Bài tập mẫu xác xuất thống kê

Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê 1 Lời giải một số bài tập Bài 28. Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ lượng xăng hao phí. Theo giả thiết X ∼ N(a, σ 2 ) với a = EX là tham số cần phải ước lượng và phương sai DX = σ 2 chưa biết. Để ước lượng a ta xét đại lượng ngẫu nhiên T = (X − a) √ n S  Ứng với n = 28 < 30, đại lượng ngẫu nhiên T có phân phối student với n −1 bậc tự do. Với độ tin cậy γ cho trước ta đặt α = 1 −γ. Khi đó ta cần sử dụng phân vị t (n−1,α) được xác định bởi ràng buộc P (|T | > t (n−1,α) ) = α Thay γ = 0, 95 ta có α = 1 − γ = 0, 05. Thay n = 28 thì t (n−1,α) = t (27;0,05) = 2, 052. Từ đẳng thức xác định t (n−1,α) ta có P (|T | < t (n−1,α) ) = γ Đẳng thức này tương đương với P  X − t (n−1,α) S  √ n < a < X + t (n−1,α) S  √ n  = γ Do đó ta chọn công thức ước lượng là  x − t (n−1,α) s  √ n ; x + t (n−1,α) s  √ n  Tiếp theo chúng ta tính các đặc trưng thực nghiệm từ mẫu được cho. Đặt x i = a i−1 + a i 2 và lập bảng tính như sau x i n i n i x i n i x 2 i 4, 7 6 28, 2 132, 54 4, 9 5 24, 5 120, 05 5, 1 9 45, 9 234, 09 5, 3 4 21, 2 112, 36 5, 5 4 22 121 Σ 28 141, 8 720, 04 Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011 Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê 2 Từ bảng trên ta thu được các đặc trưng thực nghiệm như sau: ¯x = 1 n Σ m i=1 n i x i = 141, 8 28 ≈ 5, 0643 s 2 = 1 n Σ m i=1 n i x 2 i − (¯x) 2 = 720, 04 28 − (5, 0643) 2 ≈ 0, 0686, s 2 = n n − 1 s 2 = 28 27 × 0, 0686 ≈ 0, 0711, s  = √ s 2 =  0, 0711 ≈ 0, 2667 Như vậy thay các số liệu thực nghiệm vào công thức ước lượng ta thu được khoảng ước lượng thực nghiệm  5, 0643 − 2, 052 ×0, 2667 √ 28 ; 5, 0643 + 2, 052 ×0, 2667 √ 28  Rút gọn chúng ta thu được kết quả (4, 9609; 5, 1677) Bài 38. Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ lượng xăng hao phí. Theo giả thiết X ∼ N(a, σ 2 ) với a = EX là tham số cần phải ước lượng và phương sai DX = σ 2 chưa biết. Để ước lượng a ta xét đại lượng ngẫu nhiên T = (X − a) √ n S  Ứng với n = 100 > 30, đại lượng ngẫu nhiên T có phân phối xác suất xấp xỉ luật chuẩn tắc N(0, 1). Với độ tin cậy γ cho trước ta sử dụng phân vị u γ được xác định bởi đẳng thức: u γ = Φ −1  γ 2  Thay γ = 0, 95 ta thu được u γ = Φ −1 (0, 475) = 1, 96. Khi đó ta có đẳng thức P (|T | < u γ ) = γ Đẳng thức này tương đương với P  X − u γ S  √ n < a < X + u γ S  √ n  = γ Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011 Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê 3 Do đó ta chọn công thức ước lượng là  x − u γ s  √ n ; x + u γ s  √ n  Tiếp theo chúng ta tính các đặc trưng thực nghiệm từ mẫu được cho. Đặt x i = a i−1 + a i 2 và lập bảng tính như sau x i n i n i