TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA LUỸ THỪAA.. ĐẶT VẤN ĐỀ Các dạng toán liên quan đến luỹ thừa trong chương trình số học 6 có thể khai thác ở nhiều khía cạnh.. Ngoài những dạng toán như so sánh lu
Trang 1TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA LUỸ THỪA
A ĐẶT VẤN ĐỀ
Các dạng toán liên quan đến luỹ thừa trong chương trình số học 6 có thể khai thác
ở nhiều khía cạnh Ngoài những dạng toán như so sánh luỹ thừa, tính giá trị các biểu thức luỹ thừa, tìm x thoả mãn một đẳng thức luỹ thừa, chứng minh tính chia hết,… thì tìm chữ số tận cùng của luỹ thừa cũng là một trong những dạng toán hay
có thể khai thác để giúp học sinh nắm chắc, hiểu sâu hơn các công thức liên quan đến luỹ thừa, một mặt vừa luyện được kỹ năng biến đổi biểu thức hợp lý, vừa vận dụng được những kiến thức các em được học ở tiểu học biết xác định chữ số tận cùng của một tổng , một tích, vừa có thể liên hệ với việc xác định quan hệ chia hết hay chia có dư với các số đặc biệt như 5, 10, 25, 100,
Khai thác được các kỹ năng đó góp phần bồi dưỡng năng lực toán học cho học sinh, rèn luyện tư duy linh hoạt, sáng tạo
B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1 Nội dung chuyên đề
Dạng 1 :Tìm chữ số tận cùng của A n , n¹ 0
*Nhận xét:
“Nếu chữ số tận cùng của A là a, thì chữ số tận cùng của An cũng là chữ số tận cùng của an”
Từ nhận xét suy ra:
1)Nếu A có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 thì An có chữ số tận cùng tương ứng là 0,
1, 5, 6
2)Nếu A có chữ số tận cùng là 4, 9 thì A2k có chữ số tận cùng tương ứng là 6, 1 3)Nếu A có chữ số tận cùng là 2, 3, 7, 8 thì A4k có chữ số tận cùng tương ứng là 6,
1, 1, 6
*Áp dụng:
VD1: Tìm chữ số tận cùng của luỹ thừa sau:
192008; 12100;12103
Lời giải:
a) 192008 =192.1004 =(192)1004
=3611004
3611004có tận cùng là 1
192008 có tận cùng là 1
b) 12100=124.25=(124)25
Trang 2124 có tận cùng là 6
(124)25 có tận cùng là 6
Vậy 12100 có tận cùng là 6
c)12103=123 12102 có tận cùng là 8
VD2: Tìm chữ số tận cùng của luỹ thừa sau:
172007, 1921; 131003
Lời giải:
Ta sẽ tìm cách liên hệ các luỹ thừa trên với luỹ thừa dạng A2k, A4k để vận dụng các ý trong nhận xét ở trên đ ây
Thật vậy, 172007=17 172006=17 174.501 =17.(174)501
174 có tận cùng là 1
(174)501 có tận cùng là 1
17.(174)501 có tận cùng là 7
Vậy 172007có tận cùng là 7
Tương tự
1921=19 192.10 suy ra 1921 có tận cùng là 9
131003=133 134.250 suy ra 131001 có tận cùng là 7
VD3: Chứng minh rằng 3366 +7755 – 2 chia hết cho 5
Lời giải:
Ta chứng minh 3366 +7755 -2 có tận cùng là 0 sau đó vận dụng dấu hiệu chia hết cho 5
Thật vậy, 3366 có cùng chữ số tận cùng với 366, mà 366=933=9.92.16 suy ra 366 có tận cùng là 9, 7755có cùng chữ số tận cùng với 755, vì 755=73.74.13 nên 755 có tận cùng là
3 Do đó 3366, 7755 có chữ số tận cùng lần lượt là 9, 3 suy ra 3366 +7755 – 2 tận cùng
là 0 (đpcm)
Dạng 2:Tìm hai chữ số tận cùng của A n , n¹ 0
*Nhận xét:
1) Giả sử A có hai chữ số tận cùng là ab, B có hai chữ số tận cùng là cd
Khi đó A.B và ab.cdcó cùng hai chữ số tận cùng
2) “Nếu hai chữ số tận cùng của A là ab, thì hai chữ số tận cùng của An cũng là hai chữ số tận cùng của abn
” Đặc biệt các số có tận cùng bằng 01, 25, 76 nâng lên luỹ thừa nào khác 0 cũng có tận cùng lần lượt bằng 01, 25,76
*Áp dụng:
Trang 3Lời giải: Ta có 724001=74.23999 =240123999 có hai chữ số tận cùng là 01
VD2: Chứng minh rằng 724n1+434n1 - 65 chia hết cho 100
Lời giải: Ta sẽ chứng minh hai chữ số cuối cùng của 724n1 +434n1 - 65 sẽ là 00.
