DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH Ở TRƯỜNG THCS

DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH Ở TRƯỜNG THCS Bùi Hải Bình – THCS Lê Văn Thiêm – Thành phố Hà Tĩnh A. ĐẶT VẤN ĐỀ Học sinh THCS tiếp xúc với lý thuyết phương trình bắt đầu ở lớp 8. Trước đó ở cấp tiểu học các em được tiếp cận với bài toán giải phương trình từ những bài toán đơn giản lớp 1; lớp 2 là điền số vào ô trống cho đến những bài toán tìm x ở lớp 6, lớp 7. Cuối lớp 7 có lý thuyết nghiệm của đa thức. Đến lớp 8 mới đưa ra khái niệm phương trình, phương trình bậc nhất 1 ẩn và cách giải, phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình tích, phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Đến lớp 9 học sinh được học khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn, phương trình bậc hai một ẩn và cách giải, công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai, hệ thức Viét và ứng dụng, phương trình trùng phương, phương trình quy về phương trình bậc hai ở mức độ đơn giản. Đặc biệt là làm quen với việc giải phương trình vô tỷ (lớp 9) và đưa ra một số phương pháp giải các dạng phương trình vô tỷ trong Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9. Lên lớp 10 học sinh được bổ sung thêm và hoàn chỉnh kiến thức về phương trình. Về vấn đề này, nói chung không khó để mỗi giáo viên THCS nắm bắt và hệ thống kiến thức khi giảng dạy phần phương trình. Tuy vậy khi vận dụng vào bài tập học sinh thường mắc một số sai lầm trong quá trình giải, dẫn đến thiếu nghiệm, thừa nghiệm… Vì vậy, trong quá trình giảng dạy, giáo viên cần chú ý để hướng dẫn học sinh khắc phục những sai sót thường gặp. B. NỘI DUNG I. KHÁI NIỆM VỀ PHƯƠNG TRÌNH - PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN Kiến thức: 1. Phương trình một ẩn: Một phương trình với ẩn x có dạng A(x) = B(x), trong đó vế trái A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x. a) Nghiệm của phương trình. Thông qua hoạt động: Khi x = 6, tính giá trị mỗi vế của phương trình: 2x + 5 = 3(x – 1) + 2 Ta thấy hai vế của phương trình nhận cùng 1 giá trị khi x = 6. Ta nói rằng số 6 thoả mãn (hay nghiệm đúng) phương trình đã cho và gọi 6 (hay x = 6) là một nghiệm của phương trình đó. b) Số nghiệm của phương trình: 1 - Hệ thức x = m (với m là một số nào đó) cũng là một phương trình. Phương trình này chỉ rõ rằng m là nghiệm duy nhất của nó. - Một phương trình có thể có một nghiệm, hai nghiệm, ba nghiệm,…, nhưng cũng có thể không có nghiệm nào hoặc có vô số nghiệm. Phương trình không có nghiệm nào được gọi là phương trình vô nghiệm. c) Tập nghiệm: Tập hợp tất cả các nghiệm của một phương trình được gọi là tập nghiệm của phương trình đó. d) Giải phương trình: Giải một phương trình là bài toán yêu cầu ta phải tìm tất cả các nghiệm (hay tìm tập nghiệm) của phương trình đó. e) Phương trình