Nhập môn lý thuyết xác suất thống kê

Tài liệu tham khảo dành cho giáo viên, sinh viên cao đẳng, đại học môn xác suất thống kê - Giáo trình xác suất thống kê.rong tài liệu này các bạn sẽ được tiếp xúc với các công thức cơ bản.Tài liệu về bài tập trắc nghiệm xác suất thống kê giúp các bạn sinh viên rèn luyện kỹ năng làm bài tập trắc nghiệm cũng như củng cố lý thuyết môn xác suất thống kê...

UBND TỈNH QUẢNG BÌNH TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH NHẬP MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ Biên soạn: Th.s PHAN TRỌNG TIẾN Quảng Bình, tháng năm 2009 Mục lục Mục lục Lời nói đầu Chương Các khái niệm xác suất §1 Bổ sung giải tích tổ hợp §2 Phép thử ngẫu nhiên §3 Xác suất §4 Cách tính xác suất §5 Quy tắc cộng nhân xác suất §6 Hệ biến cố đầy đủ xác suất tồn phần §7 Cơng thức Bayes 3 8 11 15 16 Chương Biến ngẫu nhiên §1 Biến ngẫu nhiên rời rạc §2 Bảng phân phối hàm phân phối §3 Các sỐ ĐẶc trƯng §4 Biến ngẫu nhiên rời rạc có vơ số giá trị §5 Một số phân phối rời rạc thường gặp 19 19 20 21 24 25 Chương Mẫu quan sát tốn ước §1 Tổng thể mẫu quan sát §2 Ước lượng tham số tổng thể §3 Xác định kích thước mẫu lượng 31 31 33 36 Chương Kiểm định giả thiết §1 Giả thiết đối thiết §2 Kiểm định giá trị trung bỡnh ca bin phõn phi chun Đ3 Kim nh xác suất Xác suất Biến ngẫu nhiên Bài toán ước lượng, kiểm định Tài liệu tham khảo N (µ, σ ) 41 41 42 44 46 49 50 55 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết Xác suất thống kê toán học ngành toán học đời vào khoảng kỷ XVII Đối tượng nghiên cứu Xác suất - Thống kê tượng ngẫu nhiên, quy luật ngẫu nhiên mà thường gặp thực tế Khác với số mơn Tốn học trừu tượng, lý thuyết Xác suất - Thống kê xây dựng dựa cơng cụ tốn học đại Giải tích hàm, Lý thuyết độ đo, lại gắn liền với toán thực tế sống, tự nhiên xã hội Ngày nay, lý thuyết Xác suất - Thống kê Toán học đưa vào giảng dạy hầu hết ngành đào tạo trường Đại học Cao đẳng giới nước Nó ngành khoa học phát triển lý thuyết ứng dụng Nó ứng dụng rộng rãi hầu hết lĩnh vực khoa học tự nhiên, khoa học xã hội, kinh tế, kỹ thuật, y học, Bài giảng Xác suất - Thống kê biên soạn cho sinh viên Đại học khơng chun ngành Tốn với thời lượng 30 tiết Chính vậy, chúng tơi khơng sâu vào việc chứng minh lý thuyết tốn học phức tạp mà trình bày kiến thức công cụ tập trung đưa ví dụ minh họa Bài giảng gồm có chương: Chương 1: Phần đầu đề cập khái niệm giải tích tổ hợp Phần sau trình bày khái niệm xác suất tính chất xác suất Chương 2: Trình bày biến ngẫu nhiên, bảng phân phối, hàm phân phối số đặc trưng Một số phân phối thường gặp giới thiệu chương Chương Chương trình bày tốn ước lượng kiểm định cho tham số biến ngẫu nhiên Tác giả mọng nhận góp ý từ phía Thầy Cơ bạn sinh viên để giảng hoàn thiện Tác giả Chương CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT §1 BỔ SUNG VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP Phần khơng nằm nội dung môn Xác suất thống kê mà thuộc kiến thức chung học Phổ thơng, nhiên để hiểu phép tính xác suất, thống kê chương sau cần phải học, phải ôn lại khái niệm như: chỉnh hợp, hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp lặp 1.1 Quy tắc nhân Giả sử công việc thực qua n bước Bước thứ i có xi cách sau bước 1, 2, , i − làm, để thực cơng việc có x1 x2 xn cách Ví dụ 1.1 Một bé mang họ cha Lê hay họ mẹ Đỗ, chữ lót Văn, Đồng, Bích Đình tên Nhân, Nghĩa, Trí, Đức Hỏi có cách để đặt tên đầy đủ cho bé? Giải Xem việc đặt tên cho bé thực qua bước Bước đặt họ: có cách để đặt họ Sau đặt họ thực bước đặt chữ lót: có cách để đặt chữ lót Đặt xong họ chữ lót tiếp tục thực bước đặt tên: có cách đặt tên Tên đầy đủ bé có thực xong ba bước Số cách thực 2.4.4=32 cách 1.2 Hốn vị Định nghĩa 1.2 Cho tập A có n (n ≥ 1) phần tử Một cách xếp có thứ tự n phần tử gọi hoán vị phần tử tập A Ký hiệu Pn số hốn vị tập hợp có n phần tử Ta có Định lý 1.3 Số hốn vị tập hợp có n phần tử Pn = n! = n(n − 1)(n − 2) Ví dụ 1.4 Có số có chữ số khác thiết lập từ chữ số 1, 2, 3, 4? Giải Mỗi cách xếp chữ số 1, 2, 3, theo thứ tự ta số gồm chữ số khác Nó hốn vị chữ số Vậy số số khác gồm chữ số 4!=24 Ví dụ 1.5 Cửa hàng có mũ màu xanh, đỏ, tím Có khách đến mua mũ người mua Hỏi bán hàng có cách để bán mũ? Giải Mỗi cách bán ba mũ cho ba khách hoán vị ba phần tử Vậy số cách để cô bán hàng bán mũ P3 = 3! = Ví dụ 1.6 Có cụ ông hàng ngang để tập thể dục buổi sáng, sau buổi tập đầy phấn khích cụ định từ ngày hôm sau tập tiếp ngày hàng theo trật tự khác lần tập trước Hỏi sau nhiều ngày cụ quay lại cách xếp hàng đầu tiên? Giải Coi cách hàng cách xếp cụ vào chỗ, tức hoán vị cụ, tìm tất có 6! = 720 cách xếp hàng Như phải 720 ngày sau, tức gần năm sau cụ xếp hàng lại theo cách hàng 1.3 Chỉnh hợp không lặp Cho tập hợp A = {1, 2, 3} Lập có thứ tự gồm hai phần tử ba phần tử cho: Giải Các có thứ tự gồm hai phần tử ba phần tử A {1, 2}, {2, 1}, {2, 3}, {3, 2}, {1, 3}, {3, 1} Mỗi có thứ tự gồm hai phần