PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài 1: LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
sin u = a
u ∈ R a ≤ 1 ⇔ = +u v k2 sinu = sinv (sinv = a) π ∨ = π − +u v A2 ;k,π A∈Z
cosu = a
u ∈ R a ≤ 1 ⇔cosu = cosv (cosv = a) u = ± v + k 2 π ; k ∈ Z
tgu = a
π +
π
2
cotgu = a
π
≠ k
Bài 1: Giải phương trình:
a
2
3 x
2
sin =
b cos ( 2 x + 250) = − 2 2
c cot g ( 4 x + 2 ) = − 3
d tg ( x + 150) = 3 3
2
2 15
x
2
f ( + ) = với - π < x < π
2
1 1 x 2
cos
2
x 2
- với 3 2
x 3
h sin ( 2 x − 1 ) = sin ( x + 3 )
i sin 3 x = cos 2 x
j tg ( 3 x + 2 ) + cot g 2 x = 0
k sin 4 x + cos 5 x = 0
l 2 sin x + 2 sin 2 x = 0
m sin22 x + cos23 x = 1
n tg 5 x tgx = 1
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + π
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
4
x cos 5
2 x 5
a
π
⎢ = π − + π ⎢ = + π
A
x 55 k180
x 80 180
⇔ ⎢
= − +
0 0
0 0
2
2 25
x
2
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π −
=
π
−
= +
⇔
−
= +
6 g cot 6 g cot 2
x 4 g cot 3
2 x 4 g
cot
4
k 2
1 24
x = − π − + π
⇔
3
3 15
x
x 30 k180 2
sin 2x 15 sin 2x 15 sin 45
Trang 2, ∈Z
0
k 0
x 30
=
=
A A
Vậy với –120 0 < x < 90 0 có: x= 30 0 , 75 0 , -105 0
3
6
π −
⎡
3
⎢ π
−π −
3
3
k 1 x x
6 2
3
3
6
6 2
π −
π −
⎪−π < < π ⎪ = − = − +
⎩
−π −
π
⎪−π < < π ⎪ = =
A A
Vậy với -π < x < π có:
2
1 6
5
; 6
3
; 6
5 2
1
; 6
3
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + π
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + π
−
− π
=
g
2 6
k 1 x
9 6
9
9
⎪− < < ⎢
⎣
3
π
h sin 2x 1( ) sin x 3( ) x 4 k2 2 2 k, Z
x
= + π
⎡
⎢
⎣
A A
i
2
2
⎡ = +
⎢ π
π
⎝ ⎠ ⎢ = + π⎢⎣ A A
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + π
=
−
=
2 x x
2 2 tg x 2 g cot 2
x
3
tg
k
2
2
π
⎡ = + π
⎢ π
⎢⎣
A A
l 2 sin x + 2 sin 2 x = 0 ⇔ 2 sin x(1 + 2 cos x)= 0
Trang 3sin x 0 x k
4 2
=
⎢
⎣
A∈
m sin22 x + cos23 x = 1 ⇔ cos23 x = 1 − sin22 x = cos22 x
x k
5
= π
⎡
⎢ =
⎣
A
n
6
k 12 x x
2 tg gx cot tgx
1 x 5 tg 1 tgx
.
