Lí thuyết sác xuất trên không gian Banach

Lí thuyết sác xuất trên không gian Banach

Mục lục Lời mở đầu i 1 Kiến thức chuẩn bị 1 1.1 Biến ngẫu nhiên với giá trị trong không gian Banach . . 1 1.2 Biến Rademacher, nguyên lý Co . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Các bất đẳng thức đối với biến ngẫu nhiên thực và Mar- tingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Bất đẳng thức đẳng chu của tích độ đo . . . . . . . . . 12 2 Tổng của các biến ngẫu nhiên độc lập 13 2.1 Đối xứng hoá và một số bất đẳng thức của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Tính khả tích của tổng đại lượng ngẫu nhiên độc lập . . 23 2.3 Sự tập trung và dáng điệu đuôi . . . . . . . . . . . . . . 43 3 Luật mạnh số lớn 56 3.1 Phát biểu chung cho định lý giới hạn . . . . . . . . . . . 56 3.2 Các luật số lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Kết luận 78 Tài liệu tham khảo 80 i Lời nói đầu Lý thuyết xác suất ra đời vào thế kỷ 17 bởi các nhà toán học Pháp. Tuy nhiên, phải đến nửa đầu thế kỷ 20 mới thực sự có một cơ sở vững chắc. Kể từ đó môn khoa học này không ngừng phát triển. Ngày nay nó đã trở thành một ngành toán học lớn chiếm vị trí quan trọng, không chỉ có nhiều ứng dụng mà còn là một ngành toán có tầm lý thuyết ở trình độ cao. Lý thuyết xác suất trong không gian Banach là một nhánh mới của toán học, nhằm mở rộng để nghiên cứu vector ngẫu nhiên vô hạn chiều. Đó là một sự khái quát tự nhiên của quá trình ngẫu nhiên, đã được nhiều nhà toán học nghiên cứu như A. Beck, B. Maurey, G.Pisier, J-P. Kahane, J. Hoffmanm-Jorgensen, với nhiều kết quả quan trọng được tìm thấy . Do đó, tôi đã chon đề tài "Một số vấn đề của lý thuyết xác suất trên không gian Banach" để làm đề tài luận văn tốt nghiệp thạc sĩ của mình. Tìm hiểu vấn đề này, tôi mong muốn sẽ nắm bắt được những kết quả cơ bản của thế hệ trước đã đạt được, và cố gắng rút ra những kết luận, nhận xét của riêng mình. Từ đó trang bị cho mình vốn kiến thức và phương pháp nghiên cứu để có thể đi sâu vào lĩnh vực đó. Với khả năng và thời gian có hạn, nên tôi chỉ dừng lại ở việc nghiên cứu tổng các biến ngẫu nhiên độc lập cùng luật số lớn trong không gian Banach. Với lý do đó, bản luận văn được chia làm ba chương. Chương 1: Những kiến thức chuẩn bị của luận văn. Trong chương này, tác giả nêu những khái niệm cơ bản về biến ngẫu nhiên trong không gian Banach, chuổi biến Rademacher và bất đẳng thức đẳng chu. Đây là những kết quả quan trọng nhất để nghiên cứu tổng các biến ngẫu nhiên trong không gian Banach ở các chương sau. Chương 2 Trình bày về tổng của các biến ngẫu nhiên độc lập. Đây là một trong hai chương chính của luận văn. Trong chương này, được chia thành ba phần: Phần đầu xem xét phương pháp đối xứng hoá trong ii nghiên cứu các tính chất của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập, với các bất đẳng thức