Phương trình vi phân chậm

Các khái niệm cơ bản về vi phân chậm có tính ổn định

ụ ụ ột số í ệ sử ụ tr ờ ó sở t ọ P trì t ề ể ợ t ổ ị t ề ể H ột số ổ ề ổ trợ ớ tệ ột số ết q ề t ề ể H ệ t ó trễ ó trễ ớ tết ề ể ợ í ề ể ợ ề ể H ệ tế tí tụ t ố ệ ữ ề ể H tí ề ể ợ ủ ệ tế tí tụ t t ổ ị tr L 2 ề ể H ề ữ ệ tế tí t ó trễ t ề ể H ột ớ ệ trì t ề ể H ề ữ ệ tế tí t ó trễ ề ể H ề ữ ệ tế tí t ó trễ ế t ✸✳✸✳ ➜✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ H ∞ ❜Ò♥ ✈÷♥❣ ❝❤♦ ❤Ö t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❦❤➠♥❣ ➠t➠♥➠♠ ❝ã trÔ ❤ç♥ ❤î♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✸ ❑Õt ❧✉❐♥ ✻✷ ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✻✸ ✸ ▼ét sè ❦Ý ❤✐Ö✉ sö ❞ô♥❣ tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ • R + ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ sè t❤ù❝ ❦❤➠♥❣ ➞♠✳ • R n ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❊✉❝❧✐❞ n ❝❤✐Ò✉ ✈í✐ ❝❤✉➮♥ . ✈➭ tÝ❝❤ ✈➠ ❤➢í♥❣ ., .✳ • R n×m ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ ♠❛ tr❐♥ ❝✃♣ n × m✳ • L 2 ([t, s], R n ) ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ ❤➭♠ ▲ 2 ✲❦❤➯ tÝ❝❤ tr➟♥ [s, t]✳ • A T ❧➭ ♠❛ tr❐♥ ❝❤✉②Ó♥ ✈Þ ❝ñ❛ ♠❛ tr❐♥ A✳ • Q ≥ 0 (Q > 0)✱ ❦Ý ❤✐Ö✉ ♠❛ tr❐♥ Q ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❦❤➠♥❣ ➞♠ ✭t➢➡♥❣ ø♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣✮✱ tø❝ ❧➭ Qx, x ≥ 0 (Qx, x > 0). • M(R n + ) ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ ❤➭♠ ♠❛ tr❐♥ ➤è✐ ①ø♥❣✱ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❦❤➠♥❣ ➞♠ tr♦♥❣ R n ✱ ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ t ∈ [0,∞)✳ • BM + (0,∞) ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ ❤➭♠ ♠❛ tr❐♥ ❜Þ ❝❤➷♥✱ ➤è✐ ①ø♥❣✱ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❦❤➠♥❣ ➞♠ tr♦♥❣ R n ✱ ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ t ∈ [0,∞)✳ • BMU + (0,∞) ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝➳❝ ❤➭♠ ♠❛ tr❐♥ ❜Þ ❝❤➷♥✱ ➤è✐ ①ø♥❣✱ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣ ➤Ò✉ tr♦♥❣ R n ✱ ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ t ∈ [0,∞)✳ • C([a, b], R n ) ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ ❤➭♠ ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ [a, b] ✈➭ ♥❤❐♥ ❣✐➳ trÞ tr♦♥❣ R n ✳ ✹ ờ ó ý tết ề ể t ọ ột tr ữ ĩ ự t ọ ứ ụ q trọ ớ ợ t ệ t trể tr t ỉ ụ í ủ ý tết ề ể t ọ ữ ì t ọ ợ ứ ụ ể qết ữ ề ị tí ủ ệ tố ề ể t ề t tự tễ tr ọ ệ tế ợ t ở trì t ọ ề ể t tý ế ữ ụ t ọ t ệ ể tì ờ r tự tễ ề t ề ề ĩ tt ề ể tờ q ế ệ ộ ự t ở trì