TỔNG HỢP ĐỀ THI vào lớp 10 chuyên toán đại học vinh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH Độc Lập - Tự do - Hạnh phúc... Câu 4 : Cho tam giác đều ABC, có O là trung điểm của cạnh BC.. b Chứng minh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH Độc Lập - Tự do - Hạnh phúc

ĐÁP ÁN TOÁN VÒNG 1 (ĐỀ CHÍNH THỨC)

Câu 1

Đặt n = 3k + r với k nguyên; r = 0, 1 hoặc 2 .

*)Nếu n = 3k thì n 2 + n + 2 = 9k 2 + 3k + 2 chia 3 dư 2

*) Nếu n = 3k + 1 thì n 2 + n + 2 = 9k 2 + 9k + 4 chia 3 dư 1

*) Nếu n =3k + 2 thì n 2 + n + 2 = 9k 2 + 15k + 8 chia 3 dư 2

0,50,50,50,5

Câu 2

a) Đặt x2 – x = u, y2 – 2y = v  19

20

u v uv

0,5

Câu 3 Ta có a

3 = 3 + 17 + 3 - 17 + 33 3  17 .3 3  17.a = 6 – 6a

 a3 + 6a = 6

 f(a) = (a 3 + 6a – 5) 2006 = (6 – 5) 2006 = 1.

0,5

0,50,5

2

Câu

Nội dung xĐiể

m

Câu 4

a)

Ta có  KEA =  KBE

Suy ra  KEA đồng dạng với  KBE  KE KB = KA KE  KE2 = KA.KB (1)

Tương tự, ta xét hai tam giác KFA và KBF ta có KF2 = KA.KB (2)

Từ (1) và (2) suy ra KE = KF (3)

Mặt khác, theo giả thiết KA = KI (4)

Từ (3) và (4) suy ra tứ giác AEIF là hình bình hành.

b) Ta có MA= MO ' = 1 2 OO '   OAO ' vuông tại A.  OO'2 = OA2 + O A' 2 = R2 + R '2 (5)

Do tứ giác OEFO ' là hình thang vuông tại E, F nên OO '2 = EF2 + (OE - O F' )2 = EF2 + (R R ')2 (6)

Từ (5) và (6) suy ra EF 2 = R 2 + R ' 2 – ( R R ') 2 = 2RR '  EF = 2RR ' 0,25 0,5 0,25 0,5 …… 0,5 0,5 0,5

0,5

F E

I K A

B

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH Độc Lập - Tự do - Hạnh phúc

a b a( b )  128, với a, b là các số thực dương thoả mãn

hệ thức ab 4 Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Câu 4 :

Cho tam giác đều ABC, có O là trung điểm của cạnh BC Vẽ xOy = 600 sao cho

các tia Ox, Oy cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E, F.

a) Chứng minh rằng BC2  4BE FC.

b) Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi xOy quay xung quanh O sao cho các tia Ox, Oy vẫn cắt các cạnh AB,

AC của tam giác đều ABC.

Ghi chú: Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm!

4

Họ và tên:

Số báo danh:

Phòng thi:

0,5

……

0,250,25

0,25 0,25

0,250,25

Ta có EBO + EOB= BOF, nên OEB= FOC

 OBE đồng dạng với FCO  OB BE

Từ (2) và (3) OBE đồng dạng với FOE  OEB= FEO.

Suy ra EO là phân giác của BEF

Kẻ OH AB và OK  EF OK=OH.