quan trọng như bất đẳng thức co. Phần hai nghiên cứu tính khả tích của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập với các định lý quan trọng là định lý 2.11 và 2.11. Phần cuối, quan trọng nhất với việc sử dụng bất đẳng thức đẳng chu để đánh giá biến cố đuôi, ở định lí 2.29. Chương 3 Trình bày về luât mạnh số lớn của tổng các biến ngẫu nhiên trong không gian Banach. Nghiên cứu sự hội tụ hầu chắc chắn của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập. Chương này được chia làm hai phần: Phần đầu nêu phát biểu chung của định lý giới hạn với kết quả quan trọng nhất là định lý 3.5; phần hai là áp dụng phát biểu chung đưa ra các luật số lớn cụ thể. Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy, người hướng dẫn khoa học của mình là GS. TSKH Đặng Hùng Thắng. Người đã đưa ra đề tài và hướng dẫn tận tình trong suốt quá trình nghiên cứu của tác giả. Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, đã tạo mọi điều kiện cho tác giả về kiến thức, tài liệu và thủ tục hành chính để tác giả hoàn thành bản luận văn này. Hà Nội, năm 2009 Học viên Tạ Công Sơn iii Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Phần này, ta sẽ đưa ra một số khái niệm và kết quả cần dùng trong phần tiếp theo như: Các khái niệm, tính chất cơ bản liên quan tới biến ngẫu nhiên với giá trị trong không gian Banach; bất đẳng thức đẳng chu; bất đẳng thức co; và dãy biến Rademacher với các tính chất của nó. Với mục tiêu chính của luân văn là nghiên cứu về tổng các biến ngẫu nhiên trong không gian Banach. Vì vậy, chương này chỉ chứng minh hai bất đẳng thức về dãy tổng riêng là bất đẳng thức Levy và bất đẳng thức Ottavani-Kolmogorov. 1.1 Biến ngẫu nhiên với giá trị trong không gian Banach Ở đây, trình bày một số khái niệm và tính chất liên quan tới biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach như: Khái niệm về biến ngẫu nhiên với giá trị trong không gian Banach, các sự hội tụ trong của biến ngẫu nhiên trong không gian Banach, tính khả tích. Ký hiệu B là không gian Banach trên R với chuẩn ., B  là không gian liên hợp của B. Giả thiết không gian xác suất (Ω,A, P) là đầy đủ, và không gian B thoả mãn điều kiện: tồn tại tập đếm được D là tập con của hình cầu 1 đơn vị trong không gian liên hợp B  sao cho : x = sup f∈D |f(x)| (với x ∈ B). Một biến ngẫu nhiên hoặc véc tơ ngẫu nhiên với giá trị trong không gian Banach B là một ánh xạ đo được X từ không gian xác suất (Ω,A, P) vào B, với B được trang bị trên đó một σ đại số sinh bởi các tập mở của B. Biến ngẫu nhiên X với giá trị trong B được gọi là Radon, nếu mỗi ε > 0, tồn tại tập compac K(ε) trong B sao cho P{X ∈ K} ≥ 1 − ε. Nói cách khác, độ đo ảnh của P qua X là một độ đo Radon trên (B,B). Hay tương đương với X nhận hầu hết các giá trị trong một không gian tuyến tính đóng, tách được. Hơn nữa, điều này lại tương đương với tính chất: X là