Bài tập: Hàm số mũ - logarit GV: Trần Thanh Tú BÀI TẬP RÚT GỌN HÀM LŨY THỪA Nhóm công thức cơ bản hàm số mũ Nhóm 1: Công thức cơ bản ( ) 0 . 1 1; 1 1; ; ; n n ma m m m n n m m a a a a a a a − = = = = = Nhóm 2: Công thức cùng cơ số . ; m m n m n m n n a a a a a a + − = = Nhóm 3: Công thức khác cơ số ( ) . ; ; m m m m m m m m a a a b a b ab b b b a − = = = ÷ ÷ ÷ Bài tập 1: Đơn giản biểu thức sau ( giả thiết tất cả đều có nghĩa) a. ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 3 4 3 3 4 1 2 2 1 3 : 2 y x y x x y xy y D x y x y x xy y x x y − − − − + + + = + + + + + − b. 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 4 9 4 3 2 3 a a a a B a a a a − − − − − − + = + − − Bài tập 2: Đơn giản biểu thức sau ( giả thiết tất cả đều có nghĩa) a. ( ) 0; n n n n n n n n a b a b A ab a b a b a b − − − − − − − − + − = − ≠ ≠ ± − + b. ( ) 1 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 1 ax 4 a x a x B xa a x a x − − − − − − − − − − + = − + ÷ + − Bài tập 3: Cho a, b là các số dương. Rút gọn biểu thức sau: a. 2 1 1 2 2 1 2 : a a a b b b − + − ÷ ÷ ÷ b. 1 9 1 3 4 4 2 2 1 5 1 1 4 4 2 2 a a b b a a b b − − − − − − + Bài tập 4: Cho a, b là các số dương. Rút gọn biểu thức sau: a. ( ) 2 2 3 3 3 3 3 a b a b ab + + − ÷ b. 1 1 3 3 3 3 : 2 a b a b b a + + + ÷ ÷ ÷ Bài tập 5: Đơn giản biểu thức sau ( giả thiết tất cả đều có nghĩa) a. 3 2 1 1 3 2 4 4 3 3 : a b a A a b b a a b = + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ b. 2 2 2 4 4 4 2 a B a a a + = − + ÷ Bài tập 6: Tính giá trị các biểu thức sau: Nguồn: Sưu tầm và tổng hợp 1 Bài tập: Hàm số mũ - logarit GV: Trần Thanh Tú a. ( ) 1 2 2 2 2 2 1 1 2 5 2 2 2 x x x x A x x x x x − + + − + = + − − ÷ + − với 3,92x = b. 5 3 3 5 2 2 2 10 5 2 27 3 32 2 .3 2 3 y B y y − + ÷ = + − ÷ + ÷ với 1, 2y = Bài tập 7: Rút gọn biểu thức sau: a. 4 1 1 2 3 3 3 3 2 2 3 3 3 8 . 1 2 2 4 a a b b A a a a ab b − − = − − ÷ ÷ + + b. 1 1 1 1 3 3 3 3 1 1 2 1 1 2 3 3 3 3 3 3 8 2 6 2 4 2 b a a b a b B a b a a b b − − − − − − − ÷ = + ÷ ÷ − + + Bài tập 8: Rút gọn biểu thức sau: a. 1 5 1 3 7 1 1 2 3 32 4 4 2 A= 3 .5 : 2 : 16 : 5 .2 .3 − ÷ ÷ b. ( ) ( ) 1 1 2 4 3 0,25 1 0,5 625 2 19. 3 4 B − − − = − − + − ÷ Bài tập 9: Rút gọn biểu thức sau: a. 1 1 1 1 1 2 2 4 4 3 1 1 1 1 4 2 4 4 4 : a b a b A a b a a b a b − − − = − − ÷ + + b. 3 3 3 3 4 4 4 4 1 1 2 2 a b a b B ab a b − + ÷ ÷ ÷ ÷ = − ÷ − ÷ ÷ Bài tập 10: a. Rút gọn biểu thức: ( ) 3 3 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 ax x a x a C x a x a − − = + − − b. Chứng minh: ( ) 3 3 3 3 32 4 2 2 4 2 2 2 a a b b b a a b+ + + = + Bài tập 11: a. Không dùng máy tính và bảng số hãy tính 3 3 847 847 6 6 27 27 + + − b. Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) 8 48 4 8 8 1 3 2 3 2 3 2 3 2 = − + + + Bài tập 12: Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ các biểu thức sau: a. 5 3 2 2 2A = b. ( ) 11 16 : 0B a a a a a a= > c. ( ) 2 4 3 0C x x x= > d. ( ) 5 3 0 b a D ab a b = > Bài tập 13: Đơn giản biểu thức Nguồn: Sưu tầm và tổng hợp 2 Bài tập: Hàm số mũ - logarit GV: Trần Thanh Tú a. 2 1 2 1 .a a − ÷ b. 2 4 4 . :a a a π π c. ( ) 3 3 a d. 3 2. 1,3 3 2 . :a a a Bài tập 14: Đơn giản biểu thức a. ( ) 2 2 2 3 2 2 3 1 a b a b − + − b. ( ) ( ) 2 3 2 3 3 3 3 4 3 3 1a a a a a a − + + − c. 5 7 2 5 3 7 2 7 3 3 3 3 a b a a b b − + + d. ( ) 1 2 4a b ab π π π π ÷ ÷ + − SO SÁNH CÁC SỐ MŨ Kiến thức cần nhớ: 1. Nếu 1: m n a a a m n> > ⇔ > 2. Nếu 0 1: m n a a a m n< < > ⇔ < 3. Nếu 0 : 0 m m a b a b m< < < ⇔ > 4. Nếu 0 : 0 m m a b a b m< < > ⇔ < » Nếu so sánh hai căn số không cùng chỉ số, ta đưa hai số về cùng chỉ số rồi so sánh. » Trong một vài trường hợp khó, ta có thể dung bất đẳng thức Cauchy (cô si). Bài tập 1: So sánh các cặp số sau: a. 3 5 30 20∨ b. 3 4 5 7∨ c. 3 17 28∨ d. 5 4 13 23∨ e. 3 2 1 1 3 3 ∨ ÷ ÷ f. 5 7 4 4∨ Bài tập 2: So sánh các cặp số sau: a. 1,7 0,8 2 2∨ b. 1,7 0,8 1 1 2 2 ∨ ÷ ÷ c. 1,2 2 3 3 2 2 ∨ ÷ ÷ ÷ ÷ d. 5 2 5 1 7 − ∨ ÷ e. 2,5 12 1 2 2 − ∨ ÷ f. 5 1 6 3 0,7 0,7∨ Bài tập 3: Chứng minh: 20 30 2 3 2+ > Bài tập 4: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số sau: a. 3 x x y − + = b. ( ) 2 sin 0,5 x y = c. 2 2 x x y = + d. 1 3 2 2 x x y − − = + e. 2 2 sin os 5 5 x c x y = + f. 2 1 x x y e + = VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ MŨ Nguồn: Sưu tầm và tổng hợp 3 Bài tập: Hàm số mũ - logarit GV: Trần Thanh Tú Khảo sát hàm số x y a= 1. Tập xác định hàm số D = ¡ 2. Đạo hàm: > ⇒ = ⇒ < ⇒ x y' 0 nÕu a > 1 hµm sè t¨ng y' a lna y' 0 nÕu 0 < a < 1 hµm sè gi¶m 3. Giới hạn: →−∞ = +∞ 0 nÕu a >1 lim nÕu 0 < a <1 x x a →+∞ +∞ = nÕu a >1 lim 0 nÕu 0 < a <1 x x a ⇒ = 0y là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. 4. Bảng biến thiên 5. Giá trị đặc biệt: Cho 0 1x y= ⇒ = ; cho 1x y a= ⇒ = 6. Đồ thị Nhận xét: Hàm số x y a= tăng khi 1a > , giảm khi 0 1a < < . Hàm số x y a= luôn dương với mọi x . Bài tập 1: Hãy vẽ đồ thị của mỗi cặp hàm số sau trên cùng một đồ thị: a. 1 4 4 y x y x= ∨ = b. 5 5 y x y x − = ∨ = c. 1 2 2 y x y x= ∨ = Bài tập 2: Chứng minh hàm số sau đây là đơn điệu: 2 2 2 x x y − − = Sau đó khảo sát và vẽ đồ thị của nó ? Bài tập 3: Các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến? a. 3 x y π = ÷ b. 2 x y e = ÷ c. 3 3 2 x y = ÷ + d. 1 3 3 2 x x y − = ÷ − BÀI TẬP LOGARIT Nguồn: Sưu tầm và tổng hợp 4 x −∞ +∞ 'y y + 0 +∞ x −∞ +∞ 'y y − 0 +∞ Bài tập: Hàm số mũ - logarit GV: Trần Thanh Tú Định nghĩa: Hàm số log a y x= xác định khi 0 0 1 x a > < ≠ = ⇔ = § log N b a x b x a ( b được gọi là logarit cơ số a của x ) Chú ý: Khi cơ số 2,7a e= ≈ thì log ln a x x= (đọc là log nê be x ) logarit tự nhiên. Khi cơ số 10a = thì log lg a x x= (đọc là log x ) logarit thập phân. Nhóm công thức cơ bản hàm số logarit Nhóm 1: Công thức cơ bản 1 log 1 0; log 1; log log ; log log ; log log β β α α α α β β = = = = = a a a a a a a a a x x x x x x Nhóm 2: Công thức tích thành tổng (Qui tắc tính) ( ) ( ) 1 2 1 2 log log log TQ: log log log log log log log a a a a n a a a n a a a xy x y x x x x x x x x y y = + ⇒ = + + + = − c«ng thøc Nhóm 3: Công thức đổi cơ số log 1 log log .log log ; log log log a c a c a a a x x x hay c x x x c a = = = Nhóm 4: Công thức liên hệ giữa hàm số mũ và logarit log a x xa = Bài tập 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau : a. 1 2 1 log 5 x y x − = + b. 2 1 5 5 1 log log 3 x y x + = ÷ + c. 2 3 log 1 x y x − = + d. 2 1 2 2 1 log log 6 1 x y x x x − = − − − + e. ( ) 2 2 1 lg 3 4 6 y x x x x = − + + + − − f. 2 0,3 3 2 log log 5 x y x + = ÷ + g. 1 log 2 3 x y x − = − Bài tập 2: Tính giá trị của các biểu thức sau : a. 9 125 7 1 1 log 4 log 8 log 2 4 2 81 25 .49 − + ÷ b. 2 5 4 1 log 3 3log 5 1 log 5 2 16 4 + + + c. 7 7 5 1 log 9 log 6 log 4 2 72 49 5 − − + ÷ d. 6 9 log 5 log 36 1 lg2 36 10 3 − + − Bài tập 3: Tính giá trị của các biểu thức sau : a. 9 9 9 log 15 log 18 log 10A = + − b. 3 1 1 1 3 3 3 1 2log 6 log 400 3log 45 2 B = − + c. 36 1 6 1 log 2 log 3 2 C = − d. ( ) 1 3 2 4 log log 4.log 3D = Nguồn: Sưu tầm và tổng hợp 5 Bài tập: Hàm số mũ - logarit GV: Trần Thanh Tú Bài tập 4: Tính giá trị của các biểu thức sau : a. 2 2 log 2sin log os 12 12 A c π π = + ÷ b. ( ) ( ) 3 3 3 3 3 4 4 log 7 3 log 49 21 9B = − + + + c. 10 10 log tan 4 log cot 4+ d. D 4 4 4 4 1 log log 216 2log 10 4log 3 3 x= = − + Bài tập 5: Tính giá trị của các biểu thức sau : a. ( ) 2 3 4 2011 1 1 1 1 2011! log log log log A x x x x x = + + + + = b. Chứng minh: 1. ( ) ax log log log 1 log a a a b x bx x + = + 2. ( ) 2 1 1 1 1 log log log 2log k a a a a k k x x x x + + + + = Bài tập 6: Tính giá trị của các biểu thức sau : a. 3 5 log a A a a a= b. 2 3 5 log a B a a a a= c. 5 3 3 2 1 4 log a a a a a a d. 0 0 0 0 lg tan1 lg tan 2 lg tan 3 lg tan89A = + + + + e. 