Nhập môn lí thuyết Knot

Trong chương trình nay ta sẽ tìm về quan hệ đồng luân trên các không gian các ánh xạ

UBND TỈNH AN GIANG TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG FÕG KHOA SƯ PHẠM NGÀNH TOÁN KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC ĐỀ TÀI ( CHUYÊN NGÀNH HÌNH HỌC ) GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ ( Giảng Viên Tổ Hình học-Khoa Toán- Trường ĐHSP TPHCM ) SVTH: LÊ THÀNH TUẤN LONG XUYÊN, 5/2008 GVHD:PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khoá Luận Tốt Nghiệp 1 MỤC LỤC FÏG MỤC LỤC 1 MỘT SỐ KÝ HIỆU . 3 LỜI NÓI ĐẦU . 4 CHƯƠNG I : NHÓM CƠ BẢN . 6 I. ĐỒNG LUÂN . 6 1.Quan hệ đồng luân giữa hai ánh xạ liên tục . 6 1.1. Kiến thức chuẩn bị 6 1.2. Định nghĩa . 6 1.3. Minh họa khái niệm đồng luân giữa hai ánh xạ liên tục: . 7 1.4. Định lý . 7 2. Quan hệ đồng luân giữa hai không gian tôpô . 8 II.NHÓM CƠ BẢN . 9 1. Khái niệm đường 9 1.1. Định nghĩa 9 1.2. Định nghĩa 10 1.3. Định nghĩa 10 2. Đường đóng . 11 2.1.Định nghĩa . 11 2.2.Tích các đường đóng . 11 2.3. Tính chất . 12 3. Không gian liên thông đường . 13 3.1. Định nghĩa 1 . 13 3.2. Định nghĩa 2 . 13 3.3. Tính chất . 13 4. Nhóm cơ bản . 13 4.1. Định nghĩa . 13 4.2. Định lý 14 5. Tính chất hàm tử của 1 π . 15 5.1 Định lý 1 15 5.2 Định lý 2 17 5.3. Định lý 3 . 19 CHƯƠNG II: KNOT . 21 I. KNOT . 21 II. PHÉP DỊCH CHUYỂN 27 III. MỘT SỐ KNOT ĐẶC BIỆT 30 IV. MỘT VÀI BẤT BIẾN CỦA KNOT 37 V. TÍNH CHẤT BA MÀU CỦA KNOT 46 CHƯƠNG III : NHÓM CƠ BẢN CỦA KNOT 50 I. ĐỊNH LÝ VAN-KAMPEN . 50 1. Định lý 50 GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 2 2. Nhận xét 56 3.Hệ quả 57 II. NHÓM CƠ BẢN CỦA KNOT 58 1. Định nghĩa 58 2. Đại diện Wirtinger của knot . 59 2.1.Định lý Wirtinger . 59 2.2.Chú ý 65 3.Ví dụ 66 3.1. Knot tầm thường . 66 3.2. Knot ba lá . 66 3.3.Knot hình số 8 67 Kết Luận . 68 TÀI LIỆ U THAM KHẢO………………………………………………………69 GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 3 MỘT SỐ KÝ HIỆU FÂG Ký hiệu Giải thích  quan hệ đồng luân hay tương đương ≅ đẳng cấu Z tập hợp số nguyên  tập hợp số thực [] 0;1I =⊂ đoạn đơn vị *f g đường nối đường f và đường g f đường đảo ngược của đường f [] f lớp các đường đồng luân (cố định) với f [] gfo phép lấy tích hai lớp đường [ ] f , [ ] g [] f * [ ] g phép nối hai lớp đường [ ] f , [ ] g X Id ánh xạ đồng nhất trên X 0 ()X π tập các thành phần liên thông đường của X 10 (,)Xx π nhóm cơ bản của 0 (,)Xx  kết thúc một phép chứng minh GVHD: PGS-TS Lấ ANH V SVTH: Lấ THNH TUN Khúa Lun Tt Nghip 4 LI NểI U FẽG Tụpụ theo quan im hỡnh hc l mt ngnh khoa hc nghiờn cu cỏc bt bin Tụpụ, tc l cỏc tớnh cht khụng thay i qua cỏc phộp bin i liờn tc. Tụ pụ i s l mt nhỏnh ln ca Tụpụ m trong ú ngi ta dựng cụng c i s kho sỏt cỏc bt bin Tụpụ. Núi mt cỏch nụm na, Tụpụ i s l bc tranh i s ca vt th Tụpụ. Lý thuyt knot l mt b phn quan