DỰNG HỆ THỐNG CÂU HỎI GỢI MỞ CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP thcs

Các em có hiểu được bài hay không phần lớn chính do sự hướng dẫn của mỗi GV, trong từng hoạt động dạy học, chúng ta cần dẫn dắt HS bằng những hệ thống câu hỏi được xây dựng một cách có h

LỜI NÓI ĐẦU

Thực hiến kế hoạch kế hoạch bồi dưỡng thường xuyên cho giáo viên theo Thông tư số 26/2012/TT-BGDĐT ngày 10/7/2012 của Bộ Giáo dục và Đào tạo

và nhằm giúp cán bộ, giáo viên giảng dạy môn Toán (THCS) củng cố kiến thức, phương pháp giảng dạy bộ môn Toán Chúng tôi biên soạn tài liệu nhằm phục

vụ, bổ trợ kiến thức cho giáo viên Nội dung tài liệu, gồm 4 chuyên đề (thời lượng 30 tiết), cụ thể như sau:

+ Xây dựng hệ thống câu hỏi gợi mở cho học sinh thông qua dạy học giải bài tập

+ Dạy học phương trình ở trường trung học cơ sở

+ Dạy học hình học ở trường trung học cơ sở

+ Lựa chọn hệ thống bài tập cho tiết luyện tập

Trong quá trình biên soạn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong sự đóng góp, bổ sung của các thầy, cô giáo và đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn!

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH

XÂY DỰNG HỆ THỐNG CÂU HỎI GỢI MỞ CHO HỌC SINH

THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP

Hồ Quyết Thắng – THCS Phan Huy Chú - Thạch Hà

A ĐẶT VẤN ĐỀ

Dạy toán là dạy các hoạt động toán học cho học sinh (HS) trong đó giải toán là hình thức chủ yếu Thông qua hoạt động giải bài tập, HS mới cớ cơ hội

để thể hiện năng lực tiếp thu bài học của mình, có cơ hội để phát triển tư duy và hình thành những kỉ năng cần thiết Tuy vậy trên thực tế không phải HS nào củng có thể hiểu bài sau mỗi tiết dạy của giáo viên (GV) Các em có hiểu được bài hay không phần lớn chính do sự hướng dẫn của mỗi GV, trong từng hoạt động dạy học, chúng ta cần dẫn dắt HS bằng những hệ thống câu hỏi được xây dựng một cách có hệ thống và phù hợp với đối tượng HS mình đang dạy Mỗi

GV khi đặt ra một câu hỏi cho HS trước hết phải nắm vững năng lực của từng

em, có như thế câu hỏi đặt ra mới phù hợp với từng HS, điều đó sẽ khích lệ các

em rất nhiều trong quá trình học tâp Trên thực tế đối tượng giảng dạy của đa số

GV chúng ta là học sinh đại trà, rất nhiều em có nhiều lỗ hổng về kiến thức, kỉ năng, điều đó đòi hỏi ở người thầy sự tâm huyết và phải có phương pháp dạy học phù hợp làm sao các em dễ hiểu dễ vận dụng Lựa chọn bài tập hợp lí cùng với hệ thống câu hỏi dẫn dắt sát đối tượng HS là một trong những giải pháp thiết thực sẽ đem lại hiệu quả cho chúng ta

B NỘI DUNG

I XÂY DỰNG HỆ THỐNG CÂU HỎI TRONG DẠY HỌC BÀI TẬP HÌNH HỌC

Cấu trúc của một bài toán hình học thường được xây dựng từ các các khái

niệm hình học Các khái niệm trong mỗi bài toán thường được sắp xếp một cách trật tự, logíc và không mâu thuẩn nhau Do vậy đi tìm lời giải cho bài toán hình học chắc hẳn ta phải thấy được tầm quan trọng của các khái niệm toán học trong từng bài toán, đó chính là việc nhận biết, phát hiện và vận dụng đúng các khái niệm Thực tế giải bài tập hình học là điểm yếu của phần lớn đa số HS, khi các

em mới bước đầu làm quen với dạng toán chứng minh thì hầu hết các em đang còn lúng túng Chính vì vậy trong quá trình xây dựng hệ thống câu hỏi dẫn dắt