x
5
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ − π
=
=
=
⇔
=
π
π
4
⎡ = +
⎢
⇔ = − ⎜ + ⎟= ⎜ − ⎟⇔ ⎢
Bài 2: Giải các phương trình:
a sin ( 2 x + 500) = cos ( x + 1200)
5 x
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ − π
c cos ( 4 x − 300) = cos 300
d sin ( x + 240) ( + sin x + 1440) = cos 200
e cos 2 x cos x + sin x cos 3 x = sin 2 x sin x − sin 3 x cos x
f cos2( x − 300) − sin2( x − 300) = sin ( x + 600)
2
x cos 2
x sin 4 2 x sin x
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + π
−
a.sin ( 2 x + 500) = cos ( x + 1200) = sin ( − x − 300) x 80 0 k120 0 x 160 0 360
3
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + π
=
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
10
7 x 0 x
2 tg gx cot 5
x
c cos ( 4 x − 300) = cos 300 ⇔ x = 150 + k 900 ∨ x = k 900
d
sin x 24 sin x 144 cos 20 2 sin x + 84 cos 60 cos 20 sin x 84 cos 20
x 14 k360 x 26 360
e
Trang 4( )
cos 2x.cos x sin x cos 3x sin 2x.sin x sin 3x.cos x cos 2x.cos x sin 2x.sin x
2 sin 3x cos x cos 3x.sin x cos 3x sin 4x cos 4x x k ;x =- + n2
f
x 30 k120 ; x = 30 k'360
)
2 x
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + π
Bài toán: sin4x − cos4x = − cos 2 x ; cos x sin 2 x
2
x cos 2
x sin
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ − π
=
− π
⇔
2 cos x
2 cos x
2 sin x 2
Bài 3: Giải các phương trình:
a 3 − 2 sin 2 x = 0
b cos2( x − 300) = 4 3
c tg 3 x tgx = 1
6
π
⎛ + ⎞= −
⎠
⎞
⎜
⎝
4 3
x sin
2
2
3 x sin 1 x sin 2 1
x sin
⎠
⎞
⎜
⎝
+
− +
g 8 cos3x − 1 = 0
h ( 2 cos x 2 ) tg 2 x 0
4 x
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ − π
i 4 sin x cos x cos 2 x = 1
j tg 2 x sin x + 3 ( sin x − 3 tg 2 x ) − 3 3 = 0
x 2 cos
1
x 2
+
l
x 2 cos 4
3 x sin 4
3 x
sin
x 2 cos ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞
π +
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + π
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
+
1 tgx
1 tgx
Trang 5n ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π < < π
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ − π
− +
−
2
3 x 3
x 2 g cot 3 x cos
1 1
x
b
⎡
+
−
=
∨ +
=
=
∨ +
=
⇔
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
−
=
−
=
=
−
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0 0
360 k 120 x
360 k 180 x
360 k x 360 k 60 x 150
cos 2
3 30
x
cos
30 cos 2
3 30
x
cos
x = 60 + k360 ; x = k'180
c ÑK: x 600 k 3600; x k 1800
3
k 6
4
k 8 x x
2 tg gx cot tgx
1 x
3
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ − π
=
=
=
⎛ + ⎞= − = − = ⎛ + ⎞⇒ =
e
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
π +
π
=
π +
π
=
⇔
π
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + π
6 k 4
5 x
6 k 4
x 3
sin 2
3 4
3
x
sin
6
5 x
; 4 x 2
x
1
2 sin x 1 sin x 0
2
⎡ = − = ⎛⎜−π⎞⎟ ⎡ = − +π 2π
π
⎢
⎢⎣
3
x 3
cos 2
1 x cos 8
1 x
cos3
h ÑK:
2
k 4
x ≠ π + π
Z m ,l , k 2
m x
2 l 4
3 x
k 4 x
0 x 2
3 cos 2
2 x
cos
4 x sin
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
π
=
π +
π
±
=
π +
π
=
⇔
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
π
=
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ − π
⇔
Trang 6i
2
k 8 x 1 x 4 sin 1
x 2 cos x 2 sin 2
j x + k
≠
2
k 6
x 3
tg 3 x
2 tg
0 3 x 2 tg 3 x sin 0
3 x sin 3 3 x sin x 2 tg
pt
π +
π
−
=
⇔