trng ca Tụpụ hc núi chung, Tụpụ i s núi riờng. Lý thuy t knot c khi xng bi C.F.Gauss vo khong 1835- 1840. Sau ú c mt hc trũ xut sc ca Gauss l J. B. Listing phỏt trin v nghiờn cu nh l mt i tng ca Tụ pụ hc. Trong vi ba thp niờn gn õy, lý thuyt knot phỏt trin rt mnh v tỡm c nhiu ng dng trong c ni ti Toỏn hc cng nh trong vt lý, c hc. Lý thuyt knot l mt b phn ca Tụ pụ i s vỡ cỏc cụng c i s rt hu dng trong nghiờn cu lý thuyt knot. Bt bin u tiờn ca mt knot (vi t cỏch mt khụng gian tụpụ) chớnh l nhúm c bn ca nú. Cỏc bt bin c bn khỏc ca mt knot liờn quan n cỏc a thc (a thc Alexander, a thc Jones, a thc Kauffman). H cỏc bt bin ca knot s giỳp chỳng ta phõn loi tụ pụ cỏc knot. Chớnh vỡ s hp dn v tm quan trng ca lý thuyt knot nờn em quyt nh chn nú lm ti nghiờn cu ca mỡnh, hy vng s tỡm hiu v nm c nhng kin thc c bn v knot, lm c s cho nhng nghiờn cu sõu hn v sau lnh vc ny. Trong lun vn ny ta s trỡnh by v mt s nh ngha c bn ca knot da trờn s mụ t hỡnh hc. Cui cựng, ta s tin hnh xem xột mt bt bin ca knot ú l nhúm c bn. Ngoi li núi u v kt lun, ni dung ca lun vn bao gm ba chng : 1. Chng I : Nhúm c bn Trong chng ny ta trỡnh by li mt s nh ngha c bn ca tụpụ i s nh ng luõn, nhúm c bn,ng thi kho sỏt mt s tớnh cht ca hm t ( ) 1 X . 2. Chng II : Knot Phn ny dnh nh ngha th no l mt knot v mụ t hỡnh nh c th ca nú trong thc t bng ngụn ng hỡnh hc thụng thng. ng thi a ra GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 5 một số bất biến đơn giản của knot như số crossing của một knot, số link của một link,… 3. Chương III : Nhóm cơ bản của knot Mở đầu chương này ta sẽ chứng minh một định lý cơ bản của tôpô đại số- định lý Van-Kampen. Từ đó chứng minh định lý Wirtinger làm công cụ để tính nhóm cơ bản của một vài knot đơn giản. Lý thuyết knot là một lý thuyết khó. Cho đến nay vẫn còn nhiều vấn đề, nhiều chỗ chưa thể chứng minh được. Chính vì đặc điểm này, nó đang là một đề tài nóng bỏng được rất nhiều nhà toán học quan tâm. Với một kiến thức hạn chế khi nghiên cứu về một lý thuyết mới, bản thân em khó trách khỏi những thiếu xót, rất mong được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và bạn bè đồng môn. Trước tiên, em xin chân thành cảm ơn các quý thầy cô trong tổ bộ môn Toán những người đã trực tiếp giảng dạy em trong những năm qua để hôm nay em có cơ hội được thực hiện đề tài này . Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Phó Giáo Sư - Tiến sĩ Lê Anh Vũ đã tận tình hướng dẫn và truyền đạt cho em những ý kiến quý báo. Trong quá trình thực hiện đề tài, em đã tham khảo một số tài liệu sách của một số tác giả nhưng không có điều kiện liên hệ, thông qua đây em xin gửi lời cảm ơn đến các tác giả. Nhân dịp này, em cũng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã tạo điều kiện cũng như giúp đỡ em để đề tài nghiên cứu được hoàn thành. Long Xuyên, tháng 5 năm 