CÁC CÔNG THỨC LƯNG GIÁC CƠ BẢN I. CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ: 1. Hai cung đối nhau: -x và x cos( ) cos sin( ) sin tan( ) tan cot( ) cot x x x x x x x x − = − = − − = − − = − 2. Hai cung bù nhau: x π − và x sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan cot( ) cot x x x x x x x x π π π π − = − = − − = − − = − 3. Hai cung phụ nhau: 2 x π − và x sin cos cos sin 2 2 tan cot cot tan 2 2 x x x x x x x x π π π π − = − = ÷ ÷ − = − = ÷ ÷ 4. Hai cung hơn kém nhau Pi: x π + và x sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan cot( ) cot x x x x x x x x π π π π + = − + = − + = + = 5. Các hằng đẳng thức trong lượng giác 2 2 2 2 1 . sin cos 1 . 1 tan cos 1 . 1 cot . tan .cot 1 sin a x x b x x c x d x x x + = + = + = = 6. Các công thức cộng: .cos( ) cos .cos sin .sin .cos( ) cos .cos sin .sin .sin( ) sin .cos sin .cos .sin( ) sin .cos sin .cos a x y x y x y b x y x y x y c x y x y y x d x y x y y x − = + + = − − = − + = + tan tan .tan( ) 1 tan tan tan tan .tan( ) 1 tan tan x y e x y x y x y f x y x y + + = − − − = + 7. Công thức nhân đôi: sin 2 2sin cos : sin 2sin cos 2 2 x x x nx nx TQ nx = = 2 2 2 2 2 cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin 2 tan tan 2 1 tan x x x x x x x x = − = − = − = − 8. Công thức nhân 3 : 3 3 sin 3 3sin 4sin cos3 4cos 3cos x x x x x x = − = − 2 2 (3 tan ) tan tan 3 1 3tan x x x x − = − 9. Công thức hạ bậc: 2 2 1 cos2 sin 2 1 cos 2 cos 2 x x x x − = + = 3 3 3sin sin 3 sin 4 3cos cos3 cos 4 x x x x x x − = + = 10. Công thức biến đổi tích thành tổng [ ] [ ] 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 x y x y x y x y x y x y = − + + = − − + [ ] [ ] 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 1 cos sin sin( ) sin( ) 2 x y x y x y x x x y x y = − + + = + − − 1 11 . Công thức biến đổi tổng thành tích: cos cos 2cos cos 2 2 cos cos 2sin sin 2 2 sin sin 2sin cos 2 2 sin sin 2cos sin 2 2 x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y + − + = + − − = − + − + = + − − = sin( ) tan tan cos cos sin( ) tan tan cos cos sin( ) cot cot sin sin sin( ) cot cot cos cos x y x y x y x y x y x y x y x y x y y x x y x y + + = − − = + + = − − = 12. Công thức rút gọn: sin cos 2 sin( ) 2 cos( ) 4 4 sin cos 2 sin( ) 2 cos( ) 4 4 x x x x x x x x π π π π + = + = − − = − = − + 2 cot tan sin 2 cot tan 2 cot 2 x x x x x x + = − = 13.Công thức tính sinx, cosx, tanx theo tanx/2: nếu đạt t = tan(x/2) thì 2 2 sin 1 t x t = + 2 2 1 cos 1 t t − = + 2 2 tan 1 t x t = − II. BÀI TẬP A. HÀM SỐ LƯNG GIÁC câu1. Tính các giá trò lượng giác còn lại: a. Cho 0 0 1 sin & 90 180 4 x x= < < b. Cho 1 3 cos & 2 3 2 x x π π = < < c. Cho 3 tan 2 & 2 x x π π = < < d. Cho 1 cot & 0 3 2 x x π = − − < < câu2. Chứng minh rằng a) cos 1 tan 1 sin x x x cox + = + b) sin 1 cos 2 1 cos sin sin x x x x x + + = + c) 1 1 (1 tan )(1 tan ) 2 tan cos cos x x x x x + + + − = d) 2 3 3 sin cos 1 tan tan tan cos x x x x x x + + + + = e) 1 cos 1 cos 4 cot 1 cos 1 cos sin x x x x x x + − − = − + f) 2 2 sin sin cos sin cos sin cos tan 1 x x x x x x x x + − = + − − câu3. Đơn giản các biểu thức: 2 (1 sin ) tan (1 sin )A x x x= + − 2 2 sin (1 cot ) cos (1 tan )B x x x x= + + + 2 2 (tan cot ) (tan cot )C x x x x= + − − 2 2 2 (1 sin ) cot 1 cotD x x x= − + − 2 2 1 cos (1 cos ) (1 ) sin sin x x E x x + − = − 8 6 2 4 2 2 2 2 sin sin cos sin cos sin cos cosF x x x x x x x x= + + + + câu4. Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào x: a. 6 6 4 4 2(sin cos ) 3(sin cos )A x x x x= + − + b. 6 6 4 4 2 sin cos 2sin cos sinB x x x x x= + − − + c. 2 2 2 2 2 sin tan 2sin tan cosC x x x x x= + − + d. 2 1 cos 1 cos sin (1 )(1 ) 1 cos 1 cos x x D x x x − + = + + + − e. 2 2 2 2 2 2 tan cos cot sin sin cos x x x x E x x − − = + 2 f. 2 2 tan cot 1 . cot 1 tan x x F x x − = − câu5. Tính các biểu thức sau a. Cho sinx=2/3. Tính cot tan cot tan x x A x x − = + b. Cho tanx=3. Tính 3 3 sin cos 4sin cos & 2sin cos sin 3cos x x x x B C x x x x + + = = + + c. Cho cotx= - 3 . Tính 2 2 2 2 sin 2sin cos 2 cos 2sin 3sin cos 4cos x x x x D x x x x + − = − + câu6. Tính các giá trò biểu thức a. 0 0 0 0 cos10 cos 20 cos160 cos180A = + + + + b. 2 0 2 0 2 0 2 0 sin 15 sin 25 sin 65 sin 75B = + + + c. 2 0 2 0 2 0 sin 10 sin 20 sin 180C = + + + d. 0 0 0 0 0 sin( 234 ) cos 216 tan 36 sin144 cos 216 D − − = − câu7. Rút gọn biểu thức a. 3 sin( ) cos( ) cot(2 ) tan( ) 2 2 A x x x x π π π π = + − − + − + − b. 3 cot( 2 ) cos( ) cos( 2 ) 2sin( ) 2 B x x x x π π π π = − − + + − − c. 0 0 0 0 0 cos(270 ) 2sin( 450 ) cos( 900 ) 2sin(720 ) cot(540 )C x x x x x= − − − + + + − − câu8. Cho tam giác ABC chứng minh rằng: a) sin cos 2 2 A B C+ = b) tan(2 ) tanA B C A+ + = c) 3 sin cos 2 A B C C + + = d) tan cot( ) 2 2 A B C B − = + B. CÔNG THỨC CỘNG: a. Cho sinx=5/13 và ( π /2<x< π ), cosy=3/5 và (0<y< π /2). Tính sin(x+y), cos(x+y),tan(x+y) và cot(x+y) b. Cho sinx= 1 5 và siny = 10 1 . Tính x+y câu2. Cho a+b = π /4. Tính A =(1+tana).(1+tanb) câu3. Tính giá trò các biểu thức: a. 00 00 25tan20tan1 25tan20tan − + =A b. 0000 40tan20tan340tan20tan ++=C c. 0000 0000 11sin19sin11cos19cos 20sin10cos10sin20cos − + =C câu4. Chứng minh: a. Sinx+cosx= ) 4 sin(2 π +x b. Sin(a+b).sin(a-b) =sin 2 a-sin 2 b =cos 2 b-cos 2 a c. 3sin4) 3 sin(). 3 sin(4 2 −=−+ xxx ππ d. xxx sin2) 4 sin() 4 sin( =−−+ ππ câu5. Rút gọn biểu thức: a. cos( ) cos( ) cos( )cos( ) x y x y A x y x y + + − = + − b. tan tan tan tan tan( ) tan( ) a b a b B a b a b + − = − + − 3 c. sin( ).sin( ) sin sin x y x y C x y + − = + d. sin( ) cos( ) 4 4 sin( ) cos( ) 4 4 x x D x x π π π π + − + = + + + câu6. Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào x a. A= cosx+ cos(x+ 2 3 π )+ cos(x+ 4 3 π ) b. B= sinx + sin(x+ 2 3 π ) + sin(x+ 4 3 π ) c. C= cos 2 x + cos 2 (x+ 2 3 π ) + cos 2 (x+ 4 3 π ) d. D= sin 2 x + sin 2 (x+ 2 3 π ) + sin 2 (x+ 4 3 π ) câu7. Cho tam giác ABC chứng minh: a. cosB.cosC – sinB.sinC + cosA = 0 b. tanA + tanB + + tanC = tanA.tanB.tanC ( với ABC có 3 góc nhọn ) c. tan 2 A tan 2 B +tan 2 B tan 2 C +tan 2 A tan 2 C = 1 d. cot 2 A + cot 2 B + cot 2 C = cot 2 A . cot 2 B . cot 2 C e. cotA.cotB + cotB.cotC + cotA.cotC = 1 C. CÔNG THỨC NHÂN: câu1. Tính giá trò biểu thức: a. 8 cos 4 cos 8 sin πππ =A b. 8 tan 8 tan1 2 π π − =B c. 000 70sin50sin10sin=C d. 0000 78sin66sin42sin6sin=D e. 0000 80cos60cos40cos20cos16=E câu2. Tính các giá trò biểu thức: a. cho tan 2 x = - 2. Tính 3sin 4cos cot 3 tan x x A x x + = + b. cho sinx = -4/5, và 3 2 2 x π π < < . Tính cos(x/2) và sin(x/2) c. cho tanx = 1/15. Tính sin 2 1 tan 2 x B x = + d. cho sinx + cosx = 7 2 và 0 < x < 6 π . Tính tan(x/2) e. cho tan(x/2) = -1/2. Tính 2sin 2 cos 2 tan 2 cos 2 x x C x x − = + câu3. Chứng minh: a. cotx – tanx = 2cot2x b. sin 4 x + cos 4 x = 3 1 cos 4 4 4 x+ c. . 4sinx.sin(60 0 – x).sin(60 0 + x) = sin3x d. 4cosx.cos(60 0 – x).cos(60 0 + x) = cos3x 4 e. . tanx.tan(60 0 – x).tan(60 0 + x) = tan3x f. 3 – 4cos2x + cos4x = 8sin 4 x g. cos 3 x.sinx – sin 3 x.cosx = sin 4 4 x h. 2(sinx + cosx +1) 2 . (sinx + cosx – 1 ) 2 = 1 – cos4x câu4. Đơn giản biểu thức A = sin8x + 2cos 2 (4x + 4 π ) B = 3 3 cos cos3 sin sin 3 cos sin x x x x x x − + + C = cos 4 x – sin 4 (x + π ) 2 1 sin 2sin ( ) 4 2 4cos 2 x x D x π + − − = 2 4 2 2 sin 2 4cos 4 sin 2 4sin x x E x x + = − − F = sin( 2 π - x).sin( π - x) cos2x D. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI câu1. Biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích các biểu thức sau: a. sin( π /5).sin( π /8) b. 2sina.sin2a.sin3a c. Sin10 0 + Sin11 0 + Sin16 0 + Sin15 0 d. Sinx+sin2x+sin3x+sin4x e. Cosx+cos2x+cos3x+cos4x f. 1-cosx+sinx g. 2cos2a - 3 h. 1+2sina-cos2a i. 9sina+6cosa-3sin2a+cos2a-8 j. Sin 2 3a-cos 2 4a-sin 2 5a+cos 2 6a k. 1+2cosx câu2. Tính các giá trò biểu thức: a. A = cos85 0 + cos35 0 – cos25 0 b. B = 9 7 cos 9 5 cos 9 cos πππ ++ c. C = 5 8 cos 5 6 cos 5 4 cos 5 2 cos ππππ +++ d. D = sin10 0 . sin30 0 . sin50 0 . sin70 0 e. E = sin20 0 . sin40 0 . sin80 0 f. F = 0 0 70sin4 sin10 1 − g. G = cos 2 x – sin(30 0 +x). sin(30 0 -x) h. H = cos10 0 . cos30 0 . cos50 0 . cos70 0 i. D = xx xx 4cos6cos 4cos6cos + − câu3. Chứng minh đẳng thức: a. x xxx xxx 3tan 5cos3coscos 5sin3sinsin = ++ ++ b. xxx 4cos 8 3 8 5 sincos 66 +=+ c. câu4. Cho tam giác ABC chứng minh : a. sinA + sinB + sinC = 2 cos 2 cos 2 cos4 CBA b. cosA + cos B + cosC = 1 + 2 sin 2 sin 2 sin4 CBA c. sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC d. sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 