tử gọi chỉnh hợp không lặp chập phần tử cho Định nghĩa 1.7 Cho tập A có n phần tử Một chỉnh hợp khơng lặp chập k (1 ≤ k ≤ n) n phần tử cho có thứ tự gồm k phần tử n phần tử Ký hiệu số chỉnh hợp không lặp chập k n phần tử Ak n Định lý 1.8 Số chỉnh hợp không lặp chập k n phần tử Ak = n n! = n(n − 1) (n − k + 1) (1 ≤ k ≤ n) (n − k)! Ví dụ 1.9 Cho năm chữ số 1, 2, 3, 4, Hỏi có số khác gồm chữ số lấy từ chữ số Giải Số số khác gồm chữ số lấy từ chữ số số chỉnh hợp không lặp 5! chập phần tử, tức là: A3 = = 60 (5 − 3)! Ví dụ 1.10 Có đội bóng chuyền thi đấu để tranh ba huy chương vàng, bạc, đồng Nếu đội thực lực có dự báo danh sách ba huy chương? Giải Vì thực lực nên có cách dự báo đội huy chương vàng, sau cịn cách dự báo đội huy chương bạc, cuối có cách dự báo đội huy chương đồng, tất có 8.7.6 = 336 số chỉnh hợp khơng lặp chập đội Hai dự báo khác danh sách đội huy chương có tên đội khác tên đội thứ tự khác có thay đổi tên đội tương ứng với loại huy chương Ví dụ 1.11 Một tổ có 10 người, chọn người làm việc, người thứ nhóm trưởng Người thứ hai theo dõi tiêu kinh tế Người thứ ba theo dõi tiêu kỹ thuật Giả sử 10 người tổ có khả làm việc có cách phân cơng việc nhóm Giải Có A3 = 720 cách 10 1.4 Chỉnh hợp lặp Định nghĩa 1.12 Cho tập A có n (n ≥ 1) phần tử Ta gọi chỉnh hợp lặp chập k (k ≥ 1) n phần tử A tập có thứ tự gồm k phần tử lấy từ n phần tử A, mà phần tử tập có mặt nhiều k lần Ký hiệu số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử A Ak n Định lý 1.13 Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử tính theo cơng thức: Ak = nk n (1.1) Từ sau nói đến "chỉnh hợp" ta hiểu chỉnh hợp khơng lặp Cịn "chỉnh hợp lặp" hiểu chỉnh hợp có lặp Ví dụ 1.14 Có cách phân ngẫu nhiên 12 khách lên toa tàu? Giải Số cách để 12 khách lên toa tàu số chỉnh hợp lặp chập 12 phần tử cho Bởi hành khách có cách để lên tàu, nên có 312 cách Ví dụ 1.15 Số máy điện thoại tỉnh gồm bảy chữ số Mỗi chữ số chọn mười số 0, 1, , tạo 10.10.10.10.10.10.10 = 107 số máy điện thoại Ví dụ 1.16 Vé xổ số có bốn chữ số, có tất 104 vé xổ số có bốn chữ số có cách trao 15 phần thưởng cho người dự thi Mỗi cách phân 15 sản phẩm cho người chỉnh hợp chập 15 Vậy số cách đề phân ngẫu nhiên 15 phần thưởng cho người là: 515 1.5 Tổ hợp Cho tập hợp A = {1, 2, 3} Lập tập gồm hai phần tử (không kể thứ tự) tập M Ta có {1, 2}, {1, 3}, {3, 2} tập hợp khác Mỗi tập gồm phần tử gọi tổ hợp chập phần tử Định nghĩa 1.17 Cho tập A gồm n (n ∈ N) phần tử Một tổ hợp chập k (0 ≤ k ≤ n) n phần tử cho A tập A gồm k phần tử không kể thứ tự Ký hiệu số k tổ hợp chập k n phần tử Cn Định lý 1.18 Số tổ hợp chập k n phần tử cho k Cn = n! k!(n − k)! Chú ý: Người ta chứng minh công thức sau k n−k Cn = Cn k k k−1 Cn = Cn−1 + Cn−1 (1.2) Ví dụ 1.19 Có cách cử người tổ gồm 12 người lao động? Giải Số cách phân công người 12 người lao động số tổ hợp chập 12 phần tử Vậy có C12 = 220 cách Bài Tập phần giải tích tổ hợp 1.1 Có thể tạo vectơ có gốc đỉnh điểm cho? 1.2 Giải phưng trình a) A3 = 20n; b) A2 − A1 = 3; n n n c)3A2 + 42 = A2 (n ẩn) n 2n 1.3 Có số gồm ba chữ số khác lấy từ năm chữ số 0, 2, 4, 6, 8? 1.4 Một lớp có 50 học viên Cần chọn lớp trưởng, lớp phó học tập lớp phó đời sống Nếu có khả chọn vào chức vụ có cách chọn? 1.5 Có thể lập số chẵn gồm năm chữ số khác lấy từ sáu chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5? 1.6 Có 24 đội bóng tham gia thi đấu, hai đội phải đấu với lượt đi, lượt Ban tổ chức phải tổ chức trận đấu? 1.7 Có cụ ơng, cụ bà em bé ngồi quanh bàn trịn Hỏi có cách xếp chỗ ngồi cho cụ ông ngồi cạnh nhau, cụ bà ngồi cạnh em bé ngồi cạnh nhau? 1.8 Có cặp vợ chồng xem văn nghệ ngồi vào ghế hàng ngang có cách xếp cho vợ chồng ngồi cạnh nhau? 1.9 Có sách Tốn, sách Lí, sách Hố sách Sinh a) Có cách xếp 14 sách lên giá sách? b) Có cách xếp cho sách mơn học cạnh nhau? 1.10 Có số có năm chữ số lấy từ năm chữ số 1, 2, 3, 4, hai chữ số không đứng cạnh nhau? 1.11 Trong mặt phẳng có n điểm khơng có điểm thẳng hàng Hỏi kẽ đường thẳng, đường thẳng qua điểm số n điểm cho? 1.12 Cho đa giác lồi n (n ≥ 4) đỉnh D1 , D2 , , Dn Có tất đường chéo? 1.13 Có 12 điểm nằm đường trịn a) Hỏi có tam giác nội tiếp đường trịn có đỉnh nằm số điểm cho? b) Hỏi có tứ giác nội tiếp đường trịn có đỉnh nằm số điểm cho? 1.14 Một hộp đựng bi trắng bi đen a) Có cách lấy bi b) Có cách lấy bi có bi trắng c) Có cách lấy bi có bi trắng d) Có cách lấy bi có nhiều bi trắng 1.15 Có 10 người gồm nam nữ a) Có cách chọn uỷ ban gồm người b) Có cách chọn để uỷ ban nói có nữ c) Có cách chọn để uỷ ban nói có nữ §2 PHÉP THỬ NGẪU NHIÊN Trong nghiên cứu tự nhiên xã hội ta phải theo dõi tượng, phải cân, đong, đo, đếm, làm thí nghiệm việc này, điều kiện cho phép, phải lặp lại nhiều lần Ta gọi chung công việc phép thử Khi lặp lại phép thử ta thấy có phép thử ln cho kết quả, ví dụ đun nước điều kiện cao độ áp suất bình thường đến 1000 C nước sơi, trứng gà đàn gà khơng có trống ấp không