Chuyên đề phương trình lượng giác

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net 1 PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC Bài 1: LƯNG GIÁC CƠ BẢN PHƯƠNG TRÌNH ĐIỀU KIỆN NGHIỆM sin u = a u ∈ R 1a ≤ sinu = sinv (sinv = a) uvk2 u v 2;k, Z ⇔ =+ π∨=π−+ π ∈AA cosu = a u ∈ R 1a ≤ cosu = cosv (cosv = a) Zk;2kvu ∈π + ± = ⇔ tgu = a π+ π ≠ k 2 u a ∈ R tgu = tgv (tgv = a) ⇔ u = v + kπ cotgu = a π≠ ku a ∈ R cotgu = cotgv (cotgv = a) ⇔ u = v + kπ Bài 1: Giải phương trình: a. 2 3 x2sin = b. () 2 2 25x2cos 0 −=+ c. () 32x4gcot −=+ d. () 3 3 15xtg 0 =+ e. () 000 90x120- với 2 2 15x2sin <<=− f. () π<<π=+ x- với 2 1 1x2cos g. () 2 x 2 - với 32x3tg π << π =+ h. ( )( 3xsin1x2sin += ) − i. x2cosx3sin = j. ( ) 0x2gcot2x3tg =+ + k. 0x5cosx4sin = + l. 0x2sin2xsin2 = + m. 1x3cosx2sin 22 = + n. 1tgx.x5tg = o. ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π+= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π + 4 x cos 5 2 x5sin 22 a. 2x k2 x k 3 36 sin2x sin2x sin k, Z 23 2x 2 x 33 ππ ⎡⎡ =+ π =+π ⎢⎢ π =⇔ = ⇔ ⇔ ∈ ⎢⎢ ππ ⎢⎢ =π− + π = + π ⎢⎢ ⎣⎣ A AA b. () () ( ) 00 00 x55 k180 x 80 180 ⎡ =+ ⇔ ⎢ =− + ⎣ A 00000 45180cos45cos25x2cos 2 2 25x2cos −=−=+⇔−=+ c. () () ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π −= π −=+⇔−=+ 6 gcot 6 gcot2x4gcot32x4gcot 4 k 2 1 24 x π +− π −=⇔ d. () () 00000 180k15x30tg15xtg 3 3 15xtg +=⇔=+⇔=+ e. () () 00 000 00 x30 k180 2 sin 2x 15 sin 2x 15 sin45 2 x 75 180 ⎡ =+ −=⇔ −= ⇔ ⎢ =+ ⎣ A Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net 2 ,Z∈ 00 00 0 0 00 00 0 k0 x 30 k180 x 75 180 1; x 105 ;k x30 120 x 90 120 x 90 0; x 75 =⎧⎧⎧ =+ =+ =−=− ⎧ ⎪⎪⎪ ⇒⇒ ⎨⎨⎨⎨ = −<< −<< = = ⎪⎪⎪ ⎩ ⎩⎩⎩ AA A A Vậy với –120 0 < x < 90 0 có: x= 30 0 , 75 0 , -105 0 . f. () () 3 xk 1 6 cos 2x 1 cos 2x 1 cos 23 x 6 π− ⎡ 3 = +π ⎢ π +=⇔ += ⇔ ⎢ −π− ⎢ = +π ⎢ ⎣ A 3 k0 x 3 xk 6 6 51 k1x x 62 3 0x 3 x 6 6 51 x 1x 62 π− ⎧ == π− ⎧ ⎪ =+π ⎪⎪ ⇒ ⎨⎨ π ⎛⎞ ⎪⎪ =− =− + −π < < π ⎩ ⎜⎟ ⎪ ⎝⎠ ⎩ ⎧ π+ ⎛⎞ ==− −π− ⎧ ⎜⎟ ⎪ =+π ⎪⎪ ⎝⎠ ⇒ ⎨⎨ π ⎪⎪ −π < < π == ⎩ ⎪ ⎩ A A A − Vậy với -π < x < π có: 2 1 6 5 ; 6 3 ; 6 5 2 1 ; 6 3 x − π ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +π − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π +− −π = g. () () 6 tg 3x 2 3 tg 3x 2 tg x k 39 26 k 1 x 9 6 xk 6 93 k0 x 9 x 46 22 k1 x 9 ππ− += ⇔ += ⇔= + ⎡ π+ ⎛⎞ =− =− ⎜⎟ ⎢ ⎝⎠ π− π ⎧ ⎢ =+ ⎪ ⎢ π− ⎪ ⇒= = ⎨ ⎢ ππ ⎪ ⎢ −<< ⎪ π− ⎩⎢ == ⎢ ⎣ 3 π h. ()() x4k2 sin 2x 1 sin x 3 k, Z 22 x 33 =+ π ⎡ ⎢ −= +⇔ ∈ π− π ⎢ =+ ⎣ A A i. 2 xk 10 5 sin3x cos2x sin 2x k, Z 2 x2 2 ππ ⎡ =+ ⎢ π ⎛⎞ ==−⇔ ∈ ⎢ ⎜⎟ π ⎝⎠ ⎢ =+π ⎢ ⎣ A A j. () π+− π =⇔ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + π =−=+ k2 2 xx2 2 tgx2gcot2x3tg k. xk2 2 cos5x sin4x cos 4x k, Z 2 2 x 18 9 π ⎡ =+ π ⎢ π ⎛⎞ =− = + ⇔ ∈ ⎢ ⎜⎟ ππ ⎝⎠ ⎢ =− + ⎢ ⎣ A A l. ( ) 0xcos21xsin20x2sin2xsin2 =+⇔=+ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net 3 sinx 0 xk k, Z 13 3 cosx cos xl2 4 4 2 = ⎡ =π ⎡ ⎢ ⎢ ⇔⇔ π π ⎢ ⎢ =− = =± + π ⎢ ⎣ ⎣ A ∈ m. x2cosx2sin1x3cos1x3cosx2sin 22222 = − = ⇔=+ xk 1cos6x 1cos4x cos6x cos4x k, Z 22 x 5 =π ⎡ ++ ⎢ ⇔=⇔=⇔ π ⎢ = ⎣ A A ∈ n. 6 k 12 xx 2 tggxcot tgx 1 x5tg1tgx.x5tg π + π =⇔ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − π ===⇔= o. 222 4 x 1cos10x 1cos 2x x 5 2 sin 5x cos cos 54 4 2 2 π ⎛⎞ −+ + ⎜⎟ π ⎛⎞⎛⎞ ⎝⎠ += +π= ⇔ = ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ 24 xk x4 105 21 cos cos 10x cos 10x 2552 x 95 19 4 π π ⎡ =+ ⎢ ππ ⎛⎞⎛⎞ ⇔=− += −⇔ ⎢ ⎜⎟⎜⎟ π π ⎝⎠⎝⎠ ⎢ =− ⎢ ⎣ A Bài 2: Giải các phương trình: a. ( ) ( ) 00 120xcos50x2sin +=+ b. 0gxcot 5 xtg =+ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π − c. ( ) 00 30cos30x4cos =− d. ( ) ( ) 000 20cos144xsin24xsin =+++ e. xcos.x3sinxsin.x2sinx3cos.xsinxcos.x2cos − =+ f. ( ) ( ) ( ) 00202 60xsin30xsin30xcos +=−−− g. xcos. 2 x cos. 2 x sin4 2 xsinxsin 44 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π +− a. ( ) ( ) ( ) 000 30xsin120xcos50x2sin −−=+=+ 0 00 80 x k120 x 160 360 3 ⇔=− + ∨= +A 0 b. π+ π =⇔ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + π =−= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π − k 10 7 x0x 2 tggxcot 5 xtg vô nghiệm c. ( ) 00000 90kx90k15x30cos30x4cos =∨+=⇔=− d. ()( ) ( )( 000 0000 00 00 sin x 24 sin x 144 cos20 2sin x + 84 .cos60 cos20 sin x 84 cos20 x 14 k360 x 26 360 ++ + = ⇔ = ⇔ += ⇔=− + ∨= +A ) 0 e. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net 4 () cos2x.cosx sinx.cos3x sin2x.sinx sin3x.cosx cos2x.cosx sin2x.sinx 2 sin3x.cosx cos3x.sinx cos3x sin4x cos 4x x k ;x =- + n2 21472 +=−⇔ −= ππππ ⎛⎞ −+⇔=−=+⇔=−+ ⎜⎟ ⎝⎠ π f. ()()() ( ) ( )( 2020 0 0 0 0 00 0 0 cos x 30 sin x 30 sin x 60 cos2 x 30 sin x 60 cos 30 x x 30 k120 ; x = 30 k'360 −− −= +⇔ −= += − ⇔= + + ) g. xcos 2 xsin 44 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π + Bài toán: ; x2cosxcosxsin 44 −=− x2sinxcos. 2 x cos. 2 x sin4 = ⇒ ycbt: - () ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − π =−π⇔= x2 2 cosx2cosx2sinx2cos 3 xmm 82 ππ ⇒= + ∈ R Bài 3: Giải các phương trình: a. 0x2sin23 =− b. () 4 3 30xcos 02 =− c. 1tgx.x3tg = d. cotg2x.cotg x 1 6 π ⎛⎞ +=− ⎜⎟ ⎝⎠ e. () π≤≤= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π + 2x03 43 x sin2 f. ()() 0 2 3 xsin.1xsin21xsin2 2 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −+−+ g. 01xcos8 3 =− h. () 0x2tg.2xcos2. 