Định nghĩa và Đồ thị Knot

KNOT

• Định nghĩa
• Đồ thị của knot
• Link

Vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào chúng ta có thể biết được những knot có hỡnh biểu diễn khỏc nhau cú phải là những knot khỏc nhau hay khụng?. Một đồ thị của knot trong R2được tạo thành từ một số hữu hạn các cung và các crossing (nơi giao nhau giữa cung dưới và cung trên). Nội dung bài toán được hiểu một cách đơn giản là : nếu như ta cho trước đồ thị của một knot thì ta có thể kết luận đó là knot tầm thường không?.

Theo lý thuyết của ông (1961), chúng ta có thể đưa đồ thị của knot vào máy tính, máy tính sẽ chạy thuật toán và cho chúng ta kết quả. Nhưng đáng tiếc, thuật toán mà Haken tìm ra cách đây hơn 40 năm quá phức tạp đến nỗi chưa có ai viết được chương trình này trên máy tính để thực hiện nó. Link tách được là loại link mà các thành phần của link có thể tách rời ra thành các link đơn tầm thường bằng cách thay đổi tính chất của một số croosing trên đồ thị.

Một link được gọi là link Brunman nếu bản thân nó không là link tầm thường nhưng sự di chuyển của bất kỳ một thành phần nào của link ra khỏi link đều làm cho link trở thành link tầm thường. VD : Link được cho ở hình bên dưới là link Brunman vì khi ta tách bất cứ một vòng nào của link ra khỏi link thì lập tức hai vòng còn lại trở thành link tầm thường.

MỘT SỐ KNOT ĐẶC BIỆT 1. Ảnh đối xứng của một knot

• Knot định hướng 1.Định nghĩa
• Tích liên thông - Knot nguyên tố 1. Tích liên thông

Một đồ thị D của knot K được gọi là đồ thị xen kẽ nếu ta lấy trên D một điểm M bất kì, khi di chuyển dọc trên D theo một hướng nhất định thì tại hai crossing liên tiếp bất kì thì tính “trên , dưới” xen kẽ nhau. - Từ một vết trong mặt phẳng ta có thể biến nó thành một knot xen kẻ trong không gian bằng cách thay thế một cách hợp lý các giao điểm trên vết thành những crossing mà tính chất “ trên, dưới ” của các crossing được thay đổi đều đặn liên tục. - Bằng cách thay đổi tính “trên, dưới” của các cung tại các crossing, bất kỳ một knot nào đều có thể biến đổi về knot tầm thường.

- Hai cung tạo thành do nối hai đầu mút trên knot K với hai đầu mút trên knot K’ phải thoả mãn điều kiện là không tạo thành các crosing mới với các cung của hai đồ thị ban đầu. Từ đĩ, dễ thấy tập X ={tất cả các knot} cùng với phép tốn tích liên thơng tạo thành một vị nhóm với phần tử đơn vị là knot tầm thường. - Sự khác nhau giữa phép nhân của knot với phép nhân trong Z+ là luôn có nhiều hơn một cách để thực hiện tích của hai knot.

Khi ta thực hiện nhân hai knot định hướng K và K’ thì sẽ có hai khả năng xảy ra: hoặc là hướng trên K và K’ khớp nhau – kết quả ta thu được một hướng duy nhất cho knot tích K#K’; hoặc là hướng của K và K’ không khớp nhau – khi đó hướng trên K#K’ không đồng nhất. Knot này khác với các knot tích được tạo ra khi hướng của hai knot thừa số khớp nhau (vì nó không còn là knot định hướng nữa).