x i n i x 2 i 41 7 287 11.767 43 13 559 24.037 45 25 1125 50.625 47 35 1645 77.315 49 15 735 36.015 51 5 255 13.005 Σ 28 4.606 212.764 Từ bảng trên ta thu được các đặc trưng thực nghiệm như sau: ¯x = 1 n Σ m i=1 n i x i = 4606 100 ≈ 46, 06 s 2 = 1 n Σ m i=1 n i x 2 i − (¯x) 2 = 212764 100 − (46, 06) 2 ≈ 6, 1164, s 2 = n n − 1 s 2 = 100 99 × 6, 1164 ≈ 6, 1782, s  = √ s 2 =  6, 1782 ≈ 2, 4856 Như vậy thay các số liệu thực nghiệm vào công thức ước lượng ta thu được khoảng ước lượng thực nghiệm  46, 06 − 1, 96 ×2, 4856 √ 100 ; 46, 06 + 1, 96 ×2, 4856 √ 100  Rút gọn chúng ta thu được kết quả (45, 5728; 46, 5472) Bài 46. Ta ký hiệu tỷ lệ dân sử dụng Internet là p. Theo giả thiết kích thước của mẫu thực nghiệm là n = 2500. Tần suất thực nghiệm tương ứng là f = 980 2500 = 0, 392 Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011 Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê 4 Kiểm tra điều kiện đối với kích thước n: nf = 2500 × 0, 392 = 980 > 10, n(1 − f) = 2500(1 −0, 392) = 1520 > 10 Ký hiệu tần suất ngẫu nhiên là ˆ f = ¯ X. Khi đó ta chọn đại lượng ngẫu nhiên T = ( ˆ f −p) √ n  ˆ f(1 − ˆ f) Do n đủ lớn nên T có phân phối xác suất xấp xỉ luật chuẩn tắc N(0, 1). Với độ tin cậy γ cho trước ta sử dụng phân vị u γ được xác định bởi đẳng thức: u γ = Φ −1  γ 2  Thay γ = 0, 98 ta thu được u γ = Φ −1 (0, 49) = 2, 33. Khi đó ta có đẳng thức P (|T | < u γ ) = γ Đẳng thức này tương đương với P  ˆ f − u γ  ˆ f(1 − ˆ f) √ n < p < ˆ f + u γ  ˆ f(1 − ˆ f) √ n  = γ Do đó ta chọn công thức ước lượng là  ˆ f − u γ  ˆ f(1 − ˆ f) √ n ; ˆ f + u γ  ˆ f(1 − ˆ f) √ n  Thay các giá trị thực nghiệm f = 0, 392, n = 2500, u γ = 2, 33 ta thu được khoảng ước lượng:  0, 392 − 2, 33  0, 392(1 −0, 392) √ 2500 ; 0, 392 + 2, 33  0, 392(1 −0, 392) √ 2500  Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011 Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê 5 Rút gọn chúng ta thu được kết quả (0, 3668; 0, 4172) b) Ký hiệu N là số dân của thành phố. Ký hiệu M là số dân thành phố sử dụng Internet. Khi đó tỷ lệ dân sử dụng Internet là p = M N Theo giả thiết ta có N = 7.10 6 . Áp dụng kết quả câu a) ta có: 0, 3668 < p < 0, 4172 ⇔ 0, 3668 < M 7.10 6 < 0, 4172 ⇔ 2.567.600 < M 7.10 6 < 2.920.400 (1) Vậy số tối thiểu người dân sử dụng Internet là 2.567.600 người. Bài 60. Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ mức hao phí nguyên liệu để sản xuất một sản phẩm. Theo giả thiết X ∼ N(a, σ 2 ) với a = EX là mức hao phí trung bình và phương sai DX = σ 2 đã biết. Theo yêu cầu được đưa ra chúng ta có bài toán kiểm định một phía. Giả thiết H o : a = 65 Đối thiết H 1 : a > 65 Do đã biết phương sai DX = σ 2 = 4 nên chúng ta chọn tiêu chuẩn kiểm định T = (X − 65) √ n σ Trên cơ sở giả thiết H o đúng thì đại lượng ngẫu nhiên T có phân phối xác suất chuẩn tắc N(0, 1). Với mức ý nghĩa α cho trước ta cần xây dựng miền bác bỏ W α sao cho P (T ∈ W α ) = α Căn cứ vào đối thiết H 1 : a > 65 và T có phân phối xác suất chuẩn tắc N (0, 1) ta chọn miền bác bỏ là W α = (u 1−2α ; +∞) Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011 Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê 6 trong đó u 1−2α = Φ −1  1 − 2α 2  với Φ −1 là hàm ngược của hàm Laplace. Thay α = 0, 05 ta có u 1−2α = Φ −1 (0, 45) = 1, 64 (tra bảng). Vậy ta xây dựng được W α = (1, 64; +∞) Tiếp theo ta cần tính giá trị thực nghiệm của tiêu chuẩn kiểm định T. Từ mẫu thực nghiệm ta đặt x i = a i−1 + a i 2 và lập bảng tính như sau x i n i n i x i 61 5 305 63 7 441 65 10 650 67 8 536 69 6 414 Σ 36 2.346 Từ bảng trên ta thu được các đặc trưng thực nghiệm như sau: ¯x = 1 n m  i=1 n i x i = 2346 36 ≈ 65, 1667 Như vậy ta nhận được t qs = (¯x −65) √ n σ = (65, 1667 −65) √ 36 2 = 0, 5 Do t qs ∈ W α nên ta chưa có cơ sở bác bỏ H o . Bài 66. Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ thời gian để hoàn thành một sản phẩm. Theo giả thiết X ∼ N(a, σ 2 ) với a = EX là thời gian trung bình để hoàn thành một sản phẩm và phương sai DX = σ 2 chưa biết. Theo yêu cầu được đưa ra chúng ta có bài toán kiểm định hai phía. Giả thiết H o : a = 14 Đối thiết H 1 : a = 14 Do chưa biết phương sai DX = σ 2 nên chúng ta chọn tiêu chuẩn kiểm định T = (X − 14) √ n S  Trên cơ sở giả thiết H o đúng thì đại lượng ngẫu nhiên T có phân phối xác suất theo luật student với n −1 bậc tự do. Với mức ý nghĩa α cho trước ta cần xây dựng miền bác bỏ W α sao cho P (T ∈ W α ) = α Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011 Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê 7 Căn cứ vào đối thiết H 1 : a = 14 và T có phân phối xác suất tuân theo luật student với n − 1 bậc tự do nên ta chọn miền bác bỏ là W α = (−∞; −t (n−1,α) ) ∪ (t (n−1,α) ; +∞) trong đó t (n−1,α) là phân vị của biến student được xác định theo ràng buộc P (|T | > t (n−1,α) ) = α Thay α = 0, 05 và n = 25 ta có t (n−1,α) = t (24;0,05) = 2, 064 (tra bảng). Vậy ta xây dựng được W α = (−∞; −2, 064) ∪(2, 064; +∞) Tiếp theo ta cần tính giá trị thực nghiệm của tiêu chuẩn kiểm định T. Từ mẫu thực nghiệm ta đặt x i = a i−1 + a i 2 và lập bảng tính như sau x i n i n i x i n i x 2 i 11 2 22 242 13 6 78 1014 15 7 105 1575 17 7 119 2023 19 3 57 1083  25 381 5937 Từ bảng trên ta thu được các đặc trưng thực nghiệm như sau: ¯x = 1 n m  i=1 n i x i = 381 25 = 15, 24 s 2 = 1 n m  i=1 n i x 2 i − (¯x) 2 = 5937 25 − (15, 24) 2 = 5, 2224, s 2 = n n − 1 s 2 = 25 24 × 5, 2224 = 5, 44, s  = √ s 2 =  5, 44 ≈ 2, 3324 Như vậy thay các số liệu thực nghiệm để tính giá trị thực nghiệm của tiêu chuẩn T ta nhận được t qs = (¯x −14) √ n s  = (15, 24 −15) √ 25 2, 3324 = 2, 6582 Do t qs ∈ W α nên ta bác bỏ H o và thay thế bởi H 1 . Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011 Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê 8 Bài 69. Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ trọng lượng của bao phân đạm. Theo giả thiết X ∼ N(a, σ 2 ) với a = EX là trọng lượng tr ung bình và phương sai DX = σ 2 chưa biết. Theo yêu cầu được đưa ra chúng ta có bài toán kiểm định một phía. Giả thiết H o : a = 50 Đối thiết H 1 : a < 50 Do chưa biết phương sai DX = σ 2 nên chúng ta chọn tiêu chuẩn kiểm định T = (X − 50) √ n S  Trên cơ sở giả thiết H o đúng thì đại lượng ngẫu nhiên T có phân phối xác suất xấp xỉ luật phân phối chuẩn tắc N(0, 1). Với mức ý nghĩa α cho trước ta cần xây dựng miền bác bỏ W α sao cho P (T ∈ W α ) = α Căn cứ vào đối thiết H 1 : a < 50 và T có phân phối xác suất xấp xỉ luật phân phối chuẩn tắc nên ta chọn miền bác bỏ là W α = (−∞; −u 1−2α ) trong đó u 1−2α = Φ −1  1 − 2α 2  với Φ −1 là hàm ngược của hàm Laplace. Thay α = 0, 05 ta có u 1−2α = Φ −1 (0, 45) = 1, 64 (tra bảng). Vậy ta xây dựng được W α = (−∞; −1, 64) Tiếp theo ta cần tính giá trị thực nghiệm của tiêu chuẩn kiểm định T. Từ mẫu thực nghiệm ta đặt x i = a i−1 + a i 2 và lập bảng tính như sau x i n i n i x i n i x 2 i 47, 5 30 1425 67687, 5 48, 5 40 1940 94090 49, 5 20 990 49005 50, 5 5 252, 5 12751, 25 51, 5 5 257, 5 13261, 25  100 4865 236795 Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011 Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê 9 Từ bảng trên ta thu được các đặc trưng thực nghiệm như sau: ¯x = 1 n m  i=1 n i x i = 4865 100 = 48, 65 s 2 = 1 n m  i=1 n i x 2 i − (¯x) 2 = 236795 100 − (48, 65) 2 = 1, 1275, s 2 = n n − 1 s 2 = 100 99 × 1, 1275 = 1, 1389, s  = √ s 2 =  1, 1389 ≈ 1, 0672 Như vậy thay các số liệu thực nghiệm để tính giá trị thực nghiệm của tiêu chuẩn T ta nhận được t qs = (¯x −50) √ n s  = (48, 65 −50) √ 100 1, 0672 = −12, 6501 Do t qs ∈ W α nên ta bác bỏ H o và thay thế bởi H 1 . Bài 75. Gọi p là tỷ lệ phế phẩm của máy. Đặt p 0 = 0, 06. Theo yêu cầu chúng ta có bài toán kiểm định Giả thiết H o : p = 0, 06 Đối thiết H 1 : p > 0, 06 Từ số liệu được cho ta có kích thước mẫu thực nghiệm n = 400. Kiểm tra điều kiện đối với kích thước n np 0 = 400 ×0, 06 = 24 > 5 n(1 − p 0 ) = 400 ×(1 −0, 06) = 376 > 5 Ta chọn tiêu chuẩn kiểm định là T = ( ¯ X − p 0 ) √ n  p 0 (1 − p 0 ) trong đó ˆ f là tần suất ngẫu nhiên. Vì n đủ lớn nên trên cơ sở giả thiết H o đúng đại lượng ngẫu nhiên T có phân phối xác suất xấp xỉ luật phân phối chuẩn tắc N (0, 1). Với mức ý nghĩa