b) Chöùng minh raèng töø ñieåm M ( 3; 5 ) coù theå keû ñöôïc hai tieáp tuyeán ñeán ñöôøng troøn.. b) Tìm m ñeå (C m ) chaén treân truïc hoaønh moät daây cung coù ñoä daøi laø 2 √ 5. Chu[r]
(1)ƠN TẬP HÌNH HỌC HK II LỚP 10 LÝ THUYẾT CƠ BẢN:
1 Các hệ thức lượng giác bản: sin2x + cos2x =
) 90 ( tan cos sin 0
, sin cot ( ,180 )
cos 0
cot = tan
; tan = cot
+ tan2 = cos2
; + cot2
= sin2
tan cot =
2 Tích vơ hướng hai vectơ:
). , cos( . .
.b a b a b a
a O b O
,
3 Biểu thức tọa độ tích vơ hướng hai vectơ : Trong mp tọa độ Oxy cho : a (a1;a2);b (b1;b2)
a.b (a1b1 a2b2)
4 Độ dài vectơ: a a12 a22
2 2 b b
b
Khoảng cách điểm A (xA;yA) B (xB;yB) là: AB = (xB xA)2 (yB yA)2
Góc vectơ: cos(a b
, ) = a b b a
= 12 22 12 22 2 1
b b
a a b a b a
Góc hai đường thẳng 1và 2cóvectơ pháp tuyến n1 (a1;b1), n2=(a2;b2)là = ( n1,n2
) ta coù :
cos = 2 n n n n
= 12 22 12 22 2 1
b b
a a b a b a
6 Các hệ thức lượng tam giác:
Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c , trung tuyến AM = ma Định lý cosin :
a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA ; b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB ; c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC
cosA = bc a c b 2 2
cosB = ac b c a 2 2
cosC = ab c b a 2 2
Định lyù sin:
C c B b A a sin sin
(2)4 ) ( 2 2 2
2 b c a b c a
ma
;
) ( 2 2 2
2 a c b a c b
mb ) ( 2 2 2
2 b a c b a c
mc Các cơng thức tính diện tích tam giác:
S =
ab.sinC =
bc.sinA =
ac.sinB S = R
abc S = pr
S = p(p a)(p b)(p c) với p =
(a + b + c) PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG:
1.Phương trình tham số đường thẳng :
tu y y tu x x
với M (x0;y0) u(u1;u2) vectơ phương (VTCP) 2 Phương trình tổng quát đường thẳng :
a(x - x0) + b(y - y0) =
hay ax + by + c = (với c = -ax0- by0 a2 + b2
0)
trong M (x0;y0) n(a;b) vectơ pháp tuyến (VTPT)
Phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A(a ; 0) B(0 ; b) là: b y a x
Phương trình đường thẳng qua điểm M (x0;y0) có hệ số góc k có dạng : y - y0= k (x - x0)
3 Khoảng cách từ mội điểm M (x0;y0) đến đường thẳng : ax + by + c = tính theo cơng thức : d(M; ) = 2
0 b a c bx ax
4 Vị trí tương đối hai đường thẳng :
= a1xb1yc1= 0 vaø 2= a2xb2yc2= 0
1
caét 2 1
1 b a 2 b a
; 1 2 1 b a
= 2 b a c c
; 1 2 1 b a
= 2 b a
= c c (với a2,b2,c2khác 0)
5 Phương trình đường trịn:
(3)hay x2 + y2 – 2ax – 2by + c = (2) với c = a2 + b2 – R2
Với điều kiện a2 + b2 – c > phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = phương trình đường trịn tâm I(a ; b) bán kính R
Đường tròn (C) tâm I (a ; b) bán kính R tiếp xúc với đường thẳng : x + y + =
khi : d(I ; ) =
2
b
a
= R A- Bài tập đường thẳng mặt phẳng toạ độ : I Phương pháp :
1 Đường thẳng (d) qua điểm M(x0;y0) có vectơ pháp tuyến n =( A;B) có phương trình tổng quát
laø : A(x-x0) + B(y – y0) =
2 Đường thẳng (d) qua điểm M (x0;y0) có VTCP u =( a;b ) có
+ phương trình tham số :
¿ x=x0+a.t
y=y0+b.t
¿{
¿
(t laø tham số ) + phương trình tắc : x − x0
a = y − y0
b
II VDMH: 1)Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(3;-2) có vectơ pháp tuyến n =( 1;4 ) ? 2)Viết PT đường thẳng d qua điểm M(-3;-2) có VTCP u =( 2;3 )?