tương đương: Hai phương trình có cùng một tập nghiệm là hai phương trình tương đương (hai phương trình vô nghiệm cũng được gọi là tương đương vì chúng có tập nghiệm là tập rỗng). g) Hai quy tắc biến đổi phương trình: Quy tắc chuyển vế: Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó. Quy tắc nhân với một số: Trong một phương trình, ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0. Ta thừa nhận rằng: Từ một phương trình, dùng quy tắc chuyển vế hay quy tắc nhân, ta luôn nhận được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho. 2. Phương trình bậc nhất một ẩn: Phương trình dạng ax + b = 0, với a và b là hai số đã cho và a ≠ 0, được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn. Cách giải: Sử dụng hai quy tắc biến đổi phương trình. Tổng quát, phương trình ax + b = 0 (với a ≠ 0) được giải như sau: ax + b = 0 ⇔ ax = – b ⇔ x = a b − . Vậy phương trình bậc nhất ax + b = 0 (với a ≠ 0) luôn có một nghiệm duy nhất x = a b − . 3. Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0: Vẫn chỉ dùng hai quy tắc đã biết. Ta chỉ xét các phương trình mà hai vế của chúng là hai biểu thức hữu tỉ của ẩn, không chứa ẩn ở mẫu và có thể đưa về dạng ax + b = 0 hay ax = – b. Cách thực hiện ở đây là bỏ dấu ngoặc hay quy đồng mẫu, trong một vài trường hợp ta còn có những cách biến đổi khác đơn giản hơn, mục đích là đưa về dạng ax + b = 0 hay ax = – b. 2 Quá trình giải có thể dẫn đến trường hợp đặc biệt là hệ số của ẩn bằng 0. Khi đó phương trình có thể vô nghiệm hoặc nghiệm đúng với mọi x. Khi học khái niệm nghiệm của phương trình học sinh thường nhầm: VD1. Chứng tỏ rằng phương trình: 2x = 2 có nghiệm x = 1 Học sinh thường giải luôn phương trình: 2x = 2 x = 1 Rồi kết luận x = 1 là nghiệm phương trình Trong khi đó bài toán chỉ yêu cầu thay x = 1 vào mỗi vế được: VT = 2.1 = 2 = VP (đpcm). Hoặc khi giải phương trình học sinh thường có sai lầm sau: VD2. Giải phương trình: a) 2(x – 1) + 3 = 2x + 1 ⇔ 2x - 2 +3 = 2x + 1 ⇔ 2x + 1= 2x + 1 ⇔ 0 = 0 GV hướng dẫn học sinh: đưa về phương trình dạng: 0.x = 0, bất kỳ số thực x nào cũng nghiệm đúng phương trình hay phương trình có vô số nghiệm. b) 2(x – 1) + 3 = 2x ⇔ 2x – 2 + 3 = 2x ⇔ 2x + 1 = 2x ⇔ 0.x = -1, phương trình vô nghiệm Đối với học sinh khá giỏi cần nâng cao kiến thức. 4. Phương trình tham số. VD3. Giải và biện luận phương trình: (a 2 – 1)x = a(a – 1) Giải : + Nếu a ≠ ± 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 a a + + Nếu a = 1 thì ta có: 0.x = 0 phương trình có vô số nghiệm Nếu a = -1 thì ta có: 0.x = 2 phương trình vô nghiệm VD4. Giải phương trình a(ax + 1) = x (a + 2) + 2 (a là tham số) Giải: Phương trình xác định với mọi x. Biến đổi phương trình đã cho thành a 2 x - ax - 2x = 2 - a ⇔ (a 2 - a - 2) x = 2 - a ⇔ (a + 1)(a - 2) x = - (a - 2) (1) Kí hiệu S là tập hợp nghiệm của phương trình đã