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π −
=
−
=
⇔
=
−
−
⇔
=
− +
−
⇔
x cos 2
x cos x sin 2 0 x 2 cos
1
x 2
sin
2
l x - 3 + k ; x + k'
2
π
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
=
⇔
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
3 x sin x 2 cos x
2 cos 4
3 x sin 4
3 x
sin
x 2
3
12 3
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+ +
1 tgx
1 tgx
tgx 1
3
−
⎣
⎣
⎞
⎟
⎠
11
6 x ; x =
⎡ = +
π
⎢
⇔⎢ = + π ⇔ ⎢
⎢ =
⎢ < < π ⎢
⎣
⎢
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π < < π
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ − π
− +
−
2
3 x 3
x 2 g cot 3 x cos
1 1
x
2
3 x vì 1 k
; 3
4 x 3
tg 3 tgx
4 tg 1 tgx
0 3 x tg 1 tgx 0
1 tgx 3 1 tgx x
π
<
<
π
=
π
=
⇔
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π ±
=
±
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π −
=
−
=
⇔
=
−
−
⇔
= +
− +
⇔
Trang 7PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT Sinx, Cosx
Dạng a.sinx + b.cosx = c (1); a, b ≠ 0; a, b, c ∈ R
Để phương trình (1) có nghiệm ⇔ a2 + b2 ≥ c2
Chia 2 vế của (1) cho a +2 b2 ta được:
2 2 2
2 2
c x
cos
b a
b x
sin
b a
a
+
= +
+
2 2
2 2
b a
c x
sin )
2
( sin
b a b
cos b
a a
+
= ϕ +
⇔
⇒
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
ϕ
= +
ϕ
= +
Bài 1: Giải các phương trình:
a 2 cos x − 2 = 0
b 3 tg 2 x − 3 = 0
c 3 sin x + 4 cos x = 5
d 2 sin x − 2 cos x = 2
e
2
1 x sin x
2
f 5 cos 2 x − 12 sin 2 x = 13
g
2
2
3 4 x sin 4
x sin
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ − π +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + π
6 x 2 sin 2 x 2 sin x 2 cos
⎠
⎞
⎜
⎝
+ +
4
x 4
cos 2
2 x cos 0
2 x cos
2
k 6
x 3 tg 3 x 2 tg 0 3 x 2
tg
c Ta có: a2 + b2 ≥ c2 ⇔ 32 + 42 ≥ 52 Chia 2 vế phương trình cho 5, ta được:
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
= α
=
α π
+ α
−
π
=
⇔
= α +
⇔
= α
+ α
⇔
= +
5
4 sin
5
3 cos với 2 k 2
x 1 x
sin
1 x cos sin x sin cos 1
x cos 5
4 x
sin
5
3
d Tương tự chia cả hai vế cho 2 2 ta được:
5
12
π
⎡ = + 2π
⎢
π
Trang 8e
2
1 x 2 tg 2
1 2
x 2 cos 1 x 2 sin 2
1 x sin x
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
∈
π +
α
=
⇔ α
=
⇔
2
1 tg Z
k
; 2
k 2 x tg
x 2 tg
13
12 x 2 cos 13
5 13 x 2 sin 12 x 2 cos
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
= α
=
α π
+
α
−
=
⇔
= α +
⇔
13
12 sin
13
5 cos
với k 2 x 1 x
2 cos
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ − π
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + π
4 x cos 4
x
sin
⇔ ⎜ − ⎟+ ⎜ − ⎟= ⇔ ⎜ ⎜ − ⎟⎟+ ⎜ − ⎟=
⇔ ⎜ − − ϕ =⎟ ⇔ = + ϕ ± α + π ϕ = ϕ = ⎜ < ϕ < ⎟ α =
2
1 x 2 sin 2
3 x 2 cos 6
sin 6 cos x 2 sin 6
x 2
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ − π
2 0
; 2 2
1 3 sin
; 2 2
1 3 cos
với k 2 x
2 2 x
2 cos 2 2 2 2 x 2 sin 1 3 x 2 cos 1 3 pt
π
<
ϕ
<
+
= ϕ
−
= ϕ π
+
ϕ
=
⇔
= ϕ
−
⇔
= +
+
−
⇔
Bài 2: Giải các phương trình:
4 cos 4 x sin 6 x 2 sin x
sin
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ − π
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + π +
8 x cos 2 8 x cos 8 x sin
3
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ − π +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ − π
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ − π
c 1 + sin x + cos x + sin x cos x = 0
6 x sin 4 x cos 3
2 x
sin 4 x cos
−
− +
−
a.
