Chuyên đề Xác suất ở bậc phổ thông (BM Toán - ĐH Phương Đông)

CHUYÊN ĐỀ XÁC SUẤT Ở BẬC PHỔ THÔNG Bộ môn Toán, ĐH Phương Đông HÀ NỘI, 2015 Cuốn "Đại số và Giải tích 11" đã cung cấp khá nhiều ví dụ và minh họa chi tiết để giới thiệu về Xác suất. Tài liệu này chúng tôi viết chỉ nhằm bổ sung hoặc làm rõ hơn các khái niệm đã được nói tới. Đồng thời tổng kết lại một số kỹ thuật đơn giản để giải bài toán Xác suất mà không đi vào các bài toán khó hoặc phức tạp. Mục lục Mục lục i 1 Biến cố ngẫu nhiên và các phép toán 1 1.1 Không gian mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Biến cố ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Phép toán trên các biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Tính chất cơ bản của Xác suất 12 2.1 Định nghĩa Xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Tính chất của xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Một số ví dụ tính xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 Một số kỹ thuật khác 19 3.1 Công thức xác suất hợp mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2 Sự độc lập của các biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 Một số bài thi Đại học gần đây 25 i CHƯƠNG 1 Biến cố ngẫu nhiên và các phép toán Chúng ta đã biết rằng các khái niệm như phép thử ngẫu nhiên, không gian mẫu, biến cố ngẫu nhiên được nói đến bằng cách mô tả trực giác mà không định nghĩa chúng chặt chẽ về mặt toán học. Chính vì thế mà có thể dẫn đến nhầm lẫn hoặc hiểu mơ hồ về các khái niệm này trong những bài toán cụ thể. Mục này chúng ta làm việc với không gian mẫu, biến cố ngẫu nhiên cùng với các phép toán hợp và giao. Chúng ta vẫn nhào nặn với các ví dụ điển hình, bình luận dài dòng và cố gắng chỉ ra những điều cảm giác như tầm thường, đôi khi nó giúp các bạn hiểu hơn về khái niệm. Cũng nên ôn lại phần mệnh đề và tập hợp trước khi học về xác suất. 1.1 Không gian mẫu Khái niệm phép thử các bạn có thể tìm đọc lại trong Đại số và Giải tích 11. Ở đây ta luôn giả sử 𝒯 là một phép thử ngẫu nhiên. KẾT QUẢ SƠ CẤP. Mỗi kết quả đơn giản nhất, không thể chia nhỏ được nữa, của 𝒯 được gọi là một kết quả sơ cấp. Như vậy, để ω là một biến cố sơ cấp của 𝒯 , có hai điều cần lưu ý. 1 1.1. Không gian mẫu ∙ Thứ nhất, ω phải là một kết quả của phép thử 𝒯 . Thứ hai, kết quả ω phải là nhỏ nhất theo nghĩa tập hợp. VÍ DỤ 1.1 Cho 𝒯 là phép thử tung một đồng xu kim loại có hai mặt, ký hiệu S là kết quả xuất hiện mặt sấp và N là kết quả xuất hiện mặt ngửa. Hiển nhiên thấy rằng hai kết quả này là nhỏ nhất, không thể phân chia được. Khi đó phép thử có hai kết quả sơ cấp là S và N. VÍ DỤ 1.2 Tung một súc sắc 6 mặt, gọi ω i là kết quả mặt có i chấm xuất hiện, i = 1, . . . , 6. Để thấy được yếu tố nhỏ nhất là quan trọng, ta xét A := kết quả số chấm xuất hiện là chẵn. So sánh ω 2 và A thì thấy rằng: ω 2 không thể phân chia được nữa, còn A có thể được phân chia nhỏ hơn, vì ta có thể xem A = {ω 2 , ω 4 , ω 6 }, tức là A không phải là nhỏ nhất theo nghĩa tập hợp. Vậy ω 2 là kết quả sơ cấp còn A không là kết quả sơ cấp của phép thử. Tuy hơi ngờ nghệch ( ) nhưng cũng cần lưu ý thêm rằng, kết quả sơ cấp của phép thử này không là kết quả sơ cấp của phép thử khác, cho dù chúng cùng là "sơ cấp". Chẳng hạn S là kết quả sơ cấp của phép thử tung một đồng xu nhưng không là kết quả của phép thử tung một súc sắc. Lưu ý, trong thực tế không phải lúc nào ta cũng xác định được biến cố sơ cấp của một phép thử. Thậm chí biết nó là kết quả rồi nhưng không biết nó có phải là sơ cấp hay không. Vì thế, để thuận tiện cho lý luận logic, chúng ta quy ước hoặc ngầm hiểu về kết quả sơ cấp của phép thử mà ta đang xét. Trong thực tế, việc khảo sát kết quả sơ cấp đôi khi được bỏ qua. KHÔNG GIAN MẪU. Tập hợp tất cả các kết quả sơ cấp của 𝒯 được gọi là không gian mẫu 1 , ta thường ký hiệu không gian mẫu là Ω. 1 Còn gọi là không gian các biến cố, không gian các sự kiện 2 1.2. Biến cố ngẫu nhiên Ω = {ω | ω là kết quả sơ cấp của 𝒯 }. Trong khái niệm này cũng có hai điều cần lưu ý: ∙ Thứ nhất, Ω là một tập hợp. Sau này ta có thể thao tác với các kết quả như thao tác trên tập hợp. ∙ Thứ hai, Ω bao gồm tất cả các kết quả sơ cấp của phép thử 𝒯 . Tức là mỗi kết quả sơ cấp là một phần tử của tập Ω này. VÍ DỤ 1.3 Bây giờ ta tung hai đồng xu, mỗi kết quả sơ cấp là một bộ gồm 2 mặt tương ứng với hai đồng xu. Ta có thể viết không gian mẫu như sau Ω = {SS, SN, NS, NN}. Rõ ràng là như vậy vì Ω thỏa mãn hai điều đã nói ở trên. Nói thêm là S /∈ Ω vì S không là kết quả sơ cấp của phép thử tung hai đồng xu, hoặc A = {SN, NS} − có hai mặt khác nhau là một kết quả nhưng không phải là sơ cấp, do đó A /∈ Ω. VÍ DỤ 1.4 Trong phép thử tung một súc sắc, gọi C là kết quả số chấm xuất hiện là chẵn, L là kết quả số chấm là lẻ. Rõ ràng tập hai phần tử là {C, L} đã chứa tất cả các kết quả của phép thử nhưng nó không là không gian mẫu. Tại sao? Bởi vì C, L không phải là sơ cấp. Lưu ý, không phải lúc nào chúng ta cũng viết được tường minh không gian mẫu. Các ví dụ mà chúng ta xét ở trong bài này đều được xem là lý tưởng, tức là không gian mẫu có một số tính chất tốt đẹp nào đó, dễ nhận biết về mặt trực giác. 1.2 Biến cố ngẫu nhiên BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN. Giả sử Ω là không gian mẫu của phép thử 𝒯 . 3 1.2. Biến cố ngẫu nhiên Mỗi tập con của Ω sẽ được gọi là một biến cố ngẫu nhiên 2 . Ta thường ký hiệu các biến cố là chữ cái Latinh hoa A, B, C, hoặc có thêm chỉ số dưới A 1 , A 2 , ; ký hiệu các kết quả sơ cấp là ω hoặc có thể thêm chỉ số dưới. Nếu có ω ∈ A thì kết quả sơ cấp ω được gọi là một kết quả thuận lợi cho A. VÍ DỤ 1.5 Trong ví dụ tung 2 đồng xu thì SS, SN, NS, NN là các kết quả sơ cấp. Ta gọi A là kết quả hai đồng xu xuất hiện đúng một mặt ngửa, B là kết quả có hai mặt xuất hiện khác nhau. Bên ngoài, về mặt ngôn từ thì A và B có vẻ khác nhau, nhưng thực chất thì chúng bằng nhau về mặt