Nội dung phương pháp: Giả sử phương trình cĩ duy nhất nghiệm trong khoảng
( , )a b . Giải phương trình f x( ) 0= bằng phương pháp lặp gồm các bước sau: 1. Đưa phương trình f x( ) 0= về phương trình tương đương x g x= ( ). 2. Chọn x0∈( , )a b làm nghiệm gần đúng ban đầu.
3.Thay x x= 0 vào vế phải của phương trình x g x= ( ) ta được nghiệm gần đúng thứ nhất x1=g x( )0 . Thay x1=g x( )0 vào vế phải của phương
trình x g x= ( ) ta được nghiệm gần đúng thứ hai x2=g x( )1 . Lặp lại quá trình trên, ta nhận được dãy các nghiệm gần đúng
1 ( )0
x =g x , x2=g x( )1 , x3=g x( )2 , x4=g x( )3 ,...,xn =g x( n−1), ...
Nếu dãy các nghiệm gần đúng { }xn , n=1, 2,...hội tụ, nghĩa là tồn tại lim n
n x x
1 1lim n lim ( n ) (lim n ) ( ) lim n lim ( n ) (lim n ) ( )
n n n
x x g x − g x− g x
→∞ →∞ →∞
= = = = .
Chứng tỏ x là nghiệm đúng của phương trình x g x= ( ) và do đĩ x cũng là nghiệm đúng của phương trình f x( ) 0= .
Tính hội tụ: Cĩ nhiều phương trình dạng x g x= ( ) tương đương với phương trình
( ) 0
f x = . Phải chọn hàm số g x( ) sao cho dãy { }xn xây dựng theo phương pháp lặp là dãy hội tụ và hội tụ nhanh tới nghiệm. Ta cĩ tiêu chuẩn sau.
Định lý. Giả sử ( , )a b là khoảng cách ly nghiệm x của phương trình f x( ) 0= và phương trình x g x= ( ) tương đương với phương trình f x( ) 0= . Nếu g x( ) và g x'( ) là những hàm số liên tục sao cho g x′( ) ≤ < ∀ ∈q 1 x [ ]a b, thì từ mọi vị trí ban đầu x0∈( , )a b dãy { }xn xây dựng theo phương pháp lặp xn=g x( n−1) sẽ hội tụ tới nghiệm duy nhất x trong khoảng ( , )a b
của phương trình f x( ) 0= .
Thí dụ 1. Giải phương trình x3−x2− =1 0.
Phương trình này cĩ duy nhất nghiệm trong khoảng (1;1.5) vàtương đương với
3 2 1x= x + . Do g x( )=3x2+1 cĩ đạo hàm 3 2 2 x= x + . Do g x( )=3x2+1 cĩ đạo hàm 3 2 2 2 '( ) 3 ( 1) x g x x =
+ thỏa mãn điều kiện
31 1 '( ) 1
4
g x = < trong khoảng (1;1.5) nên dãy lặp 3 2
1 1
n n
x+ = x + hội tụ tới nghiệm duy nhất từ một điểm bất kỳ trong khoảng (1;1.5) .
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS: Khai báo hàm g x( )=3x2+1:
SHIFT 3 ( ALPHA X x2 + 1)
Bắt đầu tính tốn bằng CALC máy hiện X? Khai báo giá trị ban đầu x0=1 và bấm phím = .
Sau đĩ thực hiện dãy lặp CALC Ans = ta cũng đi đến x=1.465571232.
Nhận xét : Nếu chỉ địi hỏi nghiệm chính xác đến 5 chữ số thập phân sau dấu phẩy thì chỉ cần sau 13 bước lặp ta đã đi đến nghiệm là 0,79206.
Thí dụ 2. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình x=cos :x =g x( ).
Vì f x( )= −x cosx cĩ đạo hàm f x'( ) 1 sin= + x≥ ∀0 x và chỉ bằng 0 tại một số điểm rời
rạc 2 2 x= − +π kπ nên nĩ là hàm đồng biến ngặt. Do f(0)= −1 và ( ) 2 2 f π =π nên phương trình cĩ duy nhất nghiệm trong khoảng (0, )
2
π .