nở, hạt giống xử lý nhiệt độ cao nồng độ hoá chất cao không nẩy mầm, Ta gọi kết tất yếu Ngồi loại phép thử cho kết tất yếu cịn có nhiều phép thử lặp lại cho kết khác Số kết hữu hạn, vơ hạn, giá trị rời rạc hay liên tục, ví dụ sinh trai hay gái, ấp trứng nở khơng, trồng 10 số sống 0, 1, , 10, làm thí nghiệm thành cơng thất bại Một hành động mà kết khơng thể dự báo trước gọi phép thử ngẫu nhiên Ký hiệu phép thử ngẫu nhiên T Các kết T khơng thể nói trước cách chắn, ta liệt kê tất kết có T Tập tất kết T gọi khơng gian mẫu thường ký hiệu chữ Ω Khi thực phép thử, kết phép thử gọi biến cố sơ cấp (sự kiện sơ cấp) ký hiệu ω, ω ∈ Ω Mỗi tập A Ω gọi biến cố Mỗi kết ω ∈ A gọi kết thuận lợi cho A Khi kết T phần tử A có nghĩa A xảy Biến cố khơng thể biến cố khơng xảy Nó tương ứng với tập ∅ Ω Biến cố chắn biến cố ln xảy Nó tương ứng với tồn tập Ω Ví dụ 2.1 Gieo xúc xắc, biến cố sơ cấp mặt 1, 2, 3, 4, 5, biến cố mặt chẵn A bao gồm ba biến cố sơ cấp (2, 4, 6) Biến cố mặt lẻ B bao gồm ba biến cố sơ cấp (1, 3, 5) Nếu gieo hai xúc xắc biến cố sơ cấp 36 cặp số (1, 2), ( 1, 3), , (6, 6) biến cố "Có mặt 6" bao gồm 11 biến cố sơ cấp: (1, 6), (2, 6), , (6, 1), , (6, 6) biến cố "Tổng số điểm hai xúc xắc 10" gồm ba biến cố sơ cấp (4, 6), (5, 5), (6, 4) Biến cố "Điểm hai xúc xắc nhau" bao gồm biến cố sơ cấp ( 1, ), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6) Kiểm tra sản phẩm Biến cố "khơng có q sản phẩm tốt có sản phẩm kiểm tra" biến cố chắn Biến cố "có phế phẩm có sản phẩm kiểm tra" biến cố khơng thể Biến cố "có sản phẩm tốt sản phẩm kiểm tra" biến cố ngẫu nhiên §3 XÁC SUẤT Theo dõi nhiều lần phép thử biến cố liên quan đến phép thử ta thấy có biến cố hay xuất hiện, hay xảy ra, có biến cố xuất hiện, xảy ra, biến cố tất yếu ln xảy cịn biến cố khơng thể khơng xảy Ví dụ gieo xúc xắc, biến cố mặt chẵn biến cố mặt lẻ có mức độ xuất nhau, biến cố "ra số chia cho 3" xuất Biến cố mặt lại cịn xuất Biến cố "ra số 7" biến cố tất yếu Còn biến cố "ra số lớn 6" biến cố Như phép thử biến cố có mức độ (hay khả năng) xuất mà muốn đánh giá (thay nó) số Giả sử A biến cố phép thử Mặc dù tiến hành phép thử ta khơng thể nói trước biến cố A xảy hay không ta thừa nhận rằng: có số đo khả xảy biến cố A, ký hiệu p(A) Khi p(A) = A biến cố chắn p(A) = A biến cố Định nghĩa 3.1 Xác suất biến cố số đo lường khả xuất biến cố Số ln nằm Xác suất biến cố nhỏ (càng gần 0) biến cố khả xảy Xác suất biến cố lớn (càng gần 1) biến cố có nhiều khả xảy Tính chất Nếu A biến cố ngẫu nhiên thì: < p(A) < Nếu A biến cố chắn thì: p(A) = Nếu A biến cố khơng thể thì: p(A) = Như A biến cố ≤ p(A) ≤ §4 CÁCH TÍNH XÁC SUẤT Có nhiều cách tính xác suất, có cách tính chặt chẽ theo hệ liên để giúp xây dựng xác suất thành ngành toán học với lý thuyết ứng dụng phong phú, có cách tính trực quan dựa vào mơn học khác tính xác suất theo Cơ học, theo Hình học, theo Đại số tài liệu dùng hai cách tính xác suất: cách tính thống kê cách tính đồng khả 4.1 Cách tính thống kê Xác định điều kiện đầu xong ta lặp lại phép thử nhiều lần, nhiều tốt giữ lại số lần thử n số lần có biến cố A, gọi tần số n(A) Tần suất biến cố A, ký hiệu f (A) tính theo cơng thức f (A) = n(A) n (4.1) Tần suất xác suất khơng có cách khác để tính xác suất lại lấy tần suất f (A) làm xác suất p(A) Nếu có điều kiện làm hàng loạt phép thử tính tần suất biến cố A loạt người ta thấy tần suất ổn định (khác ít) thường dao động quanh số xác định Khi số phép thử tăng lên (và lớn) biên độ (sai khác tần suất số nói trên) có khuynh hướng nhỏ dần ngày xuất biên độ lớn Số xác định nói lấy làm xác suất Ví dụ 4.1 Để tính xác suất mặt sấp gieo đồng tiền, ta có kết sau, dao động quanh 0,5 Người thực Buýt phông Piếc sơn Piếc sơn Số lần gieo 4040 12000 24000 Số lần mặt sấp 2048 6019 12012 Tần suất 0,5080 0,5016 0,5005 Ví dụ 4.2 Ở Trung Quốc, từ năm 228 trước Cơng ngun, tìm thấy tần suất sinh trai Laplaxơ theo dõi thành phố Luân Đôn, Pê-téc-bua Bec-lin công bố tần suất sinh trai 22 Cramơ cho tần suất sinh trai Thuỵ Điển 0,508 Ở Việt Nam 43 năm 1961 tần suất sinh trai 0,51 Cách tính thống kê đơn giản, cho kết dễ hiểu, dễ giải thích, phù hợp với thực tế khơng xác khơng thể dùng để tính xác suất trường hợp phức tạp trường hợp trực tiếp lặp lại phép thử Trong thực tế, xem xét số lượng lớn sản phẩm, thường dùng phần trăm (%) Ví dụ số học sinh thi đỗ 90%, số sản phẩm đạt tiêu chuẩn 80%, số người bị bệnh đợt dịch 30% Theo cách tính thống kê đổi % sang xác suất sau: số đạt tiêu chuẩn P % chọn ngẫu nhiên sản phẩm xác suất để sản phẩm P đạt tiêu chuẩn 100 Cách tính thống kê dùng từ xa xưa để tính xác suất sinh trai, gái Xác suất xuất hiện tượng lạ tự nhiên lũ lụt, sóng thần, nhật thực, nguyệt thực, 4.2 Cách tính cổ điển hay cách tính đồng khả Tiến hành phép thử giả sử n kết (biến cố sơ cấp) phép thử có khả xuất nhau, gọi phép thử có n kết đồng khả Khi người ta lấy xác suất kết n Từ chấp nhận tính xác suất p(A) biến