tập hợp nếu ta mô tả chúng thông qua các kết quả sơ cấp A = {SN, NS} = B. Như vậy {SN, NS} là một tập con của không gian mẫu Ω, vậy nó là biến cố theo định nghĩa ở trên. Bản chất cùng là một tập con nhưng có thể có nhiều tên gọi khác nhau. VÍ DỤ 1.6 Trong ví dụ tung 1 con xúc xắc ở trên, ta có 6 kết quả sơ cấp. Biến cố A = {ω 2 , ω 4 , ω 6 } là biến cố xúc xắc xuất hiện số chấm là chẵn. Biến cố xuất hiện mặt 2 chấm là biến cố thuận lợi cho biến cố A, ta viết ω 2 ∈ Ω. BIỂU ĐỒ VENN. Ta có thể biểu diễn các biến cố một cách trực quan bằng biểu đồ Venn như sau: không gian mẫu Ω thường được biểu diễn là một miền hình chữ nhật, biến cố A biểu diễn là một miền có hình dạng tuỳ ý, thường là hình tròn để dễ phân biệt, kết quả sơ cấp ω là một điểm nào đó trong Ω. 4 1.2. Biến cố ngẫu nhiên BIẾN CỐ RỖNG. Biến cố không bao giờ xảy ra trong một phép thử ngẫu nhiên được gọi là biến cố rỗng hoặc biến cố không, ta thường ký hiệu là ∅. Như vậy, biến cố ∅ không chứa một kết quả sơ cấp nào. VÍ DỤ 1.7 Trong phép thử tung một xúc xắc, gọi A là biến cố xuất hiện mặt 7 chấm, gọi B là biến cố xuất hiện mặt 100 chấm. Dễ thấy cả A, B đều là biến cố rỗng vì không có biến cố sơ cấp nào thuận lợi cho A, B. Ta thấy rằng, về hình thức thì dường như chúng khác nhau, nhưng về bản chất thì A, B là giống nhau, đều không chứa phần tử sơ cấp nào. Chính vì thế mà người ta dùng ∅ để chỉ tất cả những biến cố có cùng bản chất như vậy. Sau đây ta sẽ xét đến hai biến cố đặc biệt, rất có ý nghĩa trong lý thuyết xác suất. BIẾN CỐ CHẮC CHẮN. Biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử ngẫu nhiên được gọi là biến cố chắc chắn, ta thấy rằng biến cố chắc chắn chính là toàn bộ không gian mẫu Ω. VÍ DỤ 1.8 Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Biến cố sinh viên đó có tuổi dưới 200 là biến cố chắc chắn, tức là bất kì sinh viên nào cũng có tuổi dưới 200. QUAN HỆ KÉO THEO. Cho A, B là hai biến cố ngẫu nhiên. Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B nếu: A xảy ra thì B xảy ra. Tức là, nếu ω ∈ A thì ω ∈ B. Về phương diện tập hợp thì ta có thể thấy ngay rằng A là tập con của B, kí hiệu A ⊂ B. Hai biến cố A, B được gọi là bằng nhau nếu A kéo theo B và ngược lại, B kéo theo A. Khi đó ta hiểu hai tập A và B bằng nhau về mặt tập hợp, ta viết A = B. VÍ DỤ 1.9 Tung một xúc xắc, gọi A là biến cố xuất hiện mặt có chấm chẵn lớn hơn 3, gọi B là biến cố xuất hiện mặt có số chấm không là 2 và không là 5. Ta có A kéo theo B, do A = {ω 4 , ω 6 } ⊂ {ω 1 , ω 3 , ω 4 , ω 6 } = B. 5 1.3. Phép toán trên các biến cố VÍ DỤ 1.10 Trong hộp có 2 bi xanh và 2 bi đỏ, người ta lấy ngẫu nhiên 2 viên, gọi A là biến cố có đúng 1 bi đỏ, B là biến có 2 viên khác màu, rõ ràng A, B là hai biến cố bằng nhau. Câu hỏi: Kiểm tra quan hệ kéo theo có thỏa mãn các tính chất: phản xạ, bắc cầu, đối xứng hay không? Nếu không thì hãy lấy một phản ví dụ. BÀI TẬP TÍNH TOÁN BÀI TẬP 1 Xét phép thử tung 3 đồng xu, mỗi