3 4 5 15 16 log 2.log 3.log 4 log 14.log 15B = Bài tập 7: Chứng minh rằng a. Nếu 2 2 2 ; 0, 0, 0, 1a b c a b c c b+ = > > > ± ≠ thì log log 2log .log c b c b c b c b a a a a + − + − + = b. Nếu 0<N 1≠ thì điều kiện ắt có và đủ để ba số dương a,b,c tạo thành một cấp số nhân ( theo thứ tự đó ) là : ( ) log log log , , 1 log log log a a b c b c N N N a b c N N N − = ≠ − c. Nếu log ,log ,log x y z a b c tạo thành cấp số cộng ( theo thứ tự đó )thì : ( ) 2log .log log 0 , , , , , 1 log log a c b a c x z y x y z a b c x z = < ≠ + d. Giả sử a,b là hai số dương thỏa mãn : 2 2 7a b ab+ = . Chứng minh : ln ln ln 3 2 a b a b+ + = Bài tập 8: Tính theo , , ,a b c x các logarit được chỉ ra: a. . 6 log 16A = . Biết : 12 log 27 x= b. 125 log 30B = . Biết : log3 ;log 2a b= = c. 3 log 135C = . Biết: 2 2 log 5 ;log 3a b= = d. 6 log 35D = . Biết : 27 8 2 log 5 ;log 7 ;log 3a b c= = = e. Tính : 49 log 32 . Biết : 2 log 14 a= Bài tập 9: Rút gọn biểu thức sau: a. ( ) ( ) log log 2 log log log 1 a b a ab b A b a b b a= + + − − b. ( ) ( ) 2 log log 1 2 2 4 2 2 2 1 log 2 log log 2 x x B x x x x + = + + c. ( ) log log 2 log log log a p a ap a C p a p p p= + + − Bài tập 10: Trong mỗi trường hợp sau , hãy tính log a x , biết log 3;log 2 a a b c= = − : Nguồn: Sưu tầm và tổng hợp 6 Bài tập: Hàm số mũ - logarit GV: Trần Thanh Tú a. 3 2 x a b c= b. 4 3 3 a b x c = c. 2 2 4 4 3 a bc x ab c = Bài tập 11: Chứng minh a. ( ) ( ) 1 log 3 log 2 log log 2 a b a b− − = + với: 2 2 3 0; 9 10a b a b ab> > + = b. Cho a,b,c đôi một khác nhau và khác 1, ta có: 1. 2 2 log log a a b c c b = log .log .log 1 a b c b c a = 2. Trong ba số: 2 2 2 log ;log ;log a b c b c a c a b b c a luôn có ít nhất một số lớn hơn 1 BÀI TẬP VỀ SO SÁNH Để so sánh hai số logarit, ta có 2 phương pháp cơ bản sau: Phương pháp 1: Trường hợp 2 số có cùng cơ số, ta áp dụng qui tắc sau: 1. Nếu 1:log log a a a x y x y> > ⇔ > 2. Nếu 0 1:log log a a a x y x y< < > ⇔ < Phương pháp 2: Trường hợp 2 số khác cơ số, ta so sánh với số trung gian, suy ra kết luận. • Ví dụ 1: so sánh hai số : 3 4 1 log 4 log 3 ∨ . Ta có : 3 3 4 4 3 4 1 1 log 4 log 3 1;log log 4 1 log 4 log 3 3 > = < = ⇒ > • Ví dụ 2. So sánh : 6 6 log 1,1 log 0,99 3 7∨ . Ta có : 6 6 6 6 6 6 log 1,1 log 1 log 0,99 log 1 log 1,1 log 0,99 3 3 1; 7 7 1 3 7> = < = ⇒ > Bài tập 1: Không dùng bảng số và máy tính. Hãy so sánh: a. 0,4 0,2 log 2 log 0,34∨ b. 5 3 3 4 3 2 log log 4 5 ∨ c. 5 5 1 log log 3 2 2 3∨ d. 3 2 log 2 log 3∨ e. 2 3 log 3 log 11∨ f. 2 1 2 2log 5 log 9 2 8 + ∨ g. 2 4 5 log 3 log 11 4 18 + ∨ h. 3 1 9 8 