 EF tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính OH

Rõ ràng O và OH cố định nên ta có điều phải chứng minh

0,25

0,250,50,5

……

0,50,25

0,5

0,50,25

6

A

F K

E H x

y

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN NĂM 2007 Môn thi: Toán - Vòng I (Đề chính thức)

Thời gian làm bài 150 phút

Câu 1: Cho biểu thức

14

14

2

x

x x

x x

43

3y xy x

y x

Câu 3: Cho các số thực x, y thoả mãn 2 2 6



 y

x Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức Px 5y

Câu 4: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O

Gọi AA', BB', CC' là các đường cao và H là trực tâm của tam giác ABC.

a) Chứng minh rằng AA' là đường phân giác trong của B ' C A' '

b) Cho BAC 600 Chứng minh tam giác AOH là tam giác cân.

x

x x

x x

4

116

ra x = 4 hoặc x =

4

1

a) Phương trình đã cho có nghiệm kép  ' = 1+m(m-3)+1 =0 

4

2 y x xy

4

2 xy y

x xy

y x

)(

4

2 xy xy

4

xy xy

y x

4

xy

y x

, vô nghiệm

Áp dụng BĐT Bunhiacôpski cho hai bộ số (x, y) và (1,  5) ta có

36)

A

K

B' C' O

H

B A' C3

4

+) P = -6 khi x =-1, y = 5 Suy ra minP =-6.

+) P = 6 khi x =1, y =- 5 Suy ra maxP = 6.

a) Tứ giác HA'BC' nội tiếp nên C'A'H = C'BH (cùng chắn cung

C'H) Tứ giác AB'A'B nội tiếp nên AA'B' = ABB' (cùng chắn

cung AB') Từ đó suy ra C'A'H = AA'B'.

b) Kéo dài CO cắt đường tròn tại K Tứ giác KBHA là hình bình

hành vì KB // AH (cùng vuông góc với BC) và KA // BH (cùng

vuông góc với AC) Suy ra AH = KB (1)

Tam giác vuông BKC có BKC =BAC = 600 nên KB =

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

Họ và tên thí sinh

Môn thi: Toán - Vòng II (Đề chính thức)

Thời gian làm bài 150 phút

n , với mọi số tự nhiên n

Câu 2: Xác định các số nguyên tố p , qsao cho p2  pq2q2 và 2p2  pqq2 là các

số nguyên tố cùng nhau

Câu 3: Cho các số thực dương a , b , c thoả mãn abc6 Chứng minh rằng

63

32

41

a c a

c b

.Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Câu 4: Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm H nằm trong đường tròn Qua H

ta vẽ hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau.

Câu 5: Trong một tam giác có cạnh lớn nhất bằng 2, người ta lấy 5 điểm phân biệt.

Chứng minh rằng trong 5 điểm đó luôn tồn tại hai điểm mà khoảng cách giữa chúngkhông vượt quá 1

* Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm !

ĐÁP ÁN VÒNG II (2007)

10

+) p, q 3 Vì p, q đều là số lẻ nên p + q và p - q là các số chẵn Suy ra

A=p(p - q) +2q22 và B = 2p2 + q(q + p) 2 Vậy A và B không nguyên tố

1,0

0,5

0,5



1

5+

b

a c





2

4+

c

b a





3

11

11

1

32

1

36

) c )(

b )(

1

c b a

c b

= 4(OA2-IO2) + 4(OD2-OJ2)

= 8R2 - 4(OI2+OJ2) =8R2- 4OH2

= 8R2- R2 = 7R2.

b) Kéo dài NH cắt AC tại K Ta có AHK = BHN (đối đỉnh) và

BHN = NBH (vì HN là trung tuyến thuộc cạnh huyền của tam giác

vuông), nên AHK = NBH (1) Mặt khác, CAB = HDB (2)

Từ (1) và (2)  AHK +CAB = NBH + HDB = 900, hay NK AC

Suy ra NH // OM

Tương tự MH// ON Do đó tứ giác OMHN là hình bình hành  M, N, P

thẳng hàng

Bổ đề: Cho ABC và M, N là hai điểm tuỳ ý

trong tam giác Khi đó

I J

5

i) Nếu d đi qua một đỉnh nào đó của

ABC, chẳng hạn A Khi đó d cắt BC tại A1

Nếu A1 trùng với B hoặc C thì hiển nhiên có (1)