giới hạn hầu chắc chắn của dãy hàm đơn giản:  i x i I A i với x i ∈ B, A i ∈ A. Đối với biến ngẫu nhiên X, khi đó độ đo xác suất ảnh trên B µ = µ X của P qua X được gọi là phân phối xác suất của X. Khi đó phân phối của biến ngẫu nhiên Radon là hoàn toàn được xác định bởi hình chiếu của nó; chính xác hơn, nếu X,Y là các biến ngẫu nhiên Radon sao cho mọi f ∈ B  : f(X) và f(Y ) (như là biến ngẫu nhiên thực) có cùng phân phối thì µ X = µ Y . Kết hợp với định lý trong trường hợp thực, thì ta có : các phiếm hàm đặc trưng trên B  : E exp{if(X)} =  B exp{if(x)}dµ(x) f ∈ B  xác định hoàn toàn phân phối của X. Nếu biến ngẫu nhiên X có phân phối thoả mãn µ X = µ (−X) thì ta nói biến ngẫu nhiên X là đối xứng. Ta nói, µ n hội tụ yếu tới µ và ký hiệu µ n ⇒ µ nếu và chỉ nếu lim n→∞  ϕdµ n =  ϕdµ 2 với mọi ϕ liên tục và bị chặn trên B. Không gian tất cả các độ đo xác suất Radon trên (B, P(B)) cùng với tô pô yếu xác định từ sự hôi tụ yếu ở trên là không gian metric đủ. Vì vậy để kiểm tra dãy µ n hội tụ yếu ta cần chỉ ra (µ n ) compac yếu đồng thời tất cả các giới hạn có thể là như nhau. Đối với điều kiện đầu, một tiêu chuẩn quan trọng để kiểm tra là định lý Prokhonov: Tập (µ i ) i∈I trong P(B) là compac tương đối với tô pô yếu khi và chỉ khi mọi ε > 0, tồn tại tập compac K trong B để µ i (K) ≥ 1 − ε với mọi i ∈ I. Dãy (X n ) các biến ngẫu nhiên Radon với giá trị trong B gọi là hội tụ đến X nếu dãy phân phối µ X n ⇒ µ X . Để kiểm tra (X n ) hội tụ yếu đến X ta cần kiển tra f(X n ) hôi tụ yếu tới f(X) với mọi f ∈ B  và dãy (X n ) là chặt theo nghĩa: Mọi ε > 0, tồn tại tập compac K trong B với P(X n  > ε) ≥ 1 − ε với mọi n hoặc n đủ lớn. Dãy (X n ) gọi là hội tụ theo xác suất tới X nếu với mọi ε > 0 lim n→∞ P{X n − X > ε} = 0. Dãy được gọi là bị chặn theo xác suất ( hay bi chặn ngẫu nhiên) nếu với mỗi ε > 0 tồn tại A > 0 sao cho sup P{X n  > A} < ε. Ta có, nếu (X n ) hội tụ theo xác suất thì nó hội tụ yếu. Điều ngược lại đúng nếu phân phối giới han tập trung tại một điểm. Do đó, muốn kiểm tra (X n ) hội tụ theo xác suất về 0 thì chỉ cần kiểm tra (X n ) là chặt và tất cả các giới hạn có thể bằng 0. Nếu 0 < p ≤ ∞, kí hiệu L p (B) = L p (Ω,A, P, B) là không gian tất cả các biến ngẫu nhiên X (trên (Ω,A, P)) nhận giá trị trong B, sao choX p khả tích EX p =  X p dP < ∞, p < ∞. 3 và X ∞ = esssupX < ∞, p = ∞. Khi đó L p (B) cùng với X p = (EX p ) 1/p là một không gian Banach với 1 ≤ p ≤ ∞ (và là không gian vector metric với 0 < p < 1 ). Nếu (X n ) hội tụ tới X trong L p (B), thì ta nói (X n ) hội tụ trung bình tới X. Và khi (X n ) hội tụ trung bình tới X thì nó cũng hội tụ theo xác suất tới X. Dãy (X n ) hội tụ hầu chắc chắn tới X nếu P{ lim n→∞ X n = X} = 1. Dãy (X n ) là bị chặn hầu chắc chắn nếu P{sup n X n < ∞} = 1. Khác với sự hội tụ theo xác suất, hội tụ hầu chắc chắn không metric hoá được, và rõ ràng hội