Hiển nhiên '( ) sin sin( ) 1
2
g x = − x < π ε− < với mọi (0, ) 2
x∈ π ε− với ε đủ nhỏ nên dãy
1 cos
n n
x+ = x hội tụ trong khoảng (0, ) 2
π ε− .
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS:
Bắt đầu tính tốn bằng CALC máy hiện X? Khai báo giá trị ban đầu x0=1.5 và bấm phím = . Sau đĩ thực hiện dãy lặp CALC Ans = ta cũng đi đến x=0,739085133 radian.
Dãy lặp trên máy Casio fx-500 MS hoặc Casio fx-570 MS:
Bấm phím MODE MODE MODE MODE 2 (tính theo Radian) trên Casio fx-570
MS hoặc MODE MODE MODE 2 (tính theo Radian) trên Casio fx-500 MS. Khai báo giá trị ban đầu x0=1.5: 1.5 và bấm phím = .
Khai báo xn+1=g x( n) cos= xn: cos Ans
Sau đĩ thực hiện dãy lặp = ta cũng đi đến x=0.739085133.
Thí dụ 3.Tìm nghiệm gần đúng của phương trình x3−3x+ =1 0.
Vì f( 2)− = −1, f( 1) 3− = , f(1)= −1, f(2) 3= và x3−3x+ =1 0 là phương trình là bậc 3 nên nĩ cĩ đúng 3 nghiệm trong các khoảng ( 2, 1)− − , ( 1,1)− ,(1, 2).
Phương trình trên tương đương với x=33x−1. Xét khoảng ( 2, 1)− − . Đặt g x( )=33x−1. Ta cĩ 3 2 3 1 1 '( ) 1 16 (3 1) g x x = < < − nên dãy 3 1 3 1 n n x+ = x − hội tụ trong khoảng ( 2, 1)− − .
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS: ấn phím MODE 1 (tính theo số thực).
Khai báo g x( )=33x−1: SHIFT 3 ( 3× ALPHA X − 1)
Bắt đầu tính tốn bằng CALC máy hiện X? Khai báo giá trị ban đầu x0= −1 và bấm phím = .
Sau đĩ thực hiện dãy lặp CALC Ans = ta cũng đi đến x1≈ −1,879385242.
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS : Khai báo giá trị ban đầu x0= −1: − 1 và bấm phím = .
Khai báo 3
1 ( ) 3 1
n n n
x+ =g x = x − : SHIFT 3 ( 3× Ans − 1 )
Sau đĩ thực hiện dãy lặp = ta cũng đi đến x1≈ −1,879385242. Vậy một nghiệm gần đúng là x1 ≈ −1,879385242.
Dùng sơ đồ Horner để hạ bậc, sau đĩ giải phương trình bậc hai ta tìm được hai nghiệm cịn lại là: x≈1,53208886và x≈0,3472963.
Chú ý: Để tính nghiệm x2 ≈0,3472963 ta khơng thể dùng phương trình tương
đương x= 33 1x− = g x( ) như trên vì 3 1 2 '( )
(3 1)
g x
x
=
− khơng thỏa mãn điều kiện g x'( ) ≤ <q 1 trong khoảng (0,1) và dãy lặp 3
1 3 1
n n
x+ = x − khơng hội tụ (Hãy thử khai báo giá trị ban đầu
0,3472963
x= và thực hiện dãy lặp 3
1 3 1
n n
x+ = x − theo quy trình bấm phím trên, ta sẽ thấy dãy lặp hội tụ tới x1 ≈ −1,879385242).
Nhận xét 1: Cĩ thể giải phương trình x3− + =3 1 0x trên Casio fx-570 MS hoặc
Casio fx-570 MS theo chương trình cài sẵn trên máy, quy trình bấm phím sau: Vào MODE giải phương trình bậc ba: MODE MODE 1 > 3
Khai báo hệ số: 1 = 0 = (-) 3 = 1 =
Máy hiện đáp số x1 =1.53088886.
Bấm tiếp phím = , máy hiện x2 = −1.879385242. Bấm tiếp phím = , máy hiện x3 = 0.347296355. Vậy phương trình cĩ ba nghiệm thực
1 1.53088886
x = ;x2 = −1.879385242; x3 =0.347296355.
Thí dụ 4. Tìm giao điểm của đồ thị hàm số f x( )= − +x3 3x2−1 với trục hồnh (chính xác đến 10−7).
Giải: Giao điểm của đồ thị hàm số f x( )= − +x3 3x2−1 với trục hồnh chính là nghiệm của phương trình f x( )= − +x3 3x2 − =1 0.
Vì f( 1) 3− = , f(0)= −1, f(1) 1= , f(2,5) 2,125= và f(3)= −1 nên phương trình cĩ 3 nghiệm trong các khoảng ( 1;0)− ,(0;1)và (2,5;3).
Phương trình f x( )= − +x3 3x2− =1 0 tương đương với x= 33x2 −1. Đặt g x( )= 33x2−1 thì '( ) 3 22 2 (3 1) x g x x = − và '( ) 0,9 1g x < < .
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS: Bấm phím MODE 1 (tính theo số thực).
Khai báo g x( )=33x2−1: SHIFT 3 ( 3× ALPHA X x2 − 1 )
Bắt đầu tính tốn bằng CALC máy hiện X? Khai báo giá trị ban đầu x0 = 2,7 và bấm phím = .
Sau đĩ thực hiện dãy lặp CALC Ans = ta đi đến nghiệm x ≈ 2,879385242 .
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS : Khai báo giá trị ban đầu x0=2,7: 2.7 = .
Khai báo 3 2
1 ( ) 3 n 1
n n
x + =g x = x − : SHIFT 3 ( 3× Ans x2 − 1 )
Sau đĩ thực hiện dãy lặp = ta cũng đi đến x ≈2,879385242 . Vậy một nghiệm gần đúng là x≈ 2,879385242.
Hai nghiệm cịn lại cĩ thể tìm bằng phương pháp lặp hoặc phân tích ra thừa số rồi tìm nghiệm của phương trình bậc hai hoặc một lần nữa dùng phương pháp lặp.
Bài tập 1. Tìm khoảng cách ly nghiệm của các phương trình sau đây: 1) x4 − − =4x 1 0; 2) x3 −9x2 +18x− =1 0;
Bài tập 2 Giải phương trình (tìm nghiệm gần đúng của phương trình):
1) x3 − + =7x 4 0; 2)x3 + 2x2 − + =9 3 0x ; 3)32x5+32x− =17 0;4)x6−15 25 0x− = ; 5)2x5 −2cosx+ =1 0 ; 6) x2 + sin x− =1 0; 7) 4)x6−15 25 0x− = ; 5)2x5 −2cosx+ =1 0 ; 6) x2 + sin x− =1 0; 7) 2cos3 4 1 0x− − =x ; 8) 2 1 0 ( 0) 2 x −tgx− = − < <π x ;
9)Cho − < <1 x 0. Tìm một nghiệm gần đúng của cosx tg x+ 3 =0; 10a) x x4 − + + =2 7 2 0x ; 10b) x− 6 x − =1 0.
Bài tập 3 Tìm một nghiệm gần đúng của phương trình: 1) x3+ − =5 1 0x ; 2) x6 −15x− =25 0; 3) x9 + − =x 10 0 ; 4) x− 6 x− =1 0;
Bài tập 4 Tìm một nghiệm gần đúng của phương trình:
1) x3 + − =5x 2 0; 2) x9 + − =x 7 0; 3) x+ 7 x − =1 0; 4)
7 2 0
x+ x − = .
Bài tập 5 Tìm một nghiệm gần đúng của phương trình: 1) 3 2x− 8 x− =5 0; 2) x5 − −2 sin(3 1) 2 0x x− + = ;
3) Tìm nghiệm âm gần đúng của phương trình: x10−5x3+ − =2x 3 0;
Bài tập 6. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình trên máy tính điện tử bỏ túi: 1) x3+3x2− =3 0; 2) x3 − − =x 1 0; 3)x3+ − =5 1 0x ; 4) 5x3−20 3 0x+ = ; 5) 8x3 + 32 17 0x− = ; 6) x5 − −x 0,2 0= ; 7) x3 + −x 1000 0= ; 8) x7 +5x− =1 0 ; 9) x16 + − =x 8 0 ; 10) x− x =1; 11) 5x− x − =3 0; 12) x 1 1 x + = ; 13) x − 3 x = 1; 14) 3 2x− 6 x − =5 0; 15) 3x−28 x− =5 0