cố A sau: Xác suất biến cố A tỷ số n(A) số kết thuận lợi cho A số kết đồng khả n n(A) p(A) = (4.2) n Cách tính đồng khả đơn giản, cho kết dễ hiểu, dễ giải thích, phù hợp với thực tế, khơng chặt chẽ khơng thể dùng để tính xác suất trường hợp phức tạp, trường hợp chấp nhận giả thiết đồng khả Trong nhiều ví dụ, Chương KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT §1 GIẢ THIẾT VÀ ĐỐI THIẾT Ở Chương nghiên cứu ĐLNN, chưa biết tham số xây dựng phương pháp ước lượng tham số Chương tiếp tục nghiên cứu ĐLNN trường hợp thông tin không đầy đủ thể nhiều mặt, cụ thể là: Chưa biết xác tham số θ qui luật phân phối xác suất ĐLNN X, có sở để nêu lên giả thiết, chẳng hạn θ = θ0 (θ0 số biết), hay: X tuân theo qui luật phân phối chuẩn Khi nghiên cứu hai hay nhiều ĐLNN, vấn đề cần quan tâm là: đại lượng độc lập với hay có phụ thuộc tương quan? Các tham số chúng có hay khơng? Những câu hỏi thường chưa trả lời khẳng định mà nêu lên giả thiết Vậy định nghĩa: Giả thiết thống kê giả thiết nói tham số, dạng qui luật phân phối tính độc lập ĐLNN Việc tìm kết luận tính thừa nhận hay khơng thừa nhận giả thiết gọi kiểm định giả thiết thống kê Đây toán thơng kê tốn Trước hết ta đề cập đến tham số ĐLNN Giả sử cần nghiên cứu tham số θ ĐLNN X có sở để nêu giả thiết θ = θ0 Giả thiết ký hiệu H0 : θ = θ0 (được gọi giả thiết cần kiểm định hay giả thiết bản) Mệnh đề đối lập với giả thiết H0 gọi đối thiết H0 ký hiệu H1 Dạng tổng quát H1 là: θ = θ0 Trong nhiều trường hợp, đối thiết phát biểu cụ thể như: H1 : θ < θ0 hay H1 : θ > θ0 Như giả thiết kiểm định đối thiết thường nêu lên thành cặp Chẳng hạn: H0 : θ = θ0 ; H1 : θ = θ0 (đối thiết hai phía) H0 : θ = θ0 ; H1 : θ > θ0 (đối thiết phải) H0 : θ = θ0 ; H1 : θ < θ0 (đối thiết trái) Nhiệm vụ lý thuyết kiểm định giả thiết thống kê là: Bằng thực nghiệm (thông qua mẫu cụ thể) kiểm tra tính (sai) giả thiết H0 Khi kết luận chấp nhận H0 41 bác bỏ H0 trường hợp này, khơng hồn tồn tương đương, coi chấp nhận H1 , ta phạm hai loại sai lầm Sai lầm loại Bác bỏ H0 thực H0 Sai lầm loại Chấp nhận H0 thực H0 sai Sai lầm loại tương tự sai lầm quan tòa "kết án nhầm người vơ tội", cịn sai lầm loại tương tự "tha kẻ dó tội" Một kiểm định thống kê lý tưởng kiểm định làm cực tiểu hai loại sai lầm Tuy nhiên làm giảm sai lầm loại tăng sai lầm loại ngược lại Trong xã hội văn minh, người ta có xu hướng thừa nhận việc kết án nhầm người vô tội sai lầm nghiêm trọng nhiều so với sai lầm tha kẻ có tội Trong tốn kiểm định giả thiết thống kê Ta coi sai lầm loại nghiêm trọng sai lầm loại Thành thử người ta cố định trước xác suất mắc sai lầm loại Xác suất mắc sai lầm loại gọi mức ý nghĩa, ký hiệu α Sau cực tiểu sai lầm loại Kiểm định có xác suất sai lầm loại nhỏ xem tốt Các kiểm định thống kê trình bày chương chứng minh chặt chẽ Toán học kiểm định tốt Trong phạm vi tài liệu đề cập đến đối thiết hai phía §2 KIỂM ĐỊNH GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH µ CỦA BIẾN PHÂN PHỐI CHUẨN N (µ, σ 2) Bài tốn kiểm định H0 : µ = µ0 với đối thiết H1 : µ = µ0 mức ý nghĩa α chia thành trường hợp sau: 2.1 Đã biết phương sai Đây trường hợp tiến hành điều tra lại tổng thể, người ta lấy phương sai lần điều tra trước làm σ , việc kiểm định tiến hành thường xuyên sở công nghiêp mà qua trình dài tìm phương sai σ (chủ yếu phụ thuộc vào độ xác thiết bị đo lường tay nghề nhân viên sử dụng thiết bị) Ta tiến hành bước sau: - Lấy mẫu, tính x - Tính giá trị U thực nghiệm Utn = - Tính giá trị tới hạn u α x − µ0 σ √ n √ (x − µ0 ) n = σ từ bảng phân phối chuẩn Nếu |Utn | (giá trị tuyệt đối Utn ) bé u bác bỏ H0 tức chấp nhận H1 α chấp nhận H0 ngược lại Ví dụ 2.1 Nuôi 100 lợn theo chế độ ăn riêng, sau tháng tăng trọng trung bình 30kg, giả thiết tăng trọng phân phối chuẩn N (µ, 25) Hãy kiểm định giả thiết H0 : µ = 32 42 đối thiết H1 : µ = 32 mức α = 0, 05 √ (30 − 32) 100 Utn = = −4 α |Utn | = 4; u = 1, 96 Kết luận: Bác bỏ H0 tăng trọng trung bình khơng phải 32kg Ví dụ 2.2 Khảo sát 64 gia đình tìm chi tiêu trung bình gia đình 2,03 triệu đồng/tháng Giả sử chi tiêu gia đình phân phối chuẩn N (µ, 0, 09), kiểm định giả thiết H0 : µ = đối thiết H1 : µ = mức α = 0, √ (2, 03 − 2) 64 = 0, Utn = 0, α = 1, 645 Kết luận: Chấp nhận H0 : mức chi tiêu trung bình gia đình triệu đồng tháng |Utn | = 0, 8; u 2.2 Không biết phương sai, mẫu n ≥ 30 Trong trường hợp bước kiểm định giống mục 2.1 σ thay s Ví dụ 2.3 Một nhóm nghiên cứu cơng bố trung bình người vào siêu thị A tiêu hết 140 ngàn đồng Chọn ngẫu nhiên 50 người mua hàng ta tính số tiền trung bình họ tiêu 154 ngàn với độ lệch tiêu chuẩn 62 ngàn Với mức ý nghĩa 0, 02 kiểm định xem công bố nhóm nghiên cứu có hay khơng? Giải Ta cần kiểm định giả thiết H0 : µ = 140 với đối thiết H1 : µ = 140 Ta có √ (154 − 140) 50 Utn = = 1, 59 62 α |Utn | = 1, 59; u = 2, 33 Chưa có sở để loại bỏ H0 , báo cáo nhóm nghiên cứu 2.3 Không biết phương sai, mẫu n < 30 Đây trường hợp phổ biến kiểm