HS, GV cần hết sức chú trọng đến việc giúp các em nhận biết, nắm vững từng khái niệm và vận dụng chúng trong mỗi bài toán Đó chính là hoạt động then

chốt giúp các em có thể tìm tòi lời giải các bài toán hình học, áp dụng tốt trong những giờ dạy chính khóa cho số lượng lớn học sinh đại trà Sau đây là một số

ví dụ xây dựng hệ thống câu hỏi dẫn dắt tìm tòi lời giải

Ví dụ1: Cho hình vẽ, hãy tính x, y (SGK Toán 7 tập1)

*Lời giải: HS thường trình bày lời giải theo hai cách sau:

HS1: Xét DEK có µ µ µ 0

D+ + =K E 180 hay

Dµ + 600 + 400 = 1800

Dµ = 1800 - (600 + 400) = 800

Từ đó y = 1800 - 800 = 1000

x = 1800 - 400 = 1400

HS2: Theo tính chất góc ngoài của DEK ta có: y = 600 + 400 = 1000

x + 400 = 1800  x = 1400

* Nhận xét: Ví dụ trên cho ta thấy để tính số đo y, HS1 chỉ phát hiện ra y là số

đo của góc kề bù với góc EDK, HS2 phát hiện ra y là số đo của góc ngoài của tam giác EDK nên rõ ràng lời giải của HS2 là đơn giản hơn Vậy ở đây HS1 và HS2 phát hiện số đo y trong cùng một bài toán là khác nhau Vậy, việc giúp HS phát hiện, nhận biết các khái niệm và vận dụng chúng trong từng bài tập hình học là hết sức quan trọng Chúng ta sẽ xây dựng hệ thống câu hỏi dẫn dắt HS tìm tòi lời giải cho bài tập trên

*Hệ thống câu hỏi gợi mở

GV: y có phải là số đo góc ngoài của tam giác EDK không ? Hãy tính số đo y HS: y là số đo góc ngoài của tam giác EDK nên

· · 0 0 0

y = DEK + EKD = 60 + 40 = 100 GV: Em nào có thể tính được số đo x ?

x + 40 = 180 Þ x = 140

Bây giờ ta hãy nêu hệ thống câu hỏi để hướng dẫn HS lớp 8 giải bài toán sau:

Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD, gọi E và F lần lượt là trung điểm của AD

và BC Chứng minh rằng: a) BE = DF

b) Các đường thẳng AC, BD và EF đồng quy (SGK Toán 8 tập1)

*Hệ thống câu hỏi gợi mở cho câu a)

3

O

E

F

y

x

60 40

E

D

K

GV: Thông thường, để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, ta có những phương pháp nào ?

HS: Ta xem hai đoạn thẳng đó là hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau hay là hai cạnh đối của một hình bình hành, …

GV: Vậy để có BE = DF ta cần chứng minh điều gì ?

(Đây là câu hỏi mà HS có nhiều cách trả lời, do vậy GV cần phải linh hoạt trong việc xử lí tình huống trả lời của từng em, phân tích lựa chọn từng hướng giải đơn giản và phù hợp với đối tượng HS)

HS: Cần chứng minh BEDF là hình bình hành hoặc ABE = CDF

Sau đó GV có thể chọn theo hướng chứng minh BEDF là hình bình hành và tiếp tục đặt câu hỏi dẫn dắt (hướng chứng minh tam giác ABE bằng tam giác CDF, giáo viên hướng dẫn HS sau)

GV: Có nhận xét gì về các cạnh đối DE và BF của tứ giác BEDF ?

HS: DE = BF và DE // BF

GV: Vậy từ các yếu tố trên đả kết luận tứ giác BEDF là hình bình hành chưa ? Theo dấu hiệu nào ?

HS: Từ DE = BF và DE // BF ta kết luận tứ giác BEDF là hình bình hành Theo dấu hiệu tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành

*Hệ thống câu hỏi gợi mở cho câu b).

Vì bài toán chứng minh đồng quy thường là khó đối với HS nên GV phải gợi mở từ câu hỏi:

GV: Để chứng minh 3 đường thằng đồng quy ta thường làm thế nào ?

HS: Xác định giao điểm của 2 đường rồi chứng minh đường thứ ba đi qua giao điểm đó

GV: Các đoạn thẳng AC, BD và EF đóng vai trò gì trong các hình bình hành trên ?