2008 Tác giả GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 6 CHƯƠNG I : NHÓM CƠ BẢN Trong chương này ta sẽ tìm hiểu về quan hệ đồng luân trên không gian các ánh xạ liên tục [ ] ,CXY . Để từ đó đi đến việc giới thiệu sơ lược về một vấn đề cơ bản của tôpô đại số - nhóm cơ bản. Kết thúc chương bằng việc tìm hiểu các tính chất của nhóm cơ bản. I. ĐỒNG LUÂN 1.Quan hệ đồng luân giữa hai ánh xạ liên tục 1.1. Kiến thức chuẩn bị Bổ đề dán : Giả sử không gian tôpô X là hợp hữu hạn các tập đóng của nó ( X = U n i i F 1= ) và : i i FY f → là một họ các ánh xạ liên tục ( ni ,1= ) mà ( ) ( ) FF f FF f ji j ji i ∩=∩ nji ,1, =∀ . Khi đó ánh xạ f : X → Y xác định bởi : () i f F = ,( 1, ) i f in= là ánh xạ liên tục. 1.2. Định nghĩa Cho X và Y là hai không gian tôpô. Xét hai ánh xạ liên tục: : → f XY : →gX Y Ta nói f đồng luân với g bởi phép đồng luân F ( kí hiệu: ()F f g  ) nếu tồn tại ánh xạ liên tục: : ×→ F XI Y (với [ ] 0,1 = I ) sao cho ( ) ( ) () () ,0 ,1 = ⎧ ⎪ ⎨ = ⎪ ⎩ F xfx F xgx Ví dụ : Xét X là không gian tôpô, Y là tập con lồi của n R ( tức nếu y, z thuộc Y thì toàn bộ đoạn thẳng nối y và z nằm hoàn toàn trong Y ). Xét các ánh xạ liên tục sau: : → f XY ; : o y cX Y→ o x y a GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 7 Khi đó ta có: () o F y f c  . Thật vậy: Xét ánh xạ: : × →F XI Y xác định như sau: ( ) ( ) ( ) ,1. ., ,=− + ∀∈ ∀∈ o F xt t f x ty x X t I hiển nhiên ta có: • F liên tục. • ( ) ( ) ,0 =F xfx . • ( ) ( ) ,1 o y F xcx= . 1.3. Minh họa khái niệm đồng luân giữa hai ánh xạ liên tục Hình (a) là trường hợp f, g đồng luân. Hình (b)là trường hợp f, g không đồng luân. Hay một cách hình dung khác, hai ánh xạ liên tục f, g gọi là đồng luân nếu f có thể biến đổi một cách liên tục thành g . 1.4. Định lý Quan hệ đồng luân là một quan hệ tương đương trên không gian [ ] ,CXY các ánh xạ liên tục từ X đến Y ( với X , Y là các không gian tôpô bất kì ). Y X f g (a) Y X f g (b) GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 8 Chứng minh • Ta dễ dàng chứng minh tính phản xạ và tính đối xứng của quan hệ đồng luân. Thật vậy : ta có ()F f f  với ( ) ( ) ,,= ∀∈ F xt f x x X ; It ∈∀ () ()FG f ggf⇒  với ( ) ( ) ,,1 Gxt Fx t = − ,xX tI∀ ∈∀∈ Vì G(x,0) = g(x) = F(x,1) G(x,1) = f(x) = F(x,0). • Tính bắc cầu : Giả sử ta có : ()  F f g và ()  H gh ta sẽ chứng minh: ()H f h  Xét ánh xạ : ×→HX I Y ( ) ( ) ,,x tHxt a xác định như sau: () () () 1 ,2 , 0 2 , 1 ,2 1 , 1 2 Fx t t Hxt Gx t t ⎧ ≤ ≤ ⎪ ⎪ = ⎨ ⎪ − ≤≤ ⎪ ⎩ Dễ thấy H liên tục vì () () ( ) 11 ,,1 ,0, 22 Hx Fx gx Gx Hx ⎛⎞ ⎛⎞ === = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ Đồng thời : ( ) ( ) ( ) ,0 ,0 , Hx Fx fx x X==∀∈ ; ( ) ( ) ( ) ,1 ,1 ,Hx Gx hx x X==∀∈ ; Nên ta có : ()H f h  Vậy ta có điều phải chứng minh.  2. Quan hệ đồng luân giữa hai không gian tôpô Cho X , Y là hai không gian tôpô. Ta