tuyển chọn bộ đề thi môn toán vào lớp 10 chuyên

2,5 điểm Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn O và đường kính DE vuông góc với BC.. Các đường phân giác trong góc B và góc C của tam giác ABC cắt đường thẳng AM lần lượt tại E và

Trang 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN

MÔN: TOÁN ( Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Toán)

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề thi có 01 trang Ngày thi: 24 tháng 6 năm 2007

Bài 1: (1,5 điểm)

Giải hệ phương trình:

 

3xy = 2 x+y 5xy = 6 y+z 4xz = 3 x+z









.

Đội bóng bàn của trường A thi đấu với đội bóng bàn của trường B, mỗi đấu thủ của trường A thi đấu với mỗi đấu thủ của trường B một trận.

Biết rằng: Tổng số trận đấu bằng 4 lần cầu thủ, số cầu thủ của trường B là số lẻ Tính số cầu thủ của mỗi đội.

Bài 3: (3,0 điểm) Cho hai điểm A và B cố định trên đường tròn tâm O C là điểm chính giữa cung AB, M là một điểm trên đoạn AB Tia CM cắt đường tròn (O) tại

D Chứng minh rằng:

a AC2 = CM.CD

b Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM thuộc đường tròn côc định.

c Gọi R1 , R2 theo thứ tự là bán kính đường tròn ngoại tiếp hai tam giác ADM và BDM Chứng minh R1 + R2 không đổi.

Bài 4: (2 điểm)

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho : A(0; 3), B(4; 0), C(5; 3/4) cùng với O(0; 0) tạo thành tứ giác AOBC Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A, chia tứ giác AOBC thành hai phần có diện tích bằng nhau.

Bài 5: ( 1,5 điểm)

Cho a, b, c là các số nguyên khác 0 thoả mãn a + + = 3b c

tích abc là lập phương của một số nguyên.

- Hết

-Đề chính thức

Trang 2

MÔN: TOÁN ( Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Tin)

Câu 1: (1,5 điểm)

Cho phương trình : 4x2 + 2 x - 2 = 0 (1)

1 Chứng minh rằng phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm trái dấu

2 Gọi x1 là nghiệm dương của phương trình (1) Chứng minh rằng:

1

x + 1

= 2

x + x + 1 - x Câu 2: (2,0 điểm)

Cho hệ phương trình: a x + y + x + y = b 2 2

y - x = b







1 Giải hệ khi a = 1, b=2

2 Tìm a sao cho hệ có nghiệm với mọi giá trị của b

Cho phương trình: (x2 - 1)(x + 3)(x + 5) = m (2)

Tìm m sao cho phương trình (2) có 4 nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4 thoả mãn:

1 + 1 + 1 + 1 = - 4

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Gọi H là trực tâm, K là chân đường cao hạ từ A của tam giác ABC Hai trung tuyến AM và HN của tam giác AHC cắt nhau tại I Hai đường trung trực của các đoạn thẳng AC và HC cắt nhau tại J

1 Chứng minh rằng tam giác AHB và tam giác MNJ đồng dạng

2 Chứng minmh rằng: KH.KA 

2

BC 4

3 Tính tỉ số IM + IJ + IN22 22 22

IA + IB + IH . Câu 5: (1,0 điểm)

Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x4 + y4 – 7 = xy(3 - 2xy) Tìm giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất của tích xy

- Hết

Trang 3

Tính giá trị của biểu thức M = 1 + 1

1 + 2a + 1 1 - 2a + 1, biết rằng: x + ya = x + z và 7

 2    

z - y 2x + y + z

x + z Câu 2: (2,0 điểm)

Cho các số thực a, b, c thoả mãn

a + b + c > 0

ab + bc + ca > 0 abc > 0











Chứng minh rằng cả ba số đều dương

Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 1 Gọi M, N là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh

AB và AD sao cho chu vi tam giác AMN bằng 2 Tính góc MCN

Cho tam giác đều ABC cạnh a Điểm D di động trên cạnh AC, điểm E di động trên tia đối của tia CB sao cho AD.BE = a2 Các đường thẳng AE và BD cắt nhau tại M Chứng minh: MA + MC = MB

Giả xử x, y là các số nguyên dương sao cho x2 + y2 + 6 chia hết cho xy Tìm thương của phép chia x2 + y2 + 6 cho xy

- Hết

Trang 4

Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009 Câu 1: (2,0 điểm)

Cho T =

2 2

2x + 4 - 1 - 1

1 - x 1 + x 1 - x .