Nếu A1 khác B, C thì trong 2 góc AA1B và AA1C có một góc 900,

giả sử đó làAA1C Khi đó MN AA1AC nên suy ra (1)

ii) Nếu d không đi qua đỉnh nào của ABC Giả sử d cắt AB, BC lần lượt

tại M0, N0 Áp dụng i) ta có

MN  max{A N0 , N0B, AB}  max{A N0 , BC, AB} (2)

Mặt khác cũng theo i) thì AN0 max{AB, BC, CA} (3)

Từ (2), (3) suy ra (1) Trở lại Bài toán: Bằng cách nối 3 trung điểm của 3 cạnh của tam giác đã cho, theo tính chất đường trung bình ta thu được 4 tam giác bằng nhau và mỗi tam giác đều có cạnh lớn nhất bằng 1 Vì có 5 điểm phân vào 4 tam giác nên tồn tại một tam giác chứa ít nhất 2 điểm (nguyên lí Đirichlet) Theo bổ đề trên ta có khoảng cách giữa 2 điểm này không vượt quá 1 0,5 0,5 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH Độc lập - Tự do - Hạnh Phúc ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN NĂM 2008 Môn: Toán vòng 1 (Đề chính thức) Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1: Tính giá trị của biểu thức ), 1 1 )( 2 ( y x y x y y x A      với 4 21 5 , 4 21 5     y x Câu 2: Giải phương trình 12 ) 2 )( 1 ( 2 2     x x x x Họ tên thí sinh:

Số báo danh:

Chữ kí giám thị:

2 2

Khi nào xảy ra dấu đẳng thức?

Câu 5: Cho tam giác ABC và (O) là đường tròn nội tiếp của nó Gọi M0 ,N0 ,P0 lần lượt

là tiếp điểm giữa các cạnh AB, AC và BC với (O). Trên các cạnh AB, AClần lượt lấy cácđiểm M , N sao cho BMCN BC.

2

1 0 0

b) Chứng minh rằng tam giác OMN là tam giác cân

c) Xác định vị trí của M trên AB sao cho đoạn MN ngắn nhất

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN MÔN TOÁN VÒNG I

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TUYỂN SINH THPT CHUYÊN -2008

14

x y y x

y y x

a b

2 2

a a

b b a

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab 1

Chú ý: Bất đẳng thức còn có thể được chứng minh theo các cách sau

2

1 1 2

2

y

x y

2

2 2

2

b

b a

a a

b b

C3: Sử dụng các BĐT x2 y2  u2 v2  (xu) 2  (yv) 2 và 1  2 , x 0

x x

2 2

a b

0,50,5

0,5

0,50,50,50,5

0,50,5

0,5

0,50,5

AM

A

a) Vì AM0ON0 là tứ giác nội tiếp,

nên ( 1 )

2

1 0 0

 Tương tự, xét tứ giác

nội tiếp BM0OP0ta có

( 2 )

2 1 0 0P B OM   

Từ (1) và (2) suy ra ( ).

2 1 0 0 0M N A B P      b) Ta có BM0 CN0 BC BM CN,nên M0M N0N. Hơn nữa OM 0 ON0,nên hai tam giác vuông OM0M và ON0N bằng nhau Suy ra OM  ON, hay là tam giác OMN cân tại O. c) Ta có MOM0  NON0, nên M0ON0  MON Lại do các tam giác M0ON0 và MON cân tại O nên chúng đồng dạng với nhau Suy ra 1 0 0 0   ON ON N M MN Hay là MNM0N0. Vì M0N0 không đổi, nên MN ngắn nhất khi M trùng với M0 và khi đó N trùng N0

0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH Độc lập - Tự do - Hạnh Phúc ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN NĂM 2008 Môn: Toán vòng 2 (Đề chính thức) Thời gian làm bài: 150 phút Họ tên thí sinh:

Số báo danh:

Chữ kí giám thị:

16

C

M0

O

N

N0 M

Câu 1:

