hình Skyrmion đó cũng dẫn đến các kết quả phù hợp với số liệu thực nghiệm giống như mô hình  - phi tuyến. Hơn thế nữa, khác với mô hình  - phi tuyến, mô hình bất biến phi tuyến sẽ cho các kết quả tốt hơn khi kể đến các đóng góp của K - meson. 7 Sau đó không lâu, xuất phát từ hai mô hình nói trên, nhóm H.Y.Cheung, F.Gursey đã đề xuất một mô hình Skyrme tổng quát, trong đó có chứa một số tự nhiên n, sao cho khi n = 1, ta được mô hình  - phi tuyến, và khi n = 2, ta được mô hình Việt - Tuyền và khi n = 3, mô hình này cho kết quả hoàn toàn phù hợp với số liệu thực nghiệm. Tuy nhiên, sau khi xem xét tỷ mỉ hơn, họ đã chứng tỏ rằng, với n = 2 vẫn là thích hợp nhất [13]. Mục tiêu của luận văn bao gồm các công việc sau đây: - Tính toán các đặc trưng tĩnh của nucleon trong mô hình skyrmion bất biến phi tuyến với số topo bán nguyên bằng các phương pháp số và biến tổ hợp. - Nêu một số khả năng mở rộng mô hình khi tính đến siêu đối xứng. Luận văn này ngoài phần mở đầu và kết luận thì phần chính được chia làm ba chương. - Chương 1: Giới thiệu mô hình  - phi tuyến và phương pháp lượng tử hóa theo biến tập thể. - Chương 2: Trình bày mô hình bất biến phi tuyến, khả năng giải phương trình số cho hàm góc chiral và các công thức tính số cho các đặc trưng của hạt. - Chương 3: Trình bày mô hình bất biến phi tuyến khi số topo là bán nguyên. Khi tính toán, chúng tôi dùng phương pháp bắn thử Runge-Kutta. Chương trình tính góc chiral, đồ thị hàm dạng của skyrmion và các đặc trưng tĩnh của nucleon cho trong phần cuối của luận văn. 8 CHƯƠNG 1 SKYRMION TRONG MÔ HÌNH   PHI TUYẾN 1.1. Lý thuyết   phi tuyến (Skyrme). Chương này giới thiệu ngắn gọn về mô hình Skyrme, phân biệt giữa mô hình tuyến tính và phi tuyến tính. Ví dụ đơn giản nhất là mô hình  tuyến tính và phi tuyến. Mô hình Skyrme được xuất hiện tự nhiên thông qua việc đưa vào số hạng bậc bốn của hàm trường vào Lagrangian của mô hình  phi tuyến. Số hạng này cho phép tồn tại soliton ổn định (skyrmion) trong không gian 3 chiều, chính vì vậy, nó được gọi là số hạng ổn định. Tổng quan đầy đủ có thể xem trong [9]. Về mặt toán học, các hạt cơ bản lập thành những đa tuyến của một biểu diễn tuyến tính thuộc nhóm đối xứng nào đó. Ví dụ, các quark tạo thành một đa tuyến thực hiện biểu diễn cơ bản của nhóm SU(3). Như ban đầu Gell - Mann và Neuman đề xướng, sau đó được mở rộng thành nhóm SU(4), SU(5) rồi SU(6). Các đa tuyến này là những vector của một không gian nào đó có tích vô hướng và từ các tích tensor của các đa tuyến này, ta có các đa tuyến của các hadron - các hạt tham gia tương tác mạnh. Để mô tả tương tác giữa các quark ta có trường gluon α μ A . Các đại lượng này biến đổi như một vector bốn chiều dưới tác động của nhóm Lorent, như một bát tuyến dưới tác dụng của nhóm đối xứng chuẩn SU(3), và một đơn tuyến dưới tác dụng của nhóm hương SU(6). Khi đó Lagrangian sẽ là một Lagrangian Yang - Mills với dạng tổng quát như sau:   ε μνα μ μν μ μ 1 L =- F .F +Ψ.