HS: AC và BD là hai đường chéo của hình bình hành ABCD

BD và EF là hai đường chéo của hình bình hành BEDF

GV: Gọi O là giao điểm của AC và BD Hãy chứng minh O củng thuộc EF HS: Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của AC và BD

Lại có BEDF là hình bình hành nên EF củng đi qua trung điểm của BD suy ra

AC, BD, EF đồng quy tại O

* Lời giải: a) Vì ABCD là hình bình hành nên ta có AD = BC và AD//BC hay BF//DE Lại có E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC nên DE = BF

Vậy tứ giác BEDF là hình bình hành  BE = DF

b) Gọi O là giao điểm của AC và BD, do ABCD là hình bình hành suy ra O là

trung điểm của BD và AC Lại có tứ giác BEDF là hình bình hành nên đường

chéo EF cũng phải cắt BD tại trung điểm O của BD Suy ra AC, BD và EF đồng quy tại O

* Nhận xét: Trong bài toán trên để chứng tỏ BE = DF ta hướng dẫn HS theo

hai cách, thông thường là sử dụng tam giác bằng nhau, mục đích là thông qua việc chứng minh tam giác ABE và CDF bằng nhau HS được vận dụng các tính chất của hình bình hành, việc chứng tỏ tứ giác BEDF là hình bình hành để suy

ra BE = DF nhằm cung cấp thêm cho các em có thêm một công cụ mới đơn giản

để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

Đối với HS đại trà thì việc tìm ra lời giải cho câu b) không phải là dễ, nếu

như các em chưa có thói quen nhận biết, phát hiện các đoạn thẳng AC, BD và

EF chính là các đường chéo của hình bình hành ABCD và BEDF Đó chính là một trong những thói quen và kỉ năng hết sức quan trọng mà GV cần hình thành cho HS thông qua giải mỗi bài tập

Sau khi giải xong bài toán này thì GV có thể đưa ra nhận xét: “ Hai bình hành khác nhau có chung một đường chéo thì các đường chéo của hai hình bình hành đó đồng quy ”

Ví dụ 3: Cho  ABC (A > 900, AB < AC) đường cao AH, gọi M, N, P lần lượt

là trung điểm của AB, AC, BC Chứng minh MNPH là hình thang cân

*Hệ thống câu hỏi gợi mở

GV: Để chứng minh một tứ giác là hình thang ta

phải chứng minh điều gì? Để chứng minh một tứ

giác là hình thang cân ta phải chứng minh điều gì ?

HS: Tứ giác có hai cạnh đối song song là hình

thang, hình thang có hai góc kề một cạnh đáy bằng

nhau hoặc có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân

GV: Tứ giác MNPH có hai cạnh đối nào song song ? Vì sao ?

(Nếu HS vẫn chưa trả lời được thì GV tiếp tục gợi mở: Đoạn thẳng MN có vai trò gì trong tam giác ABC ?)

HS: MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN//BC Nện MNPH là hình thang

GV: Có nhận xét gì về các đoạn thẳng MP, NH trong các tam giác ABC và AHC ? (GV có thể chia câu hỏi cho 2 HS)

N

H

M

P B

A

C

HS: MP là đường trung bình của ABC nên MP //AC, MP =21 AC

NH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC của tam giác vuông AHC nên NH =

2

1

AC

GV: Từ các mối quan hệ vừa nêu ở trên ta có gì ?

HS: MN // BC; HN = MP = 21 AC Nên MNPH là hình thang cân

*Lời giải: Ta có MN là đường trung bình của ABC nên MN // BC Þ MNPH

là hình thang

Vì MP là đường trung bình của ABC nên MP = 21 AC

HN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC của tam giác vuông AHC nên HN =

2

1

AC Vậy HN = MP hình thang MNPH là hình thang cân

*Nhận xét: Thông qua việc nhận biết vai trò của các đoạn thẳng MN, MP, NH

trong bài toán Một lần nữa HS được nhắc lại các kiến thức cơ bản, khái niệm

về đường trung bình trong tam giác và tính chất về đường trung bình trong tam giác, tính chất về đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của một tam giác vuông Nếu quá trình đó được lặp lại sau mỗi bài toán thì HS vừa rèn luyện được tư duy vừa có cơ hội ôn tập lại các kiến thức đã được học