1 Tìm điều kiện của x để T xác định Rút gọn T

2 Tìm giá trị lớn nhất của T

1 Giải hệ phương trình:

2

2x - xy = 1 4x + 4xy - y = 7





2 Giải phương trình: x - 2 + y + 2009 + z - 2010 = 1x + y + z

2 Câu 3: (2,0 điểm)

1 Tìm các số nguyên a để phương trình: x2 – (3 + 2a)x + 40 – a = 0 có nghiệm nguyên Hãy tìm các nghiệm nguyên đó

2 Cho a, b, c là các số thoả mãn điều kiện:

a 0

b 0 19a + 6b + 9c = 12













rằng có ít nhất một trong hai phưông trình sau có nghiệm

x2 – 2(a + 1)x + a2 + 6abc + 1 = 0

x2 – 2(b + 1)x + b2 + 19abc + 1 = 0 Câu 4: (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp trong đường tòn tâm O đường kính AD Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, E là một điểm trên cung BC không chứa điểm A

1 Chứng minh rằng tứ giác BHCD là hình chứ nhật

2 Gọi P và Q lần lượt là các diểm đối xứng của E qua các đường thẳng AB và

AC Chứng minh rằng ba điểm P, H, Q thẳng hàng

3 Tìm vị trí điểm E để PQ có độ dài lớn nhất

Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có ba góc nhọn Chứng minh rằng với mọi số thực x, y, z ta luôn có : x22 + y22 + z22 > 2x + 2y + 2z22 22 2 2

- Hết

Trang 5

Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009 Câu 1: (2,0 điểm)

1 Cho số x ( x R ; x > 0 ) thoả mãn điều kiện : x + 2 12 = 7

x Tính giá trị các biểu thức : A = 3

x +

x và B =

5 5

1

x +

x .

1 + 2 - 21

y x

+ 2 - 2

x y













Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a 0) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện:

0 x x 2   Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q = 2a - 3ab + b22 2

2a - ab + ac . Câu 3: (2,0 điểm)

1 Giải phương trình: x - 2 + y + 2009 + z - 2010 = 1x + y + z

2 Tìm tất cả các số nguyên tố p để 4p2 + 1 và 6p2 + 1 cũng là số nguyên tố

1 Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại E Một đường thẳng đi qua A, cắt cạnh BC tại M và cắt đường thẳng CD tại N Gọi K là giao điểm của các đường thẳng EM và BN Chứng minh rằng: CK  BN

2 Cho đường tròn (O) bán kính R = 1 và một điểm A sao cho OA = 2 Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm) Một góc xOy có

số đo bằng 450 có cạnh Ox cắt đoạn thẳng AB tại D và cạnh Oy cắt đoạn thẳng

AC tại E Chứng minh rằng 2 2 - 2 DE < 1  Câu 5: (1,0 điểm)

Cho biểu thức P = a2 + b2 + c2 + d2 + ac + bd , trong đó ad – bc = 1 Chứng minh rằng: P  3

- Hết

Trang 6

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên toán trường THPT chuyên Lam Sơn

Thanh Hoá

================================================

THI MÔN TOÁN

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 03 tháng 07 n ă m 2002

MÔN: THI TOÁN

Ngày thi: 27 tháng 6 n ă m 2003

Bài 1 (2 điểm)

Cho x + x x - x - x2

x + x

A 

a, Hãy rút gọn biểu thức A

b, Tìm x thoả mãn A = x - 2 + 1.

Bài 2 (2 điểm)

Cho phương trình: x2 - 4( m – 1 )x + 4m – 5 = 0 (1)

a, Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x + x = 2m12 22 .

x + x + x có giá trị nhỏ nhất.

Bài 3 (2,5 điểm)

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn O và đường kính DE vuông góc với

BC Gọi D1E1 và D2E2 là hình chiếu vuông góc của DE trên AB và AC.