γ . +ig . Ψ + Ψ.M.Ψ 4  1.1 Trong đó g là hằng số tương tác, M là ma trận khối lượng bất biến dưới tác dụng của nhóm mầu: α α μ μ A = A . λ 1.2 α λ là các ma trận Gell - Mann của SU(3). 9 α α α αβγ β γ μν μ μ ν μ μ ν F = A - A + g.f .A .A   1.3 αβγ f là hằng số cấu trúc của nhóm SU(3). QCD áp dụng cho vùng năng lượng cỡ GeV rất tốt, tuy nhiên khi năng lượng giảm xuống thấp hơn, QCD gặp khó khăn khi phải mô tả tính chất động học của các quark và gluon. Do đó, cản trở việc xây dựng một lý thuyết hiệu dụng cho các hadron. Khó khăn trên là do hằng số tương tác mạnh α g 1 quá lớn (so với tương tác điện từ với hằng số tinh tế 2 α = e / 4π 1/137  , tương tác yếu với hằng số Fermi 2 -39 p Gm 6.10  , tương tác hấp dẫn với hằng số hấp dẫn 2 -5 F p G m 10  ) [3]. Việc thiếu một tham số nhỏ để qua đó ta có thể khai triển các số hạng tương tác giữa các hadron theo lũy thừa và tương tác, dẫn đến việc không thể tìm được một mô hình hiệu dụng của QCD ở thang năng lượng thấp. Xuất hiện từ những khó khăn như vậy, T.H.R.Skyrme đưa ra ý tưởng khi xét QCD ở năng lượng thấp thì chỉ cần lý thuyết hiệu dụng của các meson, đặc biệt là của π - meson và từ lý thuyết này ta cũng thu được các baryon và tương tác giữa chúng. Như vậy ở năng lượng thấp nền tảng của thế giới vật chất lại là boson (hạt có spin nguyên) chứ không phải meson (hạt có spin bán nguyên). Nhưng hướng đi chính thống ý tưởng này rất có ích khi xây dựng mô hình hạt có kích thước. Mà lý thuyết QCD xét các hạt là những hạt điểm, rõ ràng quan điểm này chỉ là ý tưởng chứ không phải thực tế. Bên cạnh đó ý tưởng này coi baryon như kết quả của việc lượng tử hóa quanh soliton. Mặt khác soliton lại là nghiệm kỳ dị của lý thuyết trường meson có phân bố không gian hữu hạn. Như vậy, soliton tương ứng với hạt có kích thước không gian và baryon là các kết quả “mặc áo” khác nhau của soliton “trần” này cũng sẽ là hạt có kích thước. Để khắc phục khó khăn đó, vào năm 1974, T’Hoof đã đề ra ý tưởng lấy 1/N C - nghịch đảo của số mầu trong lý thuyết làm tham số. Và phân loại QCD theo tham số 10 này với hy vọng lý thuyết này sẽ đơn giản đi khi N C đủ lớn. Sau đó người ta chứng tỏ rằng giới hạn khi C N   là có tồn tại, và khi đó QCD sẽ trở thành lý thuyết hữu dụng của các π - meson. Vào năm 1979, E.Witten và các cộng sự đã chứng minh rằng, khi C N   , các khối lượng của các baryon có thể xác định được thông qua tham số cỡ 1/N C , trong khi đó , N C không có mặt trong phương trình xác định kích thước và hình dáng của baryon và cả trong biên độ tán xạ baryon - baryon hoặc baryon - meson. Năm 1961 T.H.R.Skyrme đã giả thiết một mô hình mới, theo nó các hạt baryon có thể thu được từ lý thuyết của meson [27]. Sau hai thập kỷ, ý tưởng này hầu như bị lãng quên. Mãi đến năm 1980 nó mới được xem như là một mô hình lý