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + π + π − +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + π − π +
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ − π
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
4 4 x sin x
2 4 4 x sin 2
1 x 2 4 cos 4 x
sin
1 sin 3x cos x
2
= + ; sin x.sin 2x 1[cos x cos 3x]
2
Trang 9( ) ( )
pt 4 cos x cos 3x 3 sin 3x cos x 5 7 cos x
2
4 cos 3x 3 sin 3x 5 cos 3x 1 x k
Với
5
3 sin
; 5
4
4 x 2 cos 1 4 x 2 sin 3
⎠
⎞
⎜
⎝
+ +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⇔
1 3 4
x 2 cos 4
x 2 sin
⎠
⎞
⎜
⎝
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
Làm tương tự câu a
c pt ⇔ 1 + sin x + cos x ( 1 + sin x ) = 0 ⇔ ( 1 + sin x )( 1 + cos x ) = 0
2
π
⎡
⎢
= −
d Đặt t = 3 cos x − 4 sin x − 6 t ≠ 0
⎩
⎨
⎧
=
−
=
−
⇔
⎩
⎨
⎧
−
=
−
−
−
=
−
−
⇔
⎩
⎨
⎧
−
=
−
=
⇔
= + +
⇔
= + +
⇔
4 x sin 4 x cos 3
5 x sin 4 x cos
3 2
6 x sin 4 x cos 3
1 6 x sin 4 x cos
3 2
t
1 t
0 2 t 3 t 3 t
2 6 t
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Cosx, Sinx ĐẲNG CẤP
Dạng 1: a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0 ( ac ≠ 0 )
2
x 2 cos 1 c x 2 sin 2
b 2
x 2 cos 1 a
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + + +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⇔
x 2 sin
2 x 0 x cos = ⇔ = π + π ∈ ) có là nghiệm không
Chia cả 2 vế cho cos ≠ x 0 pt ⇔ atg2x + b tgx + c = 0
Dạng 2: a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = d ( d ≠ 0 )
⇔ ( a − d ) sin2x + b sin x cos x + ( c − d ) cos2x = 0 (Giải như trên)
Bài 1: Giải các phương trình:
a 2 cos2x − 3 cos x + 1 = 0
b cos2x + sin x + 1 = 0
c 3 sin2x + 8 sin x cos x +(8 3 − 9)cos2x = 0
Trang 10d 4 sin2x + 3 3 sin 2 x − 2 cos2x = 4
e
2
1 x cos 2 x 2 sin x
f 2 sin2x + ( 3 + 3 ) sin x cos x + ( 3 − 1 ) cos2x = − 1
g 4 cos2x − 2 ( 3 − 1 ) cos x + 3 = 0
h cot g2x − 4 cot gx + 3 = 0
4
3 x cos 2 x 2
j tg x 4tg x 3 0 4 − 2 + =
a 2 cos2x − 3 cos x + 1 = 0 (1)
Đặt t = cosx và t ≤ 1
Z l, k 2 l 3 x
2 k x 3
cos 2
1 x cos
1 x cos 2
1 t
1
t 0 1 t 3 t 2 )
1
⎢
⎢
⎣
⎡
π +
π
±
=
π
=
⇔
⎢
⎢
⎣
⎡
π
=
=
=
⇔
⎢
⎢
⎣
⎡
=
=
⇔
= +
−
⇔
b cos2x + sin x + 1 = 0 ⇔ 1 - sin x + sinx + 1 = 0 2 (2)
Đặt t = sinx và t ≤ 1
Z k
; 2 k 2 x 1 x sin 1
t 0 2 t t )
2
c cosx = 0 không là nghiệm phương trình
Chia hai vế phương trình cho cos2x ≠ 0 ta được: 3 tg2x + 8 tgx + 8 3 − 9 = 0
3 3 4 có
0 9 3 8 t 8 t 3 ) 1
Z l, k l 3 x
k x
3 tg 3 tgx
tg 3
8 3 3 tgx 3
t
3
8 3 3 t
∈
⎢
⎢
⎣
⎡
π +
π
−
=
π + α
=
⇔
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π −
=
−
=
α
=
−
=
⇔
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
−
=
⇔
d 4 sin2x + 3 3 sin 2 x − 2 cos2x = 4 ( sin2x + cos2x )