2(1+ cosA.cosB.cosC) e. cos2A + cos2B + cos2C = -1 – 4cosA.cosB.cosC f. tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC 5 E. NHẬN DẠNG TAM GIÁC: câu1. Chứng minh tam giác ABC vuông nếu: 2 2 2 sin B sin C a / sin A ; b / sin C cos A cos B; c / sin A sin B sin C 2 cos B cos C + = = + + + = + câu2. Chứng minh tam giác ABC can nếu : 2 C sin B a / sin A 2sin B.cos C; b / tan A tan B 2cot ; c / tan A 2 tan B tan A.tan B; d / 2cos A 2 sin C = + = + = = câu3. Chứng minh tam giác ABC đều nếu : 1 3 a / cos A.cos B.cosC ; b / sin A sin B sin C sin 2A sin 2B sin 2C; c / cos A cos B cos C 8 2 = + + = + + + + = câu4. Chứng minh tam giác ABC can hoặc vuông nếu : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 sin B C sin B C C tan B sin B a / tan A.tan B.tan 1; b / ; c / 2 tan C sin C sin B sin C sin B sin C + - = = = + - câu5. Nhận dạng tam giác biết : 2 2 2 sin A a / sin 4A sin 4B sin 4C 0 b / cos A cos B cos C 1 c / 2sin C cos B + + = + + = = câu6. Tìm các góc của tam giác ABC biết: a. 0 60 1 sin .sin 2 B C B C − = = b. 0 120 3 1 sin .cos 4 B C B C + = + = III. ÔN TẬP CHƯƠNG câu1. Tính giá trò các biểu thức A = sina.cosa và B = cos 4 a + sin 4 a theo t biết t = sina + cosa câu2. Tính sin(15 π - a) biết a. sina = 4/5 và ( π /2) < a < π b. tana = 1/15 câu3. Tính 0 0 1 3 sin10 cos10 A = − và 2 6 1 cos cos cos 7 7 7 B π π π = + + + + câu4. Chứng minh các đẳng thức: a. 3 – 4coss2x + cos4x = 8sin 4 x b. 1 tan ( 1) tan 2 cos x x x + = c. 2 4 1 1 1 1 sin .cos cos 2 cos 4 cos 6 16 32 16 32 x x x x x= + − − d. 2 cot 2 1 cos8 .cot 4 sin8 2cot 2 x x x x x − − = e. 2 6 6 2 1 3 tan tan 1 cot cos x x x x − = + f. 1 sin 2 cos 2 tan 4 cos 4 sin 2 cos 2 x x x x x x − − = + câu5. Chứng minh 1 cot cot sin 2 a a a = − và áp dụng tính 1 1 1 sin sin 2 sin 2 n T a a a = + + + câu6. Cho sina.cosa = 3 4 và 0 < a < 45 0 . Tính tan cot tan cot a a A a a − + câu7. Biến đổi thành tích 2 3 2 1 sin 4 1 2cos 2 3 tan tan 3 tan 3 A x x B x x x = + − = − − + câu8. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào a, b, c a. A= sina.sin( b – c ) + sinb.sin( c – a ) + sinc.sin( a – b ) 6 b. B = cos(a + b).sin( a – b ) + cos( b+ c).sin( b – c ) + cos(c + a).sin( c – a ) 7 . CÁC CÔNG THỨC LƯNG GIÁC CƠ BẢN I. CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ: 1. Hai cung đối nhau: -x và x cos( ) cos sin( ) sin tan( ) tan cot(. = − − − = + 7. Công thức nhân đôi: sin 2 2sin cos : sin 2sin cos 2 2 x x x nx nx TQ nx = = 2 2 2 2 2 cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin 2 tan tan 2 1 tan x x x x x x x x = − = − = − = − 8. Công thức nhân. tan tan 3 1 3tan x x x x − = − 9. Công thức hạ bậc: 2 2 1 cos2 sin 2 1 cos 2 cos 2 x x x x − = + = 3 3 3sin sin 3 sin 4 3cos cos3 cos 4 x x x x x x − = + = 10. Công thức biến đổi tích thành tổng [