Giải : 1) Đường thẳng d qua điểm M(3;-2) có vectơ pháp tuyến
n =( 1;4) có phương trình tổng quát : 1(x-3) + 4(y +2 ) = hay x+4y +5 =
2) Đường thẳng d qua điểm M(-3;-2) có vectơ phương
u =( 2;3 ) có phương trình tham số :
¿ x=−3+2.t
y=−2+3t
¿{
¿
III.Bài tập tự luyện :
Bài : Lập PTTQ , PTTS , PTCT đường thẳng trường hợp sau : a) Đi qua điểm M(3;-1) có VTPT n = (2;4)
b) Đi qua điểm M(3;-1) vng góc với đường thẳng BC , B(-1;3) C(2;5) c) Đi qua điểm M(3;-1) có VTCP u = (4;-1)
d) Đi qua hai điểm A(-3;2) B(1;-2) e) Đi qua M (-5;-8) có hệ số góc k = -3
Bài : Cho đường thẳng Δ có phương trình : 3x – 5y -11 = Hãy lập phương trình đường thẳng d trường hợp sau :
a) Đi qua M(2;-3) song song với Δ b) Đi qua M(2;-3) vng góc với Δ
c) Đi qua M(2;-3) cắt trục hoành A , cắt trục tung điểm B cho cho OB = 2OA (A , B khác gốc O )
Bài 3: Cho đường thẳng( d ) : 3x-y+1 =
(4)b) Viết phương trình đường thẳng (d2) qua B(-3;4) vng góc với đường thẳng (d)
Baøi : Cho tam giác ABC có C(2;3) , trọng tâm G( 32;1
3 ) , phương trình đường phân giác góc A
là d : 2x+5y+7 = Hãy xác định toạ độ đỉnh A , B
Bài : Cho tam giác ABC có B(-4;-3) , hai đường cao có phương trình : 5x+3y+4=0 3x+8y+13 = Lập phương trình cạnh tam giác
Bài : Cho tam giác ABC có B(2;-7) Phương trình đường cao qua A 3x+y+11 = 0, đường trung tuyến vẽ từ C x+2y+7 = Lập phương trình cạnh tam giác
Bài7:Cho tam giác ABC có trung điểm cạnh AB M (1;1) , phương trình cạnh BC 3x+4y-12 = phương trình cạnh AC x-y-6 = Viết phương trình cạnh AB
Bài : Lập phương trình cạnh tam giác ABC biết A(1;3) phương trình hai đường trung tuyến x-2y+1=0 y-1=0
Bài 9:Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;2),cắt tia Ox A,cắt tia Oy B(A,B khác gốc O)sao cho :
a) OA + OB = ; b) Toång
OA2+
1
OB2 nhỏ
Bài 10 : Lập phương trình cạnh tam giác ABC biết B(2;-4) , phương trình đường cao qua A 3x-4y+11 = , phương trình đường phân giác qua C x+2y-7 =
Bài 11 : Cho hình vng ABCD với B(4;1) phương trình đường chéo AC x+3y-11 = Hãy tìm toạ độ đỉnh A,C,D
Bài 12 : Cho hình thoi ABCD có phương trình cạnh AC 2x+y-2=0 , D(-6;-1) cạnh BC qua điểm E (203 ;
8
3) Tìm toạ độ đỉnh cịn lại
Bài 13 : Viết phương trình đường thẳng qua điểm A (-2;3) cách điểm B(3;-5) khoảng Bài 14:Viết phương trình đường thẳng qua gốc toạ độ Ovà tạo với đường thẳng (d):x-2y+6 = góc 450.