thuyết hiệu dụng của QCD. Khi đó mô hình này có thể cung cấp cầu nối giữa QCD và bức tranh quen thuộc của tương tác baryon dựa trên sự trao đổi meson. Mô hình Skyrme đưa ra hai giả thuyết: Một là: Ở năng lượng thấp ta chỉ cần lý thuyết hiệu dụng của các meson, và từ lý thuyết này ta thu được baryon và tương tác giữa chúng. Theo lý thuyết này thì ở vùng năng lượng thấp, nền tảng của thế giới vật chất là các boson và nó rất hữu dụng khi ta xây dựng lý thuyết cho các hạt có kích thước trong khi QCD coi chúng là hạt điểm. Từ kết quả của R.Rajaraman và E.Witten đã gợi ý rằng baryon có thể được xem như là kết quả sau khi lượng tử hóa quanh nghiệm soliton của lý thuyết meson hiệu dụng [9]. Do đó, ta không cần quan tâm đến cấu trúc quark của chúng nữa. Mặt khác, nghiệm soliton lại là nghiệm kỳ dị của lý thuyết trường meson có phân bố không gian hữu hạn và soliton ‘mặc áo’ kiểu khác nhau, sẽ cho ta các baryon khác nhau. Do đó, baryon xây dựng trên mô hình này cũng là hạt có kích thước. Để có được kết quả trên, Skyrme đã đi từ Lagranggian của π - meson: 2 μ μ 1 m L = . π. .π - .π.π 2 2       1.4 [...]... và 2.17 bằng phương pháp bắn Runge-Kutta, ta được nghiệm dạng số của hàm chiral F( r ) (hình 2): F( r ) r Hình 2 Nghiệm góc chiral F( r ) 2.2 Lượng tử hóa skyrmion trong phương pháp tọa độ tập thể Do tính phi tuyến cao của Lagrangian nên khi lượng tử hóa các mô hình hạt tương tác gặp khó khăn, đặc biệt là trong các mô hình hạt có kích thước Trong luận văn này ta tuyến tính hóa quanh một skymion (nghiệm... trường này được đồng nhất với các tham số của nhóm thương) có dạng : f π2 L 2 = Dμ πi Dμ πi 8 2.1 mô hình này có nghiệm soliton không ổn định Để có soliton ổn định ta phải thêm vào các số hạng phi tuyến bậc cao hơn, số hạng Lagrangian bậc 4 duy nhất được thêm vào là: L4 = - 1 1   μν Tr(Fμνi τi Fμνk τ k ) = Fμν F 64e 2 16e2 2.2 trong đó e là tham số không thứ nguyên Mô hình phi tuyến chiral tối thiểu sẽ... luận rằng B là chỉ số topo, và dòng bảo toàn Bμ (hay dòng bảo toàn topo) có nguồn gốc khác dòng bảo toàn Noether xây dựng từ sự đối xứng của mô hình Bên cạnh đó nó cũng độc lập với phương trình chuyển động Ta cũng thấy rằng soliton trong mô hình phi tuyến chiral là hệ quả của topo Trong chương sau, ta sẽ đồng nhất dòng baryon với dòng topo và qua đó, ta sẽ thu được những kết quả khá phù hợp với thực... trị hằng số khi r    Vậy với một cấu hình năng lượng hữu hạn và tĩnh hàm U  r  (soliton) xác định một ánh xạ từ không gian ba chiều (kể cả điểm vô cùng) vào mặt cầu ba chiều của đối  xứng nội tại Từ đó, tùy thuộc vào việc khi r lấy mọi giá trị, thì hình cầu S3 được phủ lên bao nhiêu lần Số lần phủ đó được gọi là chỉ số topological của các ánh xạ U Tuy nhiên, chỉ số topo lại chính bằng số lớp đồng... cong C1 và C2 mà một trong hai đường có một lỗ trống thì không tồn tại một hàm làm biến dạng liên tục C1 thành