1 Chứng minh BE1 = E2C = AD1; D1E1 = AC và D2E2 = AB

2 Các tứ giác AD1DD2 ; AE1EE2 nội tiếp trong một đường tròn và D1D2

vuông góc với E1E2 Bài 4 (2 điểm)

Cho hình chopSABC có SA  AB; SA  AC; BA  BC; BA = BC; AC = a 2;

SA = 2a.

b, Tính diện tích toàn phần của chóp SABC.

Cho các số thực a1; a2; ….; a2003 thoả mãn: a1 + a2 + …+ a2003 = 1

1

a + a + + a

2003

Đề chính thức

Trang 7

- Hết

-SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN

MÔN: TOÁN ( Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Nga - Pháp)

-Bài 1 (2 điểm)

Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình: 2x2 + 2mx + m2 – 2 = 0.

1 + 1 + x + x = 1

2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 2x x + x + x - 42 2 1 2 .

Giải phương trình: (x2 + 3x + 2)(x2 + 7x + 12) = 120.

Bài 3 (2 điểm)

Giải hệ phương trình: x y + y x = 62 2

x y + y x = 20







Cho M là điểm thay đổi trên đường tròn (O), đường kính AB Đường tròn (E) tâm

E tiếp xúc trong với đường tròn (O) tại M và AB tại N Đường thẳng MA, MB cắt đường tròn (E) tại các điểm thứ hai C và D khác M.

1 Chứng minh CD song song với AB.

2 Gọi giao điểm của MN với đường tròn (O) là K (K khác M) Chứng minh rằng khi M thay đổi thì điểm K cố định và tích KM.KN không đổi.

3 Gọi giao điểm của CN với KB là C và giao điểm của DN với KA là D Tìm

vị trí của M để chu vi tam giác NCD nhỏ nhất.

Bài 5 (1 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y = 2x + 2x + 1+ 2x - 4x + 42 2 .

- Hết

Trang 8

Cho hai phương trình: x2 + ax + 1 = 0 và x2 + bx + 17 = 0 Biết hai phương trình

có nghiệm chung và a + b nhỏ nhấ Tìm a và b.

Bài 2 (2 điểm)

Giải phương trình: x + x - 5 + x + x - 5x = 202 .

x + y = 1

x + y = x + y





2 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x3 + y3 + 6xy = 21.

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) tâm O M là điểm chính giữa cung BC không chứa điểm A Gọi M là điểm đối xứng với M qua O Các đường phân giác trong góc B và góc C của tam giác ABC cắt đường thẳng AM lần lượt tại E và F.

1 Chứng minh tứ giác BCÈ nội tiếp được trong đường tròn.

2 Biết đường tròn nội tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính r.

Chứng minh: IB.IC = 2r.IM

Bài 5 (2 điểm)

1 Cho các số a, b thoả mãn các điều kiện : 0 a 3, 8 b 11

và a + b = 11 Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.

2 Trong mặt phẳng (P) cho ba tia chung gốc và phân biệt Ox, Oy, Oz Tio Ot không thuộc (P) và xOt = yOt = xOt  Chứng minh Ot vuông góc với mặt phẳng (P) - Hết

Trang 9

MÔN: TOÁN CHUNG

Bài 1 (2 điểm)

1 Giải phương trình: 7 - x = x - 1

2 Chứng minh phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a0) luôn có hai nghiệm phân biệt Biết rằng 5a – b + 2c = 0.

Cho hệ phương trình: x + y-2 = 2

2x - y = m





1 Giải hệ phương trình với m = -1.

2 Với giá trị nào của m thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 3 (3 điểm)

Cho hình vuông ABCD Điểm M thuộccạnh AB (M khác A và B) Tia CM cắt tia

DA tại N BVẽ tia Cx vuông góc với CM và cắt tia AB tại E Gọi H là trung điểm của đoạn NE.

1 Chứng minh tứ giác BCEH nội tiếp được trong đường tròn

2 Tìm vị trí của điểm M để diện tích tứ giác NACE gấp ba diện tích hình vuông ABCD.

3 Chứng minh rằng khi M di chuyển trên cạnh AB thì tỉ số bán kính các đường tròn nội tiếp tam giác NAC và tam giác HBC không đổi.

Cho hình chóp A.BCD có cạnh AB = x, tất cả các cạnh còn lại đều bằng 1 Gọi

M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD.