định giá trị trung bình phân phối chuẩn Ta tiến hành bước sau: - Lấy mẫu, tính x s2 - Tính giá trị T thực nghiệm √ (x − µ0 ) n Ttn = s - Tìm giá trị tới hạn t α , n − bảng phân phối Student Nếu |Ttn | (giá trị tuyệt đối Ttn ) bé t α , n − chấp nhận H0 ngược lại bác bỏ H0 tức chấp nhận H1 43 Ví dụ 2.4 Trong điều kiện chăn ni bình thường lượng sữa trung bình bò sữa 19 kg/ngày Trong đợt hạn, người ta theo dõi 25 bò lượng sữa trung bình 17,5 kg/ngày, độ lệch chuẩn s = 2, 5kg Giả thiết lượng sữa phân phối chuẩn, kiểm định giả thiết H0 : µ = 19 với đối thiết µ = 19 mức α = 0, 05 √ α (17, − 19) 25 = −3; |Ttn | = 3; t , n − = 2, 064 Ttn = 2, Kết luận: Bác bỏ H0 trọng lượng sữa trung bình khơng cịn 19 kg/ngày Ví dụ 2.5 Thóc đóng bao 50kg Sau thời gian, để kiểm tra, người ta cân thử 25 bao trọng lượng trung bình 49,4kg/bao, độ lệch chuẩn s = 3, 6kg Giả thiết trọng lượng bao thóc phân phối chuẩn, kiểm định giả thiết H0 : µ = 50 với đối thiết µ = 50 mức α = 0, 05 √ α (49, − 50) 25 = −0, 833; |Ttn | = 0, 833; t , n − = 2, 064 Ttn = 3, Kết luận: Chấp nhận H0 coi trọng lượng trung bình bao thóc 50kg §3 KIỂM ĐỊNH XÁC SUẤT Tổng thể có hai loại cá thể A A, loại A chiếm tỉ lệ p (chưa biết) Ta muốn kiểm định giả thiết H0 : p = p0 với đối thiết H1 : p = p0 Từ mẫu dung lượng n, tính số cá thể loại A tần số m tần suất f = m Tính n Utn = Tìm giá trị tới hạn u α Kết luận: Nếu |Utn | ≤ u α f − p0 p0 (1−p0 ) n chấp nhận H0 ngược lại bác bỏ H0 Ví dụ 3.1 Gieo thử 100 hạt, có 82 hạt nảy mầm Kiểm định giả thiết tỉ lệ nảy mầm p = 0, 80, đối thiết p = 0, với α = 0, 05 Giải n = 100; m = 82; f = m = 0, 82; n Utn = 0, 82 − 0, 80 = 0, 5; u 0,8.0,2 100 α = 1, 96 Kết luận: Chấp nhận H0 : tỷ lệ nảy mầm 0,80 Ví dụ 3.2 Một đảng trị bầu cử tổng thống Mỹ tuyên bố 45% cử tri bỏ phiếu cho ứng cử viên A họ Chọn ngẫu nhiên 200 cử tri để thăm dò ý kiến cho thấy 80 người số tun bố bỏ phiếu cho ơng A Với mức α = 5%, kiểm định xem dự đốn đảng có khơng 80 Giải Giả thiết H0 : p = 0, 45, đối thiết H1 : p = 0, 45 Ta có f = 200 = 0, 40, u α = 1, 96, Utn = 0, 40 − 0, 45 0,45.0,55 200 Kết luận: Dự đoán đảng 44 = −1, 43 Bài Tập 4.1 Điều tra thấy chi phí trung bình x 25 sinh viên xa nhà 475000đ/ tháng, độ lệch chuẩn 30000đ Coi chi phí tháng phân phối chuẩn, Hãy kiểm định giả thiết H0 : µ = 500000đ Đối thiết H1 : µ = 500000đ, α = 0, 05 4.2 Theo hợp đồng bán bao gạo đóng bao 50kg Kiểm tra 16 bao x = 49kg, s = 3, 6kg Hỏi hợp đồng có bên bán thực nghiêm chỉnh hay không, α = 0, 05? 4.3 Giám đốc xí nghiệp cho biết lương trung bình cơng nhân thuộc xí nghiệp 600 ngàn đồng/1tháng Chọn ngẫu nhiên 36 công nhân thấy lương trung bình 529 ngàn đồng/1tháng Với độ lệch tiêu chuẩn σ = 40 ngàn đồng/1tháng mức ý nghĩa α = 5% Kiểm tra xem lời báo cáo giám đốc có tin cậy khơng? 4.4 Một nhóm nghiên cứu tuyên bố trung bình ngày người vào siêu thị X tiêu hết 140 ngàn đồng Chọn ngẫu nhiên 25 người tính số tiền trung bình tiêu 154 ngàn đồng với độ lệch chuẩn mẫu s = 62 Với mức ý nghĩa α = 0, 02 kiểm định xem nhóm nghiên cứu có không? 4.5 Một phương pháp ăn kiêng quảng cáo giảm trọng lượng 20kg vòng tháng Một mẫu gồm 28 người theo chế độ ăn kiêng giảm trọng lượng trung bình 16kg với độ lệch tiêu chuẩn s = 9kg Với mức ý nghĩa α = 0, 01, nhận định xem phương pháp ăn kiêng có nói không 4.6 Theo hợp đồng, bán bao gạo đóng 50kg Kiểm tra 16 bao thu kết sau Trọng lượng tần số Trọng lượng tần số 47 51 48 53 49 54 Với mức ý nghĩa α = 0, 05 hỏi hợp đồng có bên bán thực nghiêm chỉnh hay không? 4.7 Một công ty A sản xuất bánh kẹo tuyên bố 2/3 số trẻ em thích ăn bánh công ty Trong mẫu gồm 100 trẻ em hỏi, có 55 em tỏ thích ăn bánh công ty A Với mức ý nghĩa α = 0, 05 số liệu nói có chứng tỏ tun bố cơng ty A có không? 4.8 Một trại chăn nuôi A xuất chuồng 200 lợn, trọng lượng chúng tổng hợp sau Trọng lượng (kg) 45-55 55-65 65-75 75-85 85-95 95-100 Số lợn 10 30 45 80 30 a) Ước lượng trọng lượng trung bình trại chăn ni A với độ tin cậy 95% 45 b) Nếu chủ trại chăn ni A thơng báo trọng lượng trung bình trại 80kg có chấp nhận khơng với mức ý nghĩa 10%? c) Lợn có trọng lượng 85kg trở lên coi lợn chóng lớn, ước lượng tỷ lệ lợn chóng lớn trại chăn ni với mức ý nghĩa 90% PHỤ LỤC A) Một số tập làm thêm: Xác suất 4.9 Trong 30 đề thi, có 10 đề khó, 20 đề trung bình Tìm xác suất để: a Một học sinh bốc đề, gặp đề trung bình b Một học sinh bốc đề, gặp đề trung bình 4.10 Một lớp có 60 sinh viên, có 20 nam 40 nữ Chọn ngẫu nhiên nhóm gồm sinh viên Tính xác suất để: a Có nam số sinh viên chọn? b Có nhiều sinh viên nam sinh viên chọn? c Có sinh viên nam sinh viên chọn? d Khơng có sinh viên nam sinh viên chọn? 4.11 Một hộp đựng cầu trắng, cầu đỏ cầu đen Chọn ngẫu nhiên cầu Tính xác suất để thu trắng, đỏ đen? 4.12 Một lớp có 25 sinh viên có giỏi, 10 10 trung bình Chọn ngẫu nhiên người, tìm xác suất để: a) Cả SV yếu? b) Có SV giỏi? 4.13 Một đồn tàu có toa Có hành khách từ sân ga lên tàu, người độc lập với chọn ngẫu nhiên toa Tính xác suất để a) toa có người, toa có người hai toa cịn lại khơng có ai? b) Toa có khách? c) Cũng hỏi câu b) số toa tàu 3? 