Ví dụ 4: Hãy nêu hệ thống câu hỏi để hướng dẫn HS lớp 8 giải bài toán sau:

Cho hai điểm A, B thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d Gọi C là điểm đối xứng với A qua d Gọi D là giao điểm của đường thẳng d và đoạn thẳng BC Gọi E là điểm bất kì của đường thẳng d (E khác D) Chứng minh rằng AD + DB < AE + EB

(SGK Toán 8 tập 1)

*Hệ thống câu hỏigợi mở:

GV: Hãy chỉ ra các cặp đoạn thẳng bằng nhau

trên hình vẽ ? Vì sao ?

HS: Ta có A đối xứng với C qua d, D đối xứng

với D qua d nên AD = CD;

A đối xứng với C qua d, E đối xứng với E qua

d nên AE = CE

GV: So sánh AD + DB với BC; AE + EB với BC

HS: Ta có AD + DB = BC; AE + EB = CE + EB > BC

D

C

A

B

E

A 1

C 1

B 1 A

GV: Từ đó hãy so sánh AD + DB với AE + EB

HS: Suy ra AD + DB > AE + EB

*Lời giải: Vì A đối xứng với C qua d, D thuộc d nên AD đối xứng với CD qua

d Þ AD = CD, tương tự ta có AE = CE

Nên AD + DB = BD + CD = BC (1); AE + EB = CE + EB

Vì B, E, C không thẳng hàng nên CE + BE > BC Suy ra AE + BE > BC (2)

Từ (1) và (2) ta có AD + DB < AE + BE

*Nhận xét: Đối với mỗi bài tập sẽ có nhiều lời giải khác nhau, việc chọn lời

giải phù hợp với đối tượng HS đang dạy và nhằm khắc sâu kiến thức cơ bản là hết sức quan trọng Qua ví dụ trên ta thấy, để có AD = CD; AE = CE ta đã sử

dụng tính chất “ nếu hai đoạn thẳng đối xứng với nhau qua đường thẳng d thì chúng bằng nhau” sử dụng tính chất này sẽ phù hợp với đối tượng HS lớp 8 và

khắc sâu kiến thức trọng tâm về đối xứng trục, GV không nên hướng dẫn HS sử dụng tính chất về đường trung trực của đoạn thẳng để trình bày lời giải

Bây giờ ta sẽ hướng dẫn HS giải bài tập nâng cao hơn một tí qua ví dụ sau:

Ví dụ 5: Cho  ABC nhọn Các đường cao AA1, BB1, CC1 cắt nhau tại H

Chứng minh: 1 1 1

1

AA + BB + CC =

(SBT.Toán 8 tập1)

* Hệ thống câu hỏi gợi mở:

GV: Có nhận xét gì về các đoạn thẳng HA1,

AA1 và tỉ số 1

1

HA

AA ? HS: HA1, AA1 là các đường cao của HBC và ABC

1

1

HA

AA là tỉ số đường cao của hai tam giác HBC và tam giác ABC

Giáo viên cần trang bị cho HS định lí "Nếu hai tam giác có chung cạnh đáy thì

tỉ số hai đường cao tương ứng bằng tỉ số diện tích của hai tam giác đó".

GV: Tỉ số 1

1

HA

AA bằng tỉ số diện tích của hai tam giác nào ?

HS: 1 HBC

AA = S Tương tự ta có 1 HAC

BB = S , 1 HAB

CC = S

*Lời giải: Vì 1

1

HA

AA là tỉ số hai đường cao tương ứng của hai tam giác HBC và

ABC có chung cạnh đáy BC nên 1 HBC

AA = S

Tương tự 1 HAC

BB = S , 1 HAB

CC = S

Từ đó: 1

1

HA

AA + 1

1

HB

BB + 1

1

HC

CC = HBC HAC HAB ABC

1

*Nhận xét: Thông thường sau khi tiếp cận đề bài yêu cầu chứng minh

1

AA + BB + CC = thì HS có suy nghĩ là sẽ biến đổi 1

1

HA

AA + 1

1

HB

BB + 1

1

HC CC bằng cách quy đồng mẫu số nên dẫn đến sai lầm (kỉ năng này thường ít khi sử dụng trong biến đổi chứng minh các đẳng thức hình học) Then chốt là ở chổ

phát hiện được 1

1

HA

AA , 1

1

HB

BB , 1

1

HC

CC chính là tỉ số các đường cao tương ứng của hai tam giác có chung cạnh đáy để qua đó đưa các tỉ số trên về bằng tỉ số của hai tam giác tương ứng thì bài toán mới có lời giải