1 Chứng minh MN vuông góc với AB và CD.

2 Với giá trị nào của x thì thể tích hình chóp A.BCD lớn nhất.

Bài 5 (1 điểm)

Cho các số dương a, b, c thay đổi và thoả mãn: a + b + c = 4 Chứng minh:

4

a  b  b  c  c  a  .

Đề chính thức

Trang 10

- Hết

-SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN

MÔN: TOÁN ( Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Nga, Pháp)

Bài 1: (2 điểm)

Cho phương trình: x2 – (m + 1)x + m – 6 = 0.

1 Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.

2 Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình Tìm m để: 3x1 + 2x2 = 5.

Cho hai số thực dương x, y thoả mãn điều kiện: 2x2 – 6y2 = xy Tính giá trị của biểu thức: A = 3x + 2yx - y .

Bài 3: (2 điểm)

x + + y + =









.

Cho đường tròn tâm O đường kính AB và P là điểm di động trên đường tròn (P 

A) sao cho PA  PB Trên tia đối PB lấy điểm Q sao cho PQ = PA, dựng hình vuông APQR Tia PR cắt đường tròn đã cho ở điểm C (C  P).

1 Chứng minh C là tâm đường tròn ngoại tiếp AQB.

2 Gọi K là tâm đường tròn nội tiếp APB, chứng minh K thuộc đường tròn ngoại tiếp AQB.

3 Kẻ đường cao PH của APB, gọi R1, R2, R3 lần lượt là bán kính các đường tròn nội tiếp APB, APH và BPH Tìm vị trí điểm P để tổng R1 + R2 +

R3 đạt giá trị lớn nhất.

Bài 5: (1 điểm)

Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn điều kiện: a + b + c = 3

Chứng minh rằng a4 + b4 + c4  a3 + b3 + c3

- Hết

Trang 11

Cho biểu thức: M =

4

x - 1 - 1 x + 1 - x

x - x + 1 x + 1 1 + x

1 Rút gọn M.

2.Tìm giá trị nhỏ nhất của M.

Bài 2: (2 điểm)

2

xy - 4y + x = 0

x y - 8y + x = 0





1 Cho x, y là các số thực thoả mãn điều kiện: x2 + 5y2 – 4xy – x + 2y – 6 = 0 Chứng minh: 1 x - 2y + 1 4 .

2 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y3 – x3 = 2x + 1.

1 Cho ABC có diện tích là 32 cm2, tổng độ dài hai cạnh AB và BC bằng 16

cm Tính độ dài cạnh AC.

2 Cho tam giác nhọn ABC (AB < BC) có đường cao AM và trung tuyến BO Đường thẳng qua C song song với AB cắt tia BO tại điểm D Gọi các điểm

N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các đường thẳng BD, CD.

b Chứng minh tứ giác MNOP nội tiếp được trong một đường tròn Bài 5: (1 điểm)

Tìm các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện:

x + y + z = 4 xyz

x + y + z = 2 xyz







-Hết -Đề chính thức

Trang 12

1 Cho biểu thức P(x) = x +12x + 12 - 3x.2 Gọi x1 , x2 là các nghiểm của phương trình x2 – x – 1 = 0 Chứng minh: P = P  x 1  x 2 .

2 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3x2 + 14 y2 + 13xy = 330.

x + y + 2xy = 8 2

x + y = 4







1 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = x + x + 1 + x - x + 12 2 .

2 Cho ba số thực x, y, z đều lớn hơn 2 và thoả mãn điều kiện: 1x + + = 11y 1z Chứng minh rằng: x-2 y-2 z-2      1 Dấu " = " xảy ra khi nào?

Cho đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với các cạnh AB, BC

CA lần lượt tại các điểm M, N, P.

1 Xét trường hợp AB < AC, gọi D là giao điểm của các tia AO và MN Chứng minh AD  DC.

2 Gọi (T) là tam giác có các đỉnh là M, N, P, Giả sử (T) đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k Tính k?

Cho đường tròn tâm O nội tiếp hình thoi ABCD Tiếp tuyến (d1) với đường tròn cắt các cạnh AB, AD lần lượt tại các điểm M, P Tiếp tuyến (d2) với đường tròn cắt các cạnh CB, CD lần lượt tại các diểm N, Q Chứng minh MN // PQ.

-Hết -Đề chính thức

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	432 KB