4.14 Một cơng ty có 60 nhân viên, có 20 nam 40 nữ Tỷ lệ nhân viên nữ nói tiếng Anh lưu lốt 15% tỷ lệ nam 20% a Gặp ngẫu nhiên nhân viên cơng ty Tìm xác suất để gặp nhân viên nói tiếng Anh lưu lốt? b.) Biết người gặp nói tiếng Anh lưu lốt, tính xs để người nữ? c Gặp ngẫu nhiên hai nhân viên cơng ty Tìm xác suất để có người nói tiếng Anh lưu loát số người gặp? 46 4.15 Một cơng ty cần tuyển hai nhân viên Có người nạp đơn có nữ nam Khả tuyển người a) Tính xác suất để hai nữ chọn biết nữ chọn? b) Giả sử Hoa nữ Tính xác suất để Hoa chọn? c) Tính xác suất để Hoa chọn biết nữ chọn? 4.16 Xét lô sản phẩm số sản phẩm nhà máy I sản xuất chiếm 20%, nhà máy II sản xuất chiếm 30%, nhà máy III sản xuất chiếm 50% Xác suất phế phẩm nhà máy I, II, III tương ứng 0,001; 0,005; 0,006 Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên phế phẩm? 4.17 Có hộp đựng chi tiết máy Trong hộp có chi tiết xấu, chi tiết tốt máy I sản xuất Ba hộp lại hộp đựng chi tiết xấu, chi tiết tốt máy II sản xuất Lấy ngẫu nhiên hộp từ lấy chi tiết máy a) Tính xác suất để chi tiết máy lấy tốt? b) Biết chi tiết lấy tốt Tính xác suất để chi tiết lơ I? 4.18 Một hộp có sản phẩm tốt sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên từ hộp sản phẩm Biết sản phẩm lấy lần sản phẩm tốt Tính xác suất để sản phẩm lấy lần thứ tốt? 4.19 Có chuồng thỏ Chuồng thứ có thỏ trắng thỏ đen, chuồng thứ hai có thỏ trắng thỏ đen, chuồng thứ ba có thỏ trắng thỏ đen Chọn ngẫu nhiên chuồng từ chuồng bắt ngẫu nhiên thỏ a) Tìm xác suất để bắt thỏ trắng? b) Biết thỏ bắt thỏ trắng Tìm xác suất để thỏ thuộc chuồng thứ nhất? 4.20 Có chuồng thỏ: chuồng thứ có thỏ trắng thỏ nâu, chuồng thứ hai có thỏ trắng thỏ nâu, chuồng thứ ba có thỏ trắng thỏ nâu Chọn ngẫu nhiên chuồng từ bắt ngẫu nhiên thỏ a Tìm xác suất để bắt thỏ trắng? b Biết thỏ bắt thỏ trắng Tìm xác suất để thỏ thuộc chuồng thứ 4.21 Có 20 xạ thủ có người bắn trúng đích với xác suất 0,8 (giỏi), người bắn trúng với xác suất 0,7 (khá) số lại bắn trúng với xác suất 0,5 (trung bình) Chọn ngẫu nhiên người vào bắn a) Tìm xác suất để người bắn trượt? b) Biết người bắn trượt, có nhiều khả người xếp loại nào? 47 4.22 Có hai hộp đựng cam Hộp I đựng 10 tốt hỏng, hộp II đựng tốt hỏng Lấy ngẫu nhiên từ hộp I bỏ sang hộp II sau từ hộp II lấy ngẫu nhiên hai a) Tính xác suất để hai hỏng? b) Tính xác suất để hai tốt? c) Tính xác suất để có tốt hỏng? 4.23 Có hai hộp đựng cam Hộp I đựng 10 tốt hỏng, hộp II đựng tốt hỏng Lấy ngẫu nhiên hai từ hộp I bỏ sang hộp II sau từ hộp II lấy ngẫu nhiên hai a) Tính xác suất để hai hỏng? b) Tính xác suất để hai tốt? c) Tính xác suất để có tốt hỏng? 4.24 Một máy bay xuất vị trí A với xác suất 2/3 vị trí B với xác suất 1/3 Có phương án bố trí pháo bắn máy bay sau: Phương án 1: A, B Phương án 2: A, B Phương án 3: A, B Biết xác suất bắn trúng máy bay pháo 0,7 pháo hoạt động độc lập với Hãy chọn phương án tốt 4.25 Có hai kiện hàng: Kiện thứ nhất: có sản phẩm loại A, sản phẩm loại B Kiện thứ hai : có sản phẩm loại A, sản phẩm loại B Từ kiện hàng chọn ngẫu nhiên sản phẩm đem giao cho khách hàng Sau sản phẩm cịn lại dồn vào kiện thứ ba (trống) a Chọn ngẫu nhiên sản phẩm từ kiện hàng thứ ba Tính xác suất để lấy sản phẩm loại B? b Nếu ta chọn ngẫu nhiên sản phẩm từ kiện ba Tính xác suất để có sản phẩm loại B từ sản phẩm chọn 4.26 Có hai tổ Tổ I có nam nữ, tổ có nam nữ Cần lập nhóm người từ tổ Để khách quan từ tổ ta chọn ngẫu nhiên người, sau số cịn lại hai tổ ta chọn ngẫu nhiên người a) Tính xác suất để người thứ chọn nam? b) Tính xác suất để người thứ chọn thuộc tổ II? 48 4.27 Một hộp đựng 15 bóng bàn có cịn Lần đầu người ta lấy ngẫu nhiên ba để thi đấu, sau lại trả vào hộp Lần lấy ngẫu nhiên Tính xác suất để ba lần sau HD Gọi Bi , i = 0, biến cố lấy có i 4.28 Có hai hộp, hộp đựng bi trắng bi đen; hộp đựng bi trắng bi đen, viên bi kích thước Lấy ngẫu nhiên hai bi từ hộp bỏ sang hộp Sau lấy ngẫu nhiên bi từ hộp Tính xác suất để bi lấy sau có hai bi trắng HD Bi , i = 0, hai bi bỏ sang hộp hai có i bi trắng Biến ngẫu nhiên 4.29 Bán ba viên đạn độc lập vào mục tiêu Xác suất trúng viên tương ứng 0,6; 0,4; 0,5 Gọi X số viên đạn khơng trúng mục tiêu Tìm phân phối xác suất X Trong tập sau, câu hỏi bốn ý a) Lập bảng phân phối xác suất Biến ngẫu nhiên gọi? b) Xác định hàm phân phối? c) Tính kỳ vọng (M (X), M (X + 3), M (X − 6) ? (Có thể thay câu hỏi trung bình biến ngẫu nhiên đó) d) Tính phương sai? 4.30 Một hộp gồm phận hoạt động độc lập nhau, xác suất khoảng thời gian t phận bị hỏng tương ứng 0,2; 0,3; 0,5 Gọi X số phận bị hỏng 4.31 Một hộp có viên bi có bi trắng bi dỏ Lấy ngẫu nhiên viên Gọi X số bi trắng lấy 4.32 Bắn viên đạn độc lập với vào mục tiêu (trong điều kiện nhau) Xác suất trúng đích lần bắn 0,2 Gọi X số