Ví dụ 6: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn P, Q, R theo thứ tự là

điểm chính giữa của các cung bị chắn BC, CA, AB bởi các góc A, B, C

a) Chứng minh AP ^ QR

b) AP cắt CR tại I Chứng minh tam giác CPI là tam giác cân

(SGK Toán 9 Tập 2)

*Hệ thống câu hỏi gợi mở cho câu a)

GV: Để chứng minh AP vuông góc với QR ta có thể

đưa về chứng minh góc nào vuông ?

HS: Cần chứng minh góc PKR vuông

GV: Góc PKR liên hệ đến đường tròn như thế nào ?

HS: Góc PKR là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn

và được tính theo công thức

PKR sñAQ sñPR sñAQ sñRB sñBP    

sñAC sñAB sñBC   3600 900

K

I A

B

C P

Q R

*Hệ thống câu hỏi gợi mở cho câu b)

GV: Thông thường để chứng tỏ một tam giác là tam giác cân ta cần chứng tỏ điều gì ? Ở bài toán này để chứng tỏ tam giác IPC cân ta cần chứng tỏ điều gì ? HS: Cần chứng minh góc PIC và góc PCI bằng nhau

GV: Các góc PIC và PCI liên quan tới đường tròn như thế nào ? Được tính như thế nào ?

HS: Góc PIC là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn nên:

PIC sñAR sñPC 

2



 (1)

Góc PCI là góc nội tiếp đường tròn nên: PCI sñBP sñBR 

2



 (2) Theo giả thiết ta có: AR» = RB; CP¼ » = BP;» (3)

Từ (1) (2) (3) suy ra: PIC· = ·PCI

*Lời giải : a) Gọi K là giao điểm của AP và RQ Góc PKR là góc có đỉnh ở

bên trong đường tròn nên:

 sñAQ sñPR sñAQ sñRB sñBP    

PKR

sñAC sñAB sñBC   3600 900

Hay AP^QR

b) Góc PIC là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn nên:

PIC sñAR sñPC 

2



 (1)

Góc PCI là góc nội tiếp đường tròn nên: PCI sñBP sñBR 

2



 (2) Theo giả thiết ta có: AR» = RB; CP¼ » = BP;» (3)

Từ (1) (2) (3) suy ra: PIC· = ·PCI hay tam giác PIC cân

Ví dụ 7: Trên một đường tròn, lấy liên tiếp ba cung AC, CD, DB sao cho

sñAC sñCD sñDB 60    Hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại E Hai tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau tại T Chứng minh rằng:

a) AEB· =BTC·

b) CD là phân giác của góc BTC

(SGK Toán 9 Tập 2)

* Hệ thống câu hỏi cho câu a)

GV: Các góc AEB và BTC liên hệ với đường tròn

như thế nào ? Hãy tính số đo các góc ấy

(GV có thể chia câu hỏi ra cho 2 HS)

HS: Góc AEB là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn

nên

AEB sñAB sñCD 180  0 600 600

HS: Góc BTC là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn nên

BTC sñBAC sñBDC 240 120  0 0 600

* Hệ thống câu hỏi cho câu b)

GV: Thông thường để chứng tỏ CD là phân giác của góc BTC ta làm như thế nào ?

HS: Ta chứng minh TCD BCD

GV: Các góc TCD và BCD liên hệ với đường tròn như thế nào ? Hãy tính số đo các góc ấy.( GV có thể chia câu hỏi ra cho 2 HS )

HS: Góc TCD là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung nên

TCD 1sñCD 30 0

2

HS: Góc TBD là góc nội tiếp nên BCD 1sñBD 30 0

2

Suy ra TCD BCD 

*Lời giải: a) Góc AEB là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn nên

AEB sñAB sñCD 180  0 600 600

Góc BTC là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn nên

BTC sñBAC sñBDC 240 120  0 0 600

Suy ra AEB  BTC

b) Góc TCD là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung nên

E

T

A

B