cho, ta có: 3 Nếu a ≠ - 1; a ≠ 2 thì S =       + − 1 1 a Nếu a = - 1 thì (1) có dạng: 0.x = 3 vô nghiệm, S = φ Nếu a = 2 thì (1) có dạng 0.x = 0, phương trình nghiệm đúng với mọi x. VD5. Giải phương trình 22 2 ab ab ba bx ba ax − = − − + + − (a, b là tham số) Giải: Điều kiện để phương trình có nghĩa: a ≠ ± b Phương trình xác định với mọi x, Biến đổi phương trình ta có: (x - a)(a - b) + (x - b)(a+b) = - 2ab ⇔ ax - bx - a 2 + ab + ax + bx - ab - b 2 = - 2ab ⇔ 2ax = a 2 + b 2 - 2ab ⇔ 2ax = (a - b) 2 (1) Nếu a ≠ 0 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = ( ) a ba 2 2 − Nếu a = 0 thì phương trình (1) có dạng 0.x = b 2 do a ≠ b nên b ≠ 0, phương trình vô nghiệm. Kết luận: Nếu a ≠ 0, a ≠ ± b thì S = ( ) 2 2 a b a   −         , còn lại S = φ Bài tập. 1. Không giải phương trình xét xem các cặp phương trình sau có tương đương không? a. x - 1 = 0 và 2x = 2 b. 3x + 2 = 2x - 1 và 3x + 4 = 2x +1 c. 1 - 4x = 2x + 4 1 và 4 - 16x = 8x + 1 2. Hãy chỉ ra các phương trình bậc nhất trong các phương trình sau: a. 2 + x = 0 c. 3 - t = 0 f. 2 + y = y - 1 b. x + x 2 = 0 d. 3z = 0 e. 0.x - 1 = 0 3. Giải các phương trình : a. 4x - 12 = 0 c. 2x + 3x + 20 = 0 b. 0,5 - x = 0 d. x - 3 = 5 - x 4. Với giá trị nào của m thì cặp các phương trình sau tương đương: a. mx + 3 = 2x và (x - 1) (x + 1) - x (x - 2x) = 3 4 b. 5x + m = 4x + (1 - m) và 5 22 −x = 3x 5. Tìm giá trị của m (m ≠ 3) để hai phương trình tương đương: (m + 1) x - 8 = 2x + m và mx - 3x = 2 6. Giải các phương trình: a. 5x - 1 = 4x + 2 c. 2(3 - u) - 3 = 5(1 + u) b. 6 - (x - 3) = 4 (3 - 2x) d. 0,1 - 2 (0,5t - 0,1) = 2 (t - 2,5) - 0,7 7. Giải các phương trình: a. 2 35 3 25 xx − = − c. 5 16 2 6 17 x x − =+ − b. 9 86 1 12 310 xx + += + d. 4(0,5 - 1,5x) = 3 65 −x 8. Giải các phương trình : a. (3x - 1) - (2 - 3x) 2 = 5x + 2 c. 2 3 x + 12 = 4x - 5 3 b. x 2 - 4x + 3 - (x + 1) 2 = 4 (x - 2) d. 3 x - 1 = x - 3 9. Giải phương trình : a. a 2 x - ab = b 2 (x - 1) với a, b là tham số b. 2 4 22 1 a ax a ax a ax − − + − − + + −+ = 0 (a là hằng số) c. cba x c xcba b xcba a xcba ++ −= −++ + −++ + −++ 9 6 323232 (a, b, c là hằng số) 10. Giải phương trình : a. 29 21 27 23 25 25 23 27 21 29 xxxxx − + − + − + − + − = -5 b. 1694 297 1696 295 1698 293 1700 291 − + − + − + − xxxx = 4 II. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH: Kiến thức: 1. Phương trình tích: +) f(x) . g(x) = 0 (1) ( ) 0 ( ) 0 f x g x =  ⇔  =  +) Muốn giải phương trình (1): Ta giải 2 phương trình f(x) = 0 và g(x) = 0 rồi lấy tất cả các nghiệm của chúng. 