MỘT VÀI BẤT BIẾN CỦA KNOT

• Không số của knot (unknotting number) Định lý
• Độ xoắn của đồ thị 1.Quy ước dấu
• Số link
• Mã số của knot xen kẽ

Sau khi dán, nếu đồ thị nhận được chưa tương đương với đồ thị của một knot tầm thường thì ta tiếp tục làm như trên cho đến khi đồ thị nhận được tương đương với đồ thị của một knot tầm thường thì dừng. - Knot tích liên thông có không số lớn hơn 1 vì nếu ta thay đổi tính chất của một crossing thì ta chỉ tháo được một trong hai thành phần tạo nên knot tích chứ không thể tháo được cả knot tích thành knot tầm thường. Ta định nghĩa số link giữa Ci và Cj là nửa tổng các dấu của các crossing tạo bởi Ci và Cj (ta không tính dấu của các crossing được tạo ra bởi một thành phần nào đó của link với chính nó).

Vì R1 có thể tạo ra hay làm mất đi một crossing của một thành phần nào đó của link với chính nó, nhưng nó không làm ảnh hưởng đến các crossing chung của cả hai thành phần trong link. Thật vậy, một crossing mới sẽ đóng góp giá trị +1 vào tổng liên kết trong khi đó crossing mới thứ hai lại đóng góp giá trị -1 vào tổng link nên sự đóng góp cuối cùng của phép R2 vào số link là 0. Giả sử đầu tiên ta có đồ thị của knot K với n crossing, khi đó ta cũng không thể kết luận số crossing của knot K là n được vì có thể còn đồ thị khác của knot K có số crossing nhỏ hơn n.

Nếu tất cả các đồ thị khác có ít hơn n crossing đều khác knot K hay nói cách khác không có đồ thị nào của knot K có ít hơn n crossing thì ta kết luận knot K có số crossing là n. Do trên D ta tô màu theo kiểu bàn cờ nên đồ thị nhận được từ vết đã cho cùng với quy ước bên trên hiển nhiên sẽ là một đồ thị xen kẽ và nó đại diện cho một knot xen kẽ.

TÍNH CHẤT BA MÀU CỦA KNOT 1. Định nghĩa

Mục đích của chúng ta là muốn nghiên cứu xem nếu một knot được tô ba màu thì qua phép dịch chuyển Reidemeister nó còn bảo toàn tính chất ba màu hay không?. Đối với R0 thì hiển nhiên tính chất ba màu của knot vẫn được bảo toàn vì R0 chỉ biến knot K thành knot đối xứng của nó. Đối với R1: vì R1 chỉ tạo ra hay làm mất đi một crossing trên một cung nào đó trong đồ thị nên ta chỉ cần giữ nguyên lại màu ban đầu của cung đó khi thực hiện phép di chuyển R1 thì đồ thị của knot vẫn đảm bảo tính ba màu.

Tiếp theo ta xét đối với phép dịch chuyển R2: nếu như ta thực hiện phép dịch chuyển R2 để tạo ra hai crossing mới trên đồ thị của knot thì khi đó ta có hai trường hợp: hoặc là hai đoạn dây gốc ban đầu có màu khác nhau thì ta chỉ cần đổi màu của đoạn dây mới tạo ra bằng một màu thứ ba; hoặc màu trên hai đoạn dây gốc ban đầu. - Vì các phép dịch chuyển Reidemeister không làm ảnh hưởng đến tính chất ba màu của knot nên một knot có tính chất ba màu hay không là tuỳ thuộc vào bản chất của knot đó. Chẳng hạn, mọi đồ thị của knot 3 lá đều có tính chất ba màu và đồ thị thông dụng nhất của knot tầm thường (đường tròn) không có tính ba màu (do không thể dùng ba màu khác nhau để tô màu cho đường tròn) nên knot ba lá là hoàn toàn phân biệt với knot tầm thường.

Hay tổng quát hơn, ta có thể kết luận rằng bất kỳ một knot nào có tính chất ba màu đều là phân biệt so với những knot không có tính chất ba màu. Từ việc tìm hiểu một số knot đặc biệt cũng như nghiên cứu các bất biến của chúng đã giúp cho ta nắm được những tính chất cơ bản nhất của đối tượng này.