nói X đồng luân với Y (kí hiệu: XY  ) nếu tồn tại các ánh xạ f và g : : f XY gY X → → GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 9 sao cho : • f , g liên tục. • Y f gIdo . • X gf Ido . Từ định nghĩa trên ta thấy rằng : Nếu X và Y là hai không gian đồng phôi thì chúng cũng sẽ là hai không gian đồng luân . Thật vậy, gọi : f XY→ là một song ánh liên tục thì ta có: 1 YY f fIdId − =o 1 X X f fId Id − =o Do đó : XY  . Điều ngược lại thì nói chung là không đúng. Chẳng hạn : R n và {} 0 là đồng luân vì tồn tại các ánh xạ { } 0: → n Rf và { } n Rg →0: thỏa mãn : n R gf Id=o 0ax xa0 và {} 0 f gId=o nhưng n R và { } 0 không đồng phôi vì tập hợp của chúng không cùng lực lượng. Vì vậy, phân loại ( cùng kiểu ) đồng luân là phân loại thô hơn phân loại đồng phôi ( đồng luân “yếu” hơn đồng phôi ) nên mọi bất biến đồng luân càng là bất biến đồng phôi. Chính vì thế, ta hy vọng sẽ dễ dàng xét các bất biến đồng phôi thông qua bất biến đồng luân bằng công cụ đại số. II.NHÓM CƠ BẢN 1. Khái niệm đường 1.1. Định nghĩa Cho không gian tôpô X, x,y ∈ X, [ ] 0,1 I = ∈  với tôpô cảm sinh từ tôpô tự nhiên của  . Ánh xạ liên tục XIf →: sao cho (0)x f= , (1)yf= được gọi là một đường trong X nối x và y ( hình vẽ ). Điểm x gọi là điểm đầu, y gọi là điểm cuối. [...]... l mt knot Ta gi S 1 l knot tm thng ( unknot ) 1.4 Nhn xột Mt knot l mt ng úng trong R 3 Mi knot trong R 3 u ng phụi vi nhau Mt vi knot thng gp: Knot ba lỏ Knot hỡnh s 8 Vn t ra õy l lm th no chỳng ta cú th bit c nhng knot cú hỡnh biu din khỏc nhau cú phi l nhng knot khỏc nhau hay khụng? lm rừ iu ny ta s i tỡm hiu v th ca knot 2 th ca knot Nhng hỡnh v dựng biu din cho knot c gi l th ca knot, ... ca hai knot cng tng t nh tớch ca hai s nguyờn dng Nu nh phộp nhõn trong Z + : x Z + : x.1 = x thỡ trong lý thuyt knot ta cú tớch ca knot K vi knot tm thng l knot K Cỏc thnh phn trong knot tớch gi l cỏc knot tha s ( hỡnh v) K Knot tm thng K T ú, d thy tp X = { taỏ t caỷ caự c knot} cựng vi phộp toỏn tớch liờn thụng to thnh mt v nhúm vi phn t n v l knot tm thng - S khỏc nhau gia phộp nhõn ca knot vi... d: Hai th ca knot hỡnh s 8 tng ng nhau qua mt chui cỏc phộp dch chuyn Reidemeister (hỡnh bờn di) III I III MT S KNOT C BIT 1 nh i xng ca mt knot 1.1 nh ngha Cho knot K, nh i xng ca nú qua mt mt phng trong R 3 cng l mt knot v knot ú c gi l nh i xng ca K Kớ hiu : K Vớ d K K D thy rng xỏc nh nh i xng ca mt knot, ta ch cn thay i tớnh trờn, di ca cỏc cung ti mi crossing 1.2 Knot t i xng Mt knot c gi l t... TUN 2.2 .Knot nghch o Nghch o ca mt knot nh hng K (kớ hiu r(K)) cng chớnh l nú nhng c ly theo hng ngc li Vớ d : K r(K) 2.3 Knot xen k a Mt th D ca knot K c gi l th xen k nu ta ly trờn D mt im M bt kỡ, khi di chuyn dc trờn D theo mt hng nht nh thỡ ti hai crossing liờn tip bt kỡ thỡ tớnh trờn , di xen k nhau b Mt knot K c gi