log 2 log 9 9 5 + ∨ k. 6 6 1 log 2 log 5 2 3 1 18 6 − ∨ ÷ Bài tập 2: Không dùng bảng số và máy tính. Hãy so sánh: a. 2 5 log 10 log 30∨ b. 3 7 log 5 log 4∨ c. 3 1 2ln 8 lne e ∨ − Bài tập 3: Hãy chứng minh: a. 1 3 2 1 log 3 log 2 2 + < − b. 5 5 log 7 log 4 4 7= c. 3 7 log 7 log 3 2+ > d. 2 2 log 5 log 3 3 5= e. 1 log3 log19 log 2 2 + ∨ − f. 5 7 log5 log 7 log 2 2 + + ∨ Bài tập 4: Hãy so sánh: Nguồn: Sưu tầm và tổng hợp 7 Bài tập: Hàm số mũ - logarit GV: Trần Thanh Tú a. 3 3 6 5 log log 5 6 ∨ b. 1 1 3 3 log 9 log 17∨ c. 1 1 2 2 log loge π ∨ d. 2 2 5 3 log log 2 2 ∨ ĐẠO HÀM HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT Một số công thức cơ bản ( ) ( ) ' ln ' ln . ' x x u u a a a a a a u= ⇒ = ( ) ( ) ' ' . ' x x u u e e e e u= ⇒ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' 1 1 ln ' ln ' . ' ln ' f x x u u f x x u f x = ⇒ = ⇒ = ( ) ( ) 1 ' log ' log ' ln ln a a u x u x a u a = ⇒ = Bài tập 1: Tính đạo hàm các hàm số sau: a. ( ) 2 2 2 x y x x e= − + b. ( ) 2 sinx-cosx x y e= c. x x x x e e y e e − − − = + d. ( ) 2 ln 1y x= + e. ln x y x = f. ( ) 1 ln lny x x= + Bài tập 2: Tính đạo hàm các hàm số sau: a. ( ) 2 2 ln 1y x x= + b. ( ) 2 2 log 1x x− + c. 3 2 lny x= d. 2 4 log 4 x y x − = ÷ + e. 2 3 9 log 5 x y x − = ÷ + f. 1 log 2 x y x − = ÷ ÷ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ LOGARIT Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số log a y x= 1. Tập xác định ( ) 0;D = +∞ 2. Đạo hàm > = ⇒ < y' 0 nÕu a>1 1 y' x lna y' 0 nÕu 0<a<1 3. Giới hạn → −∞ = +∞ 0 nÕu a>1 lim log nÕu 0<a<1 a x x →+∞ +∞ = −∞ nÕu a>1 lim log nÕu 0<a<1 a x x 4. Bảng biến thiên Nguồn: Sưu tầm và tổng hợp 8 x y 'y 0 +∞ −∞ +∞ + −∞ y +∞ 'y − x 0 +∞ Bài tập: Hàm số mũ - logarit GV: Trần Thanh Tú 5. Điểm đặc biệt Cho = ⇒ =1x a y , cho = ⇒ =1 0x y 6. Vẽ đồ thị Bài tập 1: Vẽ đồ thị các hàm số sau: a. = 2 logy x b. 3 logy x= c. 1 2 logy x= d. ln 2y x= Bài tập 2: Vẽ đồ thị các hàm số sau: a. 2 2 logy x= b. lny x= c. ln 1 x y x = + d. ( ) 2 log 1y x= + Nguồn: Sưu tầm và tổng hợp 9 . 2 1 x x y e + = VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ MŨ Nguồn: Sưu tầm và tổng hợp 3 Bài tập: Hàm số mũ - logarit GV: Trần Thanh Tú Khảo sát hàm số x y a= 1. Tập xác định hàm số D = ¡ 2. Đạo hàm: > ⇒ = ⇒ <. Bài tập: Hàm số mũ - logarit GV: Trần Thanh Tú BÀI TẬP RÚT GỌN HÀM LŨY THỪA Nhóm công thức cơ bản hàm số mũ Nhóm 1: Công thức cơ bản ( ) 0 . 1 1;. BÀI TẬP LOGARIT Nguồn: Sưu tầm và tổng hợp 4 x −∞ +∞ 'y y + 0 +∞ x −∞ +∞ 'y y − 0 +∞ Bài tập: Hàm số mũ - logarit GV: Trần Thanh Tú Định nghĩa: Hàm số