2
cos x 0 cos x 0
3
=
⎡
=
=
⇔ = + π ∨ = + πA A∈
2
1 x cos 2 x 2 sin x
cosx = 0 không là nghiệm phương trình
Chia cả 2 vế cho cos2x ≠ 0 Phương trình cho ⇔ tg2x + 4 tgx − 5 = 0
Trang 11= −
⎩
+ π
= − = α = α + π
f 2 sin2x + ( 3 + 3 ) sin x cos x + ( 3 − 1 ) cos2x = − 1
x sin
cosx = 0 không là nghiệm
Chia cả hai vế cho cos2x ≠ 0 Pt cho ⇔ 3 tg2x + ( 3 + 3 ) tgx + 3 = 0
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
π +
π
−
=
π +
π
−
=
⇔
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π −
=
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π −
=
−
=
⇔
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
−
=
⇔
⎩
⎨
⎧
= + +
+
=
⇔
l 6 x
k 4 x 6
tg 3
3 tgx
4 tg 1 tgx
3
3 t
1 t 0 3 t 3 3 t 3
tgx t
2
g
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
π +
π
±
=
π +
π
±
=
⇔
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
=
⇔
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−
= Δ
= + +
−
≤
=
2 l 6 x
2 k 3 x 2
3 x cos
2
1 x cos 1
3 ' có 0 3 t 1 3 2 t
4
1 t , x cos
t
2 2
h
2
cotgx 3
π
⎧ = + π
i pt cho cos 2x cos 2x 2 3 0
4
π +
π
±
=
⇔
π
=
=
⇔
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
− +
≤
=
6
x 3
cos 2
1 x 2 cos 0
4
3 t t
1 t , x 2 cos t
2
j
2 2
2
3
π
⎧ π
=
⎪⎩
⎪
⎨
= ± + π
− + =
Bài 2: Giải các phương trình:
a
2
5 x 6 cos 4 3 x 2
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ − π +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + π
2
1 2
7 x 2
5 cos 10 2
x cos x 2 cos
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π −
− +
c cos 5 x cos x = cos 4 x cos 2 x + 3 cos2x + 1
Trang 12d 2 0
x tg 1
x tg 1 3 x
4
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
−
−
⎛ − ⎞= ⎛ + ⎞ ⎛ + ⎞= − ⎛ + ⎞
2
2
3
2
⇔ ⎜ + ⎟− ⎜ + ⎟+ =
π
2
5 cos
; 2
x cos
1 2
x
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π −
+
=
6
pt 2 sin x 5 sin x 3 0 sin x sin
2
π
⎡ = + π
⎢ π
π
⎢ = + π
c pt 1(cos 4x cos6x) 1(cos 2x cos6x) 3(1 cos 2x) 1 cos 4x - 4cos2x - 5 = 0
π +
π
=
⇔
−
=
⇔
=
−
−
2 x 1 x 2 cos 0
3 x 2 cos 2 x 2 cos2
d
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
= +
−
≤
= π +
π
≠
⇔
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
= +
−
π +
π
≠
⇔
0 1 x 2 cos 3 x 2 cos 2
1 t , x 2 cos t,
k 2
x 0
2 x 2 cos 3 x 4 cos
k 2
x pt
2
cos 2x 1
cos 2x
2
⎡
⎢
PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG Dạng: a(sinx + cosx) + b.sinx.cosx = c
Đặt
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
≤
⇒
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ − π
= +
=
2
1 t x cos x sin
2 t 4
x cos 2 x cos x sin
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≤
= +
− +
⇔
2 t
0 c 2 b at 2
bt2
