ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ 2 MÔN TOÁN KHỐI 11 – NÂNG CAO A. LÝ THUYẾT I/ ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH. 1. Phương pháp quy nạp toán học • Nắm được phương pháp quy nạp toán học; • Biết vận dụng để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức, đẳng thức, chia hết. 2. Dãy số • Hiểu được các khái niệm: dãy số, dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số không đổi, dãy bị chặn; • Nắm được các cách cho dãy số, các phương pháp đơn giản khảo sát tính tăng, giảm của dãy số và biết chứng minh dãy số bị chặn. 3. Cấp số cộng, cấp số nhân • Nắm vững các khái niệm, tính chất của CSC, CSN; • Nắm vững công thức xác định số hạng tổng quát và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng, một cấp số nhân; • Nhận biết được CSC, CSN; biết cách tìm số hạng tổng quát và tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng, một cấp số nhân và một số bài toán liên quan khác. 4. Giới hạn của dãy số • Nắm vững các định nghĩa, định lí và một số giới hạn thường gặp; • Biết tìm giới hạn của dãy số (có giới hạn 0, giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực) và biết tính tổng của một CSN lùi vô hạn. 5. Giới hạn của hàm số • Nắm vững các định nghĩa, định lí (giới hạn của hàm số tại một điểm, tại vô cực, giới hạn vô cực, giới hạn một bên); các dạng vô định (giới thiệu trong sgk); • Biết tìm giới hạn (hữu hạn, vô cực, giới hạn một bên) của hàm số. 6. Hàm số liên tục • Nắm được định nghĩa của hàm số liên tục • Biết chứng minh hàm số liên tục (tại một điểm, trên một khoảng, trên một đoạn) • Hiểu định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục cũng như ý nghĩa hình học của định lí này, biết áp dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của một phương trình. 7. Đạo hàm • Nắm vững định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm; • Nhớ các công thức và các quy tắc tính đạo hàm (đạo hàm của các hàm số thường gặp, hàm hợp); • Biết vận dụng tốt các quy tắc để tính được đạo hàm (tại một điểm, trên một khoảng), viết phương trình tiếp tuyến (tại điểm, đi qua điểm) và một số bài toán liên quan khác. II/ HÌNH HỌC. 1. Định nghĩa: Nắm được các khái niệm: Đường thẳng song song, đường thẳng chéo nhau, đường thẳng song song với mặt phẳng; hai mặt phẳng song song; véc tơ, ba véctơ đồng phẳng, góc giữa hai đường thẳng, hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc mặt phẳng; phép chiếu song song, phép chiếu vuông góc; hai mặt phẳng vuông góc; góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng; hình biểu diễn của một hình trong không gian. 2. Nêu: Vị trí tương đối của 2 đường thẳng; Định lý Ta-lét; các phép toán về véc tơ; Định lý ba đường vuông góc, tính chất về quan hệ song song, tính chất về quan hệ vuông góc; mối quan hệ giữa tính song song và tính vuông góc; ứng dụng của tính vô hướng, phân tích một véc tơ theo ba véc tơ không đồng phẳng trong không gian. 3.Dạng bài tập: (Biết cách) a. Chứng minh: + Biểu thị một véc tơ theo ba véc tơ không cùng phương sau đó chuyển ngôn ngữ của bài toán về yêu cầu theo véc tơ. + Hai đường thẳng song song, đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song. + Hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc. b. Tìm: Giao điểm, giao tuyến, tìm (xác định) thiết diện, quỹ tích c. Tính: Góc giữa đường thẳng và đường thẳng, đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng d. Một số dạng toán khác liên quan. B. BÀI TẬP I. ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH. Bài 6. Tìm giới hạn của dãy số sau: a. 2 3 lim 2 1 n n n − + ; b. 2 sin 2 lim 2 n n n n − ; c. lim( 1 )n n+ − ; d. 2 2 1 2 2 2 lim 1 5 5 5 n n + + + + + + + + . e. lim U n , biết rằng 1 1 1 1.4 2.5 ( 3) n U n n = + + + + Bài 7: Tìm các giới hạn sau: a. 5 3 5 4 3 7 11 lim 3 x x x x x x →−∞ − + − + − ; b. 5 3 4 3 7 11 lim 3 x x x x x →−∞ − + − − ; c. 4 3 5 4 3 7 11 lim 3 x x x x x x →+∞ − + − + − ; d. 2 4 1 lim 1 x x x x →−∞ − + + ; e. 2 3 6 lim 9 3 x x x − →− − + ; g. 1 2 1 lim 3 3 x x x + →− − + ; h. 2 1 2 1 lim ( 1) x x x → − − . Bài 8 : Tìm các giới hạn sau: a. 2 2 2 3 2 lim ; ( 2) x x x x → − + − b. 2 3 2 1 2 3 1 lim ; 1 x x x x x x → − + − − + c. 2 2 3 5 1 lim 2 x x x x →+∞ − + − ; d. 2 2 4 ( 1) (7 2) lim ; (2 1) x x x x →−∞ − + + e. 2 3 (3 1)(5 3) lim ; (2 1)( 1) x x x x x →−∞ + + − + f. 2 lim ( 4 ); x x x x →+∞ − − g. 2 2 lim ( 3 ), lim ( 3 ) x x x x x x x x →+∞ →−∞ − + + − + + . Bài 9 : Tìm các giới hạn sau: a. 1 1 lim 5 2 x x x →− + + − ; b. 3 1 3 2 lim 1 x x x x → − − − ; c. 2 1 1 lim ( 1) n x x nx n x → − + − − ; d. 3 2 10 2 lim 2 x x x → − − − ; e. 2 3 2 3 1 lim m n x x x x x m x x x x n → + + + + − + + + + − . Bài 10 : Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó: a. 2 3 2 ( ) 2 1 x x f x x m + + = + + b. 2 2 3 ( ) 3 2 x x f x x mx − − = − + Bài 11 : Chứng minh rằng phương trình: a. 3 2 6 9 1 0x x x + + + = có 3 nghiệm phân biệt; b. Chứng minh rằng phương trình 3162 3 =−+ xx có ít nhất một nghiệm thuộc (-7, 9). Bài 12 : Chứng minh phương trình: a. (1 - m 2 )x 5 - 3x - 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m; b. x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 +….+ a n-1 x + a n = 0 luôn có nghiệm với n là số tự nhiên lẻ. c. 032)4()1( 23 =−+−− xxxm có hai nghiệm phân biệt d. 019)1)(5( 20102 =−++++ xxmm luôn có nghiệm e. 0234 38 =−+ xx luôn có nghiệm Bài 13 : Tính đạo hàm các hàm số sau: a. 2 ( 3 )( 1)y x x x = + − ; b. 4 2 3 ( 3 3 )(2 );y x x x x x= + − − c. 2 2 (2 ) 1y x x= − + ; d. 2 1 2 3 2 x x y x − + = + ; e. 2 1 y cos x = ; g. 2 sin cos 2 x x y x + = + . Bài 13 : Tính đạo hàm các hàm số sau: a. 2 2 ( 3 )( 1)y x x x = + − ; b. y x x x= + + ; c. 4 2 ( ) b c y a x x = + + với a, b, c, d hằng số. Bài 14 : Tính đạo hàm các hàm số sau: a. y = 32 1 2 − ++ x xx ; b. y = cos 4 (2x - π/3), c. y = (x 2 - 1) 6 ; e. y = 1 1 1 1 1 1 cos 2 2 2 2 2 2 x+ + + ; x ∈ ( 0; π/2). Bài 15: a.Cho hàm số: f(x) = x x 2 cos 2 1− . Tìm x thoả mãn f(x) - (x - 1) f '(x) = 0 . b. cho hàm số: 12)( 2 +−= xxxf giải bpt )()( ' xfxf ≤ Bài 16: cho xxxgxxf 4sin52cos4)(,2sin)( 3 −== giải PT f’(x)=g(x) Bài 17: Cho dcxbxxxf +++= 23 )( . 1)Hãy xác đinh a, b, c, d biết rằng (C) đi qua các điểm (-1;-3),(1;-1) và f’( ) 3 1 =0 nếu x ≠ -2 nếu x = -2. (với m là tham số) nếu x < 3 nếu x ≥ 3. (với m là tham số) 2) Với a, b, c vừa tìm được giải PT: f’(sinx)=0 Bài 18 : Chứng minh rằng: f'(x) = 0 với mọi x ∈ R. a. f(x) = 3(sin 4 x + cos 4 x) - 2(sin 6 x + cos 6 x); b. 