Thật vậy, 724n1 =72.24n =72.24n =74.k =2401k có hai chữ số tận cùng là 01
Mặt khác 434n1 =43.81n =410 3l =43 410l= 64 410l,
410l =10242l ,242l = 576l, mà 76l có hai chữ số tận cùng là 76, do đó
4 1
3
4 n = 64 410lvà 64.76 có cùng hai chữ số tận cùng suy ra 434n1có hai chữ số
tận cùng là 64
Vì vậy 724n1 +434n1 - 65 có hai chữ số tận cùng là 00
Dạng 3: Tìm ba chữ số tận cùng của A n , n¹ 0
*Nhận xét:
“Nếu 3 chữ số tận cùng của A là abc, thì ba chữ số tận cùng của An cũng là ba chữ
số tận cùng của abcn”
Đặc biệt các số có tận cùng bằng 001, 376, 625 nâng lên luỹ thừa nào khác 0 cũng
có tận cùng lần lượt bằng 001, 376, 625
*Áp dụng:
VD: Tìm 3 chữ số tận cùng của 52008
Lời giải:
52008 =54.502=(54)502
54 có tận cùng là 625
suy ra (54)502 có tận cùng là 625
Vậy 52008 có 3 chữ số tận cùng là 625
2 Giáo án thực hiện tiết 1
Hoạt động của thày Hoạt động của trò Nội dung
Treo bảng phụ
Y/c HS điền thông tin
còn thiếu trong bảng phụ
Học sinh quan sát bảng phụ, suy nghĩ, phát biểu
1 Tìm một chữ số tận cùng của luỹ thừa
Trang 4Gv nx chốt lại, bước đầu
gợi mở pp tìm chữ số tận
cùng của một luỹ thừa
Y/c HS làm VD1
Gọi một HS nêu cách
làm, GV HD trình bày
mẫu một ý
Gọi tiếp 3 HS lên bảng
trình bày các ý còn lại
Cho HS nx, chữa bài
GV chốt lại
*Khai thác: 24k+3 có tận
cùng là gì?
*Gv định hướng cách
tìm cstc của luỹ thừa
Ra VD2
Y/c HS nêu phương
pháp giải
Gv chốt lại PP
Yêu cầu HS trình bày
từng phần lời gải a)
HS1: tìm cstc của 12100
HS2: tìm cstc của 1921 và
KL
Gọi một HS trình bày
b)
Hs trình bày theo mẫu:
42k = (42)k = 16k
16k có tận cùng là 6
42k có tận cùng là 6 Các ý khác học sinh trình bày tương tự
Trả lời:
24k+3 = 24k.23 = 24k.8
24k có tận cùng là 6
24k+3có tận cùng là 6
PP:Tìm chữ số tận cùng của biểu thức cần c/m chia hết
2HS lần lượt lên hoàn thiện a)
* 12100 =124.25 = (124)25
124 có tận cùng là 6
(124)25 có tận cùng là 6 12100 có tận cùng là 6
* 1921 = 19.(192)10
192 có tận cùng là 1
(192)10 có tận cùng là 1
19.(192)10 có tận cùng là 9
1921 có tận cùng là 9
* Vậy 12100 + 1921 có tận cùng là
5 12100 + 1921 chia hết cho 5 b) HS trình bày tương tự
VD1: Tìm chữ số tận cùng của luỹ thừa sau: a) 42k ; 92k ( k¹ 0)
b) 24k; 34k; 74k;84k ( k¹ 0)
VD2: Chứng minh rằng:
a) 12100 + 1921chia hết cho 5
b) 3366 +7755 - 2 chia hết cho 10
VD3: Tìm n sao cho
9n+4n=5n+6n
Trang 5Ra VD3
Y/c HS nêu phương
pháp giải ( hoặc GV gợi
mở)
Gv dẫn dắt HS phân chia
TH và trình bày lời giải
PP: Chứng tỏ chỉ có duy nhất
n =0 thoả mãn, n¹ 0 không
thoả mãn bằng cách so sánh chữ
số tận cùng của hai vế
Nhận xét: n =0 thoả mãn Nếu n>0
5n+6n luôn tận cùng là 1 Th1: n chẵn
9n tận cùng là 1, 4n tận cùng là 6
9n+4n tận cùng là 7 mâu thuẫn
Th2: n lẻ
9n=9.9n-1 tận cùng là 9
4n=4.4n-1 tận cùng là 4
9n+4n tận cùng là 3 mâu thuẫn
Vậy chỉ có n=0 thoả mãn
*Củng cố:
Phương pháp tìm chữ số tận cùng của luỹ thừa
Vận dụng trong bài toán chứng minh chia hết cho 5, cho 10; tìm số dư trong phép chia cho 5, cho 10
*Hướng dẫn HS nghiên cứu tiếp:
Tìm hai, ba chữ số tận cùng của một luỹ thừa
Đọc thêm NC&PT 6 tr 62-63
Bài tập:
1 Chứng minh: 175+244-1321
10
2 Chứng minh:
a) 74n-1 5
b) 92n+1+1 10
3 Chứng minh: 71999-43 100
Trang 6Nội dung bảng phụ:
Chữ số tận
cùng
Đáp án bảng phụ:
Chữ số tận
C PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Trên đây là các bài toán tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa giải bằng phương pháp số học lớp 6 Vấn đề này sẽ được nghiên cứu đầy đủ hơn bằng cách dùng các hằng đẳng thức ở lớp 8 sau này
D KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Như vậy việc đi tìm một, hai, ba hay nhiều hơn nữa các chữ tận cùng của một luỹ thừa đều dựa trên một ý tưởng là tìm cách liên hệ luỹ thừa đã cho với các luỹ thừa
đã biết quy luật về chữ số tận cùng (như đã nêu trong các nhận xét trên), cần rèn luyện cho học sinh các kỹ năng phân tích luỹ thừa để thực hiện ý tưởng đó Việc tìm được các chữ số tận cùng sẽ có ứng dụng cho nhiều bài toán hay, trong phạm vi của chuyên đề tôi đã nêu ứng dụng trong một số bài toán chia hêt, đề nghị các đồng nghiệp cùng trao đổi góp ý cho tôi về chuyên đề này Tôi xin trân thành cảm ơn!
Bình Giang, ngày… , tháng …., năm……
Người viết chuyên đề: