bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán bằng máy tính cầm tay toán lớp 9

b Nếu với số tiền trên, người đó gửi tiết kiệm theo kỳ hạn 3 tháng với lãi suất0,63% một tháng thì sau 10 năm sẽ nhận được bao nhiêu tiền cả vốn lẫn lãi ở ngân hàng .Biết rằng người đó

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH CHƯƠNG

CHUYÊN ĐỀ VỀ LÃI SUẤT NGÂN HÀNG

I MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ XÂY DỰNG CÔNG THỨC :

1 Lãi đơn (simple interest)

Lãi đơn là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số

tiền gốc sinh ra Công thức tính lãi đơn như sau:

A = a.r.n

Trong đó A là lãi đơn, a là số tiền gốc, r là lãi suất kỳ hạn và n là số kỳ hạn tính lãi

Ví dụ : Bạn An ký gửi 10 000 000 đồng vào tài khoản định kỳ tính lãi đơn với lãi

suất là 8%/năm Sau 10 năm số tiền gốc và lãi bạn thu về là:

10 000 000 +10 000 000(0,08)(10) = 18 000 000 đồng

2 Lãi kép (compound interest)

Lãi kép là số tiền lãi không chỉ tính trên số tiền gốc mà còn tính trên số tiền lãi do

số tiền gốc sinh ra Nó chính là lãi tính trên lãi, hay còn gọi là ghép lãi (compounding) Kháiniệm lãi kép rất quan trọng vì nó có thể ứng dụng để giải quyết rất nhiều vấn đề trong tàichính

3 Lãi kép liên tục (continuous cpompound interest)

Lãi kép liên tục là lãi kép khi số lần ghép lại trong một thời kỳ (năm) tiến đến vô

cùng Nếu trong một năm ghép lãi một lần thì chúng ta có lãi hàng năm (annually), nếu ghéplãi 2 lần thì chúng ta có lãi bán niên (semiannually), 4 lần có lãi theo quý (quarterly), 12 lần

có lãi theo tháng (monthly), 365 lần có lãi theo ngày (daily), … Khi số lần ghép lãi lớn đến

vô cùng thì việc ghép lãi diễn ra liên tục Khi ấy chúng ta có lãi liên tục (continuously)

II CÁC DẠNG TOÁN:

1/ Lãi xuất từ 1 giá trị không đổi qua thời gian : ( lãi kép )

1.1 Gửi vào ngân hàng số tiền là a đồng, với lãi suất hàng tháng là r% trong n tháng Tính cả vốn lẫn lãi A sau n tháng?

Gọi A là tiền vốn lẫn lãi sau n tháng ta có:

1)

A ln a n

r



(ln trong công thức 1 là Lôgarit Nêpe, trên m áy fx-500 MS và fx-570 MS phím

Ví dụ 2: Một người có 58 000 000đ muốn gởi vào ngân hàng để được 70 021 000đ.

Hỏi phải gởi tiết kiệm bao lâu với lãi suất là 0,7% tháng?

Giải

-Số tháng tối thiểu phải gửi là:

70021000ln

58000000n

(Chú ý: Nếu không cho phép làm tròn, thì ứng với kết quả trên số tháng tối thiểu là

Ví dụ 4: Mỗi tháng gửi tiết kiệm 580 000đ với lãi suất 0,7% tháng Hỏi sau 10

tháng thì lãnh về cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu?

Ví dụ 5: Muốn có 100 000 000đ sau 10 tháng thì phải gửi quỹ tiết kiệm là bao

nhiêu mỗi tháng Với lãi suất gửi là 0,6%?

2/ Lãi suất từ giá trị thêm vào vào theo quãng thời gian đều : ( lãi liên tục )

Ví dụ 6 : Một người gửi tiết kiệm 10 000 000 đồng vào một ngân hàng theo mức kỳhạn 6 tháng với lãi suất 0,65% một tháng

a) Hỏi sau 10 năm, người đó nhận được bao nhiêu tiền (cả vốn lẫn lãi ) ở ngânhàng Biết rằng người đó không rút lãi ở tất cả các định kỳ trước đó

b) Nếu với số tiền trên, người đó gửi tiết kiệm theo kỳ hạn 3 tháng với lãi suất0,63% một tháng thì sau 10 năm sẽ nhận được bao nhiêu tiền ( cả vốn lẫn lãi ) ở ngân hàng Biết rằng người đó không rút lãi ở tất cả định kỳ trước đó

Nhận xét:

 Cần phân biệt rõ cách gửi tiền tiết kiệm:

+ Gửi số tiền a một lần -> lấy cả vốn lẫn lãi A

+ Gửi hàng tháng số tiền a -> lấy cả vốn lẫn lãi A

 Cần phân tích các bài toán một cách hợp lý để được các khoảng tính đúng đắn

 Có thể suy luận để tìm ra các công thức từ 1) -> 4) tương tự như bài toán mở đầu

 Các bài toán về dân số cũng có thể áp dụng các công thức trên đây

3/ Bài toán về dân số :

Cho biết tại một thời điểm gốc nào đó, dân số của một quốc gia B là a người

; tỉ lệ tăng dân số trung bình mỗi năm của quốc gia đó là m%.

Hãy xây dựng công thức tính số dân của quốc gia B đến hết năm thứ n.

A = a ( 1 + m ) n

Từ công thức trên ta suy ra công thức tính các đại lượng khác như sau :

1)

Alnan

Ví dụ 1 : Dân số nước ta tính đến năm 2001 là 76,3 triệu người Hỏi đến năm

2010 dân số nước ta là bao nhiêu nếu tỉ lệ tăng dân số trung bình mỗi năm là 1,2%?

Ví dụ 2: Đến năm 2020, muốn cho dân số nước ta có khoảng 100 triệu người

thì tỉ lệ tăng dân số trung bình mỗi năm là bao nhiêu?

Giải :

19100000000

176300000

m   = %

Ví dụ 3 : Dân số xã Hậu Lạc hiện nay là 10000 người Người ta dự đoán sau 2

năm nữa dân số xã Hậu Lạc là 10404 người

a) Hỏi trung bình mỗi năm dân số xã Hậu Lạc tăng bao nhiêu phần trăm ?b) Với tỉ lệ tăng dân số như vậy, hỏi sau 10 năm dân số xã Hậu Lạc là baonhiêu?