Bài 15 : Cho hai đường thẳng (d1) : x-3y-2=0 , (d2) : 4x-y+1 = Viết phương trình đường thẳng qua M(1;1)
cắt Ox , Oy A, B cho M trung điểm đoạn AB Bài 16 : Viết phương trình đường thẳng trường hợp sau :
a) Qua điểm M(3;2) tạo với (d) : x+ √3 y +2 =
b) Qua M(3;-4) tạo với hai đường thẳng 2x+y-3 = 3x-6y+11 =0 góc c) Qua M(3;-4) tạo với trục hoành góc 450
Bài 17 :Cho tam giác ABC cân C có phương trình cạnh (AB) : 2x-3y+11 = , phương trình cạnh (AC) : x+5y-14 = Cạnh BC qua điểm M(3;-3) Viết phương trình cạnh BC
Bài 18 : Cho tam giác ABC với A(2;0) , B(4;1) , C(1;2) a) Viết phương trình cạnh AB , AC
b) Viết phương trình đường phân giác góc A tam giác ABC
c) Viết phương trình đường thẳng qua gốc toạ độ O cắt đường thẳng AB M , cắt đường thẳng AC N cho OM=−2.ON
Bài 19 : Viết phương trình đường trung trực cạnh AB , BC tam giác ABC có A(-2;-4) , B(2;-1) , C(-1;1) Từ suy toạ độ tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài 20 : Cho tam giác ABC vuông cân A (2;-1) Hai đỉnh B , C thuộc đường thẳng d : 3x-4y-12 = Viết phương trình cạnh bên tam giác cân ABC
(5)Bài 22 : Trong mp Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(1;3) , đường cao BH có phương trình : 2x -3y -10 =
a) giả sử cạnh BC có phương trình 5x-3y -34 = Xác định toạ độ đỉnh B,C
b) giả sử cạnh AB có phương trình : 5x + y – = tam giác ABC cân C Xác định toạ độ đỉnh B,C
Bài 23 : Cho tam giác ABC , cạnh BC có phương trình 7x+5y-8 = , đường cao BI CK có phương trình : 9x-3y-4= x+y – = Hãy lập phương trình cạnh AB , AC đường cao AH tam giác
Bài 24 : Hai cạnh tam giác có phương trình : 5x-2y+6 = 4x+7y -21 = Viết phương trình cạnh thứ ba tam giác biêt trực tâm trùng với gốc toạ độ O
Bài 25 :Viết phương trình cạnh tam giác ABC biết đỉnh A(1;3) hai đường trung tuyến có phương trình x-2y+1 = y – =
B – Bài tập đường tròn mặt phẳng toạ độ :
I Phương pháp : Đường trịn có tâm I(a;b) bán kính R có PT: (x-a)2 + (y-b)2 = R2
II VDMH : Viết phương trình đường trịn có tâm I(-1;3) qua điểm M( 3;4) Giải : Đường tròn cho có bán kính R = IM = √17
Từ đường trịn cho có phương trình : (x+1)2+(y-3)2 = 17.
III.Bài tập tự luyện :
Bài 1 : Viết phương trình đường trịn trường hợp sau : a) Tâm I(-2;3) , bán kính R =
b) Nhận AB làm đường kính với A(-2;6) , B(4;-2) c) Tâm I(-1;2) tiếp xúc với đường thẳng x-2y+7 = d) Qua ba điểm A(-2;4 ) , B(5;5) , C(6;-2)
Bài : Viết phương trình đường trịn trường hợp sau :
a) Đi qua hai điểm A(5;7) , B(-2;4) có tâm nằm đường thẳng 4x+3y-18 =
b) Có tâm nằm đường thẳng 4x+y+12 = tiếp xúc với đường thẳng d: 2x+y-4 = điểm M(1;2)
c) Đi qua điểm A( 4;2) tiếp xúc với hai đường thẳng x-3y-2 = x-3y +18 =
d) Tiếp xúc với đường thẳng (d1) :2x+y -3 = A(1;1) tiếp xúc với đường thẳng(d2):3x-4y-2 =
0 điểm B(-2;-2)
Bài 3 : Xác định tâm bán kính đường tròn sau :
a) x2+y2-2x-4y-3 = 0 b) 2x2+2y2-8x-4y-7 =
Bài 4 : Cho đường trịn (C ) có phương trình x2 + y2 -4x+6y +1 = 0.