2. Phương trình đưa về phương trình tích: - Phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi đưa về phương trình tích. - Giải phương trình tích. VD6. Giải phương trình: x = x 2 5 Học sinh thường mắc sai lầm: x = x 2 ⇒ x =1 Và như vậy làm mất nghiệm x = 0 của phương trình Vì sao? Vì học sinh chia 2 vế cho x và không cần biết x có khác 0 không. Lời giải: x = x 2 ⇔ x 2 – x = 0 ⇔ x(x – 1) = 0 ⇔ 0 0 1 0 1 x x x x = =   ⇔   − = =   Vậy phương trình có 2 nghiệm là 0 và 1 VD7. Giải phương trình: x 2 + 3x – 4 = 0 x Є R nhưng học sinh thường nhầm lẫn x Є Z (quen với lớp 7) nên học sinh thường giải như sau : x 2 + 3x – 4 = 0 ⇒ x( x + 3) = 4 ⇒ x = 1 (TM) vì 1( 1 + 3) = 4 x = - 4 (TM) vì - 4( - 4 + 3 ) = 4 KL x =1, x = - 4 là nghiệm vẫn đúng đáp án. Lời giải: x 2 + 3x – 4 = 0 ⇔ x 2 + 4x – x – 4 = 0 ⇔ x( x + 4) – ( x + 4) = 0 ⇔ (x + 4)( x – 1) = 0 ⇔ x 4 0 4 x –1 0 1 x x + = =−   ⇔   = =   Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 1 và x = - 4 3. Phương trình đưa về dạng: +) A 2 = B 2 ⇔ A = ± B +) A 2 + B 2 = 0 ⇔ A = B = 0 (Vì A 2 > 0, B 2 > 0) VD8. Giải phương trình. 4x 2 - 9 = 0 ⇔ 4x 2 = 9 ⇔ x 2 = 4 9 ⇔ x = 2 3 ± Vậy phương trình có hai nghiệm: x = 2 3 ± Học sinh thường dùng HĐT: A 2 – B 2 = (A - B) (A + B), ít dùng cách trên. VD9. Giải phương trình: x 2 - 2x - 1 = 0 ⇔ (x 2 - 2x + 1) - 2 = 0 ⇔ (x - 1) 2 = 2 x 1 2 x 1 2  − =  − = −   ⇔ 1 2 1 2 x x  = +  = −   Vậy phương trình có hai nghiệm: x = 21 ± 6 VD10. Giải phương trình x 2 + 2 1 x + y 2 + 2 1 y = 4 ⇔ x 2 + 2 1 x - 2 + y 2 + 2 1 y - 2 = 0 ⇔ 2 2 11         −+       − y y x x = 0 ⇔ 2 2 1 0 1 0 x x y y    − =   ÷        − =  ÷     ⇔ x = y = ± 1 (vì 2 1       − x x > 0; 2 1         − y y > 0) Vậy nghiệm của phương trình là: (1; 1); (-1; - 1); (-1; 1); (1; -1) Học sinh thường chỉ kết luận được hai nghiệm Bài tập: 1. Giải các phương trình sau: a. (5x - 1) (2x + 3) = 0 c. (2,1x - 6,3) (0,2x + 1) = 0 b. (3x + 6) (x 2 + 1) = 0 d. (2x + 5) (x - 3) (4x - 1) = 0 2. Bằng cách phân tích vế trái thành nhân tử, giải các phương trình: a. 2x (x - 2) + 5 (x - 2) = 0 c. (2x - 3) 2 - (x + 2) 2 = 0 b. (x 2 - 4) - (x - 2) (3 - 2x) = 0 d. (2x + 5) (x - 3) (4x - 1) = 0 3. Giải các phương trình: a. (x + 2) (2x - 3) = (x + 2) (3x - 4) c. (x + 1) (x 2 - 2x + 3) = x 3 + 1 b. (3x + 9) 2 = 4(x +3) d. (6x + 3) 2 = (x - 4) 2 . 4.Giải phương trình: a. (3x + 1) 2 = (x + 1) c. x 2 - 9 = (3 - x) (2x + 1) b. 4(x + 3) 2 = (2x + 6) 2 d. (6x + 3) 2 = (x - 4) 2 5. Tìm số c và nghiệm thứ 2 của các phương trình: a. x 2 - 5x + c = 0, nếu phương trình có một nghiệm x = 5 b. x 2 + cx - 15 = 0, nếu phương trình có một nghiệm x = 3. 6. Xác định số hạng tự do m của phương trình: 6x 3 - 7x 2 - 16x + m = 0 Nếu phương trình có một nghiệm bằng 2. Tìm các nghiệm còn lại. 7. Cho 2; 3 là hai nghiệm của phương trình 2x 3 + mx 2 - 13x + n = 0 (1) a. Xác định m và n. b. Tìm nghiệm thứ 3 của phương trình (1). 7 8. Giải phương trình a. x 3 - 3x + 2 = 0 c. x 3 - 7x = 6 b. x 3 + x 2 - 2 = 0 d. x 4 + x 3 + 6x 2 = - 5(x + 2) 9.Giải phương trình a. (x 2 - 5x) 2 + 10 (x 2 - 5x) + 24 = 0 b. (x 2 + x + 1) (x 2 + x + 2) = 12 c. x (x + 1) (x - 1) (x + 2) = 24 10. Giải phương trình: x 2 + bx + c = 0, với b, c là số hữu tỉ và (1 - 2 ) là một nghiệm của phương trình. III. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU. Kiến thức: - Vì là phương trình chứa ẩn ở mẫu nên: + Phương trình có nghĩa khi các mẫu thức khác 0. + Làm mất mẫu thức bằng cách quy đồng mãu thức rồi khử mẫu - Cách giải: Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình. Bước 2. Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu. Bước 3. Giải phương trình vừa nhận được. Bước 4. (Kết luận). Trong các giá trị của ẩn vừa tìm được ở bước 3, các giá trị thoả mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho. VD11. Giải phương trình: x + 1 1 −x = 1 1 −x +1 (1) Học sinh thường làm (1) ⇔ x =1 (ước lược 1 1 −x ở hai vế) Vậy phương trình có nghiệm x = 1 Trong khi đó phương trình vô nghiệm vì x ≠ 1 VD12. Giải phương trình. )4)(2( 2 4 3 2 1 xxx x x x −− = − + + − − (1) Học sinh thường mắc sai lầm không đặt điều kiện nên kết luận phương trình có hai nghiệm trong khi đó lời giải đúng phải là: Lời giải: ĐKXĐ của phương trình là x ≠ 2; x ≠ 4 Biến đổi phương trình (1) ⇒ (x - 1) (x - 4) + (x + 3) (x - 2) = - 2 Thu gọn phương trình, ta được: 2x (x - 2) = 0 (2) 8 Nghiệm của (2) là x 1 = 0; x 2 = 2 x 1 = 0 thuộc ĐKXĐ; x 2 = 2 không thuộc ĐKXĐ Kết luận: S = { } 0 Đối với học sinh khá giỏi: Ví dụ 13: Giải phương trình: ax x x ax − − + + + 3 3 = 2 (a là hằng số) Giải: ĐKXĐ: x ≠ -3; x ≠ a (1) Quy đồng rồi khử mẫu, ta được: (x + ) (x - a) + (x - 3) (x + 3) = 2 (x + 3) (x - a) ⇔ 2(a - 3) x = (a - 3) 2 (2) a. Nếu a ≠ 3 thì x = 2 3−a , giá trị này là nghiệm của phương trình đã cho nếu 2 3−a ≠ - 3 (3) và 2 3−a ≠ a (4) Giải ĐK (3), ta được a ≠ -3, giải ĐK (4), ta cũng được a ≠ -3 Vậy, nếu a ≠ ± 3 thì x = 2 3−a là nghiệm của phương trình đã cho. b. Nếu a = 3 thì (2) có dạng 0.x = 0, nghiệm đúng với mọi x thỏa mãn ĐK (1) tức là x ≠ - 3 và x ≠ a (do a = 3 nên ĐK này là x ≠ 3). Vậya ≠ ± 3 thì S =       − 2 3a a = 3 thì S = { } / 3x R x∈ ≠ ± a = - 3 thì S = φ Bài tập: 1. Giải các phương trình. a. x x x + − =+ − 2 3 3 2 1 c. x + 2 2 11 x x x += b. 2x - 7 2 3 4 3 2 2 + + = + x x x x d. x x x x − − =+ − + 1 3 3 4 1 2.Giải các phương trình a. 1 4 1 1 1 1 2 − = + − − − + x x x x x c. 1 14 2 22 12 5 15 2 + −+ += + − − + x xx x xx b. ( ) 2 59 7 2 13 2 2 + + =− + + x x x x d. 3 1 52 1 1 1 12 2 + − + = + − + − + x x x x x x 3. Giải các phương trình: 9 a. )5( 51 5 3 − + =+ − − xx x xx x c. yyy 1 3 4 2 5 = − − − b. )2( 4 2 1 4 2 22 + + = − − − xx x xxx d. 3 3 2 1 )1(2 1 + = + + + xxx 4. Cho phương trình ẩn y: 22 22 )13( yb bb yb by yb by − + = + − + − − a. Giải phương trình với b = - 2 b. Giải phương trình với b = 0 c. Tìm các giá trị của b sao cho phương trình có nghiệm y = 1. 