Giải : Câu a) là tìm m

Câu b) là tìm A

III BÀI TẬP TỰ LUYỆN :

Bài 1 : Một người muốn rằng sau hai năm phải có 20 000 000đ (hai mươi triệu

đồng) để mua xe máy Hỏi phải gửi vào ngân hàng một khoản tiền như nhau hàng tháng làbao nhiêu, biết rằng lãi suất tiết kiệm là 0,075% tháng

Bài 2 : Một số tiền là 580000đ được gửi tiết kiệm theo lãi kép (sau mỗi tháng tiền

lãi được cộng thành vốn) sau 25 tháng thì được cả vốn lẫn lãi là 84155đ Tính lãi suất /tháng(tiền lãi của 100đ trong một tháng)

Bài 3 : Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền là 1 000 000đ với lãi suất

0,45% một tháng

Hỏi sau 2 năm người ấy nhận được bao nhiêu tiền lãi? (làm tròn đến hàng đơn vị)

Bài 4 : Dân số tỉnh Lâm Đồng trong 2 năm tăng từ 30 000 000 người lên đến 30

048 288 người

Tính tỉ lệ tăng dân số hàng năm của tỉnh Lâm Đồng trong 2 năm đó?

(Kết quả làm tròn hai chữ số thập phân)

Bài 5 : Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng một số tiền là 5 triệu đồng với lãi

suất là 1,35 % trên một tháng.Hỏi sau 1 năm người ấy nhận được tất cả bao nhiêu tiền cảgốc lẫn lãi ?

Bài 6 :

1) Một người gửi vào ngân hàng một số tiền làađồng với lãi suất làm% mộttháng Biết rằng người đó không rút tiền lãi ra Hỏi sau n tháng người ấy nhận được baonhiêu tiền cả gốc lẫn lãi?

Áp dụng bằng số: a= 10000000, m= 0,8, n = 12

2) Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng một số tiền làađồng với lãi suất làm

% một tháng Biết rằng người đó không rút tiền lãi ra Hỏi cuối tháng thứ n người ấy nhậnđược bao nhiêu tiền cả gốc lẫn lãi?

Cho a= 1000000, m= 0,8, n = 12 Hỏi số tiền lãi là bao nhiêu?

Bài 7 : Một người gửi tiết kiệm 100.000.000 đồng (tiền Việt Nam) vào một ngân

hàng theo mức kỳ hạn 6 tháng với lãi suất 0,65% một tháng

a) Hỏi sau 10 năm, người đó nhận được bao nhiêu tiền (cả vốn và lãi) ở ngânhàng? Biết rằng người đó không rút lãi ở tất cả các định kỳ trước đó

b) Nếu với số tiền trên, người đó gửi tiết kiệm theo mức kỳ hạn 3 tháng với lãi suất0,63% một tháng thì sau 10 năm sẽ nhận được bao nhiêu tiền (cả vốn và lãi) ở ngân hàng?Biết rằng người đó không rút lãi ở tất cả các định kỳ trước đó

(Kết quả lấy theo các chữ số trên máy khi tính toán.)

Đáp số: Ta  214936885,3 đồng; Tb  211476682,9 đồng

Bài 8 :

a) Bạn Toán gửi tiết kiệm một số tiền ban đầu là 2000000 đồng với lãi suất 0,58%một tháng (gửi không kỳ hạn) Hỏi bạn Toán phải gửi bao nhiêu tháng thì được cả vốn lẫnlãi bằng hoặc vượt quá 2600000 đồng ?

b) Với cùng số tiền ban đầu nhưng số tháng gửi ít hơn số tháng ở câu a) là 1 tháng,nếu bạn Toán gửi tiết kiệm có kỳ hạn 3 tháng với lãi suất 0,68% một tháng, thì bạn Toán sẽnhận được số tiền cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu? (Biết rằng trong các tháng của kỳ hạn, chỉcộng thêm lãi chứ không cộng vốn và lãi tháng trước để tính lãi tháng sau Hết một kỳ hạn,lãi sẽ được cộng vào vốn để tính lãi trong kỳ hạn tiếp theo)

Bài 9 : Một người gửi tiền bảo hiểm cho con từ lúc con tròn 6 tuổi, hàng tháng anh

ta đều đặn gửi vào cho con 300 000 đồng với lãi suất 0,52% một tháng Trong quá trình đóngười này không rút tiền ra Đến khi con tròn 18 tuổi số tiền đó sẽ dùng cho việc học nghề

và làm vốn cho con

a) Hỏi khi đó số tiền rút ra là bao nhiêu(làm tròn đến hàng đơn vị)

b) Với lãi suất và cách gửi như vậy, đến khi con tròn 18 tuổi, muốn số tiền rút rakhông dưới 100 000 000 đồng thì hàng tháng phải gửi vào cùng một số tiền là bao nhiêu?(làm tròn đến hàng đơn vị).

Bài 10 :

a) Một người vay vốn ở một ngân hàng với số vốn là 50 triệu đồng, thời hạn 48tháng, lãi suất 1,15% trên tháng, tính theo dư nợ, trả đúng ngày qui định Hỏi hàng tháng,người đó phải đều đặn trả vào ngân hàng một khoản tiền cả gốc lẫn lãi là bao nhiêu để đếntháng thứ 48 thì người đó trả hết cả gốc lẫn lãi cho ngân hàng?

b) Nếu người đó vay 50 triệu đồng tiền vốn ở một ngân hàng khác với thời hạn 48tháng, lãi suất 0,75% trên tháng, trên tổng số tiền vay thì so với việc vay vốn ở ngân hàngtrên, việc vay vốn ở ngân hàng này có lợi gì cho người vay không?

Bài 11 :

a) Một người vay vốn ở một ngân hàng với số vốn là 50 triệu đồng, thời hạn 48tháng, lãi suất 1,15% trên tháng, tính theo dư nợ, trả đúng ngày qui định Hỏi hàng tháng,người đó phải đều đặn trả vào ngân hàng một khoản tiền cả gốc lẫn lãi là bao nhiêu để đếntháng thứ 48 thì người đó trả hết cả gốc lẫn lãi cho ngân hàng?

b) Nếu người đó vay 50 triệu đồng tiền vốn ở một ngân hàng khác với thờihạn 48 tháng, lãi suất 0,75% trên tháng, trên tổng số tiền vay thì so với việc vay vốn ở ngânhàng trên, việc vay vốn ở ngân hàng này có lợi gì cho người vay không?

Giải :

a) Gọi số tiền vay của người đó là N đồng, lãi suất m% trên tháng, số tháng vay là

n, số tiền phải đều đặn trả vào ngân hàng hàng tháng là A đồng

- Sau tháng thứ nhất số tiền gốc còn lại trong ngân hàng là:

Nx x x

b) Nếu vay 50 triệu đồng ở ngân hàng khác với thời hạn như trên, lãi suất 0,75%trên tháng trên tổng số tiền vay thì sau 48 tháng người đó phải trả cho ngân hàng một khoảntiền là:

Bài 12 : Theo Báo cáo của Chính phủ dân số Việt Nam tính đến tháng 12 năm 2005

là 83,12 triệu người, nếu tỉ lệ tăng trung bình hàng năm là 1,33% Hỏi dân số Việt nam vàotháng 12 năm 2010 sẽ là bao nhiêu?

Trả lời: Dân số Việt Nam đến tháng 12-2010: 88796480 người

Bài 13 :

1) Tại một thời điểm gốc nào đó, dân số của quốc gia B là a người; tỉ lệ tăng dân

số trung bình mỗi năm của quốc gia đó là m% Hãy xây dựng công thức tính số dân củaquốc gia B đến hết năm thứ n

2) Dân số nước ta tính đến năm 2001 là 76,3 triệu người Hỏi đến năm 2010 dân sốnước ta là bao nhiêu nếu tỉ lệ tăng dân số trung bình mỗi năm là 1,2%?

3) Đến năm 2020, muốn cho dân số nước ta có khoảng 100 triệu người thì tỉ lệtăng dân số trung bình mỗi năm là bao nhiêu?

Đáp số: a(1 + 0,01m)n; 84,9 triệu người; 1,43%

Bài 14 : Dân số xã Hậu Lạc hiện nay là 10000 người Người ta dự đoán sau 2 năm

nữa dân số xã Hậu Lạc là 10404 người

1) Hỏi trung bình mỗi năm dân số xã Hậu Lạc tăng bao nhiêu phần trăm?

2) Hỏi sau 10 năm dân số xã Hậu Lạc là bao nhiêu?

Đáp số: 2%; 12190 người.

Bài 15 : Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng một số tiền là 5 triệu đồng với

lãi suất là 1,35 % trên một tháng.Hỏi sau 1 năm người ấy nhận được tất cả bao nhiêu tiền cảgốc lẫn lãi ?

- Xây dựng công thức đúng, lập luận chính xác

- Thay số tiền 5 triệu đồng = a đồng; lãi suất 1,35% = 1,035 = x; số tháng =

k=12 vào (*) thì sau 1 năm người đó nhận được tất cả là  1 1,035 1 (1 1,035)

035,1

Bài 16 : Một người được lĩnh lương khởi điểm là 700.000 đ/tháng (bảy trăm nghìn

đồng) Cứ ba năm anh ta lại được tăng thêm 7% Hỏi sau 36 năm làm việc anh ta được lĩnhtất cả bao nhiêu tiền.( Lấy nguyên kết quả trên máy tính)

Giải :

Gọi số tiền lương khởi điểm của anh ta là a0 đồng

Số tiền anh ta được lĩnh trong ba năm đầu là: A0 = 36a0 (3 năm tương đương 36tháng)

Gọi số tiền anh ta được lĩnh trong 3 năm kể từ lần tăng lương thứ n là: An

Ta có: A1=A0(1+0,07) ; A2=A1(1+0,07)=A0(1+0,07)2

An=A0(1+0,07)n

Trong 36 năm anh ta được tăng lương 36 1

3  =11 lần.Vậy tổng số tiền anh ta nhậnđược sau 36 năm là:

a Một người gửi tiết kiệm 250.000.000 (đồng) loại kỳ hạn 3 tháng vào ngân hàng

với lãi suất 10,45% một năm Hỏi sau 10 năm 9 tháng , người đó nhận được bao nhiêu tiền

cả vốn lẫn lãi Biết rằng người đó không rút lãi ở tất cả các định kỳ trước đó

b Nếu với số tiền ở câu a, người đó gửi tiết kiệm theo loại kỳ hạn 6 tháng với lãisuất 10,5% một năm thì sau 10 năm 9 tháng sẽ nhận được bao nhiêu tiền cả vốn lẫn lãi Biếtrằng người đó không rút lãi ở tất cả các định kỳ trước và nếu rút tiền trước thời hạn thì ngân

hàng trả lãi suất theo loại không kỳ hạn là 0,015% một ngày ( 1 tháng tính bằng 30 ngày ).

c Một người hàng tháng gửi tiết kiệm 10.000.000 (đồng) vào ngân hàng với lãi

suất 0,84% một tháng Hỏi sau 5 năm , người đó nhận được bao nhiêu tiền cả vốn lẫn lãi.Biết rằng người đó không rút lãi ra

+ 10 năm 9 tháng = 129 tháng = 21 kỳ hạn cộng thêm 90 ngày

+ Số tiền nhận được sau 10 năm 6 tháng là : B = 250 000 000(1+)21

c Gọi lãi suất hàng tháng là x, số tiền gốc ban đầu là a đồng

+ Số tiền cả gốc và lãi cuối tháng 1 là : a + ax = a(1+ x) + Số tiền gốc đầu tháng 2 là : a(1+x) + a = a[(1+x)+1] = [(1+x)2–1] = [(1+x)2–1]

+ Số tiền cả gốc và lãi cuối tháng 2 là : [(1+x)2–1] + [(1+x)2–1].x = [(1+x)3–(1+x)]

+ Số tiền gốc đầu tháng 3 là : [(1+x)3–(1+x)] + a = [(1+x)3–(1+x)+x] = [(1+x)3– 1]

+ Số tiền cả gốc và lãi cuối tháng 3 là : [(1+x)3 – 1] + [(1+x)3 – 1].x = [(1+x)3– 1](1+x)

+ Tương tự, đến cuối tháng n thì số tiền cả gốc và lãi là : [(1+x)n – 1](1+x) đồngVới a = 10 000 000 đồng, x = 0,84%, n = 60 tháng thì số tiền nhận được là :

D = [(1+ 0,0084)60–1](1+ 0,0084) = 782 528 635,8 đồng

CHUYÊN ĐỀ DÙNG CÔNG THỨC HÊ – CRÔNG TÍNH CÁC SỐ ĐO TRONG TAM GIÁC

Trước tiên chúng ta phải nhìn nhận một thực tế là học sinh ngày càng học yếu môntoán, tư duy toán học ngày càng kém cỏi, số học sinh khá giỏi toán càng giảm, một bộ phậnlớn học sinh chưa ý thức được việc học, đề thi học sinh giỏi máy tính bỏ túi thường cónhững câu hỏi liên quan đến lớp trên vì thế để công tác giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏimáy tính bỏ túi đạt hiệu quả người giáo viên cần phải cung cấp thêm lượng kiến thức mớiphục vụ cho công tác giảng dạy học sinh giỏi đó là áp dụng công thức Hê-crông Khi đó họcsinh áp dụng và sử dụng được công thức này sẽ làm tăng hiệu quả của bài thi, kết quả sẽ caohơn Sau đây là một số bài có thể áp dụng công thức Hê-crông

Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác là a,b,c, ta có:

Cho tam giác ABC có AB =4dm, AC=6 dm, A =61043’

a) Tính giá trị gần đúng chu vi của tam giác

b) Tính giá trị gần đúng diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác trên

CHUYÊN ĐỀ TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG

DẠNG 1: TÌM MỘT CHỮ SỐ TẬN CÙNG

Tính chất 1 :

a) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thì chữ

số tận cùng vẫn không thay đổi

b) Các số có chữ số tận cùng là 4, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi

c) Các số có chữ số tận cùng là 3, 7, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 1

d) Các số có chữ số tận cùng là 2, 4, 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 6

Bài toán 1 : Tìm chữ số tận cùng của các số

Tính chất sau được => từ tính chất 1

Tính chất 2 : Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 1 (n thuộc N)

thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi

Chữ số tận cùng của một tổng các lũy thừa được xác định bằng cách tính tổng cácchữ số tận cùng của từng lũy thừa trong tổng

Bài toán 2 : Tìm chữ số tận cùng của tổng S = 21 + 35 + 49 + … + 20048009

b) Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 8 ; số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 2

c) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ không thay đổi chữ số tận cùng

Bài toán 3 : Tìm chữ số tận cùng của tổng T = 23 + 37 + 411 + … + 20048011

Lời giải :

Nhận xét : Mọi lũy thừa trong T đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 3 (các lũy thừa

đều có dạng n4(n - 2) + 3, n thuộc {2, 3, …, 2004})

Theo tính chất 3 thì 23 có chữ số tận cùng là 8 ; 37 có chữ số tận cùng là 7 ; 411 cóchữ số tận cùng là 4 ; …

Như vậy, tổng T có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng : (8 + 7 + 4 + 5+ 6 + 3 + 2 + 9) + 199.(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 1 + 8 + 7 + 4 = 200(1 + 8 + 7 +

Vậy không tồn tại số tự nhiên n sao cho n2 + n + 1 chia hết cho 19952000

Sử dụng tính chất “một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi các chữ số 0 ; 1 ;

4 ; 5 ; 6 ; 9”, ta có thể giải được bài toán sau :

Bài toán 5 : Chứng minh rằng các tổng sau không thể là số chính phương :

a) M = 19k + 5k + 1995k + 1996k (với k chẵn)

b) N = 20042004k + 2003

Sử dụng tính chất “một số nguyên tố lớn hơn 5 chỉ có thể tận cùng bởi các chữ số 1

; 3 ; 7 ; 9”, ta tiếp tục giải quyết được bài toán :

Bài toán 6 : Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5 Chứng minh rằng : p8n +3.p4n - 4 chiahết cho 5

* Các bạn hãy giải các bài tập sau :

Bài 1 : Tìm số dư của các phép chia :

Nhận xét : Nếu x Є N và x = 100k + y, trong đó k ; y Є N thì hai chữ số tận cùng

của x cũng chính là hai chữ số tận cùng của y

Hiển nhiên là y ≤ x Như vậy, để đơn giản việc tìm hai chữ số tận cùng của số tựnhiên x thì thay vào đó ta đi tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên y (nhỏ hơn)

Rõ ràng số y càng nhỏ thì việc tìm các chữ số tận cùng của y càng đơn giản hơn

Từ nhận xét trên, ta đề xuất phương pháp tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên x

Vậy hai chữ số tận cùng của 22003 là 08

b) Do 799 là số lẻ, theo trường hợp 2, ta tìm số tự nhiên n bé nhất sao cho 7n - 1 ∶

Tìm số dư của phép chia 3517 cho 25

Lời giải : Trước hết ta tìm hai chữ số tận cùng của 3517 Do số này lẻ nên theotrường hợp 2, ta phải tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho 3n - 1 ∶ 100

Ta có 310 = 95 = 59049 => 310 + 1 ∶ 50 => 320 - 1 = (310 + 1) (310 - 1) ∶ 100

Mặt khác : 516 - 1 ∶ 4 => 5(516 - 1) ∶ 20

=> 517 = 5(516 - 1) + 5 = 20k + 5 =>3517 = 320k + 5 = 35(320k - 1) + 35 = 35(320k - 1) + 243, có haichữ số tận cùng là 43

Vậy số dư của phép chia 3517 cho 25 là 18

Trong trường hợp số đã cho chia hết cho 4 thì ta có thể tìm theo cách gián tiếp Trước tiên, ta tìm số dư của phép chia số đó cho 25, từ đó suy ra các khả năng củahai chữ số tận cùng Cuối cùng, dựa vào giả thiết chia hết cho 4 để chọn giá trị đúng

Các thí dụ trên cho thấy rằng, nếu a = 2 hoặc a = 3 thì n = 20 ; nếu a = 7 thì n = 4

Một câu hỏi đặt ra là : Nếu a bất kì thì n nhỏ nhất là bao nhiêu ? Ta có tính chất sauđây (bạn đọc tự chứng minh)

a) Dễ thấy, nếu a chẵn thì a2 chia hết cho 4 ; nếu a lẻ thì a100 - 1 chia hết cho 4 ; nếu

a chia hết cho 5 thì a2 chia hết cho 25

Mặt khác, từ tính chất 4 ta suy ra với mọi a Є N và (a, 5) = 1 ta có a100 - 1 ∶ 25 Vậy với mọi a Є N ta có a2(a100 - 1) ∶ 100

Vậy hai chữ số tận cùng của tổng S1 là 30

b) Hoàn toàn tương tự như câu a, S2 = 12003 + 23(22000 - 1) + + 20043(20042000 - 1)+ 23 + 33 + 20043 Vì thế, hai chữ số tận cùng của tổng S2 cũng chính là hai chữ số tận cùngcủa 13 + 23 + 33 + + 20043

áp dụng công thức :

=> 13 + 23 + + 20043 = (2005 x 1002)2 = 4036121180100, tận cùng là 00

Vậy hai chữ số tận cùng của tổng S2 là 00

Trở lại bài toán 5 (TTT2 số 15), ta thấy rằng có thể sử dụng việc tìm chữ số tậncùng để nhận biết một số không phải là số chính phương Ta cũng có thể nhận biết điều đóthông qua việc tìm hai chữ số tận cùng

Ta có tính chất sau đây (bạn đọc tự chứng minh)

Tính chất 5 : Số tự nhiên A không phải là số chính phương nếu :

Vậy hai chữ số tận cùng của 7n + 2 cũng chính là hai chữ số tận cùng của 7r + 2 (r =

0, 2, 3) nên chỉ có thể là 03, 51, 45 Theo tính chất 5 thì rõ ràng 7n + 2 không thể là số chínhphương khi n không chia hết cho 4

DẠNG 3: TÌM BA CHỮ SỐ TẬN CÙNG

Nhận xét : Tương tự như trường hợp tìm hai chữ số tận cùng, việc tìm ba chữ số

tận cùng của số tự nhiên x chính là việc tìm số dư của phép chia x cho 1000

Nếu x = 1000k + y, trong đó k ; y Є N thì ba chữ số tận cùng của x cũng chính là bachữ số tận cùng của y (y ≤ x)

Do 1000 = 8 x 125 mà (8, 125) = 1 nên ta đề xuất phương pháp tìm ba chữ số tậncùng của số tự nhiên x = am như sau :

Trường hợp 1 : Nếu a chẵn thì x = am chia hết cho 2m Gọi n là số tự nhiên sao cho

Vì an - 1 chia hết cho 1000 => aun - 1 chia hết cho 1000

Vậy ba chữ số tận cùng của am cũng chính là ba chữ số tận cùng của av Tiếp theo,

ta tìm ba chữ số tận cùng của av

Tính chất sau được suy ra từ tính chất 4

Tính chất 6 :

Nếu a Є N và (a, 5) = 1 thì a100 - 1 chia hết cho 125

Chứng minh : Do a20 - 1 chia hết cho 25 nên a20, a40, a60, a80 khi chia cho 25 cócùng số dư là 1

=> a20 + a40 + a60 + a80 + 1 chia hết cho 5 Vậy a100 - 1 = (a20 - 1)( a80 + a60 + a40 + a20+ 1) chia hết cho 125

Lời giải : Theo tính chất 6, do (9, 5) = 1 => 9100 - 1 chi hết cho 125 (1)

Tương tự bài 11, ta có 9100 - 1 chia hết cho 8 (2)

Vì (8, 125) = 1, từ (1) và (2) suy ra : 9100 - 1 chia hết cho 1000 => 3399 98 = 9199 9 =

9100p + 99 = 999(9100p - 1) + 999 = 1000q + 999 (p, q Є N)

Vậy ba chữ số tận cùng của 3399 98 cũng chính là ba chữ số tận cùng của 999

Lại vì 9100 - 1 chia hết cho 1000 => ba chữ số tận cùng của 9100 là 001 mà 999 = 9100 :

9 => ba chữ số tận cùng của 999 là 889 (dễ kiểm tra chữ số tận cùng của 999 là 9, sau đó dựavào phép nhân để xác định )

Vậy ba chữ số tận cùng của 3399 98 là 889

Nếu số đã cho chia hết cho 8 thì ta cũng có thể tìm ba chữ số tận cùng một cáchgián tiếp theo các bước : Tìm dư của phép chia số đó cho 125, từ đó suy ra các khả năng của

ba chữ số tận cùng, cuối cùng kiểm tra điều kiện chia hết cho 8 để chọn giá trị đúng

Bài toán 13 :

Tìm ba chữ số tận cùng của 2004200

Lời giải : do (2004, 5) = 1 (tính chất 6)

=> 2004100 chia cho 125 dư 1

=> 2004200 = (2004100)2 chia cho 125 dư 1

=> 2004200 chỉ có thể tận cùng là 126, 251, 376, 501, 626, 751, 876 Do 2004200 chiahết cho 8 nên chỉ có thể tận cùng là 376

Từ phương pháp tìm hai và ba chữ số tận cùng đã trình bày, chúng ta có thể mởrộng để tìm nhiều hơn ba chữ số tận cùng của một số tự nhiên

Sau đây là một số bài tập vận dụng :

Bài 1 : Chứng minh 1n + 2n + 3n + 4n chia hết cho 5 khi và chỉ khi n không chia hếtcho 4

Bài 2 : Chứng minh 920002003, 720002003 có chữ số tận cùng giống nhau

Bài 3 : Tìm hai chữ số tận cùng của :

CHUYÊN ĐỀ VỀ SỰ HAO MÒN TRONG DẠNG TOÁN VỀ NGÂN HÀNG

I Thực trạng :

- Trong quá trình dạy học sinh giải các bài toán trên MTCT không ít giáo viên chọncho học sinh cách học thuộc lòng các công thức đã được đưa ra sẳn trong khi học sinhkhông hiểu tí gì về công thức này dẩn đến khi gặp một thay đổi nhỏ trên đề bài học sinhkhông thể áp dụng công thức đã học để giải quyết bài toán

- Các bài toán về ngân hàng hay có tên gọi chung là Toán kinh tế là một trongnhững dạng toán có sự biến hóa nhiều nhất trong đề thi MTCT những năm gần đây, mộttrong những dạng đó là bài toán về “hao mòn” một dạng của toán kinh tế

II Nội dung thực hiện:

1 Giới thiệu bài toán “hao mòn”

2 Hướng dẫn học sinh cách giải bài toán “hao mòn” và các dạng của nó

III Biện Pháp thực hiện:

1 Giới thiệu bài toán “hao mòn”

Một người sử dụng xe có giá trị ban đầu là 10 triệu Sau mỗi năm, giá trị xe giảm10% so với năm trước đó

a) Tính giá trị còn lại của xe sau 5 năm

b) Tính số năm để giá trị của xe nhỏ hơn 3 triệu

c) Tìm tỉ lệ “hao mòn” của xe Biết sau 4 năm giá trị của xe còn khoảng 7163000đồng (làm tròn hai số thập phân)

2 Hướng dẫn học sinh cách giải bài toán “hao mòn” và các dạng của nó:

Học sinh không thể áp dụng các công thức đã học ở các bài toán kinh tế trước như:

Vì thế, giáo viên nên hướng dẫn học sinh tiến hành xây dựng công thức:

Gọi An là giá trị còn lại của xe sau n năm sử dụng

a là giá trị ban đầu của xe

r (%) là tỉ lệ hao mòn của xe sau mỗi năm

Sau 1 năm giá trị còn lại của xe là:

A =a 1 r

-Vậy ta có thể áp dụng công thức trên để giải câu a của bài toán:

a) Giá trị còn lại của xe sau 5 năm là:

( )5 ( )5 5

A =a 1 r- =10000000 1 0,1- =5904900(đồng)

Đối với câu b, với yêu cầu là tìm được số năm để giá trị của xe nhỏ hơn 3 triệu (An

= 30000000 đồng), giáo viên hướng dẫn học sinh tìm theo các bước sau: (giáo viên chỉ giảithích ngắn gọn về lnN và công thức ln Nm =m.ln N, vì đây là kiến thức lớp 12 học sinh chỉcần áp dụng chứ không cần hiểu sâu)

n n

n n

n n

n

A

1 ra

A

aA

a

Alnan

Vậy sau 12 năm giá trị của xe sẽ nhỏ hơn 3 triệu

Giáo viên hướng dẫn học sinh cách biến đổi công thức để tìm tỉ lệ “hao mòn” nhưsau:

( )

n n

n n

n

n

n n

n n

A

1 ra

A

1 ra

A

1 ra

IV Kết quả đạt được:

1) Học sinh có thể giải được các bài toán về “hao mòn”

2) Học sinh có thể tự xây dựng công thức khi gặp những bài toán tương tự

3) Hình thành được khả năng tự suy luận của học sinh, giúp học sinh tự tin hơn khigặp những bài khó

CHUYÊN ĐỀ TÌM SỐ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

 





Giải -

Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)

Ấn các phím: 3 1 a b/ c 2 2 1 a  b/ c Ans 1 1 a  b/ c Ans  SHIFT ab/ c ( )23

b Tính và viết kết quả dưới dạng phân số:

a b c d

12

134

13

122

38

38

38

38

38

38

18

Ans

x



 Tiếp tục ấn Ans x-1 – 1 =

1/ : Tìm các số tự nhiên n sao cho n216n2011 là một số chính phương

2/ Tìm tất cả các số nguyên dương x sao cho x3 + x2 + 2025 là một số chính phươngnhỏ hơn 10000

3/ Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho 216 + 219 + 2n là một số chính phương

4/ Tìm tất cả các số nguyên dương x sao cho x3 + x2 +2009 là một số chính phươngnhỏ hơn 10000

5/ Tìm số tự nhiên n, ( 1120  n  2120 ) sao cho a n  37126  55n cũng là số

Vậy số lớn nhất chia hết cho 25 là 2939475

- Số nhỏ nhất 2 3y4 5x z chia hết cho 25 sẽ phải là 20304z5

Lần lượt thử z = 0; 1; 2;….; 9

Vậy số nhất chia hết cho 25 là 2030425:

VD3:

Tìm số tự nhiên N nhỏ nhất và số tự nhiên M lớn nhất gồm 12 chữ số, biết rằng

M và N chia cho số 1256; 3568 và 4184 đều cho số dư là 973

Bài tập tương tự

1/ Tìm các chữ số x,y, z, t để ta có: x5 x yzt 7850

2/ Tìm các số tự nhiên a; b; c; d để có: acd b2 = 47424

3/ Tìm chữ số x để79506 47x chia hết cho 23

4/ Tìm số tự nhiên m lớn nhất, biết rằng khi chia lần lượt các số 56505086;

7873056; 3094186 cho m thì được cùng một số dư

5/ Tìm chữ số b biết rằng 469283861 6505b chia hết cho 2005

6/ Tìm chữ số b biết rằng 469 8386196505a chia hết cho 2005

7/ Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất trong các số tự nhiên có dạng 1 2y3 4x z chia hếtcho 13

8/ Tìm số nguyên dương nhỏ nhất thỏa : chia cho dư 1; chia 3 dư 2; chia 4 dư 3;

chia 5 dư 4; chia 6 dư 5; chia 7 dư 6 chia 8 du 7 chia 9 dư 8 chia 10 dư 9

9/ Một số có 4 chữ số vừa chia hết cho 9 vừa chia hết cho 5, trong đó chữ số hàng

nghìn bằng ¼ chữ số hàng trăm, chữ số hàng trăm bằng ½ chữ số hàng chục Tìm số đó

10/ Tìm a để569282610a3336 chia hết cho 2006

11/ Tìm tất cả các giá trị của số tự nhiên x để biểu thức 2 2 14

1

n n n

 là một sốnguyên

Người ta chia một số gồm 4 chữ số giống nhau cho một số gốm 3 chữ số giống nhauđược thương 16 và số dư r Nếu ta bớt số bị chia và số chia 1 chữ số thì thuơng và số dư đềukhông thay đổi Hãy tìm số bị chia, số chia và số dư trong phép chia đầu tiên

Giải:

Ta có : 16.

16

xxxx yyy r xxx yy r

Bài 6: Người ta chia một số gồm 4 chữ số giống nhau cho một số gốm 3 chữ số

giống nhau được thương 16 và số dư r Nếu ta bớt số bị chia và số chia 1 chữ số thì thuơngkhông thay đổi và số dư giảm đi 200 Hãy tìm số bị chia, số chia và số dư trong phép chiađầu tiên

Tương tự bài 5

CHUYÊN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH

Trường THCS Đào Hữu Cảnh là một trường nằm ở vùng trong của huyện Châu

Phú ,là trường ở nông thôn cơ sở vật chất còn thiếu thốn nhưng đội ngũ giáo viên trườngluôn luôn có tinh thần trách nhiệm với công việc tất cả vì chủ nhân tương lai của đất nước.Phát triển năng lực học tập, óc sáng tạo, óc suy nghĩ độc lập của học sinh (HS) cho phù hợpvới nhu cầu phát triển xã hội là nhiệm vụ đặt lên hàng đầu của người giáo viên Trướcnhiệm vụ nặng nề đó là giáo viên tôi thật sự rất quan tâm đến vấn đề làm thế nào để họcsinh mình có thể tiếp thu một cách tốt nhất các kiến thức mà mình truyền thụ cho HS, làmcho HS tích cực, sáng tạo, chủ động tìm tòi khám phá tri thức mới về giải toán trên máy tínhđiện tử CASIO

A- PHẦN MỞ ĐẦU:

* ĐẶT VẤN ĐỀ

Toán học chiếm một vị trí rất quan trọng trong các bộ phận văn hoá, trong lĩnh vựckhoa học kỹ thuật và trong thực tiễn cuộc sống Kiến thức Toán bao gồm cả một quá trìnhtri thức rất phong phú: tư duy trừu tượng, phân tích tổng hợp, suy lý, qui nạp, khái quát hoá