a) Kiểm tra xem điểm M (-1;1) nằm bên hay bên ngồi đường trịn
b) Viết phương trình đường thẳng (d) qua M (-1;1) cắt (C ) hai điểm A , B cho AB = R √3
Bài 5 : Cho đường tròn ( C ) x2 + y2 +2x-4y+1 =
a) Viết PTTT đường tròn A(1;2)
b) Viết PT TT đường trịn , biết TT qua M(6;8)
Bài 6 : Cho đường tròn ( C ) (x-4)2 + (y + 3)2 = 25 Viết PTTT ( C ) trường hợp sau :
(6)Bài 7 : Cho đường tròn (C) : x2+y2 -4x+2y-1 = đường thẳng ( d ) : y = x
a) Chứng minh (d) cắt ( C ) hai điểm phân biệt A B b) Viết phương trình đường trịn (C’) qua A , B M (2;3) Bài 8: Viết phương trình đường trịn tiếp xúc với trục toạ độ :
a) Đi qua điểm M (1;2)
b) Có tâm nằm đường thẳng 3x+y-6 =
Bài 9 : Viết phương trình đường trịn trường hợp sau :
a) Có bán kính , tiếp xúc với trục hồnh có tâm nằm đường thẳng x+y-3 =
b) Tiếp xúc với đường thẳng(d):x-2y+3 =0tại điểm A(1;2)và có tâm nằm đường thẳng x+y-1=
Bài 10 :Cho đường tròn ( C ): x2+y2-2x+4y-4=0 điểm M (-1;-3 ).Viết phương trình đường thẳng :
a) Qua M , cắt ( C ) hai điểm A B cho M trung điểm AB
b) QuaM,cắt(C)tại hai điểm AvàB cho diện tích tam giác IAB lớn nhất,I tâm (C ) Bài 11 :Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn(C ) : (x-1)2 + (y-2)2 = , biết tiếp tuyến :
a) Tạo với hai tia Ox , Oy tam giác vuông cân
b) Tạo với hai tia Ox , Oy tam giác có diện tích Bài 12 : Trong mp Oxy cho ba điểm : A (3;1) , B(0;7) , C(5;2)
a) CMR tam giác ABC vuông tính diện tích
b) Giả sử điểm M chạy đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC CMR trọng tâm G tam giác MBC chạy đường tròn Viết phương trình đường trịn
Bài 13 : Viết phương trình đường trịn tiếp xúc với trục Ox cắt trục Oy điểm có tung độ bằng1 Tìm quỹ tích tâm đường trịn
Bài 14 : Viết phương trình đường thẳng qua gốc toạ độ cắt đường tròn (C ) : (x-1)2+(y+3)2 = 25 thành một
dây cung có độ dài
Bài 15 : Cho hai đường tròn : (C1):x2+y2-6x+5 = (C2) : x2+y2-12x-6y+44 =
a) Tìm tâm bán kính hai đường tròn cho
b) Lập phương trình tiếp tuyến chung hai đường trịn cho
c) Viết phương trình đường trịn (C3)đi qua tâm đường tròn (C1),(C2)và gốc toạ độ O
Bài 16 : Cho ba điểm A(1;2) , B(-3;1) , C(4;-2 )
a) Chứng minh tập hợp điểm M(x;y) thoả mãn MA2 + MB2=MC2 đường trịn.
b) Tìm toạ độ tâm bán kính đường trịn nói Bài 17 : Cho đường tròn ( C ) : x2+y2 -4x-2y + =
a) Tìm toạ độ tâm tính bán kính đương trịn ( C )
b) Tìm m để đương thẳng y = x + m có điểm chung với đường trịn ( C )
c) Viết phương trình tiếp tuyến với đường trịn ( C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d : x – y +2006 =
Bài 18 : Cho đường tròn ( C ) : x2 + y2 -4x+2y -20 = đường thẳng (d) : 2x + y – =
a) Tìm toạ độ giao điểm (d) ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn ( C ) giao điểm
b) Chứng minh từ điểm M ( 3; ) kẻ hai tiếp tuyến đến đường trịn Tính khoảng cách từ M đến đưòng thẳng qua hai tiếp điểm
(7)a) CMR:với m,(Cm ) ln đường trịn.Hãy xác định m để (Cm) có bkính nhỏ
b) Tìm m để (Cm ) chắn trục hồnh dây cung có độ dài √5
Chú ý: Trong có số tập nâng cao địi hỏi học sinh phải biết suy luận tốt