Dap an mon toan ki thi tuyen sinh DH 2005.pdf

Dap an mon toan ki thi tuyen sinh DH 2005.pdf

Đáp án Tuyển sinh môn Toán Tổ toán-PTTH Chu Văn An Đáp án tham khảo đề thi khối A môn Toán kỳ thi tuyển sinh ĐH và CĐ năm 2005 Câu I: 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị Với 41m = thì xx141y += • TXĐ: R\{0} 22244141y'xxx−=−= =⇒=−=−⇒−=⇔=−⇔=1)2(21)2(2040y'2fxfxx ±∞=+=±±→→xxyyxx141limlim00 0=⇒ x là tiệm cận đứng xyxyxx4104141limlim=⇒==−±∞→±∞→ là tiệm cận xiên Bảng biến thiên • Đồ thị: có điểm Cực đại (-2;-1); Cực tiểu (2;1) và nhận giao điểm O(0,0) của 2 tiệm cận là tâm đối xứng. • Đồ thị không cắt các trục tọa độ x -∞ -2 0 2 +∞ y’ + 0 - - 0 + -1 +∞ +∞ y -∞ -∞ 1 -2 1 2 0 -1 > ^ xx141y += x41y = x y Đáp án Tuyển sinh môn Toán Tổ toán-PTTH Chu Văn An 2/ Ta có: 2222)(11'yxxxmxxmϕ=−=−= Hàm số có cực trị ó y’=0 có 2 nghiệm phân biệt và đổi dấu qua 2 nghiệm đó ó )(xϕcó 2 nghiệm phân biệt và đổi dấu qua 2 nghiệm đó ó 00'>⇔>=∆ mmx • Giả sử x1, x2 (x1< x2) là 2 nghiệm của )(xϕ thì mxm1,1x21=−= Ta thấy )(xϕ đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x2 mx12=⇒ là hoành độ cực tiểu ⇒ tung độ cực tiểu mmfy 212== ⇒ tọa độ Cực tiểu mm2;1 * Tiệm cận xiên của (Cm) là: y=mx ó mx-y = 0 (vì m>0 và ( )01limlim ==−∞→∞→xmxyxx) • Khoảng cách từ điểm Cực tiểu đến tiệm cận là21 211212=+−⇔mmmm2112=+⇔mm mm 212=+⇔ mm 212=+⇔ (vì m>0) ( )1012=⇔=−⇔ mm (Thỏa mãn m>0) Đáp án Tuyển sinh môn Toán Tổ toán-PTTH Chu Văn An Câu 2 1. Giải bất phương trình 15 −x- 1−x >42 −x (1) TXĐ: x ≥2 (1) => 15 −x > 42 −x + 1−x ó 5x – 1 >2x - 4 + x – 1 + 2 )1)(42( −− xx ó 2x + 4 > 2 4622+− xx ó x + 2 > 4622+− xx óx2 + 4x + 4 > 2x2 - 6x + 4 ó x2 -10x < 0 ó 0 < x < 10 Kết hợp với TXĐ ta có nghiệm của bất phương trình là : 2 ≤ x <10 2. Giải phương trình cos23xcos2x – cos2x = 0 ó 2 cos23xcos2x – 2cos2x = 0 ó (1+ cos6x) cos2x – 1 – cos2x = 0 ó cos6xcos2x = 1 do x6cos ≤ 1 và x2cos ≤ 1 nên −=−===12cos16cos)2(12cos16cos)1(xxxx (1) => ==−12cos12cos32cos43xxx => cos2x =1 => 2x = 2kΠ => x = kΠ (k∈ Z) (2) => cos2x = -1 ó x = 2Π + kΠ (3) Vậy phương trình có 1 họ nghiệm là x = 2Π + k2Π (k ∈ Z) Đáp án Tuyển sinh môn Toán Tổ toán-PTTH Chu Văn An Câu 3: 1. Nhận xét hình vuông ABCD có B,D nằm trên Ox, A ∈ (d1) và C ∈(d2) thì A và C đối xứng qua Ox => A(xo,yo) thì y0 = x0 và C (x1 ,y1) thì y1 = 1-2x1 và =−=110yyxxo ó ==⇒−=−=112100001yxxxxxo Do đó −==1111yx Từ đó ta có: A (1,1); C(1,-1) => tâm hình vuông là I(1,0) và IA = IC = 1 Vậy B(x2, 0), D (x3,0) ( với x2 < x3) Do tính chất hình vuông => IA = IC = IB = ID = 1 Nên x2 =0, x3 = 2 Vậy B(0,0), D(2,0) Kết luận : A(1,1), B(0,0), C(1,-1), D(2,0) 2. a. Viết phương trình đường thẳng (d) dưới dạng tham số (d) +=+−=−=tztytx3231 Lấy I ∈ (d)=> I ( 1-t,-3+2t,3+t) Theo yêu cầu bai toán ta có d (I,(P)) =2 ó 4149)3(2)23()1(2++++−+−+− ttt = 2 ó t22 − = 6 ó 1-t = 3± ó =−=42tt Với t= -2 => I1 (3,-7,1) t = 4 => I2 ( -3,5,7) Vậy có 2 điểm I thuộc (d) sao cho khoảng cách tới (P) = 2 b. Đáp án Tuyển sinh môn Toán Tổ toán-PTTH Chu Văn An • Theo đầu bài ta có A = (d) ∩(P) thì tọa độ của A là xo của hệ phương trình: )4()3()2()1(09223231=+−++=+−=−=zyxtztytx Thế (1)(2)(3) vào (4) ta có 2 - 2t = 0 ó t = 1 vậy A(0,-1,4) • Gọi ∆ur là vecto chỉ phương của )(∆ thì ∆ur⊥ ∆ur (vecto chỉ phương của (d) và ∆ur⊥ pnr ( vecto pháp tuyến của (P)) => ∆ur=[dpunrr,]mà dur= (-1,2,1) ; pnr= (2,1,-2) => ∆ur = (5,0,5) Vecto chỉ phương của )(∆ là 51 ∆ur = (1,0,1) và phương trình tham số của )(∆ là: +=−==tzytx41 Đáp án Tuyển sinh môn Toán Tổ toán-PTTH Chu Văn An Câu IV: 1) Tính tích phân: dxxxxI∫++=2/0cos31sin2sinπ Giải: Biến đổi: sin2x + sinx = 2 sinx cosx = (2cosx + 1)sinx = xx sin31)1cos3(32++ Do đó dùng phép đổi biến u = 3 cosx + 1 thì du = -3sinx dx ⇒ sinxdx = - 31du Thay cận: x 0 2/π u 4 1 Ta được: ∫+++=2/0cos31sin31)1cos3(32πxxdxxI = - 31∫+143132uduu = 31duuu∫+−412/12/13132 = 412/12/3)2.9132.92( uu + 273492274948.274=+−+= Đáp số I = 2734 Đáp án Tuyển sinh môn Toán Tổ toán-PTTH Chu Văn An 2) Tìm số nguyên dương n sao cho: C112 +n - 2.2C212 +n + 3.22C312 +n - 4.23. C412 +n+ …+ (2n+1)2n2C1212++nn = 2005 Giải: Xét hàm số: f(x) = (1 - x)12 +n Ta có: f’(x) = - (2n+1).(1-n)n2 (1) Theo nhị thức Niutơn, ta có: f(x) = C012 +n + C112 +nx + C212 +nx2 - C312 +nx3 + … - C1212++nnx12 +n Suy ra: f’(x) = - C112 +n + C212 +n.2x - C312 +n.3x2+ … - C1212++nn(2n+1)xn2 (2) Cho x = 2, ta được: f’(2) = - [12122412331222121122).12( 2.4.2.32.2+++++++++−+−nnnnnnnCnCCCC] Theo giả thiết vế phải của đẳng thức trên bằng -2005 Vậy f’(2) = - 2005, thay vào (1) ta được: -2005 = - (2n+1).(1-2)n2 ⇔ 2n +1 = 2005 ⇒ n = 1002. Đáp số: n = 1002. Đáp án Tuyển sinh môn Toán Tổ toán-PTTH Chu Văn An Câu V * CM bổ đề: ∀a, b dương luôn có: +≤+ baba11411(*) Đẳng thức xảy ra <=> a=b c.m: (*) <=> ( )411≥++baba áp dụng BĐT Côsi 02 >≥+ abba dấu = khi a=b 0211>≥+abba dấu = khi a=b => ( )411≥++baba Đẳng thức xẩy ra <=> a=b * Do x, y, z dương nên áp dụng bổ đề (*) ta có: ( ) ( )++=+++≤+++≤+++=++ zyxzxyxzxyxzyyxzyx11216111411141411141121 => ++≤++ zyxzyx11216121 (1) Tương tự ++≤++ zyxzyx12116121 (2) ++≤++ zyxzyx21116121 (3) Cộng vế với vế (1), (2) và (3) ta được: 14.4.161444161212121==++≤++++++++ zyxzyxzyxzyx Đẳng thức xảy ra <=> =++==+=+=+41113zyxzyxxzyyx <=> x=y=z=43 . Tuyển sinh môn Toán Tổ toán-PTTH Chu Văn An Đáp án tham khảo đề thi khối A môn Toán kỳ thi tuyển sinh ĐH và CĐ năm 2005 Câu I: 1/ Khảo sát sự biến thi n. [12122412331222121122).12(....2.4.2.32.2+++++++++−+−nnnnnnnCnCCCC] Theo giả thi t vế phải của đẳng thức trên bằng -2005 Vậy f’(2) = - 2005, thay vào (1) ta được: -2005 = - (2n+1).(1-2)n2 ⇔ 2n +1 = 2005 ⇒ n = 1002.