…

Giải Toán trên máy tính điện tử CASIO là một bộ phận không thể thiếu được củaquá trình tri thức vì nó đảm bảo cho học sinh hiểu biết sâu sắc lý thuyết, ứng dụng lý thuyếtvào thực hành; thực tiễn cuộc sống; tạo điều kiện tốt để nghiên cứu, đi sâu vào các môn học

và các lĩnh vực khoa học kỹ thuật khác Giải Toán trên máy tính điện tử CASIO còn là mônhọc hình thành nhân cách cho học sinh: rèn luyện khả năng tư duy trừu tượng, óc phân tíchtổng hợp, tính hệ thống, khái quát hoá và góp phần hình thành các đức tính cần cù, nhẫn nại,chính xác, biết suy nghĩ, khai thác các vấn đề trong cuộc sống

Nhận xét: “Các dạng toán thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính điện tử

Casio” theo tôi rút ra các nhận xét như sau:

1 Máy tính điện tử giúp củng cố các kiến thức cơ bản và tăng nhanh tốc độ làm toán

2 Máy tính điện tử giúp liên kết kiến thức toán học với thực tế.

3 Máy tính điện tử giúp mở rộng các kiến thức toán học.

4 Bài thi học sinh giỏi “Giải toán trên máy tính điện tử” phải là một bài thi học sinh giỏi toán có sự trở giúp của máy tính để thử nghiệm tìm ra các quy luật toán học hoặc tăng tốc độ tính toán.

5 Đằng sau những bài toán ẩn tàng những định lý, thậm chí một lý thuyết toán học (số học, dãy truy hồi, phương trình sai phân, ….).

6 Phát huy vai trò tích cực của toán học và của máy tính trong giải các bài toán thực tế.

B- PHẦN NỘI DUNG:

I - ĐẶC ĐIỂM TÌNH HÌNH

1 THUẬN LỢI:

- Được sự chỉ đạo tận tình và kịp thời của các cấp lãnh đạo

- Sự quan tâm hỗ trợ nhiệt tình của Ban Giám Hiệu trường và đồng nghiệp

- Tinh thần hiếu học, ý thức học tập của các em đã có hướng chuyển biến tốt

- Đội ngủ giáo viên có tay nghề cao (hầu hết đều qua trường lớp sư phạm hoànchỉnh, nhiệt tình trong giảng dạy, luôn nổ lực phấn đấu nâng cao tay nghề và chất lượng họctập cuả học sinh )

2 KHÓ KHĂN:

- Đa số học sinh sống trong vùng sâu nông thôn do ảnh hưởng kinh tế gia đình (gầnnhư là lực lượng lao động chính trong gia đình) nên thời gian đầu tư cho việc học tập chocon em còn quá ít

- Cha mẹ học sinh chưa thực sự quan tâm đến việc học tập của các em ở lớp và ởnhà nên việc thúc đẩy, động viên các em học tập còn gặp nhiều trở ngại

- Học sinh chưa có phương pháp học tập tốt, thường thụ động, rập khuôn, ít đầu tư,suy nghĩ về bài học, chưa thấy được tầm quan trọng của bộ môn

II THỰC HIỆN :

Thí sinh tham dự chỉ được dùng một trong các loại máy tính (đã được Bộ Giáo dục

và Đào tạo cho phép sử dụng trong trường phổ thông) là Casio fx-500 A, Casio fx-500 ES,Casio fx-570 ES, Casio fx-500 MS, Casio fx-570 MS…

 Yêu cầu các em trong đội tuyển của trường THCS chỉ sử dụng máy Casio fx-500

MS, Casio fx-570 MS , Casio fx-500 ES, Casio fx-570 ES … để giải

 Nếu không qui định gì thêm thì các kết quả trong các đề thi phải viết đủ 10 chữ

số hiện trên màn hình máy tính

 Trình bày bài giải theo các bước sau:

Nếu chưa nhập hệ số cuối(c đối với phương trình bậc hai và d đối với phương trìnhbậc ba) ta có thể xem tới, lui các hệ số bên cạnh

Khi nhập xong hệ số cuối(đã ấn  ) ta có màn hình kết quả

Chú ý: -Nếu màn hình kết quả xuất hiện R  I thì PT vô nghiệm

-Nghiệm kép chỉ xuất hiện một lần

Bài 2: Cho hai PT bậc hai và hai PT bậc ba rồi giải các PT đó

II Phương pháp lặp giải gần đúng phương trình f x ( ) 0

Nội dung phương pháp: Giả sử phương trình có duy nhất nghiệm trong khoảng

( , )a b Giải phương trình ( ) 0 bằng phương pháp lặp gồm các bước sau:

1 Đưa phương trình ( ) 0 về phương trình tương đương x g x ( )

2 Chọn x0  ( , )a b làm nghiệm gần đúng ban đầu

3.Thay x x 0 vào vế phải của phương trình x g x ( ) ta được nghiệm

gần đúng thứ nhất x1 g x( ) 0 Thay x1 g x( ) 0 vào vế phải của phương

trình x g x ( ) ta được nghiệm gần đúng thứ hai x2 g x( ) 1 Lặp lại quá trình trên, tanhận được dãy các nghiệm gần đúng

1 1 lim n lim ( n ) (lim n ) ( )

Tính hội tụ: Có nhiều phương trình dạng x g x ( ) tương đương với phương trình

( ) 0 Phải chọn hàm số g x( ) sao cho dãy  x n xây dựng theo phương pháp lặp là dãy hội

tụ và hội tụ nhanh tới nghiệm Ta có tiêu chuẩn sau

Định lý Giả sử ( , )a b là khoảng cách ly nghiệm x của phương trình ( ) 0 vàphương trình x g x ( ) tương đương với phương trình ( ) 0 Nếu g x( ) và g x'( ) là nhữnghàm số liên tục sao cho g x ( )  q 1  x a b,  thì từ mọi vị trí ban đầu x0 ( , )a b dãy  x n xâydựng theo phương pháp lặp x ng x( n1) sẽ hội tụ tới nghiệm duy nhất x trong khoảng ( , )a b

Bắt đầu tính toán bằng CALC máy hiện X?