PP t ọ ớ tờ tụ rờ r x(t) = f(t, x(t), u(t)) x(k + l) = f(k, x(k), u(k)), k = 0, 1, 2, . tr ó x(.) ế tr t t ố tợ r u(.) ế ề ể t ố tợ ủ ệ tố ột ệ tố ề ể ột ì t ọ ợ t ở trì t ọ ể tị sự ệ r ột tr ữ ụ í í ủ t ề ể ệ tố tì ề ể s ệ tố r ó ữ tí t t ố ứ ữ ụ í ụ tể ủ ệ tố r ờ t t ề ể t ề ể ợ t ổ ị ổ ị t ề ể tố ệ ý tết ề ể t ọ ợ t trể t ớ ý tết ứ ụ ợ ề t ọ tr ớ q t ứ ó ề ợ sử ụ tr ý tết ề ể ề ể t tí t tr ề ể ề ữ ề ể tố r ú t sử ụ H t ề ể H tr ý tết ề ể ể t ợ q trì ề ể ổ ị ề ữ t ề ể H sự ết ợ ủ t ổ ị t tố t ề ể H tì ề ể ể ệ ổ ị t ề ệ tố ứ trớ t ề ể H ệ tế tí t ổ ụ sử ụ rss ề ệ ổ ị t ợ ự tr ệ ệ ủ t tứ tr tế tí trì t số ố ớ ệ tế tí t tì ề ệ ợ ự tr ệ ủ trì t ó tr t r ề ệ ủ ể ợ t ề ể H ệ tế tí t ó trễ ớ tết ề ể ợ ủ ệ ề ể ồ trì ữ ế tứ sở ề trì tờ trì ó tí ổ ị ố ớ ệ PP ế ế trì t ề ể ợ t ổ ị t ề ể H P ố ề ế ột số ổ ề ợ sử ụ ề tr r ớ tệ ột số ết q ó ề ề ệ ợ ủ t ề ể H ệ tế tí t ó trễ tr ự tr ố q ệ ữ ề ể ề t ề ể ợ ề 0 ủ ệ ề ể sự tồ t ệ ủ trì t ố trì ề ệ ó ờ ủ t ề ể H ề ữ ớ ệ trì t ó trễ ồ tờ ở ỗ ết q ề r í ụ ết q ứ ớ ủ ợ trì tr ứ ề ệ ủ t ề ể H ề ữ ột ớ ệ PP t ó trễ trễ ế t ỗ ợ ự ề ể ợ ổ ị ự tr ệ ủ trì t r sốt q trì ọ t ợ sự ú ỡ t tì sự ỉ tú ủ t ớ ũ ọ Pt ỉ tr tứ ĩ tết ò trề t ữ ọ ổ í ứ ọ tỏ ò ết s s t tớ t r ể t ũ ợ sự ộ í ệ ủ t tr tổ ộ t tí trờ ọ ọ tự ọ ố ộ ù ớ sự q t t ề ệ ủ trờ ọ tự ò tố ề ể ệ ọ rt ề ữ ó ữ ồ ộ ự ớ ể ó ộ ợ ọ t tr ổ ứ ử ờ t t tớ t ị ó tr ì tờ ự t ó tể tr ỏ tế sót ế rt ợ sự ó ý ủ t sở t ọ r trì ệ ủ trì ó tí ổ ị ố ớ ệ trì ó s ó ị ĩ ết q q ế t ề ể ợ t ổ ị t ề ể H ứ sử ụ P trì P trì tờ ét trì x = f(t, x), t I = [t 0 , t 0 + b] x(t 0 ) = x 0 , x 0 R n , t 0 0 tr ó f(t, x) : I ì D R n , D = {x R n : x x 0 a}. ệ x(t) ủ trì số x(t) tụ t (t, x(t)) I ì D, x(t) t trì sử f(t, x(t)) tụ tr I ì D ó ệ x(t) ở tí s x(t) = x 0 + t t 0 f(s, x(s))ds P trì sử h > 0 í ệ C = C([h, 0], R n ) tụ từ [h, 0] R n ớ ợ ị ở = sup h0 (). ớ t ì t 0 t x t () = x(t + ),h 0 qỹ ủ x(t) ớ x t = sup s[h,0] x(t + s). P trì ó trễ x(t) = f(t, x t ), t 0, x(t) = (t), t [h, 0], tr ó f : R + ì C R n trớ P trì ó trễ ợ í ệ f (t) C í ụ ột số trì ó trễ ợ ứ tr P trì tế tí t ó trễ rờ r x(t) = A(t)x(t) + A 1 (t)x(t h), t 0, x(t) = (t), t [h, 0], tr ó h 0; x(t) R n A(t), A 1 (t) R nìn tr tụ trớ tr R + C([h, 0], R n ) ớ = sup t[h,0] (t). P trì tế tí t ó trễ ố x(t) = A(t)x(t) + A 1 (t) t th x(s)ds, t 0, x(t) = (t), t [h, 0], tr ó h 0; x(t) R n A(t), A 1 (t) R nìn tr tụ trớ tr R + C([h, 0], R n ) ớ = sup t[h,0] (t). P trì tế tí t ó trễ ỗ ợ x(t) = A(t)x(t) + A 1 (t)x(t h) + A 2 (t) t tk