tụ hầu chắc chắn kéo theo hội tụ theo xác suất. Ở phần tiếp theo, ta nêu một số định nghĩa và tính chất liên quan đến tính khả tích. Một biến ngẫu nhiên Radon X với giá trị trong B gọi là khả tích mạnh nếu X khả tích (tức thuộc L 1 (B)). Bây giờ, ta định nghĩa một loại khả tích khác đó là khả tích yếu (khả tích Pettis): Giả sử, biến ngẫu nhiên Radon X thoã mãn: với mỗi f ∈ B  , biến ngẫu nhiên thực f(X) khả tích. Nếu ta xét toán tử T : B  −→ L 1 (Ω,A, P) định nghĩa bởi T (f) = f(X) thì T là toán tử bị chặn, vì vậy xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên B  , nó là một phần tử trong B  . Nếu phần tử này thực sự thuộc B thì ta ký hiệu phần tử đó là EX và khi đó ta nói X là khả tích yếu (hay khả tích Pettis). Nói cách khác, nếu tồn tại a ∈ B sao cho với mọi f ∈ B  , ta có Ef(X) = f(a) thì X là khả tích yếu, và viết EX = a. Nếu biến ngẫu nhiên Radon X khả tích mạnh thì khả tích yếu. Đồng thời ta có EX ≤ EX 4 Ở đây ta cũng nhắc lại một tính chất quan trọng được thiết lập từ bất đẳng thức Jensen và tính độc lập. Nếu X là biến ngẫu nhiên Radon với giá tri trong B mà EX = 0 ( tức Ef(X) = 0 với mọi f ∈ D) ta nói X có kỳ vọng không hay X là quy tâm. Với F là một hàm lồi trong R + , X, Y là 2 biến ngẫu nhiên độc lập lấy giá trị trong B sao cho EF (X) < ∞ và nếu Y có kì vọng 0. Ta có: EF (X + Y ) ≥ EF (X). (1.1) Tiếp theo ta sẽ chứng minh hai bất đẳng thức quan trọng của dãy tổng riêng của dãy biến ngẫu nhiên độc lập (có thể tham khảo các chứng minh này trong [1]) Định lý 1.1. (Bất đẳng thức Levy) Cho(X i ) là biến ngẫu nhiên đối xứng nhận giá trị trong B. Với mọi k, đặt S k = k  i=1 X i . Thì với mọi số nguyên N và t > 0 ta có: P{max k≤N S k  > t} ≤ 2P{S N  > t} và P{max i≤N X i  > t} ≤ 2P{S N  > t}. Nếu (S k ) hội tụ theo xác suất tới S, thì ta có bất đẳng thức mở rộng sau P{max k S k  > t} ≤ 2P{S > t} và tương tự, khi thay S i bởi X i . Hơn nữa, nếu tính khả tích đươc đảm bảo thì với mỗi p: 0 < p < ∞ E max k≤N S k  p ≤ 2ES N  p và tương tự, khi thay S k bởi X k . Chứng minh. Ta chỉ chứng minh khẳng định đầu, các khẳng định khác chứng minh tương tự. Đặt τ = inf{k ≤ N : S k  > t} 5 Khi đó N  k=1 {τ = k} = {max k≤N S k  > t}. Vậy P{S N  > t} = N  k=1 P{S n  > t, τ = k}. (∗) Lại do, với mọi k thì (−X 1 , .,−X k , X k+1 , ., X N ) cùng phân phối với (X 1 , ., X N ) và {τ = k} chỉ phụ thuộc vào X 1 , ., X k nên ta cũng có: P{S N  > t} = N  k=1 P{S k − R k  > t, τ = k} (∗∗) ở đây R k = S N − S k . Cộng vế với vế (*) và (**) và dùng bất đẳng thức tam giác, ta có: 2P{S N  > t} = N  k=1 P{τ = k} = P{max k≥N S k  > t}. Được điều phải chứng minh. Bất đẳng thức tiếp theo được đề cập tới là bất đẳng thức Ottavani- Kolmogorov. Chứng minh của nó được suy ra theo kiểu chứng minh của bất đẳng thức Levy. Định lý 1.2. Cho {X i } i≤N là dãy biến ngẫu nhiên Borel độc lập với các giá trị trong