5. Giải phương trình: a. 2 1 42 1 32 1 1 23 − + + = + + + − − x x xx x x x b. 1 )12)(12( 1 32 1 2 32 − ++ = ++ + + − x xx xx x x c. 1 2 1 3 1 1 23 2 ++ = − − − xx x x x x 6. Cho phương trình: xx x xx + =+ + 2 24 1 2 (1) a. Nếu biến đổi phương trình (1) về dạng nguyên thì phương trình mới thu được có tương đương với phương trình đã cho không? Vì sao? Tìm ĐKXĐ của phương trình. b. Tìm nghiệm của phương trình đã cho. 7. Giải phương trình: 1 )8)(5( 18 8 2 5 6 − −− = − + + − xxx x x 8. Giải phương trình: )1( 3 1 1 1 1 2422 ++ = +− − − ++ + xxxxx x xx x 9. Tìm các giá trị của y nếu: a. Tổng của 2 phân thức: 13 93 − + y y và 52 122 + − y y bằng 2 b. Hiệu của 2 phân thức: 45 135 + + y y và 13 64 − − y y bằng 3 c. Tổng của 2 phân thức: 5 1 − + y y và 5 10 +y bằng tích của chúng d. Hiệu của 2 phân thức: 4 6 −y và 2+y y bằng tích của chúng 10. Giải phương trình: a. ))(( 11 bxax a bx bx ax ax −− = − +− − − +− (a, b là hằng số) 10 [...]... 4 − x = 2x2 - 5x – 1 21 VII PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Định nghĩa: Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0, trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a ≠ 0 Công thức nghiệm của phương trình bậc hai: Người ta ký hiệu ∆ = b2 – 4ac và gọi nó là biệt thức của phương trình Đối với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠... g ( x) Dạng phương trình Nguyên tắc giải phương trình chứa ẩn trong dấu căn bậc hai: Khử dấu căn bậc hai Cách khử dấu căn bậc hai thường dùng: Cách 1: Dùng phép biến đổi tương đương:  g ( x) ≥ 0 f ( x) = g ( x) ⇔  2  f ( x) = g ( x) Cách 2: Sử dụng phương trình hệ quả: + Bình phương 2 vế của phương trình được phương trình hệ quả: f ( x) = g ( x) ⇒ f ( x) = g 2 ( x) + Tìm nghiệm phương trình hệ quả... Phương trình quy về phương trình bậc hai: Phương trình trùng phương: ax4 + bx2 + c = 0, ( a ≠ 0 ) Cách giải: Đặt ẩn phụ x2 = t, điều kiện t ≥0 ta được phương trình bậc hai at2 + bt + c = 0 Giải phương trình tìm t, suy ra x Những lưu ý khi giải phương trình bậc 2: - Để kết luận phương trình bậc hai có nghiệm: Dựa vào ac < 0 hoặc ∆ ' ≥ 0 hoặc ∆ ≥ 0 - Nếu phương trình khuyết b hoặc c thì không cần giải... thức bậc n (n > 2) đối với x Với phương trình bậc cao f(x) = 0, nếu có nghiệm thì thường được giải bằng cách phân tích đa thức f(x) thành nhân tử (đưa về phương trình tích) Lưu ý: Phương trình bậc n ( n ∈ Z + ) có nhiều nhất n nghiệm - TXĐ của phương trình là mọi x VD21: Giải phương trình: x3 - 7x - 6 = 0 (Bằng cách phân tích vế trái thành nhân tử ) VD22: Giải phương trình: x3 - 7x + 6 = 0 (Bằng cách... + 1 = 2 b x − 1 = 3x − 5 7 Giải phương trình: a 3x + 5 + 3x + 2 = 3 b 3x − 2 + 3x − 5 = 3 8 Giải phương trình: a x − 2 x − 2 + 3 x − 3 = 4 b x − 2 x + 1 + 3 x + 2 = 0 9 Giải phương trình: 14 3 b x − 1 = x + 1 a x − 3 x + 2 = 0 10 Giải phương trình: a x − 4 - x = 2a (a là hằng số) b x − 3 + 5 − x = 2a (a là hằng số) V PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO Kiến thức: - Xét các phương trình có dạng f(x) = 0, trong đó... Giải phương trình: 3x + 7 = x − 1 (1) Giải: 18 Cách 1: Ta có x −1≥ 0 ⇔ 3x + 7 = x − 1 2 3x + 7 = ( x − 1) x ≥ 1 x≥1   ⇔ 2 ⇔   x = −1 ⇔ x = 6  x − 5x − 6 = 0  x = 6  Vậy phương trình có nghiệm x = 6 Chú ý: Khi trình bày với cách này chúng ta không cần đặt điều kiện của phương trình nhưng phải chú ý điều kiện để vế phải không âm Cách 2: Bình phương hai vế của phương trình (1) ta đưa tới phương. .. , t ≥ 0 ⇒t2 = 3x + 7 ⇒ x = t2 − 7 (2) 3 t = − 2 t2 − 7 Phương trình trở thành: t = − 1 ⇔ t 2 − 3t − 10 = 0 ⇔  3 t = 5 Đối chiếu điều kiện t ≥ 0 ta có t = 5 Thay vào (2) ta có x = 6 Vậy phương trình có nghiệm x = 6 Chú ý: + Phải chú ý đặt điều kiện của phương trình + Không phải phương trình nào cũng giải được theo cách 3 VD32 Giải phương trình: x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 = 2 (1) ĐK: x > 1 (1) ⇔... 2} Lưu ý: Khi giải phương trình: (x + a)4 + (x + b)4 = C Đặt ẩn phụ x + a+b =y 2 VD28 Giải phương trình: x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1 = 0 (1) Giải: Nhận xét: x = 0 ⇒ 1 = 0 (Vô lý) ⇒ x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (1) Vậy x ≠ 0, chia 2 vế phương trình (1) cho x2 ta được x2 + 1 1  + 6 x −  + 7 = 0 2 x x  Đặt x - (2) 1 1 = t ⇒ x 2 + 2 = t2 + 2, ta có phương trình (2) trở thành: t2 + 6t +... 2x) > 0 Giải phương trình trên ta được 1 5 ≤x≤ 2 2 Cách này áp dụng BĐT: a + b ≥ a + b , dấu “=” xảy ra khi ab > 0 (sử dụng BĐT trong giải phương trình, phương pháp đánh giá 2 vế) VD19 Giải phương trình: ||x| - 3| = x + 1 (1) Giải: a Xét khoảng x > 0, (1) trở thành x − 3 = x + 1 (2) + Với x > 3, (2) trở thành x - 3 = x + 1, vô nghiệm + Với 0 < x < 3 trở thành x - 3 = x + 1 + Với 0 < x < 3 trở thành x... (2x + 3)3 = 27x3 + 8 3 Giải các phương trình a (x2 + 5x)2 - 2(x2 + 5x) = 24 b (x2 + x - 2) (x2 + x - 3) = 12 4 Giải các phương trình a (x2 + x + 1)2 = 3 (x4 + x2 + 1) b x (x + 1) (x - 1) (x + 2) = 24 c (x - 4) (x - 5) (x - 6) (x - 7) = 1680 5 Giải phương trình: x5 - x4 + 3x3 + 3x2 - x + 1 = 0 6 Giải phương trình: (x2 - 6x + 9)2 - 15 (x2 - 6x + 10) = 1 17 7.Giải các phương trình a (x - 6)4 + (x - 8)4 = . DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH Ở TRƯỜNG THCS Bùi Hải Bình – THCS Lê Văn Thiêm – Thành phố Hà Tĩnh A. ĐẶT VẤN ĐỀ Học sinh THCS tiếp xúc với lý thuyết phương trình bắt đầu ở lớp 8. Trước đó ở cấp tiểu học. đưa ra khái niệm phương trình, phương trình bậc nhất 1 ẩn và cách giải, phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình tích, phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình chứa dấu giá. và ứng dụng, phương trình trùng phương, phương trình quy về phương trình bậc hai ở mức độ đơn giản. Đặc biệt là làm quen với việc giải phương trình vô tỷ (lớp 9) và đưa ra một số phương pháp giải