α cho trước ta cần xây dựng miền bác bỏ W α sao cho P (T ∈ W α ) = α Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011 Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê 10 Căn cứ vào đối thiết của bài toán là H 1 : p > p 0 và căn cứ vào tiêu chuẩn T có phân phối xác suất xấp xỉ luật phân phối chuẩn tắc nên ta chọn miền bác bỏ là W α = (u 1−2α ; +∞) trong đó u 1−2α = Φ −1  1 − 2α 2  với Φ −1 là hàm ngược của hàm Laplace. Thay α = 0, 05 ta có u 1−2α = Φ −1 (0, 45) = 1, 64 (tra bảng). Vậy ta xây dựng được W α = (1, 64; +∞) Tiếp theo ta cần tính giá trị thực nghiệm của tiêu chuẩn kiểm định T. Từ mẫu thực nghiệm ta có tần suất thực nghiệm là f = m n = 27 400 = 0, 0675 Thay các giá trị thực nghiệm f = 0, 0675, n = 400 và p 0 = 0, 06 ta thu được giá trị thực nghiệm của tiêu chuẩn T như sau: t qs = (f −p 0 ) √ n  p 0 (1 − p 0 ) = (0, 0675 −0, 06) √ 400  0, 06(1 −0, 06) ≈ 0, 6316 Do t qs ∈ W α nên ta chưa có cơ sở bác bỏ H o . Bài 87. Từ số liệu được cho ta lập bảng tính STT x i y i x 2 i y 2 i x i y i 1 2, 1 4, 12 4, 41 16, 9744 8, 652 2 2, 2 4, 34 4, 84 18, 8356 9, 548 3 2, 4 4, 56 5, 76 20, 7936 10, 944 4 2, 5 4, 63 6, 25 21, 4369 11, 575 5 2, 25 4, 38 5, 0625 19, 1844 9, 855 6 2, 45 4, 75 6, 0025 22, 5625 11, 6375 7 2, 16 4, 4 4.6656 19, 36 9, 504 8 2, 34 4, 62 5, 4756 21, 3444 10, 8108  18, 4 35, 8 42, 4662 160, 4918 82, 5263 Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011 [...]...11 Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê Từ bảng tính ta được hệ số tương quan thực nghiệm n n i=1 rtn = n xi i=1 i=1 yi i=1 n x2 − ( i n n xi y i − n n xi )2 i=1 n 2 yi − ( n i=1 yi )2 i=1 8 × 82, 5263 − 18, 4 × 35, 8 = 8 × 42, 4662... 9098 8 × 160, 4918 − (35, 8)2 b) Giả sử hàm hồi quy tuyến tính phải tìm là y = ax + b Chúng ta sẽ ước lượng các hệ số của hàm hồi quy theo phương pháp bình phương tối thiểu Cụ thể là các hệ số a, b được xác định bởi hệ phương trình tuyến tính  n n n   x2 )a + ( xi )b = xi y i ( i  i=1 n  (   i=1 xi )a + nb = i=1 i=1 n yi i=1 Thay các số liệu thực nghiệm vào hệ trên ta thu được 42, 4662a + 18, . Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê 1 Lời giải một số bài tập Bài 28. Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ lượng xăng hao phí. Theo giả thiết. tải Tháng 8 năm 2011 Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê 10 Căn cứ vào đối thiết của bài toán là H 1 : p > p 0 và căn cứ vào tiêu chuẩn T có phân phối xác suất xấp xỉ luật phân phối chuẩn tắc. 2011Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011 Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê 7 Căn cứ vào đối thiết H 1 : a = 14 và T có phân phối xác suất tuân theo luật student với n − 1 bậc tự do nên ta