đồng xu có một mặt sấp và một mặt ngửa. i) Hãy mô tả không gian mẫu của phép thử này và tính số lượng các kết quả sơ cấp. ii) Hãy mô tả biến cố có đúng 2 mặt ngửa. iii) Hãy cho một ví dụ về biến cố rỗng và biến cố chắc chắn. BÀI TẬP 2 Phép thử tung 2 xúc xắc, mỗi xúc xắc có 6 mặt, mỗi mặt có từ 1 đến 6 chấm. i) Hãy mô tả không gian mẫu và tính số lượng các kết quả sơ cấp. ii) Hãy mô tả biến cố tổng số chấm xuất hiện là 6. iii) Hãy cho một ví dụ về biến cố rỗng và biến cố chắc chắn. BÀI TẬP 3 Trong trò chơi lô-tô loại hai chữ số, người ta mua một con số, xem đó là phép thử ngẫu nhiên. i) Hãy mô tả không gian mẫu của phép thử này và tính số lượng các kết quả sơ cấp. ii) Hãy mô tả biến cố tổng hai chữ số trên con số được mua là 6. iii) Hãy cho một ví dụ về biến cố rỗng và biến cố chắc chắn. BÀI TẬP 4 Tung 3 đồng xu, mô tả các biến cố: i) Biến cố A có đúng 0 đồng xu mặt sấp. ii) Biến cố B có đúng 1 đồng xu mặt sấp. iii) Biến cố C có đúng 2 đồng xu mặt sấp. iv) Biến cố D có đúng 3 đồng xu mặt sấp. v) Biến cố E có ít nhất một đồng xu mặt sấp. vi) Biến cố F có nhiều nhất hai đồng xu mặt sấp. BÀI TẬP 5 Tung 2 xúc xắc, mô tả các biến cố: i) Biến cố A có số chấm xuất hiện trên hai mặt là bằng nhau. ii) Biến cố B có tổng số chấm xuất hiện trên hai mặt là 7. iii) Biến cố C có hiệu số chấm xuất hiện trên hai mặt là 2. iv) Biến cố D có số chấm của xúc xắc 1 lớn hơn số chấm của xúc xắc 2. 1.3 Phép toán trên các biến cố Tương tự như các phép toán trên tập hợp, ta có các phép toán trên các biến cố ngẫu nhiên như phép hợp, phép giao và phép trừ. 6 1.3. Phép toán trên các biến cố PHÉP HỢP. Cho A, B là hai biến cố của cùng một phép thử ngẫu nhiên, biến cố hợp của A và B kí hiệu là A ∪ B, Biến cố A ∪ B xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố A, B xảy ra. ω ∈ A ∪ B khi và chỉ khi ω ∈ A hoặc ω ∈ B. Nói cách khác, hoặc là A xảy ra hoặc là A xảy ra. Về phương diện tập hợp, biến cố A ∪ B chính là hợp của A và B. VÍ DỤ 1.11 Mọi biến cố A đều là tổng của các kết quả sơ cấp thuận lợi cho A, biến cố chắc chắn Ω là tổng của tất cả các kết quả sơ cấp của phép thử đó. Chẳng hạn Ω của phép thử tung 1 đồng xu, ta có Ω = {S} ∪ {N}. VÍ DỤ 1.12 Từ một cỗ bài Tây có 52 lá. Lấy ngẫu nhiên ra một bộ 3 lá. Gọi A là biến cố bộ lấy ra có lá Át 3 . Ta có nhiều cách biểu diễn khác nhau của A. Chẳng hạn, A = A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 trong đó A i là biến cố có đúng i lá Át trong bộ 3 lá được rút ra. Hoặc cũng có thể viết dài dòng hơn bằng cách liệt kê tất cả các trường hợp có thể A = {Ace ♣ , 1  , 1 ♠ } ∪ ∪ {Ace ♣ , Ace  , Ace ♠ }. TÍNH CHẤT CỦA PHÉP HỢP. Ta thấy rằng phép hợp của hai biến cố thực chất là phép hợp của hai tập hợp, do đó phép toán này thừa kế các tính chất của phép hợp của hai tập hợp, như tính chất giao hoán hoặc tính kết hợp. Ở đây ta bổ sung thêm hai tính chất nữa. 3 ta hiểu là có ít nhất một lá Át 7 1.3. Phép toán trên các biến cố