4 xsin =+ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π − i. 1x2cos.xcos.xsin4 = j. ( ) 033x2tg3xsin3xsin.x2tg =−−+ k. 0 x2cos1 x2sin = + l. x2cos 4 3 xsin 4 3 xsin x2cos ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π + m. () π<<=− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + − x003tgx3x2gcot 1tgx 1tgx Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net 5 n. ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π <<π= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − π −+− 2 3 x3x 2 gcot3 xcos 1 1xtg 2 3 a. 3 sin2x sin x k x k, Z 23 6 3 ππ π == ⇔=+π∨=+π ∈AA b. () () ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +−=∨+= =∨+= ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =−=− ==− 0000 000 00 00 360k120x360k180x 360kx360k60x 150cos 2 3 30xcos 30cos 2 3 30xcos 00 x = 60 + k360 ; x = k'180⇔ 0 c. ĐK: 000 180kx;360k60x 3 k 6 x =+=⇔ π + π ≠ 4 k 8 xx 2 tggxcot tgx 1 x3tg π + π =⇔ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − π === d. 1 cotg x tg2x cotg 2x x - + k' 6cotg2x 2 3 ππ ⎛⎞ ⎛ ⎞ +=− =− = + ⇒= ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎠ ⎝ ⎠ π π e. ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ π+ π = π+ π = ⇔ π == ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π + 6k 4 5 x 6k 4 x 3 sin 2 3 43 x sin Với 0k: 6 5 x; 4 x2x0 = π = π =⇒π≤≤ f. () 1 sinx sin xk 5 26 6 2sinx 1 sinx 0 27 5 x2 sinx VN 6 2 ⎡ π π ⎛⎞ ⎡ =− = − 2 = −+ π ⎜⎟ ⎢ ⎢ ⎛⎞ ⎝⎠ ⎢ ++=⇔ ⇔ ⎢ ⎜⎟ π ⎢ ⎝⎠ ⎢ = +π =− ⎢ ⎢ ⎣ ⎣ A g. π+ π ±=⇒ π ==⇔= 2k 3 x 3 cos 2 1 xcos 8 1 xcos 3 h. ĐK: 2 k 4 x π + π ≠ Zm,l,k 2 mx 2l 4 3 x k 4 x 0x2tg 4 3 cos 2 2 xcos 4 xsin pt ∈ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ π = π+ π ±= π+ π = ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = π =−= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π − ⇔ Nguyeón Phuự Khaựnh ẹaứ Laùt http://www.toanthpt.net 6 i. 2 k 8 x1x4sin1x2cos.x2sin2pt + === j. x + k 42 ()() ( ) ( ) 2 k 6 x 3 tg3x2tg 03x2tg3xsin03xsin33xsinx2tgpt + = == ==+ k. ==== + kx0tgx0 xcos2 xcosxsin2 0 x2cos1 x2sin 2 l. 3 x - + k ; x + k' 44 2 += + = + 4 3 xsinx2cos x2cos 4 3 xsin 4 3 xsin x2cos 22 3 1cos2x xm 1cos4x 2 4 cos4x cos 2x x m 22 2 12 xm 12 3 =+ + = =+ =+ = + 3 m. () <<= + + x003tgx3x2gcot 1tgx 1tgx tgx 1 tg x cotg2x tg 2x cotg2x 0 42 tgx 1 3 3tgx 3 0 tgx tg 36 = = + += + = == xk 43 7 x;x 412 xk 11 6 x ; x = 0x 61 =+ == =+ = << 2 n. <<= + 2 3 x3x 2 gcot3 xcos 1 1xtg 2 3 () ( ) ( ) ( ) 2 3 x vỡ 1k; 3 4 x 3 tg3tgx 4 tg1tgx 03xtg1tgx01tgx31tgxxtg 22 <<= = == == ==++ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net 7 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT Sinx, Cosx Dạng a.sinx + b.cosx = c (1); a, b ≠ 0; a, b, c ∈ R. Để phương trình (1) có nghiệm 222 cba ≥ + ⇔ Chia 2 vế của (1) cho 22 ba + ta được: 222222 ba c xcos. ba b xsin. ba a + = + + + (2) Đặt: () 22 22 22 ba c xsin)2( sin ba b cos ba a + =ϕ+⇔⇒ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ϕ= + ϕ= + Bài 1: Giải các phương trình: a. 02xcos2 =− b. 03x2tg3 =− c. 5xcos4xsin3 =+ d. 2xcos2xsin2 =− e. 2 1 xsinx2sin 2 =+ f. 13x2sin12x2cos5 = − g. 2 23 4 xsin 4 xsin2 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π −+ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π + h. 22 6 x2sin2x2sinx2cos3 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π −++ a. Zk,2k 4 x 4 cos 2 2 xcos02xcos2 ∈π+ π ±=⇔ π ==⇔=− b. Zk; 2 k 6 x 3 tg3x2tg03x2tg3 ∈ π + π =⇔ π ==⇔=− c. Ta có: 222222 543cba ≥+ ⇔ ≥+ . Chia 2 vế phương trình cho 5, ta được: () ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =α =α π+α− π =⇔=α+⇔ =α+α⇔=+ 5 4 sin 5 3 cos với 2k 2 x1xsin 1xcos.sinxsin.cos1xcos 5 4 xsin 5 3 d. Tương tự chia cả hai vế cho 22 ta được: 5 xk 111 1 12 sinx cosx sin x sin 242613 22 x2 12 π ⎡ 2 = +π ⎢ ππ ⎛⎞ −=⇔−==⇔ ⎢ ⎜⎟ π ⎝⎠ ⎢ = +π ⎢ ⎣ A Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net 8 e. 2 1 x2tg 2 1 2 x2cos1 x2sin 2 1 xsinx2sin 2 =⇔= − +⇔=+ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =α∈ π + α =⇔α=⇔ 2 1 tgZk; 2 k 2 xtgx2tg f. 1x2sin 13 12 x2cos 13 5 13x2sin12x2cos5 =−⇔=− () ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =α =α π+ α −=⇔=α+⇔ 13 12 sin 13 5 cos với k 2 x1x2cos g. ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π −= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π + 4 xcos 4 xsin 32 2 1 32 pt 2cos x sin x 5 cos x .sin x 442 4 42 55 32 2 1 32 cos x x k2 .Với cos ;sin 0 ;cos 44 2 25 5 5 25 ⎛⎞ ππ π π ⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⇔−+−=⇔ −+ −= ⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ππ π ⎛⎞ ⎛ ⎞ ⇔−−ϕ=⇔=+ϕ±α+π ϕ= ϕ= <ϕ< α= ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎠ ⎝ ⎠ h. x2cos 2 1 x2sin 2 3 x2cos. 6 sin 6 cos.x2sin 6 x2sin −= π − π = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π − ( ) ( ) ( ) 2 0; 22 13 sin; 22 13 cos với k 2 x 22x2cos2222x2sin13x2cos13pt π <ϕ< + =ϕ − =ϕπ+ ϕ =⇔ =ϕ−⇔=++−⇔ Bài 2: Giải các phương trình: a. xcos75x2 4 cos. 4 xsin6x2sin.xsin8 += ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − π ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π ++ b. 3 8 xcos2 8 xcos. 8 xsin32 2 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π −+ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π − c. 0xcosxsinxcosxsin1 =+++ d. 3 6xsin4xcos3 2 xsin4xcos3 = − − +− a. ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − π + π ++ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + π − π += ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − π ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π + x2 44 xsinx2 44 xsin 2 1 x2 4 cos. 4 xsin [] 1 sin3x cosx 2 =+ ; [] 1 sinx.sin2x cosx cos3x 2 =− Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net 9 ()() () pt 4 cosx cos3x 3 sin3x cosx 5 7cosx 2 4cos3x 3sin3x 5 cos 3x 1 x k 33 3 ⇔−+ +=+ π ϕπ ⇔− + = ⇔ +ϕ =− ⇒ = − + Với 5 3 sin; 5 4 cos =ϕ=ϕ b. 3 4 x2cos1 4 x2sin3pt = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π −++ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π −⇔ 13 4 x2cos 4 x2sin3 −= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π −+ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π − Làm tương tự câu a. c. () ( ) ( ) 0xcos1xsin10xsin1xcosxsin1pt = + + ⇔ = +++⇔ sinx 1 xk2 k, Z 2 cosx 1 x2 π ⎡ =− =− + π ⎡ ⎢ ⇔⇔ ⎢ ⎢ =− ⎣ =π+ π ⎣ A A ∈ d. Đặt 0t6xsin4xcos3t ≠ −−= ⎩ ⎨ ⎧ =− =− ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ −=−− −=−− ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ −= −= ⇔ =++⇔=++⇔ 4xsin4xcos3 5xsin4xcos3 26xsin4xcos3 16xsin4xcos3 2t 1t 02t3t3 t 2 6tpt 2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Cosx, Sinx ĐẲNG CẤP Dạng 1: ( ) 0ac0xcoscxcosxsinbxsina 22 ≠=++ Cách 1: 0 2 x2cos1 cx2sin 2 b 2 x2cos1 apt = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ++ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⇔ () 0cax2cos.acx2sin.b = + + −+⇔ (Giải như bài 2) Cách 2: Cho ( Zkk 2 x0xcos ∈π+ ) π =⇔= có là nghiệm không. Chia cả 2 vế cho 0xcos ≠ . 0ctgx.bxatgpt 2 =++⇔ Đặt t = tgx. Dạng 2: ( ) 0ddxcoscxcosxsinbxsina 22 ≠=++ () ( ) 0xcosdcxcosxsinbxsinda 22 =−++−⇔ (Giải như trên) Bài 1: Giải các phương trình: a. 01xcos3xcos2 2 =+− b. 01xsinxcos 2 =++ c. ( ) 0xcos938xcosxsin8xsin3 22 =−++ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net 10 d. 4xcos2x2sin33xsin4 22 =−+ e. 2 1 xcos2x2sinxsin 22 =−+ f. ( ) ( ) 1xcos13xcosxsin33xsin2 22 −=−+++ g. ( ) 03xcos132xcos4 2 =+−− h. 03gxcot4xgcot 2 =+− i. 0 4 3 xcos2x2sin 22 =+− j. 42 tg x 4tg x 3 0−+= a. (1) 01xcos3xcos2 2 =+− Đặt t = cosx và 1t ≤ Zl,k 2l 3 x 2kx 3 cos 2 1 xcos 1xcos 2 1 t 1t 01t3t2)1( 2 ∈ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ π+ π ±= π= ⇔ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ π == = ⇔ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = ⇔=+−⇔ b. (2) 01xsinxcos 2 =++ 2 1 - sin x + sinx + 1 = 0⇔ Đặt t = sinx và 1t ≤ Zk;2k 2 x1xsin1t02tt)2( 2 ∈π+ π −=⇔−=⇔−=⇔=++−⇔ c. cosx = 0 không