l mt knot xen k nu nú cú th ti tiu l mt th xen k Vớ d: Knot ba lỏ l mt knot. .. Lấ ANH V SVTH: Lấ THNH TUN CHNG II: KNOT Trong phn ny ta s nghiờn cu knot (nỳt) hỡnh nh ca mt knot dõy trong thc t Qua ú ta i n cỏc khỏi nim liờn quan nh cung, crossing, nh i xng, tớch liờn thụng, mó s, I KNOT 1 nh ngha 1.1 S hiu bit trc quan v knot Ta ly mt si dõy ri tht mt cỏi gỳt lng trờn nú, sau ú ni hai u si dõy li ta s c mt knot Ta hiu mt cỏch trc quan ban u: knot l mt ng cong úng cú tht gỳt trong... xng Mt knot c gi l t i xng nu nú tng ng vi nh i xng ca nú Vớ d : Knot hỡnh s 8 l mt knot t i xng Khúa Lun Tt Nghip 30 GVHD: PGS-TS Lấ ANH V K SVTH: Lấ THNH TUN K Tht vy : 2 Knot nh hng 2.1.nh ngha Cho knot K, ly mt im M trờn K, di chuyn M dc trờn K theo mt hng nht nh Khi ú, ta ó nh hng cho knot K v K c gi l mt knot nh hng biu din mt knot nh hng ta gn trờn th ca K cỏc mi tờn tng ng theo chiu ca nú... trong R 2 th vt 2.3 Nhn xột 2.3.1 Mt knot cú th c biu din bi nhiu th khỏc nhau Chng hn nh ta cú ba th biu din ca knot hỡnh s 8 Khúa Lun Tt Nghip 23 GVHD: PGS-TS Lấ ANH V SVTH: Lấ THNH TUN 2.3.2 S crossing nh nht trong tt c cỏc th cựng biu din mt knot c gi l s crossing ca knot ú v c kớ hiu l c(K) 2.3.3 D thy rng khụng cú knot no cú s crossing l 1 v 2 Vỡ nu mt knot cú mt crossing thỡ nú s cú dng ging... minh rng mt th ó cho l th ca knot tm thng Nhiu lý thuyt v knot cú cỏch nhỡn nhn v gii quyt vn khỏc nhau Ni dung bi toỏn c hiu mt cỏch n gin l : nu nh ta cho trc th ca mt knot thỡ ta cú th kt lun ú l knot tm thng khụng? ng nhiờn nu ly mt knot t mt mu dõy v c gng sp xp thỏo cỏc gỳt trờn knot ú ra Nu tt c cỏc gỳt trờn si dõy u c thỏo g thỡ ú l knot tm thng Nhng iu gỡ s xy ra nu nh trong hai tun m ta... hin tớch ca hai knot Nú ph thuc vo vic ta chn im M trờn K v N trờn K Vi nhng cỏch chn khỏc nhau ta s c nhng cỏch nhõn khỏc nhau ca cựng mt knot tớch Vỡ cú vụ s cỏch chn nờn cú vụ s cỏch thc hin phộp nhõn hai knot 3.4 Tớch liờn thụng ca hai knot nh hng Khi ta thc hin nhõn hai knot nh hng K v K thỡ s cú hai kh nng xy ra: hoc l hng trờn K v K khp nhau kt qu ta thu c mt hng duy nht cho knot tớch K#K; hoc... trong khụng gian m nú khụng ct nhau ti bt c ch no trờn nú Cựng mt knot cú rt nhiu hỡnh nh khỏc nhau biu din nú (chng hn nh cỏc hỡnh bờn di biu din cho cựng knot hỡnh s 8) Sau õy l cỏch nh ngha knot thụng qua cụng c tụpụ ( phộp ng phụi ) 1.2 nh ngha Mt khụng gian con K ca R 3 c gi l mt knot nu nú l nh ng phụi ca ng trũn S 1 Tc l : (K l knot) ( f : S 1 K l mt phộp ng phụi) Khúa Lun Tt Nghip 21 GVHD: . Wirtinger làm công cụ để tính nhóm cơ bản của một vài knot đơn giản. Lý thuyết knot là một lý thuyết khó. Cho đến nay vẫn còn nhiều vấn đề, nhiều. Kauffman). H cỏc bt bin ca knot s giỳp chỳng ta phõn loi tụ pụ cỏc knot. Chớnh vỡ s hp dn v tm quan trng ca lý thuyt knot nờn em quyt nh chn