H1 Tính giao hoán, A ∪ B = B ∪ A. H2 Tính kết hợp, A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C. H3 Tính trung hòa của biến cố rỗng, A ∪ ∅ = A. H4 Tính nuốt, nếu A ⊂ B thì A ∪ B = B. Từ đây suy ra A ∪ Ω = Ω. Về mặt trực giác thì các tính chất này khá hiển nhiên. Các bạn có thể tìm chứng minh chặt chẽ qua ngôn ngữ tập hợp. Mỗi một tính chất đều có ý nghĩa thực tế riêng, ta xét ví dụ sau đây. VÍ DỤ 1.13 Lấy ngẫu nhiên ra một bộ 3 lá từ một cỗ bài Tây. Gọi A là biến cố bộ lấy ra có lá Át. Minh họa cho H3, biến cố bộ lấy ra có 4 lá Q là biến cố rỗng, do đó biến cố A ∪ ∅ = bộ lấy ra có Át hoặc có 4 lá Q = bộ lấy ra có Át = A. Minh họa cho H4, biến cố bộ lấy ra có nhiều nhất 3 lá Q là biến cố chắc chắn, do đó biến cố bộ lấy ra có Át hoặc nhiều nhất 3 lá Q chính là bộ lấy ra có nhiều nhất 3 lá Q, đó là Ω. PHÉP GIAO. Cho A, B là hai biến cố của cùng một phép thử ngẫu nhiên, biến cố giao của A và B kí hiệu là A ∩ B. Biến cố giao xảy ra khi cả hai biến cố A, B đồng thời xảy ra. ω ∈ A ∩ B khi và chỉ khi ω ∈ A và ω ∈ B. Nói cách khác A xảy ra và B xảy ra. Về phương diện tập hợp, biến cố A ∩ B chính là giao A và B. 8 [...]... thì xác suất cũng bù nhau Có thể viết lại là P( A) = 1 − P( A) Nó cho phép chúng ta tính xác suất của một biến cố thông qua xác suất biến cố đối của nó 2.3 Một số ví dụ tính xác suất Trong các bài toán tính xác suất, ngoài cách tính trực tiếp bằng định nghĩa, ta còn có thể sử dụng 3 tính chất cuối, sau đây ta xét một số ví dụ minh họa Lưu ý rằng, trong các ví dụ này thì xác suất của các biến cố đều... dụng trong việc tính xác suất 3.1 Công thức xác suất hợp mở rộng XÁC SUẤT HỢP 3 BIẾN CỐ Cho A, B, C là 3 biến cố xung khắc với nhau từng đôi một, nghĩa là A ∩ B = B ∩ C = C ∩ A = ∅ Khi đó ta có công thức tính P ( A ∪ B ∪ C ) = P ( A ) + P ( B ) + P ( C ) Đây là công thức mở rộng của công thức xác suất hợp hai biến cố xung khắc Chứng minh công thức này cũng tương tự Các bạn có thể mở rộng công thức theo... bốn chiếc phong 3 máy dệt Trong một ngày, xác suất để bì thư đã đề sẵn địa chỉ Tìm xác xuất máy thứ nhất bị sự cố là 0,05, xác suất để ít nhất có một lá thư bỏ đúng địa chỉ 24 CHƯƠNG 4 Một số bài thi Đại học gần đây Các kỹ thuật tổng quan và lưu ý khi làm một bài xác suất đã được chúng tôi giới thiệu ở trên Chương này chúng ta sẽ thực hành tính toán với một số đề thi đại học của những năm gần đây Cần... từng đôi một Và dễ dàng tính các xác suất của chúng Áp dụng công thức xác suất của hợp 2 biến cố xung khắc từng đôi một, có P( B) = P( B1 ∪ B2 ) = P( B1 ) + P( B2 ) Hơn nữa, từ giả thiết, ta có các xác suất sau P( B1 ) = 4 0 C15 C10 C0 C4 , P( B2 ) = 154 10 4 C25 C25 Do đó xác suất P( B) là P( B) = 4 0 0 4 C15 C10 C15 C10 + 4 4 C25 C25 Vậy xác suất cần tìm P( A) trong đề bài là P( A) = 1 − P( B) = 1... ngược lại xác suất của biến cố càng gần 1 thì biến cố đó càng dễ xảy ra 2.1 Định nghĩa Xác suất ĐỒNG KHẢ NĂNG Xét phép thử 𝒯 có không