Bài 1: Giải các phương trình:
Trang 13a 3 ( sin x + cos x ) + 2 sin 2 x + 3 = 0 (1)
b sin x − cos x + 4 sin x cos x + 1 = 0 (2)
c sin 2 x − 12 ( sin x − cos x ) + 12 = 0 (3)
d cos3x + sin3x = 1 (4)
a 3 ( sin x + cos x ) + 2 sin 2 x + 3 = 0 (1)
4 x cos 2 x cos x sin
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ − π
= +
=
t 1
2
1
⎡ ⎛ −π⎞= − = π
=
⎢ = − ⎢ ⎛ π⎞
≤
⎪⎩
⎠
⎣ π
⎡ = π + π∨ = − + π
⎢
⎢
⇔
π
⎢ = ± α + π α = −
⎢⎣
A
b sin x − cos x + 4 sin x cos x + 1 = 0 (2)
Đặt
2
1 t x cos x sin 4
x sin 2 x cos x sin
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ − π
=
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π −
=
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ − π
⇔
−
=
⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤
= +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ − +
⇔
4
sin 2
1 4
x sin 1
t 2
t
0 1 2
t 1 4 t )
2
(
2
3
2
π
⇔ = π ∨ = + πA A∈
c sin 2 x − 12 ( sin x − cos x ) + 12 = 0 (3)
4 x sin 2 x cos x sin
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ − π
=
−
=
4
sin 2
1 4
x sin 1
t 2
t
0 12 t 12 t
1 )
3
(
2
π
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ − π
⇔
=
⇔
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≤
= +
−
−
⇔
Z l, k 2
l x
2 k 2
⇔
d cos3x + sin3x = ( sin x + cos x )( 1 − sin x cos x ) = 1 (4)
Đặt
2
1 t x cos x sin 4
x cos 2 x cos x sin
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ − π
= +
=
Trang 14( ) ( )
2
π
⎡
2 4
π
Bài 2: Giải các phương trình:
a sin 2x 3 3 sin x cos x− ( + )+ = 5 0
b ( 1 − 2 ) ( 1 + sin x − cos x ) = sin 2 x
c cos x − sin x + 3 sin 2 x − 1 = 0
d ( sin x − cos x )2 − ( 2 + 1 ) ( sin x − cos x ) + 2 = 0
e 2 sin 2 x − 3 6 sin x + cos x + 8 = 0
4 x sin 2 x
2
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ − π +
a Đặt t sin x cos x 2 sin x ; t 2 sin 2x t 2 1
4
π
pt⇔ t − −1 3 3t 5 0+ = ⇔t −3 3t 4 0+ = Học sinh tự giải
b
⎪
⎨
⎧
=
∨
−
=
≤
−
=
⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
−
− +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ − π
=
−
=
⇔
2 t 1 t
2 t
; t 1 x 2 sin 0
2 t 2 1 t
4 x sin 2 x cos x sin t pt
2 2
3
3
x 2 ; x = + n2
4
⎧ ⎛ −π⎞= ⎛−π⎞ ⎡ π
π π
⎢
c,d tương tự câu b
4 x sin 2 x cos x sin
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + π
= +
=
( )
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
α
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + π
α
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + π
⇔
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + π
⇔
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≤
≤
= +
−
⇔
sin 4
x sin
sin 4
x sin 2
2 2 3
3 4 x sin 2
t 0
0 6 t 6 3 t 2
Với
4
2 2 3 3 sin α = −