không gian Banach tách được B. Xét S k = k  i=1 X i (k ≤ N) thì với mọi s, t > 0 P{max k≤N S k  > s + t} ≤ P{S N  > t} 1 − max k≤N P(S N − S k  > s) Chứng minh. Xét τ =      inf{k ≤ N : S k  > s + t} nếu tồn tại k như thế +∞ nếu không tồn tại k như vậy 6 Khi đó {τ = k} chỉ phụ thuộc vào X 1 , X 2 , . . . , X k và N  k=1 {τ = k} = {max k≤N S k  > s + t} nên N  k=1 P{τ = k} = P{max k≤N S k  > s + t}. Ta thấy, khi S k  > s + t ⇒ S N  ≥ S k  − S N − S k  > t. Vậy nên, khi τ = k và S N − S k  ≤ s thì S N  > t. Cùng với tính độc lập của {τ = k} và S N − S k nên: P{S N  > t} = P({S N  > t}  N  k=1 {τ = k}) = N  k=1 P{τ = k,S N  > t} ≥ N  k=1 P{τ = k,S N − S k  > s} = N  k=1 P{S N − S k  > s}P{τ = k} ≥ inf P{S N −S k  ≤ s} N  k=1 P{τ = k} = (1 − max P{S N − S k  > s})P{maxS N  > s + t} ⇒ đpcm 1.2 Biến Rademacher, nguyên lý Co Việc nghiên cứu trực tiếp chuỗi ngẫu nhiên trong không gian Banach là khó khăn. Vì vậy, như một bước trung gian ta sẽ nghiên cứu các kết quả cho trường hợp chuỗi đặc biệt dạng  i x i ε i , với ε i là các biến ngẫu nhiên thực nào đó. Như là một phép nhúng biến ngẫu nhiên thực vào không gian các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach. Dưới đây, ta xem xét các tính chất của chuổi dạng trên. 7 [...]... Tư tưởng của định lý trên là phân hoạch không gian thành các miền để đánh giá trên từng miền Tác giả suy nghĩ rằng nếu ta phân hoạch không gian mịn hơn ta sẽ có những đánh giá tốt hơn ở đây, chẳng han ta đặt: τ1 = inf{j ≤ N : Sj > t} τ2 = inf{j ≤ N : Xj > s} sau đó đánh giá trên từng miền (τ1 , τ2 ) = (i, j) Tuy nhiên, tác giả vẫn chưa giả quyết được vấn đề này Bất đẳng thức ở trên được sử dụng chủ... phân của kỳ vọng ta suy ra tính chất sau: Nếu F là hàm không giảm, và khả vi thì ta có: ξi Xi ) ≤ 2EF ( EF ( i ζi Xi ) i Nhận xét cuối cùng là xuất phát từ câu hỏi nếu (Xi ) không đối xứng thì bất đẳng thức của định lý còn đúng không? Ta có kết quả như sau: Nếu (Xi ) không nhất thiết đối xứng nhưng có kỳ vọng không cùng với các giả thiết khác như trên định lý thì ξi Xi ) ≤ EF (2 EF ( i ζi Xi ) i Chứng... ngẫu nhiên thực, cho trường hợp biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach Chẳng hạn về sự hội tụ, về tính khả tích, về các đánh giá của biến cố đuôi Tuy nhiên, chúng ta cần nhấn mạnh rằng trong không gian Banach tổng quát, thiếu hẳn giả thiết trực giao E( Xi )2 = EXi2 ; với (Xi ) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có kì vọng không Vì vậy việc mở rộng này sẽ là công việc tương đối khó khăn... 1.11 Với A là tập đo được với độ đo tích trong không gian EN Khi đó, có hằng số K để: P∗ (H(A, q, k)) ≥ 1 − [K( 1 ln( P(A) ) k 1 + )]k q với P∗ là độ đo xác suất ngoài 1 Đặc biệt, với P(A) ≥ và k ≥ q ta có: 2 P∗ (H(A, q, k)) ≥ 1 − ( Ko k ) q (1.6) Khi đó, với dãy biến ngẫu nhiên (Xn )n≤N độc lập nhận giá trị trong không gian đo được E, thì tồn