Giải các phương trình

5 4

Cho (O) là đường tròn có bán kính R và A, B là 2 điểm thuộc (O)sao choAB 2a

không đổi, với 0< a < R. Giả sử M , N là hai điểm thuộc cung lớn AB sao cho AM  BN.

a) Tính khoảng cách từ O đến trung điểm I của MN theo a.

b) Xác định vị trí của M sao cho độ dài MA  MB đạt giá trị lớn nhất

Câu 5

Cần dùng ít nhất bao nhiêu tấm bìa hình tròn có bán kính bằng 1 để phủ kín một tam

giác đều có cạnh bằng 3, với giả thiết không được cắt các tấm bìa?

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!

`BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN MÔN TOÁN VÒNG 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TUYỂN SINH THPT CHUYÊN – 2008

x thì hai vế của phương trình đã cho bằng nhau.

Vậy phương trình có nghiệm

2 2

2 2

2 1 2 2

1 1

0  S x x  S x x  x x  x x 

nguyên dương không chia hết cho 17

Giả sử bài toán đúng đến mọi k  0 , 1 , ,n 2 , nN.

1 1 1 ) 1 )(

1 )(

1 ( ) 1 )(

1 )(

1 )(

1

c b a d

c b

Do đó IM  MN  A'BJO

2

1 2

1

Suy ra

a JO OA IM

OM

b) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của hai cung lớn, nhỏ AB Trên AM kéo dài

lấy điểm K sao cho MB = MK Ta có MA + MB = AK Vì vậy ta xác định M

sao cho AK có độ dài lớn nhất

Ta có MQ là phân giác của AMB và MP  MQ nên MP là phân giác của góc

BMK

 Vì MK = MB nên PK = PB Điều đó chứng tỏ K thuộc đường tròn tâm P

cố định với bán kính PB = PA không đổi

Do đó dây cung AK lớn nhất khi nó là đường kính, nghĩa là M  P

0,5

0,5

0,50,5

BC, CA và AB sao cho IC = JA = KB =1 Ba đườngtròn bán kính bằng 1, tâm tương ứng là I, J, K sẽ phủkín được tam giác ABC (mỗi hình tròn phủ được 3 tamgiác nhỏ) Như vậy dùng 3 tấm bìa sẽ phủ kín được tamgiác ABC

Số tấm bìa ít nhất phải dùng cũng là 3, bởi vì nếu ngượclại sẽ phải có hai trong ba đỉnh của tam giác ABC thuộc một hình tròn bán kính 1 Điều này không thể xảy ra bởi

vì cạnh của tam giác ABC bằng 3

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC

1 Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

2 Tìm các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm u, v thỏa mãn hệthức 2 2 17

xy y x

y x y x

2 Cho các số thực x, y thoả mãn x 8 y 0 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

) 8 (

1

y x y x

Cho hai đường tròn (O1,R1) và (O2,R2) cắt nhau tại hai điểm I, P Cho biết R 1 R2

và O1,O2khác phía đối với đường thẳng IP Kẻ hai đường kính IE, IF tương ứng của

) ,

(O1 R1 và (O2,R2)

1 Chứng minh E ,,P F thẳng hàng

2 Gọi K là trung điểm EF Chứng minh O1PKO2 là tứ giác nội tiếp

3 Tia IK cắt (O2,R2) tại điểm thứ hai là B, đường thẳng vuông góc với IK tại I

cắt (O1,R1) tại điểm thứ hai là A Chứng minh IA  BF

Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC

ĐÁP ÁN ĐỀ THI MÔN TOÁN VÒNG 1 NĂM 2009

1 ( 2đ)

2 (4đ)

1 Dễ thấy   9  0 nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

khi đó phương trình có 2 nghiệm u m,vm 3.