gian mẫu là Ω, hai kết quả sơ cấp ω và ω ′ được gọi là đồng khả năng nếu khả năng xảy ra của ω và ω ′ trong phép thử là như nhau Ở bậc phổ thông, chúng ta chỉ xét các phép thử lý tưởng, tức là không gian mẫu là hữu hạn có n phần tử, và tất cả các kết quả sơ cấp đều là đồng... đèn đỏ, xác suất gặp đèn đỏ ở ngã tư thứ nhất là 0, 6 ; ở ngã tư thứ hai là 0, 5, xác suất gặp đèn đỏ ở cả 2 ngã tư là 0, 3 Hãy tìm xác suất sinh viên này tới trường gặp đèn đỏ GIẢI Gọi A và B tương ứng là biến cố sinh viên gặp đèn đỏ ở ngã tư thứ nhất và thứ hai, khi đó A ∩ B là biến cố sinh viên gặp đèn đỏ ở cả hai ngã tư Theo đầu bài, có các xác suất: P( A) = 0, 6, P( B) = 0, 5, P( A ∩ B) = 0, 3 Ta... định nghĩa xác suất P (∅) = n (∅) 0 = = 0 n(Ω) n(Ω) Hơn nữa, cũng theo định nghĩa ta có xác suất của biến cố chắc chắn P(Ω) = n(Ω) = 1 n(Ω) Từ tính chất này cho ta thấy ý nghĩa tên gọi của biến cố không thể ∅, với xác suất bằng 0 Đồng thời Ω được gọi là chắc chắn vì nó có xác suất là 1 Tính chất 2 Nếu A ⊂ B thì P( A) ≤ P( B), hơn nữa 0 ≤ P( A) ≤ 1 với mọi biến cố A 14 2.2 Tính chất của xác suất CHỨNG... bất đẳng thức còn lại, ta chú ý rằng P(Ω) = 1 do đó với A ⊂ Ω thì P( A) ≤ P(Ω) = 1 Từ tính chất này cho ta thông tin về xác suất như sau: không thể âm và không thể vượt quá 1 Xác suất P(.) là một hàm tăng Nếu biến cố càng nở rộng ra thì xác suất càng lớn, và ngược lại, biến cố thu hẹp về ∅ thì xác suất càng gần 0 Tính chất 3 Với mọi biến cố A, B ta có công thức P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A... đây, nói rằng khi bai biến cố xung khắc thì xác suất của một tổng bằng tổng các xác suất thành phần 2 Có thể diễn giải đẳng thức trên qua ngôn từ: số phần tử trong hợp bằng tổng số phần tử ở hai tập trừ đi số phần tử trong giao Sở dĩ có dấu trừ vì nếu không thì n( A ∩ B) đã được tính hai lần, một lần ở n( A) và một lần ở n( B) 15 2.3 Một số ví dụ tính xác suất Tính chất 4 Nếu biến cố A, B là xung khắc... 50000đ và 10 vé trúng 10000đ Một rằng hai chữ số đó phân biệt Tính xác người mua ngẫu nhiên ba vé a) Tìm xác suất để người đó gọi một lần đúng số suất để người mua trúng thưởng 30000 cần gọi đồng b) Tìm xác suất để người mua BÀI TẬP 21 Một tổ có 9 nam và 3 trúng thưởng 200000 đồng nữ Chia tổ thành 3 nhóm mỗi nhóm gồm 4 người Tính xác suất để khi chia ngẫu nhiên nhóm nào cũng có nữ BÀI TẬP 24 Một người . CHUYÊN ĐỀ XÁC SUẤT Ở BẬC PHỔ THÔNG Bộ môn Toán, ĐH Phương Đông HÀ NỘI, 2015 Cuốn "Đại số và Giải tích 11" đã cung cấp khá nhiều ví dụ và minh họa chi tiết để giới thiệu về Xác suất. . thông tin về xác suất như sau: không thể âm và không thể vượt quá 1. Xác suất P(.) là một hàm tăng. Nếu biến cố càng nở rộng ra thì xác suất càng lớn, và ngược lại, biến cố thu hẹp về ∅ thì xác. nhau thì xác suất cũng bù nhau. Có thể viết lại là P(A) = 1 − P(A). Nó cho phép chúng ta tính xác suất của một biến cố thông qua xác suất biến cố đối của nó. 2.3 Một số ví dụ tính xác suất Trong