tại không gian xác suất tích ΩN sao cho với ω = (ωn )n≤N... điều đó, ta bắt đầu bằng định lí Levy-ItoNisio cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập không nhất thiết đối xứng (có thể chứng minh trực tiếp định lí này bằng cách áp dụng tiêu chuẩn ε − K của Prokhorov và bất đẳng thức Ottavani-Kolmogorov, được trình bày trong [2] và [7]) 16 Định lý 2.6 Cho {Xi } là dãy biến ngẫu nhiên Borel độc lập với các giá n Xi (n ≥ 1) Các trị trong không gian Banach tách được B Xét Sn =... 1.4 (Bất đẳng thức Co) Cho F : R+ → R+ là lồi, không giảm Mỗi dãy hữu hạn (xi ) trong không gian Banach B và mỗi dãy số thực (αi ) sao cho với mọi i, αi ≤ 1 với mọi i Ta có: αi εi xi ) ≤ EF ( EF ( εi xi ) εi xi > t) i (1.3) i αi εi xi > t) ≤ 2P( P( (1.2) i i Cho ánh xạ ϕ : R → R là ánh xạ co khi |ϕ(s) − ϕ(t)| ≤ |s − t| với mọi s, t ∈ R Nếu h là một ánh trên tập T , chúng ta đặt: h(t) T = h T = sup h(t)... (Sn ) hội tụ yếu tới biến ngẫu nhiên S, trên không gian xác suất khác (Ω , A , P ); ta xét bản sao (Xi ) của (Xi ) và xét Sn = n Xn i=1 Khi đó (Sn ) hội tụ yếu tới S , là biến ngẫu nhiên có cùng phân phối với S Đặt Sn = Sn − Sn ;S = S − S định nghĩa trên Ω × Ω, vậy (Sn ) là đối yếu xứng Lại do tính liên tục của tích chập nên Sn −→ S, theo chứng minh − 18 h.c.c trên thì Sn − → S Khi đó tồn tại ω trong... đối xứng của (Xi ) ta suy ra điều phải chứng minh 2.2 Tính khả tích của tổng đại lượng ngẫu nhiên độc lập Phần này ta xem xét tính khả tích của tổng các đại lượng ngẫu nhiên độc lập có giá trị trên không gian Banach Điều đó dẫn đến, cần có một 23 đánh giá cho các biến cố đuôi Ở đây sẽ đưa ra vài ý tưởng đơn giản, đặc biệt là một bất đẳng thức quan trọng của J.Hoffmann- Jorgensen và một số hệ quả của... xứng hoá Nếu X là biến ngẫu nhiên bất kỳ xác định trên (Ω, A, P); ta có thể xây dựng một biến ngẫu nhiên đối xứng theo nghĩa X = X − X , xác định trên (Ω × Ω , A × A , P × P ) và được gọi là đối xứng hoá của X Với X’ là bản sao độc lập với X (xây dựng trên không gian xác suất khác (Ω , A , P )) Phân phối của X và X-X’ là thực sự liên quan; chẳng hạn, ta có một số bất đẳng thức sau: Định lý 2.1 Với mọi... chặt với giới hạn duy nhất là 0, suy ra Xi − 0 → Khi đó ta có (ii), vì nếu không thì (Sn ) là dãy cauchy theo xác suất nên tồn tại ε > 0 và dãy tăng (nk ) để Tk = Snk+1 − Snk không hội tụ theo xác suất tới 0, nhưng vì Tk = Xi hội tụ yếu nên ta lại áp dụng lý luận k i P Tk thì dẫn đến Tk − 0, điều này là vô lý Vây ta đã chứng → trên cho k minh được (ii) Ta chứng minh (ii) ⇒ (i) P Do Sn − S, khi đó tồn . trị trong không gian Banach, các sự hội tụ trong của biến ngẫu nhiên trong không gian Banach, tính khả tích. Ký hiệu B là không gian Banach trên R với. tục và bị chặn trên B. Không gian tất cả các độ đo xác suất Radon trên (B, P(B)) cùng với tô pô yếu xác định từ sự hôi tụ yếu ở trên là không gian metric