C2 Như vậy C1 và C2 không đồng luân Nhóm đồng luân đẳng cấu với nhóm số nguyên: π1 (S1 ) = Z Tổng quát π1 (S3 ) = Z Nếu số nguyên Z có n=0 thì nhóm là nhóm đồng luân tầm thường Nếu số nguyên Z có n≥1 thì nhóm là nhóm đồng luân không tầm thường Từ đó kết luận rằng B là chỉ số topo, và dòng bảo... πDμ π + B  - Fμν Fμν   4  1.49 18 Số hạng bậc bốn trên có vai trò rất quan trọng, nó làm cho nghiệm soliton của mô hình bền vững Thật vậy, ta xét phép biến đổi đồng dạng: x μ  λx μ Khi đó mô hình cho năng lượng toàn phần có dáng điệu: aλ + b λ Như vậy, năng lượng này có cực tiểu là 2 ab và điều đó chứng tỏ rằng soliton là bền vững Chú ý rằng Lagrangian trong mô hình phi tuyến chiral có thể chọn các... (với n là số nguyên) Đại lượng bảo toàn này có liên quan đến tính topo của đa tạp trường mà ta xét Do π - meson là các tham số của U Các tham số này lập thành một đa tạp ba chiều hình cầu S3 nhúng trong không gian bốn chiều của các biến nội tại Chứng tỏ chúng là các biến góc chứ không phải là các biến độ dài và để xác định một điểm trên mặt cầu đơn vị ba chiều S3   Để có soliton ổn định (cấu hình năng... soliton:   r  u o = exp iσ .F(r)   r  1.17 Trong đó, F(r) được gọi là góc chiral và các baryon khác nhau là kết quả của việc lượng tử hóa quanh nghiệm kỳ dị (1.17) này Nghiệm (1.17) được gọi là nghiệm con nhím (ansatz) Mô hình của hadron nói trên được gọi là mô hình  - phi tuyến Trong những năm 1983 - 1986, G.Adkins, C.Nappi và E.Witten đã dùng mô hình Skyrme để tính các đặc trưng tĩnh cho baryon... )2 ]} 2 6 f 2 1 Việc lựa các hệ số và  trong 2.4 được trình bày chi tiết trong [1] 16e 2 8 Hệ số của dòng tôpô 1.51 liên quan đến dị thường dòng trục và được lấy theo tổng các giản đồ Feynmann tam giác, chúng tôi chọn nó dựa theo công trình của Isham [15]  Để có baryon trong lý thuyết meson, chỉ số topo phải khác 0, nghĩa là u(r, t)  phải phủ S3 ít nhất một lần Trong khai triển u(r, t) theo hàm... U Tuy nhiên, chỉ số topo lại chính bằng số lớp đồng luân của nhóm đồng luân (π 3 (S3 )) Mà π3 (S3 ) lại đẳng cấu với nhóm số nguyên Suy ra chỉ số topological là số nguyên n Ta hãy xét khái niệm nhóm đồng luân: ‘Hai đường cong A(s) và B(s) liên tục trong không gian X với tham số thực s   a, b  từng giá trị s   a, b  tương ứng từng điểm của A và B, tồn tại một hàm L(t,s) 20 làm biến dạng liên . đặc trưng tĩnh của nucleon trong mô hình skyrmion bất biến phi tuyến với số topo bán nguyên bằng các phương pháp số và biến tổ hợp. - Nêu một số khả năng mở rộng mô hình khi tính đến siêu đối. với các nucleon. Mô hình Skyrmion đó cũng dẫn đến các kết quả phù hợp với số liệu thực nghiệm giống như mô hình  - phi tuyến. Hơn thế nữa, khác với mô hình  - phi tuyến, mô hình bất biến phi. NHIÊN Nguyễn Thị Hiền SỐ TOPO BÁN NGUYÊN TRONG MÔ HÌNH SKYRMION Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán Mã số: 60.44.01.03 LUẬN VĂN THẠC SĨ