là nghiệm phương trình. Chia hai vế phương trình cho 0xcos 2 ≠ ta được: 0938tgx8xtg3 2 =−++ Đặt t = tgx thì ( ) 2 2 334 có 0938t8t3)1( −=Δ=−++⇔ Zl,k l 3 x kx 3 tg3tgx tg 3 833 tgx 3t 3 833 t ∈ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ π+ π −= π+α= ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π −=−= α= − = ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −= − = ⇔ d. ( ) xcosxsin4xcos2x2sin33xsin4 2222 +=−+ 2 cosx 0 cosx 0 3 sinx.cosx cos x 1 tgx tg 3sinx cosx 6 3 xkx k,Z 26 = ⎡ = ⎡ ⎢ ⇔=⇔ ⇔ π ⎢ ⎢ == = ⎣ ⎢ ⎣ ππ ⇔=+π∨=+π ∈AA e. 0xcos5xcos.xsin4xsin 2 1 xcos2x2sinxsin 2222 =−+⇔=−+ cosx = 0 không là nghiệm phương trình. Chia cả 2 vế cho . Phương trình cho 0xcos 2 ≠ 05tgx4xtg 2 =−+⇔ [...]... kπ ⎡ x = lπ ⎡ cos 2x = 1 ⎢ ⎢ ⇔ ⇔ ⇔⎢ ⎢x = ± π + π ⎢ x = ± π + kπ ⎢ cos 2x = 1 6 6 2 ⎣ ⎣ ⎣ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG Dạng: a(sinx + cosx) + b.sinx.cosx = c ⎧t ≤ 2 π⎞ ⎪ ⎛ 2 Đặt t = sin x + cos x = 2 cos⎜ x − ⎟ ⇒ ⎨ 4 ⎠ ⎪sin x cos x = t − 1 ⎝ ⎩ 2 ⎧bt 2 + 2at − (b + 2c ) = 0 ⎪ Pt cho ⇔ ⎨ ⎪t ≤ 2 ⎩ Bài 1: Giải các phương trình: 12 Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt a b c d a http://www.toanthpt.net 3(sin x + cos x ) +... = cos ⇔ x = ± + kπ 3 2 3 6 ⎪t + t − = 0 ⎩ 4 j π ⎧ π ⎧ 2 2 ⎪ x = ± 4 + kπ ⎧ ⎪ ⎪ t = tg x, t ≥ 0, x ≠ + kπ ⎪ tg x = 1 ⇔⎨ 2 ⇔⎨ 2 ⎨ ⎪ tg x = 3 ⎩ ⎪ 2 ⎪x = ± π + π ⎩ t − 4t + 3 = 0 ⎪ 3 ⎩ Bài 2: Giải các phương trình: a b c π⎞ ⎛ ⎛π ⎞ 5 cos 2⎜ x + ⎟ + 4 cos⎜ − x ⎟ = 3⎠ ⎝ ⎝6 ⎠ 2 x ⎛ 5π ⎞ 7 1 2 cos 2x + cos 2 − 10 cos⎜ − x ⎟ + = cos x 2 ⎝ 2 ⎠ 2 2 cos 5x cos x = cos 4x cos 2x + 3 cos 2 x + 1 11 Nguyễn Phú Khánh... Đà Lạt http://www.toanthpt.net π ⎡ ⎛ x = + k2 π t2 − 1 ⎞ 1 π π⎞ ⎛ 2 (4) ⇔ t ⎜ 1 − = cos ⇔ ⎢ 2 ⎟ = 1 ⇔ ( t − 1 ) ( t + t − 2 ) = 0 ⇔ t = 1 ⇔ cos ⎜ x − ⎟ = ⎢ 4 2 ⎠ 4⎠ 2 ⎝ ⎝ ⎣ x = l2 π Bài 2: Giải các phương trình: a sin 2x − 3 3 ( sin x + cos x ) + 5 = 0 b (1 − 2 )(1 + sin x − cos x ) = sin 2x d cos x − sin x + 3 sin 2x − 1 = 0 (sin x − cos x )2 − 2 + 1 (sin x − cos x ) + 2 = 0 e 2 sin 2x − 3 6 sin x . Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net 1 PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC Bài 1: LƯNG GIÁC CƠ BẢN PHƯƠNG TRÌNH ĐIỀU KIỆN NGHIỆM sin u = a u ∈ R 1a ≤ sinu = sinv (sinv =. – Đà Lạt http://www.toanthpt.net 7 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT Sinx, Cosx Dạng a.sinx + b.cosx = c (1); a, b ≠ 0; a, b, c ∈ R. Để phương trình (1) có nghiệm 222 cba ≥ + ⇔ Chia 2. Zk;2k 2 x1xsin1t02tt)2( 2 ∈π+ π −=⇔−=⇔−=⇔=++−⇔ c. cosx = 0 không là nghiệm phương trình. Chia hai vế phương trình cho 0xcos 2 ≠ ta được: 0938tgx8xtg3 2 =−++ Đặt t = tgx thì ( ) 2 2 334