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 6 4 f x cos x cos x cos x cos x π π π π = − + + + + . Bài 19: Cho đồ thị (C) y = x 2 - 2x + 2 viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) trong các trường hợp sau: a. Tại điểm có hoành độ x = 3; b. Biết tiếp tuyết song song với đường thẳng: 2x - y + 2009 = 0 ; c. Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x 6 1 ; d. Biết tiếp tuyến tạo với trục Ox góc 45 0 ; e. Biết rằng tiếp tuyến đi qua A (4, 0). f. Biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2 g. Biết tiếp tuyến có tung độ y =5 II. HÌNH HỌC Bài 1: Cho tứ diện ABCD, gọi I,J,H,K,E,F lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD, BC, AD, AC, BD. Chứng minh rằng : )(4 222222222 EFHKIJADBCBDACCDAB ++=+++++ Bài 2: Cho tứ diện ABCD lấy M, N, P, Q lần lượt thuộc AB, BC, CD, DA sao cho DCkDPADAQBCBNABAM ==== , 2 1 , 3 2 , 3 1 xác định k dể P, Q, M, N đồng phẳng Bài 3:Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc AD’, BD sao cho )1,0(,' ≠== kNBkNDMDkMA 1)cm MN//mp(A’BC) 2) Khi MN//A’C cm MN vuông góc A’D và DB 3) Với 3 1 =k tính MN, tính góc ),( ACMN Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O; SA ⊥ (ABCD); SA = 6a . AM, AN là các đường cao của tam giác SAB và SAD; 1) CMR: Các mặt bên của chóp là các tam giác vuông. Tính tổng diện tích các tam giác đó. 2) Gọi P là trung điểm của SC. Chứng minh rằng OP ⊥ (ABCD). 3) CMR: BD ⊥ (SAC) , MN ⊥ (SAC). 4) Chứng minh: AN ⊥ (SCD); AM ⊥ SC 5) SC ⊥ (AMN) 6) Dùng định lí 3 đường vuông góc chứng minh BN ⊥ SD 7) Tính góc giữa SC và (ABCD) 8) Hạ AD là đường cao của tam giác SAC, chứng minh , ,AM AN AP uuuur uuur uuur đồng phẳng. Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , SA ⊥ (ABC) . Kẻ AH , AK lần lượt vuông góc với SB , SC tại H và K , có SA = AB = a . 1) Chứng minh tam giác SBC vuông . 2) Chứng minh tam giác AHK vuông và tính diện tích tam giác AHK . 3) Tính góc gi÷a AK và (SBC) . 4) Tìm I cách đều bốn đỉnh của hình chóp S.ABC Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) và SA=a; đáy ABCD là hình thang vuông có đáy bé là BC, biết AB=BC=a, AD=2a. 1)Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông 2)M, H là trung điểm của AD, SM cm AH ⊥ (SCM) 3)Tính góc giữa SD và (ABCD); SC và (ABCD) 4)Tính góc giữa SC và (SAD) 5)Tính tổng diện tích các mặt của chóp. Bài 7: Cho tứ diện OABC có OA, OB. OC đôi một vuông góc nhau và OA=OB=OC=a 1)Chứng minh các mặt phẳng (OBC), (OAC), (OAB) đôi một vuông góc 2)M là trung điểm của BC, cm (ABC) vuông góc với (OAM) 3)Tính góc giữa (OBC) và (ABC) 4)Tính d(O, (ABC) ) Bài 8 : Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. 1)Tính tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng AB và CD 2)Tính góc giữa các cạnh bên và mặt đáy 3)Tính góc giữa các mặt bên và mặt đáy 4)Chứng minh các cặp cạnh đối vuông góc nhau. . c. 2 2 3 5 1 lim 2 x x x x →+∞ − + − ; d. 2 2 4 ( 1) (7 2) lim ; (2 1) x x x x →−∞ − + + e. 2 3 (3 1)(5 3) lim ; (2 1)( 1) x x x x x →−∞ + + − + f. 2 lim ( 4 ); x x x x →+∞ − − g. 2 2 lim. hàm số sau: a. 2 ( 3 )( 1)y x x x = + − ; b. 4 2 3 ( 3 3 ) (2 );y x x x x x= + − − c. 2 2 (2 ) 1y x x= − + ; d. 2 1 2 3 2 x x y x − + = + ; e. 2 1 y cos x = ; g. 2 sin cos 2 x x y x + = + . Bài. (x 2 - 1) 6 ; e. y = 1 1 1 1 1 1 cos 2 2 2 2 2 2 x+ + + ; x ∈ ( 0; π /2) . Bài 15: a.Cho hàm số: f(x) = x x 2 cos 2 1− . Tìm x thoả mãn f(x) - (x - 1) f '(x) = 0 . b. cho hàm số: 12) ( 2 +−=