x(s)ds, t 0, x(t) = (t), t [ max(h, k), 0], tr ó h, k 0; x(t) R n A(t), A 1 (t), A 2 (t) R nìn tr tụ trớ tr R + C([ max(h, k), 0], R n ) ớ = sup t[ max(h,k),0] (t). í ổ ị ủ ệ trì ét ệ trì ó ớ tết f(t, 0) 0 tứ ệ ó ệ tự t ổ ị ủ ệ trì tờ t ó ị ĩ s ị ĩ ệ ủ ệ ợ ọ ổ ị ế ớ ọ số > 0, t 0 0, tồ t số = (, t 0 ) > 0 s t ì ệ x(t 0 , )(t) ủ ệ t < tì x(t 0 , )(t) < , t t 0 . ệ ủ ệ ợ ọ ổ ị tệ ế ó ổ ị ữ ớ ỗ t 0 0 tồ t = (t 0 ) > 0 s ớ ọ C t < t ó lim t x(t 0 , )(t) = 0. ệ ủ ệ ợ ọ ổ ị ũ ế tồ t số M > 0, > 0 s ọ ệ ủ ệ t x(t 0 , )(t) Me (tt 0 ) , t t 0 . P ử ụ ố ớ trì tờ ú t ó tể ét ợ tí ổ ị ủ ệ f ị ĩ ét ệ f tụ V : R + ì C R ợ ọ ủ ệ ế tồ t số 1 , 2 , 3 > 0 t 1 x(t) 2 V (t, x t ) 2 x t 2 , V (t, x t ) 3 x(t) 2 ớ ọ ệ x(t) ủ ệ ị ý ế ệ f tồ t tì ệ ổ ị tệ t ề ể ợ ét ột ệ tố ề ể t ở trì tế tí í ệ [A(t), B(t)] x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), t 0, [...]... H cho hệ tuyến tính không ôtônôm với giả thiết điều khiển được Phần đầu chương 2, luận văn trình bày kết quả giải được của bài toán điều khiển H cho hệ phương trình vi phân không ôtônôm không có trễ dựa trên mối quan hệ giữa tính điều khiển được đều hoàn toàn và sự tồn tại nghiệm của phương trình Riccati vi phân Tiếp đó đưa ra một số kết quả mở rộng trong [7] về bài toán điều khiển H bền vững cho hệ... điều khiển được hoàn toàn về bị chặn trên R+ Nếu hệ [A(t), B(t)] là 0 thì với bất kì ma trận Q BM + (0, ), phương trình vi phân Riccati (1.11) có nghiệm P BM + (0, ) 18 Bổ đề 1.5.5: [9] Nếu hệ [A(t), B(t)] là điều khiển được đều hoàn toàn thì khẳng định sau luôn đúng: Phương trình Riccati vi phân (1.11), trong đó Q(t) = I , có nghiệm M (Rn ) bị chặn đều trên và dưới, tức là tồn tại 1 , 2 0 thoả mãn... t U (N, s)B(s)B T (s)U T (N, s)ds 14 1.3 Bài toán ổn định hoá Xét hệ điều khiển mô tả bởi hệ phương trình vi phân x(t) = f (t, x(t), u(t)), t 0 (1.5) x(t) Rn , u(t) Rm Định nghĩa 1.3.1: h(x) : Rn Rm Hệ (1.5) gọi là ổn định hoá được nếu tồn tại hàm sao cho với hàm điều khiển này hệ phương trình vi phân x(t) = f (t, x(t), h(x(t))), t 0, là ổn định tiệm cận Hàm h(x) thường gọi là hàm điều khiển... trong đó 1 1 a2 + b2 0, i 1 1 ai = suptR+ Ai (t) , P BM + (0, ) vi phân Riccati (2.11) với là nghiệm của phương trình Q(t) = C T (t)C(t) + ( + 1 + 2 h)I Hơn nữa, hàm điều khiển ngược là u(t) = B T (t)P (t)x(t), t 0 Ví dụ 2.3.3: Xét trong Rn , x Rn , x = (x1 , x2 , , xn ) với chuẩn n x2 i x = 1 2 < + i=1 Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm có trễ x(t) = A(t)x(t) + A1 (t)x(t 3)... nghiệm của phương trình vi phân Riccati T P + AT P + P A P B B P + A + AT + C T C + I = 0 với (2.7) > 0 Chứng minh Chọn > 0, bởi Bổ đề 1.5.4, sao cho Q(t) = A(t) + AT (t) + C T (t)C(t) + I 0 Kết hợp với (2.7) có T P + AT P + P A P B B P + Q(t) = 0, (2.8) áp dụng Bổ đề 1.5.5 với điều kiện điều khiển được đều hoàn toàn của hệ [A (t), B (t)]; A (t), B (t) bị chặn, Q BM + (0, ), phương trình (2.8)... a2 + b2 ) 0, 1 1 1 31 (2.12) trong đó p = suptR+ P (t) , P BM + (0, ) là nghiệm của phương trình vi phân Riccati (2.11) với Q(t) = C T (t)C(t) + ( + 1 + 2 h)I Hơn nữa hàm điều khiển ngược là u(t) = B T (t)P (t)x(t), Chứng minh Giả sử hệ t 0 [A(t), B(t)] là điều khiển được hoàn toàn Theo bổ đề 1.5.4, phương trình Riccati (2.11) với Q(t) = C T (t)C(t) + ( + 1 + 2 h)I có nghiệm P BM + ([0, ), X)... Bài cho hệ (2.1) có lời giải nếu tồn tại P M (Rn ) thoả mãn + phương trình vi phân Riccati (RDE) P (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t) 1 T P (t) B(t)B T (t) B1 (t)B1 (t) P (t) + I = 0, (2.3) và hàm điều khiển ngược là u(t) = B T (t)P (t)x(t), t 0 Chứng minh Giả sử hệ [A(t), B(t)] là điều khiển được đều hoàn toàn, theo bổ đề 1.5.5, phương trình RDE (2.3) có nghiệm P (t) M (Rn ) thoả mãn điều + kiện 1... định trên [0, ) mà là khả tích địa phương lấy giá trị trong Rm sẽ được gọi là điều khiển chấp nhận được của hệ (1.3) Lớp các hàm điều khiển chấp nhận được thông thường là các hàm trong Lp ([0, ), Rm ) Xét hệ điều khiển tuyến tính (1.3) với giá trị ban đầu Khi đó ứng với mỗi điều khiển chấp nhận được x(0) = x0 cho trước u(t), bài toán Cauchy của hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.3) luôn có nghiệm... dương Bổ đề 1.5.2: W Rnìn , vô hướng 0 và hàm véctơ : [0, ] Rn sao cho các tích phân có liên quan đều xác định, ta có T (s)ds W 0 (s)ds 0 Bổ đề 1.5.3: [7] T (s)W (s)ds 0 Với bất kì ma trận A(t) bị chặn trên R+ , tồn tại Q BM + (0, ) thoả mãn Q(t) A(t) 0 Kết hợp với hệ điều khiển (1.3), xét phương trình vi phân Riccati P (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t) P (t)B(t)B T (t)P (t) + Q(t) = 0 (1.11)... với giả thiết DT (t)[C(t), D(t)] = [0, I], t 0 24 (2.4) ta có bổ đề sau: Bổ đề 2.2.1: Bài toán điều khiển H cho hệ (2.1) có lời giải nếu tồn tại ma trận X BM U + (0, ), R BM U + (0, ) sao cho phương trình vi phân Riccati sau thoả mãn 1 T X + AT X + XA X[BB T B1 B1 ]X + C T C + R = 0, t 0 (2.5) Hàm điều khiển ngược là u(t) = B T (t)X(t)x(t), Chứng minh với Với hàm điều khiển ngược t 0 u(t) = B