Khai báo giá trị ban đầu x 0 1 và bấm phím 

Sau đó thực hiện dãy lặp CALC Ans  ta cũng đi đến x 1.465571232

Nhận xét : Nếu chỉ đòi hỏi nghiệm chính xác đến 5 chữ số thập phân sau dấu phẩy

thì chỉ cần sau 13 bước lặp ta đã đi đến nghiệm là 0,79206

Thí dụ 2 Tìm nghiệm gần đúng của phương trình x cos :x g x( )

Vì f x( )  x cosx có đạo hàm f x'( ) 1 sin   x 0 x và chỉ bằng 0 tại một số điểm rời

Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS:

ấn phím MODE MODE MODE MODE 2 (tính theo Radian)

Khai báo g x( ) cos  x: cos ALPHA X

Bắt đầu tính toán bằng CALC máy hiện X? Khai báo giá trị ban đầu x 0 1.5 và bấmphím  Sau đó thực hiện dãy lặp CALC Ans  ta cũng đi đến x 0,739085133 radian.

Dãy lặp trên máy Casio fx-500 MS hoặc Casio fx-570 MS:

Bấm phím MODE MODE MODE MODE 2 (tính theo Radian) trên Casio fx-570

MS hoặc MODE MODE MODE 2 (tính theo Radian) trên Casio fx-500 MS

Khai báo giá trị ban đầu x 0 1.5: 1.5 và bấm phím 

Khai báo x n1 g x( n) cos  x n: cos Ans

Sau đó thực hiện dãy lặp  ta cũng đi đến x 0.739085133

Thí dụ 3 Tìm nghiệm gần đúng của phương trình x3  3x  1 0

Vì f ( 2)  1, f ( 1) 3  , f(1)  1,f(2) 3  và x3  3x  1 0 là phương trình là bậc 3 nên

nó có đúng 3 nghiệm trong các khoảng ( 2, 1)   , ( 1,1)  ,(1, 2)

Phương trình trên tương đương với x 3 3x 1 Xét khoảng ( 2, 1)  

Đặt g x( )  3 3x 1 Ta có 3 2 3

16 (3 1)

Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS:

ấn phím MODE 1 (tính theo số thực)

Khai báo g x( )  3 3x 1: SHIFT 3 ( 3 ALPHA X  1)

Bắt đầu tính toán bằng CALC máy hiện X? Khai báo giá trị ban đầu x 0 1 và bấmphím 

Sau đó thực hiện dãy lặp CALC Ans  ta cũng đi đến x 1 1,879385242

Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS :

Khai báo giá trị ban đầu x 0 1:  1 và bấm phím 

Nhận xét 1: Có thể giải phương trình x3 3 1 0 x   trên Casio fx-570 MS hoặc

Casio fx-570 MS theo chương trình cài sẵn trên máy, quy trình bấm phím sau:

Vào MODE giải phương trình bậc ba: MODE MODE 1  3

Khai báo hệ số: 1 = 0 = (-) 3 = 1 =

Máy hiện đáp số x 1 1.53088886

Bấm tiếp phím = , máy hiện x 2 1.879385242

Bấm tiếp phím = , máy hiện x 3 0.347296355

Vậy phương trình có ba nghiệm thực

Phương trình f x( ) x3  3x2  1 0  tương đương với x33x2 1

Khai báo g x( )  3 3x2  1: SHIFT 3 ( 3 ALPHA X x2  1 )

Bắt đầu tính toán bằng CALC máy hiện X? Khai báo giá trị ban đầu x 0 2,7 vàbấm phím 

Sau đó thực hiện dãy lặp CALC Ans  ta đi đến nghiệm x  2,879385242

Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS :

Khai báo giá trị ban đầu x 0 2,7: 2.7 

Bài tập 1 Tìm khoảng cách ly nghiệm của các phương trình sau đây:

1) x4  4 x   1 0; 2) x3  9 x2  18 x   1 0;

Bài tập 2 Giải phương trình (tìm nghiệm gần đúng của phương trình):

1) x3  7 x   4 0; 2)x3  2 x2  9 3 0 x   ; 3)32 x5 32 x  17 0  ;4)x6 15 25 0 x   ; 5)2 x5  2cos x   1 0 ; 6) x2  sin x   1 0; 7)

2cos3 4 1 0 x  x   ; 8) 2 1 0 ( 0)

2

x  tgx     x ; 9)Cho    1 x 0 Tìm một nghiệm gần đúng của cos x tg x  3  0;

3) Tìm nghiệm âm gần đúng của phương trình: x10 5 x3 2 x   3 0;

Bài tập 6 Tìm nghiệm gần đúng của phương trình trên máy tính điện tử bỏ túi:

1) x3 3 x2  3 0; 2) x3  x   1 0; 3)x3 5 x   1 0;4) 5 x3 20 3 0 x   ; 5) 8 x3  32 17 0 x   ; 6) x5   x 0,2 0  ;

7) x3   x 1000 0  ; 8) x7  5 x  1 0  ; 9) x16   x 8 0  ;

10) x  x  1; 11) 5 x  x   3 0 ; 12) x11x ; 13) x  3 x  1; 14) 3 2 x  6 x   5 0; 15) 3 x  28 x  5 0 

III: PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN BẬC HAI VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Phương trình sai phân là một trong những dạng toán khó và phức tạp, nó khôngđược nhắc đến trong các sách giáo khoa phổ thông hiện tại (cả sách cấp 2 và cấp 3) mà chỉđược nguyên cứu trong các trường đại học, cao đẳng Đối với toán phổ thông chỉ được viếtdưới dạng các bài toán thực tế như lý thuyết dãy, lãi kép – niên khoản, cấp số … nhưngtrong các kỳ thi HSG gần đây Trong phần này chỉ trình bày các kiến thức cơ bản và đơngiản nhất về phương trình sai phân bậc hai và các dạng toán có liên quan đến các kỳ thiHSG bậc THCS

Yêu cầu: Các thí sinh (trong đội tuyển trường THCS) phải nắm vững các kiến thức

cơ bản về dãy truy hồi, phương trình bậc hai, hệ phương trình bậc nhấc hai ẩn số, phươngpháp tuyến tính hóa

* Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc 2:

Định nghĩa: Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc hai với hệ số là hằng

Mệnh đề 1: Giả sử hai nghiệm của phương trình đặc trưng là phân biệt ( 1 2) khi

ấy phương trình (*) có nghiệm tổng quát là: x = C n 1 1n + C 2 2n trong đó C1, C2 là những sốbất kỳ gọi là hằng số tự do và được xác định theo điều kiện ban đầu x0, x1

Ví dụ 1: Tìm nghiệm của phương trình sai phân: u0 7;u1 6;un 2 3un 1 28un Giải

Phương trình đặc trưng 2-3  28 = 0 có hai nghiệm  1 4; 2 7 Vậy nghiệmtổng quát có dạng: u = C (-4) + C 7n 1 n 2 n.

Vậy nghiệm tổng quát phương trình có dạng: u = 5.(-4) + 2.7n n n

ba