Đáp án môn Toan 7 thi HSG Vũ Thư TB

HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI HSG MÔN TOÁN LỚP 8 Năm học 2010 - 2011 Bài Nội dung Điểm Bài 1 : (4điểm) a. ( 2 điểm) HS tính A= 1 1 1 1 1.2 3.4 5.6 99.100 + + + + = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 99 100 − + − + − + + − = 1 1 1 1 1 1 1 1 3 5 99 2 4 6 100     + + + + − + + + +  ÷  ÷     0,5 = 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 100 2 4 6 100     + + + + − + + + +  ÷  ÷     = 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 100 2 3 50     + + + + − + + + +  ÷  ÷     0,5 = 1 1 1 1 51 52 53 100 + + + + 0,5 B = 2011.( 1 1 1 1 51 52 53 100 + + + + ) Do đó B 2001 A = là số nguyên 0,5 b. ( 2 điểm) HS chỉ ra với mọi x ta có 1 24x 0− ≥ suy ra -4 1 24x 0− ≤ Do đó C = 24 - 1 24x 24− ≤ C = 24 khi và chỉ khi 1 – 24x = 0 tức là x = 1 24 Vậy GTLN của C bằng 24 khi và chỉ khi x = 1 24 0.5 1,0 0,5 Bài 2 : (4điểm) a. (2điểm) Từ a b c 2009 2010 2011 = = suy ra a b c 2009 2010 2011 = = = a b b c c a 2009 2010 2010 2011 2011 2009 − − − = = − − − = a b b c c a 1 1 2 − − − = = − − Từ đó ta có a – b = c a 2 − − b – c = c a 2 − − Do đó (a – b)(b – c) = ( ) 2 c a 4 − suy ra 4(a – b)(b – c) = ( ) 2 c a− Ta có M = 4(a – b)(b – c) - ( ) 2 c a− = 0. Vậy M = 0 0,5 0,5 0,5 0,5 b. (2điểm) Biến đổi được xy = 3(y – x) → 3y – 3x – xy = 0 → … → (y + 3)(3 – x) = 9 Lập luận x, y nguyên dương, y + 3 là ước của 9, y + 3 > 3 → y + 3 =9 → y = 6 khi đó x = 2 x = 6; y = 2 thỏa mãn điều kiện bài toán Vậy (x; y) = (2; 6) 1,0 0,5 0,5 Bài 3 : .(3 điểm) a.(1 điểm) Tính đúng kết quả C(x) = 2x 2 + 2x – 4. 1điểm b.(2 điểm) C(x) = 0 khi và chỉ khi 2x 2 + 2x - 4 = 0 Hs tách và đưa được về 2(x – 1)(x + 2) = 0 x 1 0 x 1 x 2 0 x 2 − = =   →   + = = −   Vậy đa thức C(x) có 2 nghiệm là x = 1 và x = -2. 1,5 1,0 0,5 Bài 4 : .(2 điểm) Hs chứng minh bài toán tổng quát ( ) ( ) n 1 n n n n 1 n 1 a b a b + + + + > + với mọi a, b, n nguyên dương Thật vậy, không mất tính tổng quát ta giả sử a b≥ Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n 1 n n 1 n n 1 n 1 a b a b a b a b .a a b .a a b .a a b .b a b + + + + + + = + + > +   = + = + ≥ + = +   Vậy ( ) ( ) n 1 n n n n 1 n 1 a b a b + + + + > + Áp dụng với a = 100, b = n = 99 ta có điều phải chứng minh 1,5 0,5 Bài Nội dung Điểm Cho ∆ABC có các trung tuyến BD, CE cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia DB lấy điểm M sao cho D là trung điểm của BM. Trên tia đối của tia EC lấy điểm N sao cho E là trung điểm của CN. Chứng minh : a. A là trung điểm của đoạn thẳng MN. b. BD + CE > 3 BC 2 . c. Các đường thẳng AG, BN, CM cùng đi qua một điểm. a. A là trung điểm của đoạn thẳng MN. (2 điểm) - Chứng minh được AN = AM. 1 - Chứng minh được A, M, N thẳng hàng. 0,75 - Kết luận A là trung điểm của MN. 0,25 b. BD + CE > 3 BC 2 . (1điểm) Chứng minh được BG + CG >BC 0,5 Suy tiếp ra được 2 (BD CE) BC 3 + > => BD + CE > 3 BC 2 . 0,5 c. Các đường thẳng AG, BN, CM cùng đi qua một điểm. Gọi I là giao của BN và CM. Chứng minh được ∆ABN =∆CIB(g.c.g) từ đó chứng minh được B là trung điểm của NI. 1 Tương tự C là trung điểm của MI 0,25 Suy ra G là trọng tâm tam giác MNI. 0,25 Suy ra IG là trung tuyến của tam giác MNI mà A trung điểm của MN nêm IG đi qua A hay A, G, I thẳng hàng. 0,25 Kết luận …. 0,25 B A C G M N I D E Bài Nội dung Điểm Bài 6 : ( 2 điểm ) Cho ∆ABC nhọn, góc A bằng 30 0 , trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A vẽ tam giác đều BCD. Chứng minh AD 2 = AB 2 + AC 2 . Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C vẽ đoạn thẳng AE sao cho AE ⊥ AC và AE =AC. Chứng minh được ∆AEC cân có một góc bằng 60 0 suy ra ∆AEC đều. 1 suy ra · ACE = 60 0 từ đó chứng minh được ∆ACD = ∆ECB (c.g.c) => AD = BE 0,5 Lí luận được BE 2 = AB 2 + AE 2 rồi suy ra điều phải chứng minh. 0, 5 Trên đây chỉ là gợi ý chung và thang điểm khi chấm Học sinh có thể có nhiều cách giải khác nhau,gv chấm yêu cầu HS lập luận chạt chẽ và logic A B C D E . HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI HSG MÔN TOÁN LỚP 8 Năm học 2010 - 2011 Bài Nội dung Điểm Bài 1 : (4điểm) a. ( 2 điểm) HS tính A= 1. ước của 9, y + 3 > 3 → y + 3 =9 → y = 6 khi đó x = 2 x = 6; y = 2 thỏa mãn điều kiện bài toán Vậy (x; y) = (2; 6) 1,0 0,5 0,5 Bài 3 : .(3 điểm) a.(1 điểm) Tính đúng kết quả C(x) = 2x 2 . đa thức C(x) có 2 nghiệm là x = 1 và x = -2. 1,5 1,0 0,5 Bài 4 : .(2 điểm) Hs chứng minh bài toán tổng quát ( ) ( ) n 1 n n n n 1 n 1 a b a b + + + + > + với mọi a, b, n nguyên dương Thật