đạn trúng mục tiêu Hỏi thêm: Tính xác suất để có viên trúng đích 4.33 Một xạ thủ đem viên đạn bắn, xạ thủ bắn viên vào bia với xác suất trúng vòng 10 0,85 Nếu bắn ba viên liên tiếp trúng vịng 10 không bắn Gọi X số viên đạn bắn 4.34 Một xạ thủ dùng viên đạn để thử súng Anh ta bắn viên vào tâm với xác suất trúng tâm 0,95 Nếu có viên liên tiếp trúng tâm thơi khơng bắn Gọi Y số viên đạn thừa 4.35 Một quan mua 15 máy có bị khuyết tật Phòng A nhận cách ngẫu nhiên Gọi X số máy khuyết tật mà phòng A nhận 49 4.36 Một hộp có bi trắng bi đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên lấy bi trắng Gọi X số bi trắng lấy 4.37 Có hai lơ sản phẩm Lơ 1: Có phẩm phế phẩm Lơ 2: Có phẩm phế phẩm Từ lơ thứ lấy ngẫu nhiên sản phẩm bỏ sang lơ thứ hai, sau từ lơ thứ hai lấy sản phẩm Gọi X số phẩm lấy 4.38 Có kiện hàng, kiện chứa 10 sản phẩm Số sản phẩm loại B kiện tưng ứng 1,2,3 a Lấy ngẫu nhiên từ kiện sản phẩm Gọi X số sản phẩm loại A có sản phẩm lấy ra? b Chọn ngẫu nhiên kiện từ kiện chọn lấy ngẫu nhiên sản phẩm (lấy đồng thời) Gọi X số sản phẩm loại B có sản phẩm lấy ra? Bài tốn ước lượng, kiểm định 4.39 Đo áp lực X(kg/cm2 ) 18 thùng chứa kết quả: Xi ni 19,6 19,5 19,9 20,0 19,8 20,5 21,0 18,5 19,7 Biết áp lực đại lượng ngẫu nhiên tuân theo phân phối chuẩn Với độ tin cậy p = 0, 99, tìm khoảng ước lượng áp lực trung bình µ? 4.40 Để xác định trọng lượng trung bình 15 bao bột mì đóng máy tự động, người ta chọn ngẫu nhiên 15 bao tính x = 39, 8kg s2 = 0, 144 Tìm khoảng tin cậy 99% trọng lượng trung bình µ bao bột mì? 4.41 Để khảo sát chiều cao trung bình µ niên vùng A đó, mẫu gồm 16 niên chọn, chiều cao niên đo sau: Chiều cao (cm) tần số Chiều cao (cm) tần số 163 170 164 172 166 174 Tìm khoảng tin cậy 95% cho µ 4.42 Để khảo sát chiều cao trung bình µ niên vùng A đó, mẫu gồm 36 niên chọn, chiều cao niên đo sau: Chiều cao (cm) tần số Chiều cao (cm) tần số 163 170 164 172 166 174 168 175 50 Tìm khoảng tin cậy 95% cho µ 4.43 Trong khảo sát thị trường công ty sản xuất thuốc lá, 150 người nghiện thuốc chọn ngẫu nhiên, số điếu thuốc hút trung bình tuần nhóm người với độ lệch tiêu chuẩn 36 Tìm khoảng tin cậy 99% cho số điếu thuốc hút trung bình tuần tất người nghiện thuốc lá? 4.44 Trong thăm dò ý kiến 100 khánh hàng, người ta thấy 55 người nói u thích mặt hàng A Tìm khoảng tin cậy 95% cho tỷ lệ người tiêu dùng ưa thích mặt hàng A? 4.45 Một quan Cảnh sát Giao thông kiểm tra hệ thống phanh 40 xe tải đường Quốc lộ, họ phát 14 có phanh chưa đảm bảo an tồn a) Hãy tìm khoảng tin cậy 98% cho tỷ lệ xe tải có phanh chưa an tồn? b) Hãy tìm khoảng tin cậy 98% cho tỷ lệ xe tải có phanh tốt? 4.46 Trước ngày bầu cử, để biết tỷ lệ phần trăm cử tri dự chưa biết bỏ phiếu cho ai, người ta hỏi n cử tri chọn cách ngẫu nhiên Hỏi số n tối thiểu để khoảng tin cậy 95% có độ dài khơng vượt q 0,04? 4.47 Ta muốn xây dụng khoảng tin cậy 95% cho trọng lượng trung bình gói đường đóng máy tự động Một mẫu điều tra sơ cho ta x = 11, 8kg với độ lệch tiêu chuẩn s = 0, 7kg Hỏi cần phải lấy kích thước mẫu tối thiểu để đạt sai số không vượt 0, 2kg 4.48 Người ta muốn tìm khoảng tin cậy 95% cho tỷ lệ gia đình có máy giặt với độ xác 0,04 Hỏi kích thước mẫu cần lấy bao nhiêu? Giả sử mẫu điều tra sơ cho ta tần suất f = 0, 72 4.49 Một khách sạn lớn tiến hành nghiên cứu để xác định tỷ lệ phần trăm khách trọ với thời gian nhiều ngày Người chủ khách sạn muốn đạt độ tin cậy 95% sai số không vượt 0,05 Anh ta ước lượng so tỷ lệ khoảng 30% Hỏi cần lấy mẫu với kích thước bao nhiêu? 4.50 Tương tự 4.49 người chủ khách sạn khơng có trước thơng tin tỷ lệ cần ước lượng? 4.51 Để điều tra số cá hồ, người ta đánh bắt 1000 cá đánh dấu thả xuống hồ Lần sau bắt lại 200 40 đánh dấu Với độ tin cậy 95% Ước lượng tỷ lệ cá đánh dấu hồ? Ước lượng số cá hồ? 4.52 Trọng lượng bao gạo biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trọng lượng trung bình 50 kg Sau khong thời gian người ta nghi ngờ trọng lượng bao gạo có thay đổi Cân 25 bao gạo người ta thu kết sau: 51 Khối lượng (kg) số bao gạo 48 - 48,5 48,5 - 49 49 - 49,5 10 49,5 - 50 50 - 50,5 4.53 Một công ty sản xuất hạt giống tuyên bố loại giống họ có suất trung bình 21,5 tạ/ha Gieo thử hạt giống 16 vườn thí nghiệm thu kết 19,2; 18,7; 22,4; 20,3; 16,8; 25,1; 17,0; 15,8; 21,0; 18,6; 23,7; 24,1; 23,4; 19,8; 21,7; 18,9 Dựa vào kết xác nhận xem quảng cáo cơng ty có không với mức ý nghĩa α = 0, 05 Biết suất giống trồng biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N (µ; σ ) 4.54 Ở nhà máy dệt, kiểm tra ngẫu nhiên 100 vải (dài 30m) thấy số khuyết tật trung bình 2,5 với phương sai σ = a) Hãy ước lượng số khuyết tật trung bình vải với độ tin cậy 95% b) Nếu độ xác ước lượng 0,14 (khuyết tật) độ tin cậy ước lượng bao nhiêu? c) Với độ xác ước lượng bé 0,14, độ tin cậy 95% phải kiểm tra thêm sản phẩm nữa? 4.55 Cơng ty xe bt nói trung bình phút lại có chuyến xư Chọn ngẫu nhiên thời điểm ghi lại thời gian hai chuyến xe buýt ta thu số liệu sau: 5,3; 4,5; 4,8; 5,1; 4,3; 4,8; 4,9 4,7 Với mức ý nghĩa 5%, nhận định xem cơng ty xe bt nói có không 4.56 Một trại chăn nuôi A xuất chuồng 200 lợn, trọng lượng tính (Kg), ta có bảng số liệu sau: Trọng lượng (xi ) Số lợn 45-55 10 55-65 30 65-75 45 75-85 80 85-95 30 95-105 a) Ước lượng trọng lượng lợn (hơi) trung bình trại chăn ni A với độ tin cậy 95% b) Nếu chủ trại chăn nuôi A thông báo trọng lượng (hơi) trung bình trại chăn ni 80 kg có chấp nhận khơng với mức ý nghĩa 10% c) Lợn có trọng lượng từ 85 kg trở lên gọi lợn chóng lớn, ước lượng tỷ lệ lợn chóng lớn trại chăn nuôi với mức ý nghĩa 99% 4.57 Tại khu vườn trồng xoài, để điều tra trọng lượng trái xoài, người cân thử 100 trái xoài kết cho bảng sau: Trọng lượng (g) 450 - 500 500 - 550 550 - 600 Số trái 30 20 Trọng lượng (g) 600 - 650 650 - 700 700 - 750 52 Số trái 10 25 13 a) Nếu người cho biết trọng lượng trung bình trái xồi 610g với độ tin cậy 95% chấp nhận khơng? b) Những trái xồi có trọng lượng từ 650g trở lên xem loại I Người cho biết tỉ lệ loại I 25% với độ tin cậy 99% có hay khơng? c) Những trái xồi khơng phải loại I loại II Với độ tin cậy 95% khẳng định trọng lượng trung bình trái xồi loại II 580g không B) Một số đề kiểm tra tham khảo Đề 1: Câu Đề cương ơn tập mơn Tốn có 20 câu Lớp A có 40 sinh viên chia thành ba nhóm gồm: nhóm chuẩn bị tốt có 15 sinh viên, nhóm chuẩn bị có 20 sinh viên nhóm chuẩn bị trung bình có sinh viên Sinh viên chuẩn bị tốt học 18 câu, sinh viên chuẩn bị học 15 câu, sinh viên chuẩn bị trung bình học 10 câu Gọi ngẫu nhiên sinh viên lớp hỏi câu đề cương a) Tìm xác suất để sinh viên gọi trả lời câu hỏi b) Biết sinh viên trả lời câu hỏi, tìm xác suất để sinh viên thuộc nhóm chuẩn bị Câu Có hai xạ thủ A B người cầm viên đạn thử súng Họ bắn liên tiếp vào bia, đạn bia chưa bị bắn họ cịn bắn Xác suất bắn trúng bia hai người A B 0,8 0,9 Biết người A bắn trước Gọi X số đạn người A bắn a) Lập bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X b) Xác định hàm phân phối biến ngẫu nhiên X c) Tính kỳ vọng phương sai biến ngẫu nhiên X Câu Để khảo sát chiều cao sinh viên trường Đại học A mẫu gồm 36 sinh viên chọn, chiều cao sinh viên đo sau chiều cao (cm) tần số chiều cao (cm) tần số 163 170 165 172 166 174 168 175 Biết chiều cao sinh viên có phân phối chuẩn N (µ, 16) a) Ở mức tin cậy P = 95% ước lượng kỳ vọng µ b) Để đạt độ xác ε = mức tin cậy 99% phải điều tra sinh viên? c) Kiểm định giả thiết H0 : µ = 180cm; đối thiết H1 : µ = 180cm mức tin cậy 99% t e−x Cho biết: với Φ(t) = /2 dx Φ(1, 96) = 0, 975; Φ(2, 58) = 0, 995 −∞ Ghi chú: Sinh viên không sử dụng tài liệu làm 53 Đề Câu Có ba hộp đựng cam Hộp I đựng 10 tốt hỏng, hộp II đựng 15 tốt hỏng, hộp III đựng 12 tốt hỏng Chọn ngẫu nhiên hộp từ hộp lấy cam a) Tìm xác suất để hai lấy có tốt hỏng b) Biết lấy có hỏng, tìm xác suất để hai thuộc hộp I Câu Một xạ thủ cầm viên đạn bắn, xác suất bắn trúng vòng mười 0,8 Nếu bắn ba viên liên tiếp trúng vòng mười hết đạn thơi khơng bắn Gọi X số đạn thừa a) Lập bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X b) Xác định hàm phân phối biến ngẫu nhiên X c) Tính kỳ vọng phương sai biến ngẫu nhiên X Câu Để khảo sát chiều cao trung bình µ niên vùng A đó, mẫu gồm 16 niên chọn, chiều cao niên đo sau: Chiều cao (cm) tần số Chiều cao (cm) tần số 163 170 164 172 166 174 Biết chiều cao niên tuân theo phân phối chuẩn a) Hãy ước lượng khoảng cho kỳ vọng µ với độ tin cậy 95% b) Một kết luận nói chiều cao niên vùng A 170cm Ta nghi ngờ kết luận muốn kiểm định Hãy phát biểu giả thiết đối thiết toán kiểm định Với mức tin cậy P = 99% có chấp nhận kết luận chiều cao trung bình niên vùng A 170cm hay khơng? Cho biết, kí hiệu t( α , n − 1) giá trị tới hạn phân phối Student mức α ; n − 2 t e−x bậc tự do; Φ(t) = /2 dx; t(0, 025; 15) = 2, 131; t(0, 005; 15) = 2, 947 Φ(1, 96) = −∞ 0, 975; Φ(2, 58) = 0, 995 Ghi chú: Sinh viên không sử dụng tài liệu làm 54 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Đình Hiền, Giáo trình xác suất thống kê, NXB Đại học Sư phạm, 2004 [2] Phạm Văn Kiều, Xác suất thống kê, NXB Đại học Sư phạm, 2005 [3] Đặng Hùng Thắng, Thống kê ứng dụng, NXBGD, 1999 [4] Đặng Hùng Thắng, Bài tập thống kê, NXBGD, 1999 55 ... tượng, lý thuyết Xác suất - Thống kê xây dựng dựa cơng cụ tốn học đại Giải tích hàm, Lý thuyết độ đo, lại gắn liền với toán thực tế sống, tự nhiên xã hội Ngày nay, lý thuyết Xác suất - Thống kê. .. ĐẦU Lý thuyết Xác suất thống kê toán học ngành toán học đời vào khoảng kỷ XVII Đối tượng nghiên cứu Xác suất - Thống kê tượng ngẫu nhiên, quy luật ngẫu nhiên mà thường gặp thực tế Khác với số môn. .. NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT §1 BỔ SUNG VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP Phần khơng nằm nội dung môn Xác suất thống kê mà thuộc kiến thức chung học Phổ thơng, nhiên để hiểu phép tính xác suất, thống kê chương sau