23 2 2 2

v u

v u u

u u

u

11

23 ) 11 ( 2 2 2

u u

11

0 45 4 2

5

v

u v

u

8 8

) 8

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

4

1 , 4 64

1 16 )

8 (

1 8

8 8

y x y

x y y

y y x

Do vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 6

1 0,5 0,5

4 (4đ)

Từ giả thiết ta có E, nằm về hai phía của F P Suy ra

0 180

Mặt khác, IK // AE và A' F K là trung điểm của EF nên I là

trung điểm của AA' Hay là IA  IA' (4)

Từ (3) và (4) suy ra IA  BF.

0,75 0,75

0,75

0,5

0,5

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM 2009

5x2 y2

m y x

2 1

2 2

(x  x  y  y đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị nhỏ nhấtđó

Câu 2

1 Tìm các số nguyên dương x, y thoả mãn

) 1 ( 8 ) 8 )(

c c

b b

a

.Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Câu 3 Cho ba điểm phân biệt A ,,B C cùng nằm trên một đường thẳng (điểm B nằmgiữa A và C) Gọi (O1), (O2), (O3) tương ứng là các nửa đường tròn đường kính

CA BC

AB, , và chúng cùng nằm về một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AC Đườngthẳng qua B vuông góc với AC cắt (O3) tại điểm D

1 Chứng minh rằng tiếp tuyến chung của (O1), (O2)( khác BD) song song với tiếptuyến của (O3) tại điểm D

2 Tính diện tích phần hình phẳng nằm ngoài (O1), (O2)và nằm trong (O3) theo

BD

a 

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC

ĐÁP ÁN MÔN TOÁN VÒNG 2 NĂM 2009

x x

x x x

Đặt

x x

0,75 0,75

x

y x

và ( , ) ( 3 , 2 )

12 13

x

y x

Vậy x 3 ,y  2 ; x 10 ,y 2 là 2 nghiệm nguyên dương của phương trình.

2 2 2

2 1 1

p p

P z

y x y

x z x

z y P

3 1

1 2

1

1 1

1 24 3 3

1

5 2 2

1

5 3

1

5 3 2

Sử dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có

) 3 1 )(

2 1 )(

1 (

72 3

1

1 2

1

1 1

1 24 3

z y

x z

y x

3 1 2 1 1

3 1 2 1 1

z y

1 '

) 2 ( 2

1 '

Từ giả thiết ta có CA' A và BA' H

vuông cân Suy ra CA'H  AA'B, vì vậy CH  AB (3)

Lại có

A MA MAA

NCA C

A' ' là hình vuông.

2 Ta có O và A' cùng thuộc trung trực của AC, nên OA ' AC Suy ra OA' //B'H

.

Tương tự OB' //A'H Vì vậy B'OA'H là hbh

Do đó OH cắt A ' B' tại I là trung điểm của mỗi đường.

Rõ ràng từ kết quả ý 1, MN cũng đi qua I Vậy A'B,'MN,OH đồng quy.

O

H

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM 2010

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH Môn Toán – Vòng 1

Thời gian làm bài: 120 phút

Câu I

3 2

1 3 2 7

3 3 8

A 

Câu III Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R 2 và có các

góc B, C nhọn Biết 60 0 ,



BAC đường cao AH của tam giác ABC bằng 3

1 Tính diện tích tam giác ABC.

2 Gọi P là một điểm di động trên cung nhỏ BC; M, N lần lượt là các điểm đối xứng của P qua các đường thẳng AB và AC Xác định vị trí của P sao cho độ dài MN lớn

nhất Tính độ dài lớn nhất đó

Hết

-Ghi chú: Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm!

ĐÁP ÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM 2010

Môn Toán – Vòng 1; Thời gian: 120 phút

3 2 (

3 2 3

2 7

) 3 3 2 4 )(

3 2 ( 3 2

1 3

2 7

) 3 (

1 14 49

) 3 ( 16

1 7 3 4

2

2 2

x x x

x

x x x

1

x x

Đối chiếu điều kiện, ta có nghiệm của phương trình là

33

1 ,

2 2

3 2 60 sin

3 3 3 2 3 2

1